Identidades y ecuaciones

1. GIMNASIO CAMPESTRE
Unidad 3
• Identidades y ecuaciones trigonométricas

2. sen
cos
1

1 2
sen 
2
cos 
¿Se puede probar mediante
procedimientos algebraicos y
geométricos la veracidad de
igualdades trigonométricas
como 𝒔𝒆𝒏 𝟐
𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 = 𝟏?
La respuesta a este
interrogante es parte de lo
que nos ocupa en esta
unidad y se trata de
demostrar una identidad
trigonométrica
Situación problema 1

3. A menudo se presentan situaciones en la
vida en las que teniendo datos exactos de
los lados de un triángulo, se hace necesario
conocer el ángulo de inclinación respecto a
una línea de referencia, tal es el caso del
aterrizaje de los aviones. Se conoce la
altura y la distancia horizontal del sitio de
contacto de la nave con el suelo. ¿Qué
proceso se sigue para determinar el
ángulo?
Obviamente es necesario plantear una
ecuación trigonométrica en la que la
variable o expresión desconocida sea el
ángulo X.
x
Distancia horizontal
Altura
𝒕𝒂𝒏𝒙 =
𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍
𝒙 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏
(
𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍
)
Situación problema 2

4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen
funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que
están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).
Comprobar una identidad trigonométrica consiste en evaluar para algún o algunos
ángulos y verificar que la igualdad se cumple.
Demostrar una identidad trigonométrica consiste en obtener uno de los dos miembros
de la igualdad partiendo del otro, sin necesidad de reemplazar el valor del ángulo. Para
demostrar identidades usaremos unas identidades básicas que nos facilitaran el
procedimiento.

5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
2. Identidades recíprocas
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
1
𝑡𝑎𝑛𝜃
1. Identidades pitagóricas
𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 = 1
𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝜃
1 + 𝑐𝑜𝑡2
𝜃 = 𝑐𝑠𝑐2
𝜃
3. Identidades racionales
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥

6. REORGANIZACIÓN DE IDENTIDADES BÁSICAS
NO seno ni coseno en función
de senos y cosenos
1. 𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
2. 𝑐𝑠𝑐𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
3. 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
4. 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
Pitagóricas y sus derivadas
5. 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 1 6. 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
7. 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝜃
8. 𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝜃
9. 1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝜃 = 𝑐𝑠𝑐2 𝜃

7. Demostración de algunas identidades básicas
Considere el circulo unitario
(Radio = 1)
∆𝑂𝑃𝑆: 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑃𝑆
𝑂𝑃
=
𝑃𝑆
1
= 𝑃𝑆
∆𝑂𝑃𝑆: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑂𝑆
𝑂𝑃
=
𝑂𝑆
1
= 𝑂𝑆
𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 = 𝟏
Demostración:
En el ∆𝑂𝑃𝑆 Aplicamos Pitágoras
(𝑃𝑆)2
+(𝑂𝑆)2
= 𝑂𝑃2
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 1

8. Demostración de algunas identidades básicas
∆𝑂𝑄𝑇: 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑄𝑇
𝑂𝑇
=
𝑄𝑇
1
= 𝑄𝑇
∆𝑂𝑄𝑇: 𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑂𝑄
𝑂𝑇
=
𝑂𝑄
1
= 𝑂𝑄
𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝜽 + 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝜽
Demostración:
En el ∆𝑂𝑄𝑇
𝑄𝑇 2
+ 1 = (𝑂𝑄)2
→
𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2 𝜃

9. Demostración de algunas identidades básicas
∆𝑂𝑅𝑈: 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑈𝑅
𝑂𝑈
=
𝑈𝑅
1
= 𝑈𝑅
∆𝑂𝑅𝑈: 𝑐𝑠𝑐𝜃 =
𝑂𝑅
𝑂𝑈
=
𝑂𝑅
1
= 𝑂𝑅
𝟏 + 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝜽 = 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝜽
Demostración:
En el ∆𝑂RU
1 + 𝑈𝑅 2
= (𝑂𝑅)2
→
1 + 𝑐𝑜𝑡2
𝜃 = 𝑐𝑠𝑐2
𝜃

10. Demostración de algunas identidades básicas
∆𝑂𝑃𝑆: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑂𝑆
𝑂𝑃
=
𝑂𝑆
1
= 𝑂𝑆
𝒔𝒆𝒄𝜽 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝜽
Demostración:
En el ∆𝑂𝑃𝑆
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑂𝑃
𝑂𝑆
=
1
𝑐𝑜𝑠𝜃

11. Demostración de algunas identidades básicas
∆𝑂𝑃𝑆: 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑃𝑆
𝑂𝑃
=
𝑃𝑆
1
= 𝑃𝑆
𝒄𝒔𝒄𝜽 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝜽
Demostración:
En el ∆𝑂𝑃𝑆
csc𝜃 =
𝑂𝑃
𝑃𝑆
=
1
𝑠𝑒𝑛𝜃

12. Demostración de algunas identidades básicas
∆𝑂𝑄𝑇: 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑄𝑇
𝑂𝑇
=
𝑄𝑇
1
= 𝑄𝑇
𝒄𝒐𝒕𝜽 =
𝟏
𝒕𝒂𝒏𝜽
Demostración:
En el ∆𝑂𝑄T
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑂𝑇
𝑄𝑇
=
1
𝑡𝑎𝑛𝜃

13. Demostración de algunas identidades básicas
∆𝑂𝑃𝑆: 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑃𝑆
𝑂𝑃
=
𝑃𝑆
1
= 𝑃𝑆
∆𝑂𝑃𝑆: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑂𝑆
𝑂𝑃
=
𝑂𝑆
1
= 𝑂𝑆
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽
Demostración:
En el ∆𝑂𝑃𝑆
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑃𝑆
𝑂𝑆
=
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃

14. Demostración de algunas identidades básicas
∆𝑂𝑃𝑆: 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑃𝑆
𝑂𝑃
=
𝑃𝑆
1
= 𝑃𝑆
∆𝑂𝑃𝑆: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑂𝑆
𝑂𝑃
=
𝑂𝑆
1
= 𝑂𝑆
𝒄𝒐𝒕𝜽 =
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒕𝒂𝒏𝜽
Demostración:
En el ∆𝑂PS
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑂𝑆
𝑃𝑆
=
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃

15. Ejemplo 1:
Comprobar la identidad trigonométrica
𝑠𝑒𝑛𝛽
1+𝑐𝑜𝑠𝛽
+
1+𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽
= 2𝑐𝑠𝑐𝛽; usando los
valores de 𝛽 = 30°
Función
Ángulo
30° 45° 60°
Sen
1
2
2
2
3
2
Cos
3
2
2
2
1
2
Tan
3
3
1 3
Cot 3 1
3
3
Sec
2 3
3
2 2
Csc 2 2
2 3
3
Prueba
𝑠𝑒𝑛𝛽
1+𝑐𝑜𝑠𝛽
+
1+𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽
= 2𝑐𝑠𝑐𝛽
1
2
1+
3
2
+
1+
3
2
1
2
= 2(2)
1
2
2+ 3
2
+
2+ 3
2
1
2
= 4
2
2(2+ 3)
+
2(2+ 3)
2
= 4
1
(2+ 3)
+
(2+ 3)
1
= 4
1+(2+ 3)
2
(2+ 3)
= 4
1+4+4 3+3
(2+ 3)
= 4
8+4 3
(2+ 3)
= 4
4(2+ 3)
(2+ 3)
= 4
4= 4

16. Ejemplo 2: Demostrar la identidad
𝑡𝑎𝑛𝛽+𝑐𝑜𝑡𝛽
𝑠𝑒𝑐𝛽
= 𝑐𝑠𝑐𝛽 Demostración
𝑡𝑎𝑛𝛽+𝑐𝑜𝑡𝛽
𝑠𝑒𝑐𝛽
=
𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛽
+
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽
1
𝑐𝑜𝑠𝛽
=
𝑠𝑒𝑛2 𝛽+𝑐𝑜𝑠2 𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽
1
𝑐𝑜𝑠𝛽
=
1
𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽
1
𝑐𝑜𝑠𝛽
=
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽
=
1
𝑠𝑒𝑛𝛽
= 𝑐𝑠𝑐𝛽
Recomendaciones para demostrar
identidades
1. Partir del miembro más complejo
hacia el más simple (generalmente
las sumas y restas son más
complejas que los productos)
2. Utilice las identidades básicas para
hacer reemplazos
3. Realice las operaciones y procesos
algebraicos a medida que se
presenten como: operaciones con
fracciones, operaciones con
polinomios, productos notables
factorizaciónes, simplificaciones,
etc.
4. No perder de vista el miembro a
donde se quiere llegar

17. Ejercicios
1. Comprobar las identidades
trigonométrica usando los valores de
𝛽 = 30°, 𝛽 = 30°, 𝛽 = 30°
(Use los valores de la tabla)
1. 𝑡𝑎𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛𝛽
2. 𝑠𝑒𝑐2
𝛽 + 𝑐𝑠𝑐2
𝛽 = 𝑠𝑒𝑐2
𝛽. 𝑐𝑠𝑐2
𝛽
3.
𝑠𝑒𝑐𝛽
𝑡𝑎𝑛𝛽+𝑐𝑜𝑡𝛽
= 𝑠𝑒𝑛𝛽
4.
𝑡𝑎𝑛𝛽−𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑠𝑒𝑛3 𝛽
=
𝑠𝑒𝑐𝛽
1+𝑐𝑜𝑠𝛽
5. 𝑡𝑎𝑛𝛽 + 𝑐𝑜𝑡𝛽 =
1
𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽
Función
Ángulo
30° 45° 60°
Sen
1
2
2
2
3
2
Cos
3
2
2
2
1
2
Tan
3
3
1 3
Cot 3 1
3
3
Sec
2 3
3
2 2
Csc 2 2
2 3
3
Taller de Ejercicios 1.

18. 2. Demostrar la identidad
1. 𝑡𝑎𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛𝛽
2. 𝑠𝑒𝑐2 𝛽 + 𝑐𝑠𝑐2 𝛽 = 𝑠𝑒𝑐2 𝛽. 𝑐𝑠𝑐2 𝛽
3.
𝑠𝑒𝑐𝛽
𝑡𝑎𝑛𝛽+𝑐𝑜𝑡𝛽
= 𝑠𝑒𝑛𝛽
4.
𝑡𝑎𝑛𝛽−𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑠𝑒𝑛3 𝛽
=
𝑠𝑒𝑐𝛽
1+𝑐𝑜𝑠𝛽
5. 𝑡𝑎𝑛𝛽 + 𝑐𝑜𝑡𝛽 =
1
𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽
6.
1−𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛽
=
𝑐𝑜𝑠𝛽
1+𝑠𝑒𝑛𝛽
7.
1
𝑠𝑒𝑐𝛽−𝑡𝑎𝑛𝛽
= 𝑠𝑒𝑐𝛽 + 𝑡𝑎𝑛𝛽
8.
𝑐𝑜𝑡2 𝛽
𝑐𝑠𝑐𝛽−1
= 𝑐𝑠𝑐𝛽 +1
9.
𝑐𝑠𝑐𝛽
𝑡𝑎𝑛𝛽+𝑐𝑜𝑡𝛽
= 𝑐𝑜𝑠𝛽
10.
1
1+𝑠𝑒𝑛𝛽
+
1
1−𝑠𝑒𝑛𝛽
= 2𝑠𝑒𝑐2 𝛽
11.
1−𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽
=
𝑠𝑒𝑛𝛽
1+𝑐𝑜𝑠𝛽
12.
1
𝑐𝑠𝑐𝛽−𝑐𝑜𝑡𝛽
= 𝑐𝑠𝑐𝛽 +
1
𝑡𝑎𝑛𝛽
13. 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝛽 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝛽 = 1
14. 𝑡𝑎𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛𝛽
15. 𝑠𝑒𝑐𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 =
1
𝑐𝑜𝑠𝛽
+
1
𝑠𝑒𝑐2 𝛽
16. 𝑐𝑠𝑐2
𝛽 +
1
𝑐𝑜𝑠𝛽𝑠𝑒𝑛𝛽
= 2𝑠𝑒𝑐2
𝛽
17. 𝑡𝑎𝑛𝛽𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑠𝑒𝑛2
𝛽𝑠𝑒𝑐𝛽
18.
𝑡𝑎𝑛𝛽+𝑐𝑜𝑡𝛽
𝑐𝑠𝑐𝛽
= 𝑠𝑒𝑐𝛽
19.
𝑡𝑎𝑛𝛽+𝑐𝑜𝑡𝛽
𝑠𝑒𝑐𝛽
= 𝑐𝑠𝑐𝛽
20.
𝑠𝑒𝑐𝛽−𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑡𝑎𝑛𝛽
= 𝑠𝑒𝑛𝛽

19. 1. Seno del ángulo suma
𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑘 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝑘 + 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃
2. Seno del ángulo resta
𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑘 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝑘 − 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃
3. Coseno del ángulo suma
𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑘 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝑘 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝑘
4. Coseno del ángulo resta
𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑘 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝑘 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝑘
5. Tangente del ángulo suma
𝑡𝑎𝑛 𝜃 + 𝑘 =
𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑡𝑎𝑛𝑘
1−𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛𝑘
6. Tangente del ángulo resta
𝑡𝑎𝑛 𝜃 − 𝑘 =
𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑡𝑎𝑛𝑘
1+𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛𝑘
NOTA: la demostración de estas identidades se dejan como consulta
para el lector
Identidades trigonométricas para suma y resta de ángulos

20. Seno del ángulo doble
𝑠𝑒𝑛 2𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
Demostración
𝑠𝑒𝑛(2𝜃) = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝜃
= 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
= 2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
Identidades trigonométricas para ángulos dobles
Tangente del ángulo doble
𝑡𝑎𝑛 2𝜃 =
2𝑡𝑎𝑛𝜃
1−𝑡𝑎𝑛2 𝜃
Demostración
𝑡𝑎𝑛 2𝜃 = 𝑡𝑎𝑛(𝜃 + 𝜃)
=
𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑡𝑎𝑛𝜃
1−𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃
=
2𝑡𝑎𝑛𝜃
1−𝑡𝑎𝑛2 𝜃
Coseno del ángulo doble
𝑐𝑜𝑠 2𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
Demostración
𝑐𝑜𝑠(2𝜃) = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝜃
= 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
= 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

21. Para resolver los ejercicios de este taller tenga en cuenta:
Taller de ejercicios 2.
• Las fórmulas de las identidades
trigonométricas para la suma y
la resta de ángulos
• Las fórmulas de las identidades
trigonométricas para ángulos
dobles
• Las identidades trigonométricas
básicas
• Los valores contenidos en la
siguiente tabla.
Función
Ángulo en grados
30° 45° 60° 0° 90° 180°
Ángulo en radianes
𝝅
𝟔
𝝅
𝟒
𝝅
𝟑
𝟎
𝝅
𝟐
𝝅
Sen
1
2
2
2
3
2
0 1 0
Cos
3
2
2
2
1
2
1 0 −1
Tan
3
3
1 3 0 ∞ 0
Cot 3 1
3
3
∞ 0 ∞
Sec
2 3
3
2 2 1 ∞ −1
Csc 2 2
2 3
3
∞ 1 ∞

22. 1. Usando los valores de las razones
trigonométricas para los ángulos
de 30°, 45° y 60° y las fórmulas de
identidades para la suma y resta
de ángulos, determine los valores
de cada una de las razones
trigonométricas para el ángulo de
A. 15°
B. 75°
C. 105°
2. Encuentre una expresión para
A. 𝑠𝑒𝑛 −𝑥
B. 𝑐𝑜𝑠 −𝑥
C. 𝑡𝑎𝑛 −𝑥
D. 𝑐𝑜𝑡 −𝑥
E. 𝑠𝑒𝑐 −𝑥
F. 𝑐𝑠𝑐 −𝑥
Taller de ejercicios 2.
3. Encuentre una expresión para
A. 𝑠𝑒𝑛 𝜋 + 𝑥
B. 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑥
C. 𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 𝑥
D. 𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝑥
E. 𝑡𝑎𝑛 𝜋 + 𝑥
F. 𝑡𝑎𝑛 𝜋 − 𝑥
G. 𝑠𝑒𝑐 𝜋 + 𝑥
H. 𝑠𝑒𝑐 𝜋 − 𝑥
I. 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
+ 𝑥
J. 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
− 𝑥
K. 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
+ 𝑥
L. 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
− 𝑥
M. 𝑐𝑜𝑡
𝜋
2
+ 𝑥
N. 𝑐𝑜𝑡
𝜋
2
+ 𝑥
O. 𝑐𝑠𝑐
𝜋
2
+ 𝑥
P. 𝑐𝑠𝑐
𝜋
2
− 𝑥

23. 4. Demostrar
A. cos 2𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠2
𝜃 − 1
1 − 2𝑠𝑒𝑛2
𝜃
B. 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 − 4𝑠𝑒𝑛3
𝜃
C. 𝑐𝑜𝑠 3𝜃 = 4𝑐𝑜𝑠3 𝜃 − 3𝑐𝑜𝑠𝜃
D. 𝑡𝑎𝑛 3𝜃 =
3𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑡𝑎𝑛3 𝜃
1−3𝑡𝑎𝑛2 𝜃
E.
𝑠𝑒𝑛2𝜃
1+𝑐𝑜𝑠2𝜃
= 𝑡𝑎𝑛𝜃
F.
2
𝑐𝑜𝑡𝜃+𝑡𝑎𝑛𝜃
= 𝑠𝑒𝑛2𝜃
G.
𝑐𝑜𝑠2𝜃
1−𝑠𝑒𝑛2𝜃
=
1+𝑡𝑎𝑛𝜃
1−𝑡𝑎𝑛𝜃
H.
𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑒𝑛2𝜃
+
𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑠𝑒𝑛2𝜃
= 2𝑡𝑎𝑛2𝜃
Taller de ejercicios 2.

24. Seno del ángulo medio
𝑠𝑒𝑛
𝜃
2
= ±
1−𝑐𝑜𝑠𝜃
2
Demostración
De las identidades:
𝑠𝑒𝑛2
𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛽 = 1
𝑐𝑜𝑠2 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛽
; si hacemos 𝛽 =
𝜃
2
𝑠𝑒𝑛2
(
𝜃
2
) + 𝑐𝑜𝑠2
(
𝜃
2
) = 1
𝑐𝑜𝑠2
(
𝜃
2
) − 𝑠𝑒𝑛2
(
𝜃
2
) = 𝑐𝑜𝑠 𝜃
; 𝑠𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2
− 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
2
+ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
2
+ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2
= 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
2𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2
= 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2
=
1−𝑐𝑜𝑠𝜃
2
𝑠𝑒𝑛
𝜃
2
= ±
1−𝑐𝑜𝑠𝜃
2
Identidades trigonométricas para ángulos medios

25. Seno del ángulo medio
𝑐𝑜𝑠
𝜃
2
= ±
1+𝑐𝑜𝑠𝜃
2
Demostración
De las identidades:
𝑠𝑒𝑛2
𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛽 = 1
𝑐𝑜𝑠2 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛽
; si hacemos 𝛽 =
𝜃
2
𝑠𝑒𝑛2
(
𝜃
2
) + 𝑐𝑜𝑠2
(
𝜃
2
) = 1
𝑐𝑜𝑠2
(
𝜃
2
) − 𝑠𝑒𝑛2
(
𝜃
2
) = 𝑐𝑜𝑠 𝜃
; 𝑠𝑖 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2
+ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
2
+ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
2
− 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2
= 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
2𝑐𝑜𝑠2 𝜃
2
= 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
2
=
1+𝑐𝑜𝑠𝜃
2
𝑐𝑜𝑠
𝜃
2
= ±
1+𝑐𝑜𝑠𝜃
2
Identidades trigonométricas para ángulos medios

26. Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la
siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la
otra.
Relación entre las razones trigonométricas
Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

27. 1. Demostrar
𝑡𝑎𝑛
𝜃
2
= ±
1−𝑐𝑜𝑠𝜃
1+𝑐𝑜𝑠𝜃
2. Usando las fórmulas de las trigonométricas para el ángulo medio, y demás
identidades básicas, calcular:
A. Sen22.5°
B. Cos22.2°
C. Tan22.5°
D. Cot22.5°
E. Sec22.5°
F. Csc22.5°
Taller de ejercicios 3.

28. Ángulo de referencia
Si 𝜽 es un ángulo cualquiera
en posición normal cuyo
lado terminal está en
cualquiera de los cuatro
cuadrantes , el ángulo de
referencia del ángulo 𝜽 es un
ángulo agudo 𝜶 formado por
el lado terminal de 𝜽 y el eje
horizontal más cercano.
Ecuaciones trigonométricas
Es necesario precisar algunos conceptos previamente

29. Ecuaciones trigonométricas
Primer cuadrante
𝜽 = 𝜶
Si 𝜶 es un ángulo de referencia, para encontrar el ángulo 𝜽 correspondiente en
cualquiera de los cuatro cuadrantes se recurre a las siguientes ecuaciones

30. Si 𝜶 es un ángulo de referencia, para encontrar el ángulo 𝜽 correspondiente en
cualquiera de los cuatro cuadrantes se recurre a las siguientes ecuaciones
Ecuaciones trigonométricas
Segundo cuadrante
𝜽 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝜶

31. Si 𝜶 es un ángulo de referencia, para encontrar el ángulo 𝜽 correspondiente en
cualquiera de los cuatro cuadrantes se recurre a las siguientes ecuaciones
Ecuaciones trigonométricas
Tercer cuadrante
𝜽 = 𝟏𝟖𝟎° + 𝜶

32. Si 𝜶 es un ángulo de referencia, para encontrar el ángulo 𝜽 correspondiente en
cualquiera de los cuatro cuadrantes se recurre a las siguientes ecuaciones
Ecuaciones trigonométricas
Cuarto cuadrante
𝜽 = 𝟑𝟔𝟎° − 𝜶

33. Si 𝜽 es un ángulo de cualquier cuadrante, el signo para las funciones
trigonométricas se resume con la siguiente regla
Signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante
+
Positivas todas
+
Sen y Csc
+
Tan y Cot
+
Cos y Sec
Las otras cuatro funciones
que no se relacionan en cada
cuadrante se consideran de
signo negativo (-)

34. Una ecuación trigonométrica es una igualdad en la que aparecen una o más
funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el
ángulo común de las funciones trigonométricas que intervienen
Resolver una ecuación trigonométrica: es encontrar el valor o los valores de los
ángulos que satisfacen la igualdad.
Recomendaciones para resolver ecuaciones
1. Si hay más de una función se deben expresar en una sola, para ello debe hacer
uso de las identidades básicas.
2. Calcule primero él ángulo de referencia que corresponde al primer cuadrante y
luego encuentre el ángulo correspondiente al cuadrante o los cuadrantes en que
la función tiene el signo relacionado.
3. En ocasiones se introducen las llamadas RAÍCES EXTRAÑAS que son
“soluciones” que no satisfacen la igualdad. Es necesario probar las soluciones y
las que no satisfagan la ecuación se deben descartar como soluciones
Ecuación trigonométrica

35. Ejemplo 1.
Resolver la ecuación trigonométrica 𝟑𝒕𝒂𝒏𝒙 − 𝟑 = 𝟎
Solución
𝟑𝒕𝒂𝒏𝒙 − 𝟑 = 𝟎
𝟑𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝟑
𝒕𝒂𝒏𝒙 =
𝟑
𝟑
El ángulo de referencia es
𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1(
𝟑
𝟑
)
𝛼 = 30°
Nota: la función tangente es + en el I y III cuadrante
𝛼 = 30° →
𝐼: 𝑥 = 𝛼 = 30°
𝐼𝐼𝐼: 𝑥 = 180° + 𝛼 = 180° + 30° = 210°
𝑆 = {30°, 210°}
Ejemplos resueltos de ecuaciones trigonométricas

36. Ejemplo 2 .
Resolver la ecuación trigonométrica 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟐 = 𝟎
Solución
𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟐 = 𝟎
𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 = − 𝟐
𝒔𝒆𝒏𝒙 = −
𝟐
𝟐
El ángulo de referencia es:
𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1
(
𝟐
𝟐
) (el valor del senx se toma + para reducirlo al I cuadrante)
𝛼 = 45°
Nota: la función seno es (−)en el III y IV cuadrante
𝛼 = 45° →
𝐼𝐼𝐼: 𝑥 = 180° + 𝛼 = 180° + 45° = 225°
𝐼𝑉: 𝑥 = 360° − 𝛼 = 360 − 45° = 315°
𝑆 = {225°, 315°}

37. Ejemplo 3 .
Resolver la ecuación trigonométrica 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟐
𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟏
Solución
𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟏
𝟐(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙) + 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟏
𝟐 −𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟏
𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟐 + 𝟏 = 𝟎
𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟏 = 𝟎
𝒄𝒐𝒔𝒙 =
𝟏± (−𝟏) 𝟐−𝟒(𝟐)(−𝟏)
𝟐(𝟐)
𝒄𝒐𝒔𝒙 =
𝟏± 𝟏+𝟖
𝟒
𝒄𝒐𝒔𝒙 =
𝟏±𝟑
𝟒
→
𝒄𝒐𝒔𝒙 =
𝟒
𝟒
= 𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒙 = −
𝟐
𝟒
= −
𝟏
𝟐
El ángulo de referencia es
a) 𝛼1 = 𝑐𝑜𝑠−1
𝟏 = 0°
Nota: la función coseno es (+)en el I y IV cuadrante
𝛼1 = 0° →
𝐼: 𝑥 = 𝛼1 = 0°
𝐼𝑉: 𝑥 = 360° − 𝛼1 = 360 − 0° = 360°
b) 𝜶 𝟐 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 𝟏
𝟐
= 𝟔𝟎°
Nota: la función coseno es (−)en el II y III cuadrante
𝛼2 = 60° →
𝐼𝐼: 𝑥 = 180° − 𝛼2 = 180° − 60° = 120°
𝐼𝐼𝐼: 𝑥 = 180° + 𝛼2 = 180° + 60° = 240°
𝑆 = {0°, 120°, 240°, 360°}

38. Resolver las ecuaciones trigonométricas si 𝟎° ≤ 𝒙 ≤ 𝟑𝟔𝟎°
1. 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3 = 0
2. 3𝑡𝑎𝑛𝑥 − 4 = −1
3. 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0
4. 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 3 = 0
5. 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0
6. 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 = 0
7. 2𝑡𝑎𝑛2
𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 + 1 = −1
8. 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 0
9. 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 +
1
2
= 0
10. 𝑠𝑒𝑛𝑥 2 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = cos(2𝑥)
Taller de ejercicios 4.