Material didáctico enfocado en orientar los usos de las integrales

1. CINEMATICA
Presentado por:
Rubén Darío Giraldo

2. ¿QUÉ ES LA
CINEMATICA?
La cinemática es la ciencia que estudia todos los
aspectos del movimiento sin considerar la causa que los
produce estando entre ellos comprendidos los
movimientos del desplazamiento, velocidad y aceleración
todos con respecto al tiempo en que se desarrollan

3. APLICACACION DE LAS
INTEGRALES EN LA
CINEMÁTICA
Como sabemos los conceptos que estudia la cinemática son:
Aceleración: Cambio de velocidad en un tiempo determinado.
Velocidad: Distancia recorrida en un tiempo determinado.
Desplazamiento: cambio de posición de un cuerpo entre dos
momentos o
Donde las reglas o ecuaciones para encontrar su valor de forma
física son
1. Vx= axt + V0x
2. 12 axt2 + V0x
3. Vx2 - V0x2 = 2ax

4. Para poder explicar el origen de las ecuaciones y así
lograr darle un valor ya sea a la velocidad, aceleración o
desplazamiento se deben utilizar integrales y lo que se va
a hacer es demostrar de donde provienen cada una de
ellas.
Para la ecuación Nº 1 se debe integrar la aceleración en
función del tiempo porque la derivada de la velocidad
(Vx) es la aceleración (ax) así:
𝑑Vx= axdt

5. La integral adecuada se realiza de esta forma
Vx= ∫𝑎𝑥𝑑𝑡
Donde:
Ax =aceleración en el eje x
Vx = velocidad en el eje x
La aceleración en este caso es una constante por lo que sale
de la integral quedando así:
Vx= 𝑎𝑥∫𝑑𝑡
En este caso lo único que se integra es dt para que nos de la
ecuación que aparece a continuación:
Vx= axt + C1

6. Nos resulto esta ecuación porque como sabemos la integral de
dt es t, pero este resultado no nos satisface porque no es la
misma primera ecuación de la que hablamos, lo que falta para
poder que sean iguales es la V0x que se halla evaluando la C1.
Para poder evaluar C1 se debe dar una condición que
especifique el valor de un momento determinado. Supóngase
que la partícula partió de un tiempo t con una velocidad inicial
V0x. sustituyendo esto, la ecuación queda así:
Vx= axt + V0x

7. La ecuación resultante se le deben evaluar las unidades en
las que se da la velocidad para así saber si la integral esta
bien realizada; Los valores deben ser m/s
Entonces:
A =𝑚𝑠2
T= s
V0x = 𝑚𝑠
Reemplazamos estos valores en cada una de las letras de la
ecuación quedando así:
Vx= 𝑚/𝑠2 * s + 𝑚/𝑠
Segundos cuadrados se eliminan con los segundos del
tiempo, resultando las siguientes unidades:
Vx= m/𝑠

8. Para Argumentar la segunda ecuación de la cinemática
se debe integra la velocidad esto se debe a que la
expresión derivada del desplazamiento da como
resultado una velocidad y donde buscamos llegar a
una ecuación que pueda darle un valor un valor en
unidades al movimiento buscado
Entonces :
𝑑x= Vx
Ahora aplicamos la integral en la velocidad así:
X= ∫𝑉𝑥𝑑𝑡
Donde:
X= desplazamiento
Vx= velocidad en el eje x

9. Como ya tenemos el valor de Vx hallado en la anterior
integral, lo que se hace es reemplazar eso en Vx de la
siguiente manera:
X= ∫𝑉𝑥𝑑𝑡= ∫(𝑎𝑥+ 𝑉0𝑥) dt
Ahora que ya tenemos esta integral, lo que se hace es
realizarla asi:
X= ∫𝑉𝑥𝑑𝑡= ∫(𝑎𝑥𝑡+ 𝑉0𝑥) dt
= ax∫𝑡 + 𝑉0𝑥 ∫𝑑𝑡
= 1/2 axt2 + V0xt
El 1/2 que esta de coeficiente resulto de integrar t porque al
sumarle 1 al exponente, en el denominador se debe poner el
mismo número, resultando este 12.

10. Ahora solo falta evaluar las unidades que resultan de la
integración para saber si son las mismas del desplazamiento,
como los valores ya están arriba entonces aquí solo
remplazamos estos en la ecuación 2 así:
X = 12 axt2 + V0xt
X= 𝑚𝑠2∗ s2 + 𝑚𝑠 * s
Segundos cuadrados se van con segundos cuadrados y en
la segunda, segundos se van con segundos resultando las
unidades del desplazamiento que se dan en metros.
X= m

11. Para poder hallar la ecuación Nº 3, se necesita hacer una
igualdad entre las integrales definidas de la velocidad y de
la aceleración, donde el límite superior es la velocidad en x
(Vx) y el inferior es V0x; para el caso de la integral definida
de la aceleración el límite superior es x y el inferior es 0
así:

12. Al realizar esta integral nos resulta:
[1/2 𝑉𝑥2] = ax [𝑋]
Como son integrales definidas se resta el límite superior con
el inferior resultando:
12 Vx 2 – V0x2 = ax
Para que resulte la ecuación Nº 3 solo falta pasar el 12 al
otro lado de la igualdad y como está dividiendo pasaría a
multiplicar con el ax resultando:
Vx2 - V0x2 = 2ax
Así de esta manera se pueden obtener las ecuaciones de la
regla de oro de la cinemática por medio de las integrales.