demostracion de la invarianza de las ecuaciones de euler-lagrange

1. INVARIANCIA DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE CON RESPECTO A UNA TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS
Tenemos la ecuación de Lagrange para el j-esimo grado de libertad:
(
̇
)
Si aplicamos una transformación de coordenadas generalizadas dada de la siguiente manera:
( )
Por tanto la rapidez de cambio temporal de la i-esima coordenada viene dada por:
̇ ∑ ̇
Transformando cada uno de los términos de la ecuación de Lagrange en función de las nuevas
coordenadas nos queda:
∑ *
̇
̇
+
̇
∑
̇
̇
̇
∑
̇
(
̇
) ∑ * (
̇
)
̇
̇
+
Por tanto restado la primera de estas ecuaciones de la tercera ecuación obtenemos lo siguiente:
(
̇
) ∑ [ (
̇
) ]
Entonces la ecuación anterior solo es válida si:
(
̇
)
Para cualquier j que escojamos y por tanto la validez de la ecuación de Lagrange en las
coordenadas “q” implica la validez de la ecuación en las “r” y además la ecuación mantiene la
misma forma matemática a pesar de que se le esté aplicando una transformación de coordenadas.