2. DEFINICIÓN
Las identidades trigonométricas son relaciones de igualdad entre
funciones trigonométricas que se verifican para todo valor de la variable
angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en
dicho valor angular.
DEFINICIÓN
𝑡𝑔 𝛼 + cotg 𝛼 = sec 𝛼 ∙ cos𝑒𝑐 𝛼
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I.E. SANTA ROSA DE VITERBO
3. DEFINICIÓN
Es una identidad trigonométrica cuya variable angular es “𝛼”.
• Comprobamos para algunos valores de “𝛼”:
i. Si 𝛼 = 45°
𝑡𝑔 45° + cot𝑔 45° = sec 45° ∙ cos𝑒𝑐 45°
1 + 1 = 2 ∙ 2
2 = 2 (se verifica)
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4. DEFINICIÓN
• Luego, concluiremos que la identidad dada se verifica si y solo si
𝛼 ≠ 90° n; n ∈ ℤ
i. La igualdad: (x – 3) (x + 3) = 0, es cierta y solamente si,
cuando: ó
Este tipo de igualdad se denomina Ecuaciones Condicionales
ii. En cambio la igualdad: (x + 3) (x – 3) ≡ x2 – 9, se cumple
para todo valor de “x”.
Este tipo de igualdad se denomina Identidades
iii. Para indicar una identidad usaremos el símbolo “≡” que se
lee: idéntico a
iv. Recuerde que no existe la división entre cero porque toda
expresión matemática entre cero no existe (∄)
X = 3
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x= -3
5. IDENTIDADES FUNDAMENTALES
IDENTIDADES
Para obtener dichas identidades, hacemos uso de la circunferencia trigonométrica:
Identidades recíprocas
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• En el ⊿OMP: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑏
1
; 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛼 ∙ cos𝑒𝑐 𝛼 ≡ 1
Donde:
I. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ≡
1
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼
II. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 ≡
1
𝑠𝑒𝑛 𝛼
;
6. IDENTIDADES
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• En el ⊿OMP: 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑎
1
; 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
𝑎
𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ s𝑒𝑐 𝛼 ≡ 1
Donde:
I. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ≡
1
𝑠𝑒𝑐 𝛼
II. 𝑠𝑒𝑐 𝛼 ≡
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
;
• En el ⊿OMP: 𝑡𝑔 𝛼 =
𝑏
𝑎
; 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 =
𝑎
𝑏
𝑡𝑔 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ≡ 1
Donde:
I. 𝑡𝑔 𝛼 ≡
1
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼
II. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ≡
1
𝑇𝑔 𝛼
;
7. IDENTIDADES
Identidades por división
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• En el ⊿OMP: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑏
1
; 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼
≡ 𝑡𝑔 𝛼
Ahora, tomamos la inversa a cada miembro de esta última expresión,
obteniendo:
𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼
≡ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼
8. IDENTIDADES
Identidades pitagóricas
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• En el ⊿OMP por el teorema de Pitágoras: 1 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏
Dividimos entre "𝑐𝑜𝑠2 𝛼" a ambos miembros de la expresión:
1 ≡ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼
;
• Por razones trigonométricas en el ⊿OMP, obtenemos: 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑎
• Reemplazamos los valores de (ϕ) en (w):
𝑠𝑒𝑐2 𝛼 ≡ 𝑡𝑔2 𝛼 + 1
De igual manera, dividimos a ambos miembros de la expresión entre "𝑠𝑒𝑛2 𝛼" :
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝛼 ≡ 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝛼
9. RESUMEN
Identidades recíprocas
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RESUMEN DE LAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES
𝑠𝑒𝑛 𝛼 ∙ cos𝑒𝑐 𝛼 ≡ 1 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ s𝑒𝑐 𝛼 ≡ 1 𝑡𝑔 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ≡ 1
Identidades por división
𝑡𝑔 𝛼 ≡
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ≡
𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼
Identidades pitagóricas
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1 1 + 𝑡𝑔2 𝛼 ≡ 𝑠𝑒𝑐2 𝛼
10. IDENTIDADES AUXILIARES
IDENTIDADES AUXILIALES
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I. 𝑠𝑒𝑛4 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠4 𝛼 = 1 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 𝛼
II. 𝑠𝑒𝑛6 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠6 𝛼 = 1 − 3 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 𝛼
IV. 𝑠𝑒𝑐2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐2 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝛼
III. 𝑡𝑔 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼
V. (1 ± 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ± 𝑐𝑜𝑠 𝛼)2 = (1 ± 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(1 ± 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
11. EJERCICIOS
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TIPOS DE EJERCICIOS
Ejercicio tipo demostración
1. Demuestre: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥
Demostración:
• Expresamos el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno,
entonces:
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ∙
𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
= 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥
• Simplificando tenemos: 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥
L.q.q.d:
12. EJERCICIOS
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2. Demuestre: 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑡 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃
Demostración:
• Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno,
tenemos:
• Pero: 1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 = 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 ; luego:
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
= 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃
L.q.q.d:
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
−
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
−
𝑐𝑜𝑠2
𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
= 𝑠𝑒𝑛𝜃
1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
= 𝑠𝑒𝑛𝜃
13. EJERCICIOS
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Ejercicio tipo simplificación
1. Simplifica:
𝐸 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃
+
1
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃
Resolución:
• Operando la expresión dada:
𝐸 = 2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃
∴
𝐸 =
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃
(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃)(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃)
𝐸 =
2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝜃
