Polinomios

1. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1
U.D. 4 * 3º ESO E.AC.
Polinomios

2. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2
U.D. 4.2 * 3º ESO E.AC.
SUMA DE
POLINOMIOS

3. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3
• Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de
monomios no semejantes.
• Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO,
• Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama
• TÉRMINO INDEPENDIENTE.
• EJEMPLOS
•
• P(x) = 4.x3
+ 7.x2
- 5.x
• P(x) = 3.x3
- 7.x + 5
• P(x) = x3
+ 7.x2
- 5.x - 3
Polinomios

4. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4
• Es el mayor grado de los monomios que lo forman.
• EJEMPLOS
•
• P(x) = 4.x3
+ 7.x2
- 5.x  Grado de P(x) = 3
• Q(x) = - 7.x + 5  Grado de Q(x) = 1
• R(x, y) = x3.
y + 7.y2
- 5.x.y  Grado de R(x, y) = 3 respecto x
•  Grado de R(x, y) = 2 respecto y
•  Grado de R(x, y) = 4
Grado de polinomios

5. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5
• REDUCIDOS
• Tiene sumados los términos semejantes
• NO REDUCIDOS
• Contiene dos o más términos semejantes.
• COMPLETOS
• Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero.
• INCOMPLETOS
• Falta algún término de grado menor que el del polinomio.
• ORDENADOS
• Sus términos están ordenados por el grado de la variable.
• Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO
DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.
• NO ORDENADOS
• Sus términos están desordenados según el grado de los mismos.
Tipos de Polinomios

6. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6
• REDUCIDOS
• P(x) = 7.x3
+ 31.x2
– 6
• Q(x) = 2.x3
+ 3.x2
• NO REDUCIDOS
• P(x) = 2.x3
+ 7.x - 31.x2
+ 4.x – 6
• Q(x) = x3
+ 5.x – 4.x2
+ 7.x
• COMPLETOS
• P(x) = x3
+ 3.x2
+ 4.x – 6
• Q(x) = 5.x2
+ 3.x + x3
– 6
• INCOMPLETOS
• P(x) = 3.x3
+ 4.x – 6  Falta término en x2
• Q(x) = 5.x3
+ 7.x  Falta el término independiente
• ORDENADOS
• P(x) = x3
- 3.x2
– 6  Ordenado de forma decreciente.
• Q(x) = 5 – 3.x + x3
 Ordenado de forma creciente.
• NO ORDENADOS
• P(x) = 7.x - 3.x3
+ 6.x2
– 6
• Q(x) = – 2.x2
+ 6.x4
– 10

7. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7
• Es el número que se obtiene al sustituir las variables por un número y
realizar las operaciones indicadas.
• EJEMPLOS
• P(x) = 7.x3
+ 31.x2
– 6
• Para x = 1  P(1) = 7 + 31 – 6 = 32
• Q(x) = 2.x3
+ 3.x2
• Para x = 2  P(2) = 2.8 + 3.4 = 16 + 12 = 28
• S(x) = 5.x2
+ 3.x + x3
– 6
• Para x = – 1  P(-1) = 5.1 + 3.(-1) + (-1) – 6 = – 5
• U(x) = 5.x3
+ 7.x
• Para x = 3  P(3) = 5.27 + 7.3 = 135 + 21 = 156
• V(x) = 5 – 3.x + x3
• Para x= – ½  P(– ½) = 5 – 3.(– ½) + (– ½)3
= 5 – 3/2 – 1/8 = 27 / 8
Valor numérico de un polinomio

8. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8
Aclaración previa a la suma
• Los que tengan dificultad en sumar o multiplicar polinomios
pueden hacerlo por columnas de términos semejantes:
• P(x) = 5.x4
+ 4.x3
- 2.x
• Q(x) = 3.x3
+ 5.x - 3
• P(x) + Q(x) = 5.x4
+ 7.x3
+ 3.x – 3
• Pero es recomendable hacerlo así:
• (5.x4
+ 4.x3
- 2.x) + (3.x3
+ 5.x - 3) =
• = 5.x4
+ 4.x3
- 2.x + 3.x3
+ 5.x - 3 =
• = 5.x4
+ 7.x3
+ 3.x – 3

9. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9
• SUMA DE POLINOMIOS
• La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando
primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no
semejantes.
• La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado
como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES.
• EJEMPLO 1
• Sea P(x) = 4.x3
+ 7.x2
- 5.x y Q(x) = 7.x3
+ 5.x2
- 3
• P(x) + Q(x) = ( 4.x3
+ 7.x2
- 5.x ) + (7.x3
+ 5.x2
– 3 ) =
• = 4.x3
+ 7.x2
- 5.x + 7.x3
+ 5.x2
- 3 =
• = 11.x3
+ 12.x2
- 5.x - 3
SUMA DE POLINOMIOS

10. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10
• EJEMPLO 2
• Sea P(x) = 7.x2
- 5.x y Q(x) = x3
+ 5
• P(x) + 2.Q(x) = ( 7.x2
- 5.x ) + 2.(x3
+ 5) = 7.x2
- 5.x + 2.x3
+ 10 =
• = 2.x3
+ 7.x2
- 5.x + 10
• EJEMPLO 3
• Sea P(x) = 3.x2
- 5.x + 7 y Q(x) = x2
+ 3.x – 4
• 3.P(x) + 4.Q(x) = 3.( 3.x2
- 5.x + 7 ) + 4.(x2
+ 3.x – 4 ) =
• = 9.x2
- 15.x + 21 + 4.x2
+ 12.x – 16 = 13.x2
- 3.x + 5
SUMA DE POLINOMIOS

11. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11
• DIFERENCIA DE POLINOMIOS
• Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto
al sustraendo.
• Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el
sustraendo.
• EJEMPLO 1
• Sea P(x) = 4.x3
+ 7.x2
- 5.x y Q(x) = 7.x3
+ 5.x2
- 3
• P(x) - Q(x) = ( 4.x3
+ 7.x2
- 5.x ) - (7.x3
+ 5.x2
– 3 ) =
• = 4.x3
+ 7.x2
- 5.x - 7.x3
- 5.x2
+ 3 =
• = - 3.x3
+ 2.x2
- 5.x + 3
DIFERENCIA DE POLINOMIOS

12. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12
• EJEMPLO 2
• Sea P(x) = 7.x2
- 5.x y Q(x) = 5.x2
- 3
• P(x) – 5.Q(x) = (7.x2
- 5.x ) – 5.(5.x2
– 3 ) =
• = 7.x2
- 5.x - 25.x2
+ 15 = – 18.x2
- 5.x + 15
• EJEMPLO 3
• Sea P(x) = x2
+ 7.x – 3 y Q(x) = 7.x2
+ 5.x – 7
• 3.P(x) – 4.Q(x) = 3.( x2
+ 7.x – 3) – 4.(7.x2
+ 5.x – 7) =
• = 3.x2
+ 21.x – 9 – 28.x2
+ 3 – 20.x + 28 = – 25.x2
+ x + 19
DIFERENCIA DE POLINOMIOS