fd

1. Muestreo

2. Fundamentos básicos de la
teoría de muestreo

3. Fundamentos básicos de la
teoría de muestreo
– Muestreo, “es la acción de recoger muestras representativas de la
calidad ó condiciones medias de un todo”.
– También, es, “la técnica empleada en la recolección de una pequeña
parte, para inferir el valor de una ó mas características del conjunto”
Definiciones y finalidad del muestreo

4. El Problema principal del muestreo es:
Estimar la media de una población (con N elementos) o lote ( de tamaño ML )
a partir de una muestra ( de tamaño n o Ms)
El problema principal del muestreo
Muestreo de minerales quebrados.
Fundamentos básicos de la
teoría de muestreo

5. Fundamentos básicos de la
teoría de muestreo
Consideraciones importantes:
o La parte: La ley de la Muestra
o El Todo: La ley del Yacimiento.
Representativo:
oLey muestreada= Ley real del yacimiento.
Calidad:
oDa un valor a la muestra, buena o mala, si sirve o no.
Técnica:
oLos procedimientos y parámetros para realizar el muestreo.
Finalidad:
o Estimación: de recursos y reservas de un yacimiento.
o El control: y la planificación de la operación.

6. Estimación de recursos minerales
Evaluación del tonelaje de mineral y de
las leyes de los elementos o materiales
útiles presentes en un yacimiento de
materia prima mineral
Fundamentos básicos de la
teoría de muestreo

7. Muestras
Cálculo de
recursos
Diseño y plan
minero
Cálculo de
reservas
Inversión
Importancia del muestreo en las
operaciones mineras.
• Hipótesis de trabajo:
– La ley de la muestra es correcta
– Puede utilizarse como un valor sin
incertidumbre
• Práctica:
– Muestra que se toma es pequeña
– Existe un error respecto a ley del conjunto a
representar

8. Fundamentos básicos de la
teoría de muestreo
Estimación de recursos y reservas

9. • Capacitación del procedimiento.
• Plan de muestreo (programa y logística).
• Ubicación de la muestra (levantamiento).
• Aplicación efectiva del procedimiento.
• Preparación de la zona a muestrear.
• Toma de datos.
• Toma de muestra.
• Envío de muestras.
• Ingreso de muestras a base de datos
• Controles y verificaciones.
• Preparación y análisis.
• Ingreso de leyes a base de datos
Etapas del muestreo – Nuevo enfoque
Enfoque del muestreo

10. Muestreo de depósitos minerales
El es una fase de vital importancia en la evaluación de un Depósito Mineral,
debido que en el se apoya el estudio de viabilidad técnica-económica.
Las muestras no solo deben ser representativas, sino que deben estar en
una cantidad adecuada, en el lugar preciso, y con un proceso
de reducción de peso y análisis apropiados.
Toma de la muestra
¿Qué requisitos debe reunir una muestra?
Una muestra se define como una parte representativa de un todo. De tal
forma que la proporción y distribución de la característica que se investiga
(Ley), sean iguales en ambos.

11. Factores que determinan el
tipo y cantidad de muestra
•Tipo de depósito mineral.
•Distribución del mineral útil y su tamaño.
•Etapa de investigación en la que se efectúa el muestreo.
•La accesibilidad a la mineralización.
•La facilidad para la toma de muestra.
•El costo de la toma de muestra.

12. Premisas para realizar un buen
muestreo
 Los elementos de la población sean homogéneos.
 Que el muestreo sea insesgado.
 Que sea preciso, minimizando el error de muestreo.
Por lo tanto el resultado será:
 Toma de conocimiento de la distribución espacial de las calidades.
 Valores representativos del depósito mineral.
 Lugar y frecuencia con que deben tomarse las muestras.

13. Tipos de muestreo
Sistemático: muestras se toman regularmente en el espacio o en
el tiempo.
Aleatorio: las muestras están aleatoriamente distribuidas en el
espacio o en el tiempo.
Estratificado: las muestras se agrupan en poblaciones
homogéneas, (capas, estratos)

14. Tipos de muestreo
Muestras se toman aleatoriamente dentro de un estrato. Un estrato
corresponde a una sección del tiempo o del espacio de tamaño
constante.
Muestreo sistemático
Muestras se toman en una malla regular, en intervalos regulares de
tiempo o de espacio.
Muestreo aleatorio
Muestras se toman en intervalos de tiempo o espacio variables y
distribuidos al azar.
Muestreo aleatorio
estratificado

15. Tamaño - masa de muestra
 Peso a distribuciones regulares de los minerales.
 Peso cuanto mayor cantidad de grano mineral tenga la
muestra.
 Peso cuanto mayor sea el grano de los minerales.
 Peso cuanto mayor sea la densidad de los minerales.
 Peso cuanto menor sea la ley del mineral

16. Métodos para determinar el
tamaño óptimo de una muestra
Método del Coeficiente de Variación
Método de Richards Czeczott
Método de Royle
Método de GY

17. Richard Czeczott
A: Peso de mineral de la partícula mas grande.
G: Ley en %
Q= K. d2
K : Constante que expresa la variabilidad del yacimiento o muestra de
estudio.
d: Tamaño de los mayores granos del mineral útil.
Royle
Q= 100 . A /
G

18. Gy
Gy: permite sacar el peso determinando el Error cometido
en el proceso. Fundamentalmente se usa para Tratamiento
de Reducción del peso de la muestra.

19. Introducción e importancia del
muestreo de minerales
Muestra es una parte o porción extraída de un conjunto por métodos que
permiten considerarla como representativa del mismo.
Muestreo es la acción de recoger muestras representativas de la calidad
o condiciones medias de un todo o la técnica empleada en esta
selección o la selección de una pequeña parte estadísticamente
determinada para inferir el valor de una o varias características del
conjunto.
Población o lote: es el conjunto completo de observaciones que
deseamos estudiar.

20. Muestreo
El muestreo estadístico es diferente del muestreo de
minerales:
En el muestreo estadístico, el lote o población está compuesto por
objetos de igual peso.
En el muestreo de minerales, el lote está compuesto de
objetos de diferentes pesos.

21. Etapas de un muestreo
En todo muestreo, debe estar bien establecido lo
siguiente:
1. Objetivo del muestreo.
2. Población a muestrear
3. Datos a recolectar
4. Manera de recolectar los datos
5. Grado de precisión deseado
6. Método de medida.

22. Etapas de un muestreo
En el caso de los minerales: el muestreo es equiprobable
cuando todos los fragmentos que constituyen el lote tienen la misma
probabilidad de ser elegidos para la constitución de la muestra.
Según Pierre Gy, creador de la teoría moderna del muestreo de
minerales, cuando la condición de equiprobabilidad no se cumple, se
tiene más bien un “espécimen” (un ejemplar) en vez de una
muestra.

23. Tipos de muestreo
Los principales tipos de muestreo son los siguientes
Muestreo aleatorio simple.
Consiste en la selección de n fragmentos ó unidades del lote ML de
modo que todas las muestras posibles de tamaño n tengan la
misma probabilidad de ser elegidas.
Ejemplo:
En una mina hay 100 cátodos de cobre (numerados) para análisis. Se
sortean (con una tabla de números aleatorios) 5 cátodos y se envían
para análisis al laboratorio .Se analiza Cu, O, S, Cl, Pb, Zn, Ni, Mn, Fe,
Ag, As, Sb, Se, Te, Bi, Sn, etc.

24. Etapas de un muestreo
Muestreo sistemático.
En este caso las extracciones de las muestras son determinadas
según una regla fija.
Ejemplos:
Tomar canaletas en una galería cada 2 metros.
En una cinta transportadora, tomar una muestra cada 10 minutos.

25. Etapas de un muestreo
Muestreo estratificado.
El lote ML se divide en partes o estratos que no se solapan entre
sí. Cada estrato es muestreado posteriormente según los
procedimientos anteriores.

26. Exactitud y precisión
En teoría del muestreo de minerales se utilizan las
nociones de exactitud y precisión.
En términos estadísticos estos conceptos corresponden
respectivamente a la media, la cual debe ser insesgada
(exactitud) y a la varianza del error, la cual debe ser pequeña
(precisión)

27. Exactitud y precisión
a) Exactitud sin precisión.
b) Precisión sin exactitud.
c) Exactitud y precisión.
d) Ninguno.

28. Cálculo del peso de la ML
Método del coeficiente de variación
Método de Richard Czeczott
Método de Demond-Harferdal
Ábacos de Pozharitski
Método de Royle
Método de Gy

29. Método de Richard Czeczott
• Q: cantidad de muestra en Kg.
Q = d2 . K
• d2 : diámetro de los granos mayores (mm).
• K : constante que depende del depósito

30. Peso de la muestra en función del
tamaño de grano mineral y de la
irregularidad del depósito

31. Número de Cuarteos
“n” debe ser por lo menos igual a la unidad
Q= 2 n . K . D 2
2 n = Q / K . D 2

32. θ2 =[ 1/p – 1/q ].f.g.l.m.d3 = [ 1/p – 1/q ].C.d3
• θ2 = Coeficiente de Variación de la muestra reducida.
• p = peso de la muestra reducida en gramos
• q = peso de la muestra inicial en gramos
• f = factor de forma (mide la desviación de la forma de las partículas respecto a un
cubo). Varía entre 1 y 0,1.
• g = factor de tamaño. Mide la distribución granulométrica de las partículas.
• Varía entre 0,1 (no tamizado) y 0,5 (tamizado).
• l = índice de liberación. Varía 0,05 homogéneo a 0,8 heterogéneo.
• m =índice mineralógico g/cm3
• d = Dimensión en cm de las mayores partículas
La fórmula de Gy

33. Determinación del coeficiente C
 m = es el que más afecta a C.
 f = varía entre 0,3 y 0,7. Con 0,5 se comete un error bajo
 g = varía entre 0,1 y 0,5. Se toma 0,25
 l = es adimensional, se calcula en función de “d” y del tamaño de
liberación práctica L:
d/L <10 l = 0,8
d/L >10 l = 0,8. (d / L) ½

34. Ε = 2S = 2 θ . X
 m se calcula:
m = (1-b )/ b .[ (1-b) .qv + b.qg ]
b = es la proporción en peso del mineral útil
qv = densidad real del mineral útil
qg = densidad real de la ganga
Coeficiente de Variación se calcula θ = S / X
Por lo tanto el error (ε) está ligado a la desviación típica con un nivel de
confianza del 95% (2S) .

35. Se desea muestrear nuevamente un Yacimiento de blenda (ZnS) en
carbonatos, cuyo tamaño mayor de partícula es 2 cm. El tamaño de
liberación de la blenda es 1mm. La ley en Zn es 5%. Cual es el tamaño de
la muestra para un error del 5% de la media, con una confianza del 95%.
Densidades de blenda 4 g/cm3 y carbonatos 2,5 g/cm3.
Al ser la muestra inicial demasiado grande 1/q es despreciable.
θ2 = f. g .l. m .d3/p
Ejemplo
Solución:

36. • f = 0,5
• g = 0,25
• l = 0,18
• d/L= 2/0,1 =20 > 10 l =0,8 . 20-1/2 = 0,18
• m= (1-b) / b .[ (1-b) .qv + b.qg ]
• Hay que calcular “b” = a partir del contenido teórico de Zn en la blenda
• m = (1-0,075) /0,075 .[ (1-0,075) .4 + 0,075. 2,5 ] = 48
• d = 2
Ejemplo

37. Hay que calcular θ2
• Si el E es del 5% para un nivel de confianza del 95% :
• E = 0,05 . X = 0,05 . 7,5 = 0,375% = 2 θ . X 0,05. x = 2 θ . x
• 0,05 = 2 θ θ = 0,025 θ2 = 6,2 . 10-4
• El peso de la muestra es:
• p = 0,5 .0,25 . 0,18 . 48 . 23 / 6,2 . 10-4 = 14 kg
Ejemplo

38. Muestreo en una
operación minera

39. Consideraciones prácticas
para el muestreo de minerales
Resulta difícil proporcionar recomendaciones prácticas generales
acerca del muestreo de minerales, debido a que esta operación se
realiza en todas las etapas de un Proyecto Minero y a que no existen
dos minas iguales entre sí.
El punto fundamental es siempre (para no tener sesgos) y
resultados reproducibles:
“Muestras representativas, es decir equiprobables y de varianza
pequeña”.

40. Muestreo
a) Sesgado, varianza grande
b) Insesgado, varianza pequeña
c) Insesgado, varianza grande
d) Sesgado, varianza pequeña

41. Muestreo
¿Cómo tomar una muestra de un balde, de una pala mecánica y de un
camión?

42. Muestreo
¿Cómo tomar una muestra de un lingote de oro para determinar su
pureza?

43. Muestreo
¿Cómo tomar una muestra de un cátodo de cobre?

44. Muestreo
Una vez tomada la muestra, por ejemplo de las rocas de exploración de la
figura, ya es demasiado tarde: no existe ningún test que garantice si la
muestra es buena o mala. La toma de la muestra debe ser planificada
previamente según el criterio de representatividad.

45. * Son buenas o son malas las muestras siguientes:
a) 1cc de sangre para medir glóbulos rojos.
b) 5cc de orina para medir glucosa.
c) Kennedy leía una cada 50 cartas de las 30,000 que llegaban
semanalmente a la Casa Blanca.
d) En 1936 la revista norteamericana The Literary Digest realizó una
encuesta entre sus suscriptores, recibiendo 2,400,000 respuestas. Predijo
la derrota de Roosevelt quién obtendría un 41% de los votos. Un
estadístico de apellido Gallup encuestó a 5,000 futuros votantes mediante
un muestreo que trataba de reproducir la equiprobabilidad predijo el triunfo
de Roosevelt por un 56%.
El día de la elección, Roosevelt obtuvo el 61% de los votos.
Explicar el fracaso de la encuesta del Literary Digest (revista que a los
pocos meses quebró).
¿Porqué?

46. El sesgo de las casas. Un muestreo estadístico no equiprobable consiste
en elegir una casa al azar y luego elegir al azar, una persona, entre los
miembros de la familia. Una persona de una familia poco numerosa tiene
más probabilidad de estar en la muestra que una persona de una familia
numerosa.
Sesgo

47. Muestreo
Se observará que el tamaño
de la partícula, caracterizado
por un diámetro nominal “d”
decrece al procesarlo.

48. La segregación
Se Las partículas de mineral tienden a segregarse, por ejemplo las más
pesadas tienen una tendencia a localizarse en el fondo. El caso
homogéneo es muy difícil de encontrar en la práctica (algunos autores
afirman que este caso es inexistente). Sin embargo, el fenómeno de
segregación es más complejo y depende además de las
granulometrías, formas y pesos de las partículas. Para ver lo anterior
haga el experimento siguiente: ponga en un recipiente transparente una
cierta cantidad de porotos y otra cantidad de azúcar: observar que es
imposible tener un conjunto homogéneo

49. La segregación

50. La segregación
Incrementos para constituir
una sola muestra,
disminuyendo el efecto de
segregación.

51. La segregación
Diseño correcto e incorrecto de rifles de un muestreador (jones). Estos
rifles deben de dejar pasar toda la muestra a través de su canales.

52. La segregación
En una cinta transportadora la geometría de la muestra debe ser un
rectángulo o un paralelogramo .

53. La segregación
Una submuestra no se
puede tomar en forma
superficial, sobre todo si
existe el fenómeno de
segregación.

54. Herramientas
Las espátulas, poruñas y palas tienen que tener un diseño recto, con
bordes laterales, para no perder material, evitar el problema de la
segregación y proporcionar muestras equiprobables.
En muchos laboratorios se utilizan aún diseños curvos (algunos
laboratorios de minas de oro).

55. Cuarteo manual

56. Cuarteador jones

57. Cuarteador jones

58. Ejercicios de cuarteo
¿Le parece bien el muestreo realizado?

59. Ejercicios de cuarteo
¿Está bien cargada la muestra en el muestreador?

60. ¿Cuál de estos dos diseños utilizaría en un muestreo?

61. Algunas recetas sobre
muestreo de minerales
La reducción debe ser verdadera. Para ello se debe utilizar: cuarteo,
rifle, divisores.
Siempre habrá que seguir las reglas siguientes:
a) Capacitar al personal involucrado en el muestreo (señalar la
importancia de disponer de una buena muestra).
b) Observar y verificar que la muestra es correcta.
c) Evitar el corte “manual”.
d) Fotografiar y/o filmar las operaciones y equipos de
muestreo en funcionamiento y revisar los resultados, cuidadosamente,
en forma posterior.
e) Respetar las reglas del cortador.
f) Evitar el uso del “roleo” y “cuarteo” manual. Es preferible uso de
riffle, o bien un divisor rotatorio.

62. Muestreo de flujos de
minerales en movimiento
Este muestreo se realiza una vez que el mineral ha salido de la mina. Se
utilizan “cortadores” de muestras, los cuales deben ser perpendiculares al
flujo

63. Reglas de los cortadores de
muestras
Los cortadores de muestras que se utilizan en plantas de tratamiento
de minerales, en el caso de flujo continuo, deben seguir las reglas siguientes,
para garantizar la equiprobabilidad:
a) Deben ser verticales.
b) Las caras deben ser perpendiculares al flujo.
c) Las caras cortadoras deben estar centradas con respecto al
flujo y perpendiculares al movimiento.
d) La velocidad, la cual también debe seguir ciertas reglas que no
explicitaremos aquí (en todo caso la experiencia indica que debe ser inferior a
0.6 m/s), debe ser uniforme.

64. ¿Porqué es malo este sistema de
muestreo?

65. Consideraciones en faja
transportadora
Torre de muestreo

66. Muestreo en pilas, no es
equiprobable

67. La formula de Pierre Gy
La formula de Pierre Gy proporciona, en el caso de material
quebrado, la varianza relativa del error fundamental del muestreo
(la varianza relativa corresponde a la varianza del error fundamental
dividida por la ley media del lote elevada al cuadrado, luego es una
varianza sin dimensión).
S2 = K d3 ( 1 / MS – 1 / ML )

68. La formula de Pierre Gy
ML = masa del lote en gramos
MS = masa de la muestra en gramos
d = diámetro máximo de partículas en cm. (en la práctica se utiliza el valor
d95 correspondiente al diámetro que verifica que el 95% de los diámetros son
menores que d95)
d también se llama diámetro nominal.
La constante K (en estricto rigor no es una constante) se mide en gr/cm3 y tiene
la expresión siguiente:
En que:
K = c*g*f*l
c = factor de composición mineralógica (gr/cm3)
g = factor de distribución de tamaño (sin dimensión)
f = factor de forma de las partículas (sin dimensión)
l = factor de liberación (0 < l < 1, sin dimensión )

69. La formula de Pierre Gy
Estudiaremos ahora, por separado, los factores c, g, f, l.
El factor de composición mineralógica c.
Tiene la expresión siguiente:
c = ((1 – aL) / aL )( (1 – aL)* g1 + aL*g2 )
valor aproximadamente igual a g1/aL si aL es pequeño.
aL = proporción en peso del componente crítico o con valor comercial
(mena)
g1 = peso específico del componente crítico (mena)
g2 = peso específico de la ganga

70. El factor de distribución de tamaño g.
Depende de d y de d’ . Se utiliza lo siguiente:
2 < d/d’ < 4 g = 0.50
1 < d/d’ < 2 g = 0.75
d/d’ = 1 g = 1.00
d/d’ > 4 g = 0.25
d’ es el diámetro de las partículas mínimas, medido en cm. (en la práctica se
utiliza d05).
El valor más utilizado es g = 0.25 que corresponde a una situación bastante
general (el diámetro de la partícula máxima es superior a 4 veces el diámetro de
la partícula mínima).
El factor de forma de las partículas.
Está definido por:
f = (volumen de la partícula) / d3
La formula de Pierre Gy

71. Si se supone que las partículas son aproximadamente esféricas, entonces f = 3.14159 /
6 = 0.52. Se recomienda entonces utilizar el factor:
f = 0.5
El factor de liberación l.
Sean: d = tamaño máximo de partícula
dl = tamaño de liberación del componente crítico
Se recomienda utilizar:
l = 1 si dl > d; l = ( dl / d )b si dl < d
Se recomienda utilizar b=1.2 para minerales de cobre y b=1.5 para el oro.
El factor de liberación constituye una de las debilidades de la Teoría debido a que no
representa bien el caso de leyes bajas (leyes medidas en ppm.).
La formula de Pierre Gy

72. Ejemplo: Puntos de extracción en mina explotada por el método
de block-caving. En la explotación subterránea de una mina
peruana, en la cual la mena es calcopirita. Por voladura se
extraen ML = 32,000 toneladas = 32,000,000,000 gramos, cada
día. Se muestrean, cada día, 50 puntos de extracción, tomando
5 kilos en cada punto.
Luego MS = 50 * 5000 = 250,000 gramos.
La formula de Pierre Gy

73. ML = 32 * 109
MS = 25 * 104
d95 = 15 cm
d’ = d05 = 0.021 cm
aL = porcentaje de la calcopirita en peso = 4% = 0.04
g1 = peso específico de la calcopirita = 4.2 gr/cm3
g2 = peso específico de la ganga = 2.8 gr/cm3
La formula de Pierre Gy

74. dl = tamaño de liberación de la calcopirita (50 micrones) = 0.005 cm
c = factor mineralógico =((1–aL)/aL)((1–aL)*g1+aL*g2) = 100
l = factor de liberación = (dl/d)*1.2 = 6.72*10-5
f = factor de forma = 0.5
g =factor de distribución de tamaño = 0.25 (d/d’=714>>4)
La formula de Pierre Gy
Al aplicar la fórmula se obtiene la varianza relativa:
S2 = c*g*f*l*d3 ( 1 / MS – 1 / ML ) = 1.128*10-5
2S = 0.007 = 0.7%
Con un 95% de confianza el error relativo es del 0.7% (bastante bueno)

75. Cantidad mínima de muestra
Método de muestreo ideado por Gy en 1979
Ecuación de Gy :
M = C x d3
S2
C = Constante de la Muestra
d = Tamaño máximo del Mineral
S = Medida del error
estadístico cometido por
muestreo
14.16 14.16 14.16
40.64 8.26 3.81
0.01 0.01 0.01
0.009 0.009 0.009
0.0074 0.0074 0.0074
0.015 0.033 0.049
0.21 0.21 0.21
3.9 3.9 3.9
3.41 3.41 3.41
0.5 0.5 0.5
0.25 0.25 0.25
0.015 0.033 0.049
5492 1116 515
0.03 0.06 0.09
M (Kg) = 17,735 330 48

76. PROTOCOLO DE
PREPARACIÓN DE MUESTRAS
MINERALES PARA PRUEBAS
METALÚRGICAS

77. Protocolo: Preparación de la muestra de
estudio
Muestra inicial: Q = 60 kg
di = 50 mm
Trituración
d1 = 8mm
Zaranda de control
Homogenizado y mezclado
1er cuarteo
2do cuarteo
Muestra: Q1 = 15 kg
di = 2.8
mm
30 kg
15 kg
Zaranda de control
Malla 7
Homogenizado y mezclado
3er cuarteo
4to cuarteo
7.5
kg
3.75 kg
...
...
...

78. 5to cuarteo
Muestra: Q1 = 1.8
kg
d2 = 1.4
mm
1.9 kg
Zaranda de control
Malla 12
Homogenizado y mezclado
6to cuarteo
7mo cuarteo
0.9 kg
0.45 kg
...
...
...
Muestra: Q1 = 0.45
kg
d3 = 0.15 a 0.1
mm
Zaranda de control
Homogenizado y mezclado
Muestra duplicada
0.22 kg
Muestra laboratorio
0.22 kg
Malla 100 o 150
Desecho
Preparación de muestra.
Simimov 1957 en Febrel, 1971
Protocolo: Preparación de la muestra de
estudio

79. Enfoque del muestreo
Procedimiento de muestreo.