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Presentación de matemáticas 3, ecuaciones
- 1. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior No Homogénea Método de Variación de Parámetros “Wronskiano” DR. RICARDO JESÚS VILLARREAL LOZANO.
- 2. Método de Variación de Parámetros “Wronskiano” Considerando que la Ecuacion de orden superior debe de estar en la manera estándar 𝑦′′ + 𝑃 𝑥 𝑦′ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) para que el coeficiente de y’’ sea 1. Se determina el 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 + ⋯+ 𝐶𝑛𝑦𝑛 (de la misma manera ya establecida, como si fuera una ED Homogénea). El 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 + ⋯ + 𝑢𝑛𝑦𝑛, en donde 𝑢1 𝑦 𝑢2… se calculan: 𝑊 = 𝑦1 𝑦2 … . . 𝑦𝑛 𝑦′1 . . . 𝑦′2 … . . . . 𝑦′𝑛 . . . 𝑦(𝑛−1) 1 𝑦(𝑛−1) 2 … . 𝑦(𝑛−1) 𝑛
- 3. 𝑊1 = 0 𝑦2 … . . 𝑦𝑛 0 . . . 𝑦′2 … . . . . 𝑦′𝑛 . . . 𝑔(𝑥) 𝑦(𝑛−1) 2 … . 𝑦(𝑛−1) 𝑛 𝑢′ 1 = 𝑊1 𝑊 , 𝑢1 = 𝑢′ 1 𝑊2 = 𝑦1 0 … . . 𝑦𝑛 𝑦′1 . . . 0 … . . . . 𝑦′𝑛 . . . 𝑦(𝑛−1) 1 𝑔(𝑥) … . 𝑦(𝑛−1) 𝑛 𝑢′ 2 = 𝑊2 𝑊 , 𝑢2 = 𝑢′ 2 Todos los problemas de Ecuaciones Diferenciales de orden superior se pueden resolver por variación de parámetros Pero se aconseja para las funciones donde las derivadas del 𝑦𝑝da un numero infinito de términos, por ejemplo: Logaritmos Naturales, Secantes, Cosecantes, etc…
- 4. 𝑊 = 𝑦1 𝑦2 𝑦′1 𝑦′2 𝑊1 = 0 𝑦2 𝑔(𝑥) 𝑦′2 𝑢′ 1 = 𝑊1 𝑊 = − 𝑦2𝑓(𝑥) 𝑊 , 𝑢1 = 𝑢′ 1 𝑊2 = 𝑦1 0 𝑦′ 1 𝑔(𝑥) 𝑢′ 2 = 𝑊2 𝑊 = 𝑦1𝑓(𝑥) 𝑊 , 𝑢2 = 𝑢′ 2 Método de Variación de Parámetros “Wronskiano” si 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 y 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2, entonces
- 5. Ejemplo # 1 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = (𝑥 + 1)𝑒2𝑥 Solución: Utilizando la ecuación auxiliar 𝒎𝟐 − 𝟒𝒎 + 𝟒 = 𝒎 − 𝟐 𝟐 = 𝟎 se obtiene que 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒2𝑥 . Identificando 𝑦1 = 𝑒2𝑥 y 𝑦2 = 𝑥𝑒2𝑥 , obtenemos el Wronskiano (la primera fila se saca con los valores de 𝑦1 y 𝑦2, la segunda fila con la derivadas de esas funciones, es decir 𝑦′1 y 𝑦′2 W 𝑒2𝑥 , 𝑥𝑒2𝑥 = 𝑒2𝑥 𝑥𝑒2𝑥 2𝑒2𝑥 2𝑥𝑒2𝑥 + 𝑒2𝑥 = 2𝑥𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 + 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 − 2𝑥𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 Se resuelve como cualquier determinante de 2 x 2 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑊 = 2𝑥𝑒4𝑥 + 𝑒4𝑥 − 2𝑥𝑒4𝑥 𝑊 = 𝑒4𝑥
- 6. Considerando que la ecuación diferencial dada, ya esta con un coeficiente de 1 en la y’’ Identificamos 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒2𝑥 En el Wronskiano (1) sustituimos la primer columna con ceros y con la f(x) en la ultima fila 𝑊1 = 0 𝑥𝑒2𝑥 (𝑥 + 1)𝑒2𝑥 2𝑥𝑒2𝑥 + 𝑒2𝑥 = −(𝑥 + 1)𝑥𝑒4𝑥 𝑢′ 1 = 𝑊1 𝑊 = − 𝑥+1 𝑥𝑒4𝑥 𝑥𝑒4𝑥 = −𝑥2 − 𝑥 𝑢1 = 𝑢′ 1 = −𝑥2 − 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥3 3 − 𝑥2 2 ¿Por qué no se pone la Constante de integración? Ver la Nota al final del problema
- 7. En el Wronskiano (2) sustituimos la segunda columna con ceros y con la f(x) en la ultima fila 𝑊2 = 𝑒2𝑥 0 2𝑒2𝑥 (𝑥 + 1)𝑒2𝑥 = (𝑥 + 1)𝑒4𝑥 𝑢′ 2 = 𝑊2 𝑊 = 𝑥+1 𝑒4𝑥 𝑥𝑒4𝑥 = 𝑥 + 1 𝑢2 = 𝑢′ 2 = 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥2 2 + 𝑥 ¿Por qué no se pone la Constante de integración? Ver la Nota al final del problema
- 8. Solución General 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 + 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒2𝑥 + − 𝑥3 3 − 𝑥2 2 𝑒2𝑥 + 𝑥2 2 + 𝑥 𝑥𝑒2𝑥 𝑦 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒2𝑥 + 1 6 𝑥3 𝑒2𝑥 + 1 2 𝑥2 𝑒2𝑥
- 9. NOTA: CONSTANTES DE INTEGRACIÓN Cuando se calculan las integrales indefinidas de 𝑢′1 𝑦 𝑢′2 , no es necesario introducir algunas contantes, porque: 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 + 𝑢1 + 𝑎1 𝑦1 + 𝑢2 + 𝑏1 𝑦2 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑐1 + 𝑎1 𝑦1 + 𝑐2 + 𝑏1 𝑦2 + 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 + 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2
- 10. Ejemplo # 2 4𝑦′′ + 36𝑦 = 𝐶𝑠𝑐(3𝑥) Solución: Primero se divide toda la ecuación entre 4 para que quede de la forma estándar 𝑦′′ + 9𝑦 = 1 4 𝐶𝑠𝑐(3𝑥) Utilizando la ecuación auxiliar 𝒎𝟐 + 𝟗 = 𝟎 se obtiene que 𝑚1 = 3𝑖 𝑦 𝑚2 = −3𝑖 la función complementaria es 𝑦𝑐 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠(3𝑥) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛(3𝑥). Identificando 𝑦1 = 𝐶𝑜𝑠 (3𝑥) y 𝑦2 = 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 = 1 4 𝐶𝑠𝑐(3𝑥) W(𝐶𝑜𝑠 3𝑥 ,𝑆𝑒𝑛 3𝑥 ) = 𝐶𝑜𝑠 (3𝑥) 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) −3𝑆𝑒𝑛(3𝑥) 3𝐶𝑜𝑠(3𝑥) 𝑊 = 3 𝐶𝑜𝑠2 (3𝑥) − (−3) 𝑆𝑒𝑛2 3𝑥 = 3(𝐶𝑜𝑠2 3𝑥 + 𝑆𝑒𝑛2 3𝑥 ) 𝑊 = 3
- 11. Identificamos 𝑓(𝑥) = 1 4 𝐶𝑠𝑐(3𝑥) En el Wronskiano (1) sustituimos la primer columna con ceros y con la f(x) en la ultima fila 𝑊1 = 0 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) 1 4 𝐶𝑠𝑐(3𝑥) 3𝐶𝑜𝑠(3𝑥) = 0 − 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) 1 4 𝐶𝑠𝑐(3𝑥) − 1 4 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 = − 1 4 𝑢′ 1 = 𝑊1 𝑊 = − − 1 4 3 = − 1 12 𝑢1 = 𝑢′ 1 = − 1 12 𝑑𝑥 = − 1 12 𝑥
- 12. En el Wronskiano (2) sustituimos la segunda columna con ceros y con la f(x) en la ultima fila 𝑊2 = 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) 0 −3𝑆𝑒𝑛(3𝑥) 1 4 𝐶𝑠𝑐(3𝑥) = 1 4 𝐶𝑠𝑐 3𝑥 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 − 0 = 1 4 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) 𝑢′ 2 = 𝑊1 𝑊 = 1 4 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) 3 = 1 12 𝐶𝑜𝑡(3𝑥) 𝑢2 = 𝑢′ 2 = 1 12 𝐶𝑜𝑡(3𝑥) 𝑑𝑥 = 1 36 𝐿𝑛 𝑆𝑒𝑛(3𝑥)
- 13. 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 + 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠(3𝑥) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛(3𝑥) + − 1 12 𝑥 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) + 1 36 𝐿𝑛 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠(3𝑥) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛(3𝑥) − 1 12 𝑥𝐶𝑜𝑠(3𝑥) + 1 36 𝑆𝑒𝑛(3𝑥)𝐿𝑛 𝑆𝑒𝑛 3𝑥 Solución General
- 14. Ejemplo # 3 𝑦′′ − 𝑦 = 1 𝑥 Solución: Utilizando la ecuación auxiliar 𝒎𝟐 − 𝟏 = 𝟎 produce que 𝑚1 = −1 𝑦 𝑚2 = 1 por lo tanto se obtiene que 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒−𝑥 . Identificando 𝑦1 = 𝑒𝑥 y 𝑦2 = 𝑒−𝑥 W 𝑒𝑥 ,𝑒−𝑥 = 𝑒𝑥 𝑒−𝑥 𝑒𝑥 −𝑒−𝑥 𝑊 = −𝑒0 − 𝑒0 = −1 − 1 𝑊 = −2
- 15. Identificamos 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 En el Wronskiano (1) sustituimos la primer columna con ceros y con la f(x) en la ultima fila 𝑊1 = 0 𝑒−𝑥 1 𝑥 −𝑒−𝑥 = − 𝑒−𝑥 𝑥 𝑢′ 1 = 𝑊1 𝑊 = −𝑒−𝑥 𝑥 −2 = 𝑒−𝑥 2𝑥 𝑢1 = 𝑢′ 1 = 𝑒−𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥0 𝑥 𝑒−𝑡 𝑡 𝑑𝑡 Debido a que la integral resultante no tiene una antiderivada, nos vemos obligados a reescribirla de esta manera
- 16. Identificamos 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 En el Wronskiano (2) sustituimos la segunda columna con ceros y con la f(x) en la ultima fila 𝑊2 = 𝑒𝑥 0 𝑒𝑥 1 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑥 𝑢′ 2 = 𝑊1 𝑊 = 𝑒𝑥 𝑥 −2 = − 𝑒𝑥 2𝑥 𝑢2 = 𝑢′ 2 = − 𝑒𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑥0 𝑥 𝑒𝑡 𝑡 𝑑𝑡 Debido a que la integral resultante no tiene una antiderivada, nos vemos obligados a reescribirla de esta manera
- 17. 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 + 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 𝑦 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒−𝑥 + 1 2 𝑥0 𝑥 𝑒−𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑥 + − 1 2 𝑥0 𝑥 𝑒𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑒−𝑥 𝑦 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒−𝑥 + 1 2 𝑒𝑥 𝑥0 𝑥 𝑒−𝑡 𝑡 𝑑𝑡 − 1 2 𝑒−𝑥 𝑥0 𝑥 𝑒𝑡 𝑡 𝑑𝑡 Solución General
- 18. Ejercicios Propuestos 1) 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑆𝑒𝑐 𝑥 2) 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 3) 𝑦′′ + 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠2 𝑥 4) 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑇𝑎𝑛 𝑥 5) 𝑦′′ − 4𝑦 = 𝑒2𝑥 𝑥 6) 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 1 1+𝑒𝑥
- 19. Solución a los Ejercicios Propuestos 1) 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥𝐿𝑛 𝐶𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑆𝑒𝑛𝑥 2) 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 2 𝑥𝐶𝑜𝑠𝑥 3) 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 3 + 1 3 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 ó 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 2 + 1 6 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 4) 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2𝑆𝑒𝑛𝑥 − 𝐶𝑜𝑠𝑥𝐿𝑛 𝑆𝑒𝑐𝑥 + 𝑇𝑎𝑛𝑥 5) 𝑦 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒−2𝑥 + 1 4 𝑒2𝑥 𝐿𝑛 𝑥 − 𝑒−2𝑥 𝑥0 𝑥 𝑒4𝑡 𝑡 𝑑𝑡 , 𝑥0 > 0 6) 𝑦 = 𝐶1𝑒−𝑥 + 𝐶2𝑒−2𝑥 + 𝑒−𝑥 𝐿𝑛 1 + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥 𝐿𝑛 1 + 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
- 20. Video de variación de parámetros Fuente: Libro Hacia el aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales
- 21. Actividad Fundamental # 6 Para resolver la Actividad Fundamental #6 es necesario también haber estudiado el tema de Coeficientes indeterminados ACTIVIDAD # 6 FECHA DE ENTREGA: __ 24 de Mayo de 2020 ___ PLATAFORMA:WEBASSIGN
- 22. Libro: Hacia el aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales Autor(es): Arnulfo Treviño Cubero. Alumnos: David Cavazos/Oscar Hdz /Fernando Herrera/Héctor Vargas Editorial: Material de apoyo
- 23. Material de apoyo Libro: Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado Autor: Denisse G. Zill. Editorial: Cengage
- 24. Apoyo para este material: Dr. Arnulfo Treviño Cubero Dr. Ricardo Jesús Villarreal Lozano M.C. Rolando Rodríguez González M.C Santiago Neira Rosales M.E.C. Gustavo Adolfo Sánchez Ruíz Dra. Adela Verónica González Pérez M.C. Federico Montelongo García M.C. Carlos Alberto Tavares Ruíz Dra. Norma Esthela Flores Moreno Dr. Fernando Banda Muñoz M.C. Amelia González Cantú