Slides from my Physics I classes (Yachay Tech University, 2nd Semester, 2017)

1. C I N E M Á T I C A
UNIDAD 1

2. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Sea una partícula en el espacio. Mediante un sistema de
referencia cartesiano se puede conocer su posición.
• El vector de posición une el origen de coordenadas
con el punto donde está la partícula: r = xi + yj + zk.

3. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• En caso de que la partícula se mueva a lo largo del
tiempo el vector posición cambiará a lo largo del tiempo:
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k.
• Su representación nos da la trayectoria de la partícula.

4. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Dada la posición de la partícula en dos instantes de
tiempo diferentes el vector que une dichas posiciones se
llama vector de desplazamiento: Dr(t) = r(tf) – r(ti).
• No se puede confundir con la distancia, la cual es una
magnitud escalar.

5. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• La manera de vincular el cambio de posición con el
cambio del tiempo se define como velocidad media.
• Todo movimiento donde la velocidad media sea
constante se denomina uniforme.
• Es necesario distinguir entre velocidad (un vector) y
rapidez (un escalar, el módulo del anterior).
• Si Dt tiende a 0 se obtiene la velocidad instantánea.

6. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Para los movimientos uniformes, si se conocen las
condiciones iniciales t0 y r0 se puede conocer la
trayectoria de la partícula:

7. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Para movimientos en los que la velocidad no sea
constante se puede determinar la tasa con la que varía a
lo largo del tiempo.
• Esta tasa toma el nombre de aceleración media.
• En los casos de aceleración constante estamos ante un
movimiento uniformemente acelerado.
• Al igual que la velocidad, puede definirse una
aceleración instantánea.

8. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Combinando las expresiones de velocidad y aceleración
se puede vincular aceleración y posición:
• Mediante integración se puede conocer una ecuación
para este tipo de movimiento si conocemos las
condiciones iniciales:

9. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Con condiciones iniciales en la derivada segunda se
puede obtener una segunda ecuación:
• Dividir la velocidad con respecto la aceleración da una
tercera ecuación.

10. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• En resumen, en un movimiento uniforme se tiene que
• En cambio, para un movimiento uniformemente
acelerado

11. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Si las ecuaciones no obedecen ninguna de las
proporcionalidades indicadas se tiene que el movimiento es
acelerado y la aceleración dependerá del tiempo.
• Ninguna expresión anterior será válida.
• Sin embargo, al conocer la trayectoria nos permite determinar
la velocidad y aceleración de la partícula mediante
derivación.
• De igual manera, conocer la aceleración permite conocer la
velocidad y la trayectoria de la partícula mediante
integración.
• En este caso ha de conocerse también toda condición inicial.

12. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Dada una ecuación y(t) se puede saber cuándo
alcanzará un punto máximo o mínimo en su
representación.
• La posición text donde se da el punto extremal se
obtiene de resolver la siguiente ecuación diferencial:
• El valor extremal se conoce al resolver y(text).

13. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Para saber si el punto extremal es un máximo o un
mínimo es necesario llevar a cabo la derivada segunda y
determinar el signo de la expresión cuando evaluamos
en text.
• Será un máximo cuando (la función ahí es cóncava):
• Por otro lado, tendremos un mínimo cuando (la función
ahí es convexa):

14. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• El paso de concavidad a convexidad se da en los
puntos de inflexión.
• En estos puntos se verifica que
• Sin embargo, la derivada tercera evaluada en tp no
puede ser 0.