deber

1. 80. Si se tiene un razonamiento con las siguientes hipótesis:
H1: La dolarización es difícil o no les gusta a muchas personas.
H2: Si las medidas económicas son viables, entonces la dolarización no es
difícil.
Determine si la siguiente conclusión: "Si las medidas económicas no son
viables, a muchas personas no les gusta la dolarización", hace válido el
razonamiento.
1.7 Demostraciones
Bl.Para demostrar quep -->q es verdadero, por el método de reducción al
absurdo, suponemos Que -rp es verdadero y obtenemos una contradicción
con q.
a) Verdadero b) Falso
82.Utilice el método directo para demostrar que:
a) (p <+q)=(p v q) -+ (p ¡q) b) '--(p v q)v('-p nq) = ---p
83. Utilice el método de reducción al absurdo para demostrar las siguientes
proposiciones:
a) Si (p -->q)y p, entonces q.
b) Si (p v q) V --r q, entonces p.
c) Sip se cumple, entonces (p v q) se cumple.
1.8 Conjuntos
v B4.Determine cuál de los siguientes conjuntos es vacío:
a) A:{{A}} b) D:{A} QB:{A,{A}} d) C:{A,A} eQllla:{x/x*x}
r/85.Sean A, B, C, D y M como en el ejercicio anterior.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) N(A) : N(D) d) N(c) : 1
b) N(D) : N(C) r s) N(B) : N(C) + I
c) N(C): N(M)
1.9. Cuantificadores
86.Identifique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:
a) 5: {5} d) {4,8,23,3}: {(-2)2,8,3
D {l e A e) {2,4: U2}, {4}l
c)1e{{1,4},{2,4}}
87.Siendo A:{a,{b}, c,{d, e}} y B:{b, c}, encuentre el valor de verdad de
las siguientes proposiciones :
a)-'(bea) b)BEA c)BeA d)AnB:{c} e){á}eB
pá9. s3

2. ,/aA.OaAo el referencial Re :{x/x es una letra del alfabeto castellano} y los
conjuntos A, B, C y D definidos por:
A: {x/x es vocal de la palabra COMPUTACION} *> -
B: {x/x es vocal de la palabra ELECTRONICA}
C: {x/x es consonante de la palabra BARCELONA}
D: {x/x es consonante de la palabra ENUMERACION}
a) Tabule A, B, C y D.
b) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
D N(A): N(B)
ll) A: B
III)EeA
¡/B9.LCuál de las siguientes agrupaciones define un conjunto?
Si define un conjunto, identifique si es vacío, unitario, finito o infinito.
a) Los números con más suerte en la lotería
b) Los números pares mayores que tres
c) Los libros más interesantes de matemáticas
d) Un número primo par
,/go.s"u el conjunto Re:{1, 2,3,4,5}. Entonces es verdad que:
a)lx(x+3<1) d)l.r(x+3<5)
b)V¡(x+3<5) e)Vx(*-ax+3:0)
c)Vx(x>l)
91.Sea ps:{x/x es ser humano}. Traduzca al lenguaje común las siguientes
proposiciones.
a) Vx [(.r es vegetariano) n (x come zanahorias)]
b) 1l [(x es vegetariano) v (x come zanahorias)]
c) Vx [(x es vegetariano) n --r (x come zanahorias)]
y/SZ.Oetermine el conjunto potencia de los siguientes conjuntos dados.
a) A:{1, 2,3,4 b) B:{ [, O, A] c) C:{A, {A
93.Sea A:{o, {ó}}. Entonces es verdad que:
{ A eA b) ae A c) {{á}} e A d) N (P(P(A))):8 e) {{ó }} cP(A)
pág.e+

3. -/ g4'Sean A y B dos conjuntos no vacíos, determine
el valor de verdad de las
siguientes proposiciones :
a) (AE B) <+ Vx [(x eA) + (x eB)]
b)(AcB) + [(AEB) n--(B cA)]
c)(AcB) -+ [(AcB) n (BsA)]
Q@eA) + @eI)
e)@eA) -+ (xeA)
f) (AE B) e+ lx [(x eA) -+ (x eB)]
s) (A: B) -+ [(A c B) n (B c A)]
95, Parafrasee los literales del ejercicio anterior.
c- 96.Sea B: {*, o}, entonces es verdad que:
a) N (P(P(B))) : 8 d) {*,o}eP @)
b)*eP(B) e){*,o}cB
c) A eP (B)
9T.Escriba las siguientes proposiciones en lenguaje simbólico e indique su
valor de verdad.
f) Todo número es impar,
D Existe un x perteneciente a los enteros tal que 3f- 5 :0.
m) Si existe un x pefteneciente a los enteros tal que x* 1 < 0, entonces para
todo x pefteneciente a los naturales se cumple que.r es un entero.
1.10 Operaciones entre conjuntos
98. Si A: {4, {A}} , entonces {A} e A n p(A).
Verdadero
a) b) Falso
¿,'9g.sean A, B, c conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de
Venn.
Re
La región sombreada corresponde a:
a)(AnB)-C d) (A-B)nC
b)(AnB)-A e) (B-A)uC
c)(AuB)-C
pá9. ss

4. ,AOO. Sean A, B y C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de
Venn:
Re
La región sombreada corresponde a:
a)Acu(BnC) d) A-(BuC)
b)B-(AuC) e) Bn(AuCc)
c)An(BuC)
/rot.Dado un conjunto referencial Re con 3 subconjuntos no vacíos, A, B y
C, encuentre los elementos de dichos conjuntos, tales que se cumplan
las sig u ientes características :
a) Re: {*, ?, #,{2,a,Y,Y,n, e} d) B n C": {#, 3,Y, n}
B
b) C e e) (AnB) u C: {#,{l,n,e}
c)AyCsondisjuntos f) (AuBuC)":{V}
D,/LOz. Sea el conjunto referencialRe y los conjuntos no vacíos A, B y C definidos
ast:
Re: {*, !, #, $, oA, &,?}
A:{x,!,#,$}
B : {l,yo, &,?}
C : {yo, &,?}
Entonces el conjunto KA- B)" u C]c es:
a) Re DA c) {oA,&,?} d) {!} e) A-B
103. Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos de un referencial Re. Represente
en un diagrama de Venn las siguientes operaciones:
a)AuBuCc b)B-(AuC) c)(AnB)cnC d)AA(B-C)
pá9. oo

5. 109. Siendo 1r--{O, {1,2}, {l}, {A},l, {2}, identifique la proposición fatsa.
a) ({1} uA:A) v ({1}e A) d) ({1,2}eA) v (A e 1)
D(AGA)^(AeA) e) (1 eA)-+(2eA)
c) (1 e A) -+ ({2}eA)
/tto. Determine los elementos de A, B y C, si se conoce que:
Re: {1, 3,4,5,6,7,8,91 (An B) u (B n C): {4, 8}
B-(AuC):{6,7} A-(BuC):{1,3} C-A:{8,9}
(B u C)c: {1,3,5} Bc uA: {1, 3,4,5,9}
A y C no son intersecantes.
111. Determine los elementos de A, B y C, si:
Re : { I,2,3, 4, 5, 6,7 , 8,9, 10, , 12, 13, 14, 15}
11
(A u C) ñ Bc : {6, 10, n,12,14}
B u (An C) : {1,2,3,4, 5, 6,7,8,9, 12, 13, 15l¡
(An B) u (B n C) : {3, 4,5,J,8, l5}
(A n B) u (A n C) : {3, 4, 6,7 ,8, 12}
(B"n Cc)c : {I,2, 3, 4, 5, 6,7, 8,9, 10, 12, 13, 14, 15}
Bn Cc : {I,2,3,9,13}
112. Sean los conjuntos A, B y C, tales que:
CyA no son intersecantes, B yC son disjuntos, AyB no son disjuntos. '
(A u B)c : {10, Il,12,13,14,15}
Cc : {2,3, 4, 5, 6,7, 8,9, 14, 15}
B -A: {8, 9}; AnBc : {2,3,4,5}
Halle los elementos de A, B y C.
113. Dado el referencial Re:{x/x es letra del alfabeto} y los conjuntos A, B,
C definidos por:
A: {x/x es vocal de la palabra computación}
B: {x/x es vocal de la palabra básica}
P(B): Conjunto potencia de B
C: {x/x es vocal de la palabra onu}
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a)N(C):3 d)AuC:B
b) C' A: {o,u e) A-B :A
:32
c) N [P(B)]
pág. es

6. I24. Para los conjuntos A, B, C, no vacíos, se cumple que:
A- (B n c): (A- B) n (A- c).
a) Verdadero b) Falso
125. Para los conjuntos A, B,C, no vacíos, se cumple que:
A- (B rt C): (A- B) u (A- C).
a) Verdadero b) Falso
,,"726. En una encuesta realizada por Pacifictel a un grupo de 26 abonados
que han realizado al menos una llamada, sea ésta local, nacional o
internacional, se obtuvo la siguiente información:
x 23 abonadbs han realizado llamadas nacionales o internacionales.
x 5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales.
x 12 abonados han hecho llamadas internacionales pero no locales.
x El número de personas que han hecho sólo llamadas nacionales es
igual al doble de personas que han hecho sólo llamadas internacíonales
y locales pero no nacionales.
Entonces, el número de abonados que han hecho ilamadas locares es:
a) 10 b)4 c)6 d)2 e)14
I27.En un concurso de cocineros en el que se preparan tres comidas criollas:
guatita, seco de chivo y chugchucaras, se obtuvieron los siguientes
resultados:
* 2yo de cocineros fracasó en las tres comidas.
x 6yo de cocineros fracasó en guatita y seco de chivo.
* 5yo de cocineros fracasó en seco de chivo y chugchucaras.
* yo de cocineros fracasó en guatita y chugchucaras.
x 29yo de cocineros fracasó en guatita,
* 32yo de cocineros fracasó en seco de chivo.
* 36yo de cocineros fracasó en chugchucaras.
a) Construya un diagrama de Venn con los datos.
b) Proporcione una expresión con operaciones de conjuntos para indicar
el porcentaje de cocineros que tuvo éxito.
c) éQué porcentaje de los cocineros no tuvo éxito en las tres comidas?
d) ZCuántos cocineros tuvieron éxito en las tres comidas si concursaron
200 personas?
pá9, iOr

7. UArU. En una encuesta a 100 inversionistas, se observa lo siguiente:
* 5 sólo poseen acciones.
x 15 poseen solamente valores.
x 70 son propietarios de bonos.
* 13 poséen acciones y valores.
x 23 tienen valores y bonos.
x 10 son propietarios sólo de acciones y bonos.
Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo. Halle el número de
inversionistas que:
a) Tienen valores, bonos y acciones.
b) Tienen sólo una de ellas.
c) Tienen al menos una.
d) Tienen, cuanto mucho, dos de ellas.
129. Para los votantes de una ciefta comunidad de 300 personas, se tiene
que:
x 110 son mayores de 20 años.
x 120 son mujeres y 50 mujeres son mayores de 20 años'
Determine el número de votantes que:
a) Son hombres.
b) Son hombres mayores de 20 años.
c) Son mujeres con 20 o menos años.
d) Son hombres con 20 o menos años.
e) Tienen 20 o menos años.
130. En una encuesta a 40 estudiantes del nivel cero, 27 son hombres y 20
son bachilleres técnicos; de estos últimos 8 son bachilleres (técnicos)
en comercio, 6 de las mujeres no son bachilleres técnicos y 22 de los
hombres no son bachilleres en comercio.
x Determine cuántas mujeres son bachilleres técnicos pero no en
comercio.
* Halle además cuántos hombres no son bachilleres técnicos.
131. Sean A, B y C subconjuntos de un referencial, si se conoce quel
xCcB
* A y C no son intersecantes.
x Re : {1,2, 3, 4, 5, 6,7,8,9}
x B C:{3, 5, 7, 8}
-
*(AnB)uC:{3,4,8,9}
* (AuBuC)c:6
Halle los elementos de A, B y C.
pá9.102

8. 137. De 335 maestros de una institución educativa se tienen los siguientes
datos: 215 son de tiempo completo, 190 hablan inglés, 225 tienen por
lo menos maestría,70 son de tiempo completo y hablan inglés, 110
hablan el inglés y tienen por lo menos una maestría, 145 son de tiempo
completo y tienen por lo menos maestría; y todos tienen al menos una
de las características.
Halle el número de maestros que tengan las tres características
anteriores.
138. En una encuesta aplicada a 100 estudiantes se determinó que 50
practican básquet, 40 practican fútbol, 45 practican atletismo, 20
practican básquet y fútbol, 20 básquet y atletismo, 15 fútbol y atletismo,
y 5 practican los tres deportes. Entonces es falso que:
a) 15 no practican estos tres deportes.
b) 15 sólo practican básquet.
c) 75 practican básquet o atletismo.
d) 35 practican fútbol o atletismo pero no básquet.
e) 10 practican básquet y fútbol pero no atletismo.
1.12 Predicados
139. Sea el conjunto referencial Re: {1,2,3,4,...} y los predicados:
p(x): x es un número impar, q(x): x es un número par.
Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa:
a) A(p(x)--r q(x))e Aq(x) d) Aq(x) - Ap(x) : A
b) Re : Ap(x) w Aq(x) e) A(q(x) --> p(x)): Ap(x)
c) Ap(x) : A'q(r)
,/t+0. :
Sea Re {I,2,3,4,5}; p(x): x es divisor de 12; q(x): x es primo.
Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a) Vx fu(x)v q(x)l b) lx p(x) ¡q(x)l c) lx [-.p(x) ¡q(x)]
,/l.4t. Dado el conjunto referencial Re :{-3, -2, -1,1,2,3} y los predicados:
p(x): x(x+2):0, q(x): f>0. Entonces es verdad que:
a) - 1e A p(x) n q(x)l d)A--4@): {-3, -2,-l}
b) A b(x) v q(x)l :A e) A [a(x) + p(x)]:A
c) A p(x) -+ q(x)l : Ps
pá9. ro+

9. L42.Dado el conjunto referencial Re: {0, I,2,3,4,5,6} y los predicados:
p(x): x es un número par.
q(x): x es mayor que siete.
4*): , es menor que diez.
.s(x): x es un número impar.
Determine cada uno de los siguientes conjuntos:
a) Ap(x) v Aq(x) e) A[(p(x) -+ s(x)) -+ (q(x) -+ (x)]
b) As(x) M¡) n f) Ac (x) n As(x)
c) Ap(x) uA^r(.x) g) (Re - Ap(*)) n (Aq(x) uAs(x)
d) A(p(x) -+ q(x))
143. Para Re: {1,2,3,4,51 y p(x): f -x+ 41 es primo.
a) Determine fu(x).
b) Determine el valor de verdad de:
1x---p(x)
Y * p(*)
l/roo. Sea Re : {1,2,3,4,5,6,'7,8,9} y los predicados:
p(x): x es divisor de 284.
q(x):x+3<9
r(x): x+2:8
m(x): x es primo
Encuentre:
a) Ap(x) e) Ap(x) v r(x)l
b) Aq(x) f) A[q(x) nm(x)]
c) A(x) s) Alm(x) -+ --.r(x)l
d) Am(x) h) A[--r(x)
^q(x)]
L/tqS. La negación de la proposición "Para todo número natural n, n + 2> 8" , es:
a) Para algunos naturales n, n + 2 < 8.
b) Existe un natural n tal que n+2<8.
c) Ningún natural n cumple con n + 2> 8.
d) Existe un natural n tal que n+2> 8.
e) Existe un natural n tal que n + 2> 8.
pá9.10s

10. v/L56. Dados los conjuntos A: {a,b, c}, B:{*, tr, f} y C:{0, *,., V},
entonces el número de pares ordenados diferentes que se pueden
definir de A x (C - B) es 256.
a) Verdadero b) Falso
.
157. Si A, B y C son conjuntos no vacíos, entonces una de las siguientes
proposiciones es falsa. Identifíquela.
a) N(A x B) : N(A) N(B)
b) N[P(A x B)] :2N(A)N(B)
c) N(A) + N(B) : N(A u B) + N(A n B)
d) N(A x B x C) : N(A) N(B) N(C)
e)N(AxB)lN(BxA)
158. Si A, B, C son conjuntos tales que: N(A):2, N(B):3 y N(C):3,
entonces N[Ax (B x C)] es:
a)14 b)18 c)11 d)10 e)9
1. 14 Relaciones
,/ ttt.En una relación, el dominio siempre es igual al conjunto de partida.
a) Verdadero b) Falso
/tOO. En una relación, el rango siempre es igual al conjunto de llegada. '
a) Verdadero b) Falso
,/tOt. En una relación, el conjunto de partida debe ser distinto del conjunto de
llegada.
a) Verdadero b) Falso
/ tOZ. En una relación, el dominio es un subconjunto del conjunto de partida.
a) Verdadero b) Falso
n/ tos. Sea A:{1, 2,3} y R:{(1, 2),(1,3), (3,2)}, entonces R es una relación en A.
a) Verdadero b) Falso
t ,;1..64. Sean A:{2,3, 4} , B :{4, 5,7 y la relación R: A-+ B, R: x es divisor de ¿
" entonces N(R):3.
a) Verdadero b) Falso
pá9. roz

11. 1.15 Funciones
65. Sean A: {o, b, c} , B:{V, n}. Si Rt y Rr son dos relaciones de A en B,
lt tales que Rr:{(a, V), (t, V)} V R2:{(ó, l)}, entonces R, t-,r R, es una
función.
.
a) Verdadero b) Falso
y'rcO. En los siguientes ejercicios se dan varias relaciones de D a E. Para cada
relación, identifique si se trata de una función o no.
a) D:{1,2,3,4,51 E:{a,b,c,d,e} {(l,a),Q,b),Q'c),(4,c), (5'd))
b) D:{1,2,3,4,5} E:{a,b,c,de} {(l,e),Q,e),Q'a),Q,b),(5,d)}
c) D:{I,2,3,4,5} E:{A b, c, d e} {(I,a),Q,b),(l,c),Q,d),(4,e),(5,d)}
d) D:{1,2,3,4,5} E:{q, b, c d e} {(l,e),Q'a),Q,e),(4,a), (5,b)
e) D:{1,2,3,4} E:{a"b,c,d"el {Q,a),(l,b),Q,e),(4,c)}
0 D:{1,2,3,4,5} E:{a" b, c, dr {(l,a),Q,a),Q,d),(4,c), (5,b)}
s) D:{1,2,3,4,5} E={a,b,c,d} {(l,a),Q,b),Q,c),(4'd)}
h) D:{1,2,3,4,5} E:{a,b,c,fi {(l,a),Q,b)'Q,c),Q,d), (5,d)l
t) D:{1,2,3,4} E:{a,b,c,d,e} {(l,a),Q,b),Q,c),(l,d), (4'e)}
j) D:{1,2,3,4} E:{(a b, c, d" e} {(l,b),Q,c),Q,d),(4,b)}
/'tOl.puru cada función del ejercicio anterior, escriba si es uno a uno,
sobreyectiva, o biYectiva'
168. Si A y B son dos conjuntos finitos no vacíos donde N(A) <N(B), entonces
cualquier función de A en B es inyectiva.
a) Verdadero b) Falso
169. Dados los conjuntos: A:{f), A, n, O}, B:{?, *, t}, C:{1' 2,3,4,5} y la.s
relaciones que se muestran a continuación, definidas entre ellos, écuál
de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) Rr: {(f¿, l), ( ,2),(T8,4), (O, 5)}i rgRr: C
b) Rz: {(1, *), (3, +), (4,?)}i dom&: C
c) &: {(C¿,?), (A,*), (n, *), (O, +)} es una función biyectiva'
d) Si & : :
{(Q,1),(A ,2),(n,3), (O, 5)} y Rs {(1, ?), (2, x),(3,
x),(4, x),(5' +)},
entonces & o &es función sobreyectiva.
pá9. 1oe