Teoria general de_ecuaciones_polinomicas_para_los_apuntes_-1-13450 (1)

TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS
TEORIA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS
Ecuación polinómica:
Es el resultado de igualar a cero un polinomio. Es decir, sea ( )
0
n
i
i
i
P x a x
=
= ∑ un
polinomio cualquiera decimos que ( ) 0P x = es una ecuación polinómica.
Solución de una ecuación:
Es un conjunto de valores que satisfacen a la ecuación. Los valores que satisfacen a la
ecuación son los ceros del polinomio equivalente, los cuales se denominan raíces de la
ecuación.
Lema fundamental del álgebra
Toda ecuación polinómica de grado " "n posee al menos una raíz real ó compleja.
Teorema fundamental del álgebra
Toda ecuación polinómica de grado " "n posee " "n y sólo " "n raíces.
Axioma:
• Si una ecuación polinómica real entera posee una raíz compleja, su conjugada
también es raíz de la ecuación.
• Si una ecuación polinómica racional entera posee una raíz irracional, su
conjugada también es raíz de la ecuación.
TOMAS NAVARRO 36

Ecuación degradada
Es la ecuación correspondiente al cociente que resulta de dividir la ecuación original
entre una de sus raíces.
Raíces múltiple
Es aquella que es raíz de la ecuación original y de por lo menos una de sus ecuaciones
degradadas.
Grado de multiplicidad de una raíz
Es el número de veces que un valor es raíz de una ecuación.
Problemas fundamentales de la teoría general de ecuaciones
En el estudio de la teoría general de ecuaciones existen varios problemas
fundamentales, entre los cuales tenemos:
1. Dadas las raíces de una ecuación y su coeficiente principal, hallar la ecuación.
2. Dada la ecuación y algunas condiciones iniciales de las raíces, hallar las
demás raíces de la ecuación.
3. Dada las raíces de la ecuación, hallar dicha ecuación mediante la relación
entre las raíces y los coeficientes de la ecuación.
4. Transformar una ecuación en otra cuyas raíces mantienen una relación con las
raíces de la ecuación original.
5. Hallar la naturaleza de las raíces de una ecuación.
6. Hallar los límites o intervalo de acotación de las raíces reales de una ecuación.
TOMAS NAVARRO 37

7. Hallar las raíces racionales de una ecuación polinómica cualquiera.
8. Hallar raíces irracionales de una ecuación polinómica cualquiera.
PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 1
Para resolver en la teoría general de ecuaciones problemas donde se conocen las raíces y el
coeficiente principal, se utiliza el teorema del factor representando a la ecuación mediante su
descomposición factorial. Es decir: Sean 1 2 3y , , ,...,n na α α α α el coeficiente principal y las
raíces de la ecuación ( ) 0P x = ; decimos que la ecuación viene dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ... 0n nP x a x x x xα α α α= − − − − =
Ej.: Hallar la ecuación cuyo coeficiente principal es 2 y sus raíces sean 2, 1 y -1.
Ej.: Hallar la ecuación cuyas raíces son 3, 1/2 y 2.
Ej.: Hallar la ecuación polinómica racional entero cuyas raíces son: 1, 2 3i+
Ej.: Hallar la ecuación polinomica racional entera cuyas raíces son 2, 3 y 2i
Este problema de la teoría general de ecuaciones se resuelve verificando las condiciones
iniciales dadas y si se cumplen, degradar la ecuación hasta una ecuación de segundo grado o
inferior.
Ejercicios:
1.- Hallar las raíces de la ecuación ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2 2 3 0P x x x x= − + − = .
2.- Hallar las raíces de la ecuación ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 32 2
4 3 2 2 5 0P x x x x x= + + + + = .
3.- Hallar las raíces de la ecuación ( ) 4 3 2
8 24 32 16 0P x x x x x= + + + + = , si -2 es
TOMAS NAVARRO 38

una raíz múltiple.
4.- Hallar las raíces de la ecuación ( ) 3 2
3 4 12 0P x x x x= − + − = , si 2x i= es una
de sus raíces.
5.- Hallar las raíces de la ecuación
( ) 6 5 4 3 2
8 7 32 31 40 25 0P x x x x x x x= − + + + + + = , si 1x = − y 5x = son raíces.
Este problema se resuelve utilizando las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una
ecuación dada. Estas relaciones pueden de deducida como sigue:
Sea ( ) 5 4 3 2
5 4 3 2 1 0 0P x a x a x a x a x a x a= + + + + + = una ecuación cuyas raíces son 1 1x α=
, 2 2x α= , 3 3x α= , 4 4x α= , 5 5x α= .
Según el problema fundamental No. 1 tenemos que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1 2 3 4 5 0P x a x x x x xα α α α α= − − − − − =
( )( )( )2 2
5 1 2 1 2 3 4 3 4 5 0a x x x x x x xα α α α α α α α α= − − + − − + − =
( )
4 3 3 2 3 2 2 3 2 2
5 1 2 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 4 1 4 2 4 1 2 4
2
3 4 1 3 4 2 3 4 1 2 3 4 5
(
) 0
a x x x x x x x x x x x x
x x x x
α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α
α α α α α α α α α α α α α
= − − + − + + − − + + −
+ − − + − =
Multiplicando de nuevo y agrupando los términos comunes, tenemos que:
( ) ( )5 4
5 5 1 2 3 4 5 5 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4
3
3 5 4 5 5 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5
2
2 4 5 3 4 5 5 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 4 5 1 3 4 5
(
+ ) (
+ ) (
P x a x a x a
x a
x a
α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α
α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α
α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α
= − + + + + + + + + + + + +
+ − + + + + + + +
+ + + + + ( )2 3 4 5 5 1 2 3 4 5) 0x aα α α α α α α α α+ − =
Luego por igualdad de polinomio tenemos que:
5 5a a=
( )4 5 1 2 3 4 5a a α α α α α= − + + + +
TOMAS NAVARRO 39

3 5 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5( )a a α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α= + + + + + + + + +
2 5 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5( )a a α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α= − + + + + + + + + +
1 5 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 4 5 1 3 4 5 2 3 4 5( )a a α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α= + + + +
( )0 5 1 2 3 4 5a a α α α α α= −
Por lo tanto tenemos que:
( )4
1 2 3 4 5
5
a
a
α α α α α= − + + + +
3
1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5
5
( )
a
a
α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α= + + + + + + + + +
2
1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5
5
( )
a
a
α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α= − + + + + + + + + +
1
1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 4 5 1 3 4 5 2 3 4 5
5
( )
a
a
α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α= + + + +
( )0
1 2 3 4 5
5
a
a
α α α α α= −
Generalizando tenemos que:
( )1
1 2 3 4 ...n
n
n
a
a
α α α α α−
= − + + + + +
2
1 2 1 3 1 4 1 2 3 2 1( ... ... ... )n
n n n n
n
a
a
α α α α α α α α α α α α α α−
−= + + + + + + + + +
3
1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 1( ... ... .... )n
n n n n n n n
n
a
a
α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α−
− − − −= − + + + + + + + + + +
4
1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 1 3 2 1( ... ... )n
n n n n n n
n
a
a
α α α α α α α α α α α α α α α α−
− − − −= + + + + +
.
TOMAS NAVARRO 40

.
( ) ( )0
1 2 3 4 5 11 ...
n
n n
n
a
a
α α α α α α α−= −
Ejemplos:
1.- Usando la relación entre las raíces y los coeficientes, hallar la ecuación cuyas raíces son 1,
2 y -3.
2.- Hallar la ecuación real entera de menor grado cuyas raíces son 2 y 3 2i+ .
3.- Usando las relaciones entre las raíces y los coeficientes, hallar la ecuación polinómica
racional entera de menor grado cuyas raíces son 5 3i+ , ½, y 2 .
4.- Si ( ) 4 3 2
4 7 3 16 21 0P x x x x x= − + + − = , usando las relaciones entre las raíces y los
coeficientes hallar:
a. 1 2 3 4x x x x+ + + =
b. 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4x x x x x x x x x x x x+ + + + + =
c. 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4x x x x x x x x x x x x+ + + =
d. 1 2 3 4x x x x =
5.- Si ( ) 7 5 4
5 3 6 7 0P x x x x x= + − + − = , hallar la suma de las raíces y el producto de las
raíces.
6.- Resuelva la ecuación usando la relación entre las raíces y los coeficientes, si
( ) 3 2
9 18 0P x x x x= − + − = y sabiendo que 1 2 0x x+ = .
7.- Resuelva ( ) 3 2
4 22 68 0P x x x x= − + + = , sabiendo que el producto de dos de sus raíces
es igual a 34.
TOMAS NAVARRO 41

Este problema consiste en la obtención de una ecuación a partir de otra ecuación dada, cuyas
raíces mantienen una relación. Entre las relaciones tenemos:
• Donde las raíces de una ecuación son un múltiplo de las raíces de la otra ecuación. Es
decir, y kx= .
• Donde las raíces de una ecuación son las opuestas de las raíces de la otra ecuación.
Es decir, y x= − .
• Donde las raíces de una ecuación son las raíces de la otra ecuación aumentadas o
disminuidas en una constante cualquiera. Es decir, y x k= ± .
• Donde las raíces de una ecuación son las reciprocas de las raíces de la ecuación
dada. Es decir,
1
y
x
=
• Donde las raíces múltiples en otras cuyas raíces sean las mismas de la ecuación
original, pero todas raíces simples.
TRANSFORMACION DE LA FORMA y kx=
Sea ( ) 1 2 2
1 2 2 1 0... 0n n n
n n nP x a x a x a x a x a x a− −
− −= + + + + + + = transformarla en otra cuyas
raíces son de la forma y kx= .
Si despejamos x tenemos que:
y
x
k
= y la sustituimos en el polinomio ( )P x resulta que:
1 2 2
1 2 2 1 01 2 2
... 0
n n n
n n nn n n
y y y y y y
P a a a a a a
k k k k k k
− −
− −− −
          
= + + + + + + = ÷  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷
          
TOMAS NAVARRO 42

1 2 21 2 2 1
01 2 2
... 0n n nn n n
n n n
a a ay a a
P y y y y y a
k k k k k k
− −− −
− −
 
= + + + + + + = ÷
 
multiplicando por n
k
tenemos que:
0 1 1 2 2 2 2 1
1 2 2 1 0... 0n n n n n n
n n n
y
P a k y a k y a k y a k y a k y a k
k
− − − −
− −
 
= + + + + + + = ÷
 
Conclusión:
Para transformar una ecuación en otra cuyas raíces sean un múltiplo k de las raíces
originales; se multiplica cada término de la ecuación original por una potencia del múltiplo k
cuyo exponente será igual a la diferencia entre el grado de la ecuación y el grado del término
correspondiente.
Ejemplo: Transformar la ecuación ( ) 6 5 4 3 2
8 7 32 31 40 25 0P x x x x x x x= − + + + + + = en
otra cuyas raíces sean el doble de las originales.
Ejemplo: Transformar la ecuación ( ) 4 2
2 3 6 0P x x x x= + + − = en otra cuyas raíces sean el
triple de las raíces originales.
TRANSFORMACION DE LA FORMA y x= −
Para transformar una ecuación en otra cuyas raíces son las opuestas de las raíces originales,
se considera esta transformación como un caso particular de la transformación anterior en la
cual el escalar k es igual a 1− .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 1 11 2 2
1 2 2 1 01 1 1 ... 1 1 1 0
n n nn n n
n n nP x a x a x a x a x a x a
− −− −
− −− = − + − + − + + − + − + − =
( ) ( ) ( ) ( )
2 11 2 2
1 2 2 1 0... 1 1 1 0
n n nn n n
n n nP x a x a x a x a x a x a
− −− −
− −− = − + − + − + − + − =
Conclusión:
Para transformar una ecuación en otra cuyas raíces sean las opuestas de las originales, se le
cambia el signo a los coeficientes de los términos con paridad opuesta al grado de la ecuación,
TOMAS NAVARRO 43

es decir, si la ecuación es de grado par, se le cambian los signos de los coeficientes de los
términos de grado impar; y si es impar, a los coeficientes de los términos de grado par.
Ejemplo: Transformar la siguiente ecuación
( ) 6 5 4 3 2
8 7 32 31 40 25 0P x x x x x x x= − + + + + + = en otra cuyas raíces
sean las opuestas de las originales.
Ejemplo: Transformar la siguiente ecuación ( ) 5 3 2
3 4 0P x x x x= − + + = en otra cuyas
raíces sean las opuestas de las originales.
Ejemplo: Transformar la siguiente ecuación ( ) 4 3 2
3 4 0P x x x x= + − + = en otra cuyas
raíces sean las opuestas de las originales.
TRANSFORMACION DE LA FORMA y x k= ±
Para esta transformación se utiliza la expresión correspondiente a la fórmula de Taylor
mediante el uso del esquema de Horner, es decir, que:
Sea ( ) 1 2 2
1 2 2 1 0... 0n n n
− −= + + + + + + = , su transformación en otra
cuyas raíces se relacionan por la expresión y x k= − , es igual a:
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 1 2 ... 0
n
nP x k R R x k R x k R x k− = + − + − + + − = sustituyendo y por x k−
tenemos que:
( ) 2 1
0 1 2 1... 0n n
n nP y R R y R y R y R y−
−= + + + + + = o sea:
( ) 1 2
1 2 1 0... 0n n
n nP y R y R y R y R y R−
−= + + + + + =
Ejemplo: Transformar la ecuación ( ) 6 5 4 3 2
8 7 32 31 40 25 0P x x x x x x x= − + + + + + = en
otra cuyas raíces sean las raíces originales disminuidas en dos unidades.
TOMAS NAVARRO 44

Ejemplo: Transformar la ecuación ( ) 5 4 3 2
7 3 4 5 0P x x x x x x= − + + − − = en otra cuyas
raíces sean las raíces originales aumentadas en tres unidades.
TRANSFORMACION DE UNA ECUACION QUE POSEA RAÍCES MULTIPLES EN OTRA
CUYAS RAÍCES SEAN LAS MISMAS DE LA ECUACION ORIGINAL, PERO TODAS RAÍCES
SIMPLES.
Sea ( ) 5 4 3 2
4 3 2 1 0 0P x x a x a x a x a x a= + + + + + = una ecuación que tiene una raíz múltiple,
cuyo grado de multiplicidad es 3. Es decir, ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 2 3 0P x x x xα α α= − − − = donde
1 2 3" ", " ", " "α α α son las raíces únicas distintas que tiene la ecuación, siendo 1" "α
múltiple y 2 3" ", " "α α simples.
Es decir que si ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 2 3 0P x x x xα α α= − − − = ( 1 )
Entonces ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 0' 0P x x b x b x bα= − + + = ( 2 )
Donde
2
2 1 0b x b x b+ + es un polinomio general de segundo grado no divisible por ( )2x α− ni
( )3x α− , pues si lo fueran, 2 3" " y " "α α serian raíces múltiples y ello estaría en
contradicción con la hipótesis inicial.
De esto se deduce que el grado de multiplicidad de una raíz disminuye en una unidad en cada
una de las derivadas sucesivas de la ecuación.
Siendo ( )
2
1x α− es el MCD entre ( ) ( )y 'P x P x , si encontramos el cociente entre ( )P x
TOMAS NAVARRO 45

y el MCD ( )
2
1x α− , se obtiene:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
3
1 2 3
1 2 32
1
P x x x x
G x x x x
MCD x
α α α
α α α
α
− − −
= = = − − −
−
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 0G x x x xα α α= − − − =
Luego ( ) 0G x = es una ecuación con las mismas raíces de la ecuación original, pero todas
simples.
Conclusión
Para reducir una ecuación a otra cuyas raíces sean sólo simples, basta con dividir la ecuación
entre el MCD de ( ) ( )y 'P x P x .
Ejemplo: Reducir la ecuación ( ) 4 3 2
3 8 6 24 8 0P x x x x x= + − − − = a otra cuyas raíces sean
simples.
Ejemplo: Reducir la ecuación ( ) 4 3 2
4 10 28 15 0P x x x x x= + − − − = a otra cuyas raíces sean
simples.
Ejemplo: Reducir la ecuación ( ) 5 4 3 2
6 6 16 15 18 0P x x x x x x= − + + − − = a otra cuyas
raíces sean simples.
Consiste en determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación, es decir, determinar si las
raíces son reales o complejas; y si las reales son positivas, negativas o nulas.
Regla de los signos de Descartes
TOMAS NAVARRO 46

• Toda ecuación polinómica racional entera tendrá tantas raíces positivas como cambio
de signos posee la ecuación ordenada, o éste disminuido de dos en dos.
Ejemplo: Determine el número de posibles raíces positivas de la ecuación
( ) 6 5 4 3 2
8 7 32 31 40 25 0P x x x x x x x= − + + + + + = .
• El número de raíces negativas será siempre igual al número de cambio de signo que
posee la transformación de la ecuación cuyas raíces son las opuestas de las raíces de
la ecuación original; o este disminuido de dos en dos, es decir, el número de raíces
positivas de la ecuación transformada cuyas raíces son las opuestas de la ecuación
original.
Ejemplo: Determine el número de posibles raíces positivas de la ecuación
( ) 6 5 4 3 2
8 7 32 31 40 25 0P x x x x x x x− = + + − + − + = .
• El número de raíces nulas será siempre igual al exponente del término de menor grado
que contenga la ecuación.
• El número de posibles raíces complejas, será siempre igual a aquel que hace que se
cumpla el teorema fundamental del álgebra.
Ejemplo: Hallar la naturaleza de las raíces de
( ) 6 5 4 3 2
8 7 32 31 40 25 0P x x x x x x x= − + + + + + = .
Positivas Negativas Nulas Complejas
2 4 0 0
2 2 0 2
2 0 0 4
0 4 0 2
0 2 0 4
0 0 0 6
Ejemplo: Hallar la naturaleza de las raíces de
TOMAS NAVARRO 47

( ) 7 6 5 4 3 2
6 3 8 3 4 0P x x x x x x x= − + − + + =
Positivas Negativas Nulas Complejas
4 1 2 0
2 1 2 2
0 1 2 4
Este problema consiste en determinar el intervalo de acotación de las raíces reales de una
ecuación polinómica, el cual está definido por dos números reales que definen los límites de
dichas raíces en la ecuación. Para esto usamos el teorema de Laguerre el cual estable que:
i sL x L< <
Límite Superior ( )sL : es el menor entero positivo que al dividir el polinomio representativo de
la ecuación, hace que todos los coeficientes del cociente y el resto sean no negativos.
Límite Inferior ( )iL : es el menor entero positivo que hace los coeficientes del cociente y resto
que resulta de dividir la ecuación transformada, cuyas raíces son las opuestas de la original,
sean no negativos.
Ejemplo a desarrollar en clase:
1.- Hallar el intervalo de acotación de:
1. ( ) 6 5 4 3 2
8 7 32 31 40 25 0P x x x x x x x= − + + + + + = .
2. ( ) 4 2
3 4 0P x x x= + + =
3. ( ) 4 3 2
4 6 4 1 0P x x x x x= + + + + =
4. ( ) 5 4 3 2
3 25 75 0P x x x x x= − + − =
TOMAS NAVARRO 48

Este problema consiste en determinar las raíces racionales de una ecuación, si existen. La
aplicación que se utiliza para la resolución de este problema, se fundamenta en el teorema que
dice:
Si una ecuación posee una raíz racional formada por el cociente entre dos
enteros primos entre sí, entonces el numerador de la raíz es un factor del término
independiente de la ecuación, y el denominador es un factor del coeficiente principal de
la ecuación.
Es decir: sea ( ) 1 2 2
1 2 2 1 0... 0n n n
− −= + + + + + + = y
p
x
q
= donde
“p” y “q” son primos entre sí, entonces “p” es un factor de “a0” y “q” es un factor de “an”.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )1 2 3 4 0
2 2 3 4
. . . ..... 1
nn
n n
p p p p p a
q q q q q a
= −
0 1 2 3
1 2 3
...
...
n
n n
a p p p p
a q q q q
=
=
por tanto
0 1
1
i
i n
p es un factor de a para i n
q es un factor de a para i n
≤ ≤
≤ ≤
Para determinar las raíces racionales de una ecuación, se procede de la siguiente manera:
1ro. Se determina la naturaleza de las raíces de la ecuación.
2do. Se determina el intervalo de acotación de las raíces reales de la ecuación.
3ro. Se obtienen los factores del término independiente 0a y el coeficiente principal
na .
4to. Se obtienen los cocientes entre los factores de 0a y los factores de na .
5to. Se determinan las posibles raíces racionales, que serán los cocientes
anteriores que estén contenidos en el intervalo de acotación.
TOMAS NAVARRO 49

6to. Se verifica cada una de las posibles raíces mediante el uso de Ruffini para
probar si son raíces o no. Este proceso de verificación se realiza hasta degradar la ecuación a
una de 2do grado o inferior, si es posible.
7mo. Si la ecuación es degradada a una de 2do grado, se resuelve y se obtiene las
raíces restantes.
Ejemplos:
Hallar las raíces racionales de la ecuación ( ) 4 3 2
2 20 13 30 0P x x x x x= + − − + = y
revuélvala si es posible
.
1ro. Hallamos la naturaleza de las raíces:
( ) 4 3 2
2 20 13 30 0P x x x x x= + − − + = dos posibles raíces positivas o
ningunas
( ) 4 3 2
2 20 13 30 0P x x x x x= − − + + = dos posibles raíces negativas o
ningunas.
Positivas Negativas Complejas
2 2 0
2 0 2
0 2 2
0 0 4
2do. Hallamos en intervalo de acotación:
2 1 -20 -13 30 luego el limite superior es igual a 4 ( )4sL =
TOMAS NAVARRO 50

4 8 36 64 204
2 9 16 51 234
2 -1 -20 +13 30 luego el limite inferior es igual a -4 ( )4iL = −
4 8 28 32 180
2 7 8 45 210
Por tanto el intervalo de acotación es igual a: 4 4x− < <
3ro. Hallamos los factores de 0a y los factores de na :
Factores de 30na = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30,± ± ± ± ± ± ± ±
Factores de 0 2a = 1, 2,± ±
4to. Hallamos los cocientes entre los factores de 0 na y a :
0 1 3 5 15
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, , , ,
2 2 2 2n
factores de a
factores de a
= ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
5to. Hallamos las posibles raíces:
1 3 5 1 3 5
4 1,2,3, , , , 1, 2, 3, , , 4
2 2 2 2 2 2
− < − − − − − − <
6to. Probaremos las posibles raíces usando a Ruffini:
TOMAS NAVARRO 51

2 1 -20 -13 30
1 2 3 -17 -30
2 3 -17 -30 0
3 6 27 30
2 9 10 0
-2 -4 -10
2 5 0
-5/2 -5
2 0
Por tanto las raíces de la ecuación son: 1, 3, -2 y -5/2.
Ejercicios para hacer en clase:
Hallar las raíces racionales de las ecuaciones y resolverla si es posible.
a) ( ) 6 5 4 3 2
8 7 32 31 40 25 0P x x x x x x x= + + − + − + =
b) ( ) 5 4 3 2
2 3 5 10 12 8 0P x x x x x x= + + + − − =
c) ( ) 4 3 2
6 14 12 0P x x x x x= − − + − =
d) ( ) 5 4 3 2
5 6 0P x x x x x x= + − + − =
Este problema se fundamenta en la localización de las raíces irracionales de una ecuación
mediante el uso del teorema de Bolzano y la obtención de las raíces con tanto decimales como
sea deseado mediante el método de Ruffini-Horner.
Teorema de Bolzano
TOMAS NAVARRO 52

Si un polinomio ( ) 1 2 2
1 2 2 1 0...n n n
− −= + + + + + + , toma par x a= y
x b= , ( )a b< , valores ( )P a y ( )P b de signos opuestos, la ecuación ( ) 0P x = tiene por
lo menos una raíz en el intervalo ( ),a b .
Demostración:
Supongamos que ( ) 0P a < y ( ) 0P b > . Si dividimos ( ),a b en dos partes iguales
y el polinomio se anula en el valor de la división el teorema está probado.
En caso contrario, existe uno y sólo uno de los intervalos parciales, llamémosle
( )1 1,a b , en el cual ( )P x cambia de signo; es decir ( )1 0P a < y ( )1 0P b > . A partir de
este intervalo mitad, repetimos el razonamiento y tendremos subintervalos
( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 4, , , , , ,...a b a b a b para los cuales ( )2 0P a < , ( )3 0P a < , ( )4 0P a < , … y
( )2 0P b > , ( )3 0P b > , ( )4 0P b > , … Si en alguna de las sucesivas
subdivisiones, se llega a un punto en el que ( )P x se anula, el teorema queda demostrado.
Este teorema nos permite la separación de las raíces reales de una ecuación algebraica.
Ejemplos:
Separar las raíces reales de las ecuaciones dadas mediante el uso del teorema de Bolzano:
a) ( ) 3 2
2 9 2 24 0P x x x x= − − + =
b) ( ) 3 2
8 4 18 9 0P x x x x= − − + =
c) ( ) 4 3 2
4 4 25 6 0P x x x x x= − − + + =
TOMAS NAVARRO 53

Desarrollo de a): Sea ( ) 3 2
2 9 2 24 0P x x x x= − − + = y su transformada cuyas raíces son
las opuestas de las raíces originales la ecuación ( ) 3 2
2 9 2 24 0P x x x x= + − − = , los límites
vienen dados por:
2 -9 -2 24 luego el limite superior es igual a 5 ( )5sL =
5 10 5 15
2 1 3 39
2 9 -2 -24 luego el limite inferior es igual a -2 ( )2iL = −
2 13 44 84
2 22 42 60
Luego el intervalo ( )2,5I = − , es decir para
( ) ( )5 0 2 0x P x para x P x≥ > ∧ ≤ − < .
Para 0x = ( )0 24 0P = > luego en el intervalo ( )2,0− existe por lo menos una raíz.
Si subdividimos el intervalo ( )0,5 se tiene que para 3x =
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2 3 9 3 2 3 24 54 81 6 24 9 0P = − − + = − − + = − < luego en el intervalo ( )0,3
tenemos por lo menos otra raíz y en intervalo ( )3,5 tenemos la tercera raíz.
Es decir, como la ecuación es de tercer grado, podemos concluir diciendo que las tres raíces
se encuentran dentro de los intervalos siguientes: ( )2,0− , ( )0,3 , y ( )3,5 .
TOMAS NAVARRO 54

Desarrollo de b): Sea ( ) 3 2
8 4 18 9 0P x x x x= − − + = y su transformada cuyas raíces son
las opuestas de las raíces originales la ecuación ( ) 3 2
8 4 18 9 0P x x x x= + − − = , los límites
vienen dados por:
8 -4 -18 9 luego el limite superior es igual a 2 ( )2sL =
2 16 24 12
8 12 6 21
8 4 -18 -9 luego el limite inferior es igual a -2 ( )2iL = −
2 16 40 24
8 20 12 15
( ) ( )2 0 2 0x P x para x P x≥ > ∧ ≤ − < .
Para 0x = ( )0 9 0P = > luego en el intervalo ( )2,0− existe por lo menos una raíz.
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
1 8 1 4 1 18 1 9 8 4 18 9 5 0P = − − + = − − + = − < luego en el intervalo ( )0,1
tenemos por lo menos otra raíz y en intervalo ( )1,2 tenemos la tercera raíz.
Si subdividimos el intervalo ( )2,0− se tiene que para 1x = −
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
1 8 1 4 1 18 1 9 8 4 18 9 15 0P − = − − − − − + = − − + + = > luego en el intervalo
TOMAS NAVARRO 55

( )2, 1− − tenemos por lo menos otra raíz.
Es decir, como la ecuación es de tercer grado, podemos concluir diciendo que las tres raíces
se encuentran dentro de los intervalos siguientes: ( )2, 1− − , ( )0,1 , y ( )1,2 .
Desarrollo de c): Sea ( ) 4 3 2
4 4 25 6 0P x x x x x= − − + + = y su transformada cuyas raíces
son las opuestas de las raíces originales la ecuación ( ) 4 3 2
4 4 25 6 0P x x x x x= + − − + = ,
los límites vienen dados por:
4 -4 -25 1 6 luego el limite superior es igual a 4 ( )4sL =
4 16 48 92 372
4 12 23 93 378
4 4 -25 -1 6 luego el limite inferior es igual a -3 ( )3iL = −
3 12 48 69 204
4 16 23 68 210
( ) ( )4 0 3 0x P x para x P x≥ > ∧ ≤ − > .
Para 0x = ( )0 6 0P = > luego tenemos los intervalos ( )0,4 y ( )3,0− :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
2 4 2 4 2 25 2 2 6 60 0P = − − + + = − < luego en el intervalo ( )0,2 tenemos por
TOMAS NAVARRO 56

lo menos otra raíz y en intervalo ( )2,4 tenemos la segunda raíz.
Si subdividimos el intervalo ( )3,0− se tiene que para 1x = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
1 4 1 4 1 25 1 1 6 12 0P − = − − − − − + − + = − < luego en el intervalo ( )3, 1− −
tenemos la tercera raíz y el intervalo ( )1,0− tenemos la cuarta raíz.
Es decir, como la ecuación es de cuarto grado, podemos concluir diciendo que las cuatro
raíces se encuentran dentro de los intervalos siguientes: ( )3, 1− − , ( )1,0− , ( )0,2 , y ( )2,4 .
Ejercicios para desarrollar en clase:
Hacer la separación de las raíces reales en cada ecuación dada, usando el teorema de
Bolzano.
a) ( ) 5 4 3 2
2 10 5 8 4 0P x x x x x x= + − − + + =
b) ( ) 3 2
3 2 0P x x x= − − =
c) ( ) 4 2
10 9 0P x x x= − + =
d) ( ) 5 4 3 2
5 10 50 9 45 0P x x x x x x= − − + + − =
e) ( ) 3 2
3 5 0P x x x x= − + + =
Calculo de las raíces irracionales de una ecuación. Método de Ruffini-
Horner
Dada una ecuación polinómica racional entera, lo primero que tenemos que hacer es obtener
las raíces racionales y nulas si existen, y luego cualquier raíz irracional existente en la ecuación
degradada. Si la ecuación degradada es de segundo grado, las raíces se obtienen fácilmente
TOMAS NAVARRO 57

por medio de la fórmula correspondiente. En el análisis que haremos partiremos del supuesto
de que la ecuación es de tercer grado o mayor. En este caso las raíces irracionales vendrán
dadas en forma decimal, y su grado de precisión, dependerá esencialmente del grado de
aproximación que se desee obtener atendiendo al mayor ahorro posible de operaciones.
METODO DE RUFFINI-HORNER
Este método que sólo es aplicable a ecuaciones algebraicas, permite calcular las raíces
irracionales de una ecuación mediante un procedimiento de cálculo sencillo. La facilidad de
cálculo es debida a que cada cifra de la raíz se determina individualmente.
El razonamiento es el siguiente:
Sea ( ) 1 2 2
1 2 2 1 0... 0n n n
− −= + + + + + + = que tiene una raíz real, r, en
el intervalo ( ),α β . Por simplicidad, vamos a suponer que yα β son dos números enteros
sucesivos; así tendremos que la parte entera de r es α y podemos escribirla como sigue:
10
y
r α= + ; es decir,
10
y
r α− = donde y es un número comprendido entre
0 y 10.
Si desarrollamos la ecuación ( ) 0P x = , mediante la formula de Taylor según potencia del
binomio ( )r α− , se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2
1 2 2 1 0... 0
n n n
n n nP r R r R r R r R r R r Rα α α α α α
− −
− −− = − + − + − + + − + − + =
, y
sabiendo que
10
y
r α− = , tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 11 2 2
1 2 2 1 010 10 ... 10 10 10 0
n n nn n n
n n nP y R y R y R y R y R y R
− −− −
− −= + + + + + + =
Acotando las raíces en esta ecuación con los valores enteros de y de 0 a 10, habrá dos
TOMAS NAVARRO 58

sucesivos, digamos que son 1 1yα β , para los cuales ( )P y cambia de signo, y la parte
entera de “y” es 1α . Luego tenemos que:
1
10
z
y α= + o también 1
10
z
y α− = donde z es un número comprendido entre 0 y
10.
Si aplicamos la formula de Taylor de nuevo tenemos que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 11 2 2
1 2 2 1 0' 10 ' 10 ' ... 10 ' 10 ' 10 ' 0
n n nn n n
n n nP z R z R z R z R z R x R
− −− −
− −= + + + + + + =
Acotando las raíces en esta ecuación con los valores enteros de y de 0 a 10, habrá dos
sucesivos, digamos que son 2 2yα β , para los cuales ( )P z cambia de signo, y la parte
entera de “z” es 2α . Luego tenemos que:
2
10
u
z α= + o también 2
10
u
z α− = donde “u” es un número comprendido entre 0 y
10.
Siguiendo el proceso podemos obtener la parte entera de “u” y así sucesivamente tenemos
que:
31 2
2 3
...
10 10 10
r
αα α
α= + + + +
Este proceso de repite tanta veces como el número de cifras precisas se desee. Y los
coeficientes se obtienen mediante el uso del esquema de Horner.
Ejemplo: Dada la ecuación ( ) 3
5 1 0P x x x= − − = , calcular con seis cifras exactas la raíz
simple que se encuentra en el intervalo ( )2,3 .
Verificaremos que se produce un cambio de signo de ( )P x en ( )2,3 .
TOMAS NAVARRO 59

( ) ( ) ( )
3
2 2 5 2 1 8 10 1 3 0P = − − = − − = − < y
( ) ( ) ( )
3
3 3 5 3 1 27 15 1 27 15 1 11 0P = − − = − − = − − = >
Primer paso: La parte entera de la raíz es 2α = , luego:
2 , 2
10 10
y y
r o sea r= + − = .
Desarrollaremos la ecuación según potencia de ( )2x − , aplicando el esquema de Horner:
1 0 -5 -1
2 2 4 -2 Resulta así la ecuación transformada
1 2 -1 -3 ( ) ( ) ( )
3 2
2 6 2 7 2 3 0r r r− + − + − − = ,
2 2 8 tomando la relación dada.
1 4 7 por ( )2
10
y
r − = tenemos también que:
2 ( ) 3 2
60 700 3000 0.P y y y y= + + − = Esta
2 1 6 ecuación cambia de
signo en el intervalo ( )3,4 , es decir:
2 1
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 3 60 3 700 3 3000 333 0P = + + − = − <
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
4 4 60 4 700 4 3000 824 0P = + + − = >
TOMAS NAVARRO 60

luego la parte entera de “y” es 1 3;α = es decir 3
10
z
y = + , de donde 3 ,
10
z
y − = con
0 10z< < .
Segundo paso: Aplicamos nuevamente el esquema de Horner, para desarrollar según
potencias de ( )3y − :
1 60 700 -3000
3 3 189 2667 Resulta así la ecuación transformada
1 63 889 -333 ( ) ( ) ( )
3 2
3 69 3 1,087 3 333 0y y y− + − + − − = ,
3 3 198 tomando la
1 66 1087 relación dada por ( )3
10
z
y − = tenemos también que:
3 3 ( ) 3 2
690 108700 333000 0.P z z z z= + + − = Esta
1 69 ecuación cambia de signo en el intervalo ( )3,4 , es
decir:
3 1 ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 3 690 3 108700 3 333000 663 0P = + + − = − <
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
4 4 690 4 108700 4 333000 112904 0P = + + − = >
luego la parte entera de “z” es 2 3;α = es decir 3
10
u
z = + , de donde 3 ,
10
u
z − = con
0 10u< < .
Tercer paso: Aplicamos nuevamente el esquema de Horner, para desarrollar según potencias
TOMAS NAVARRO 61

de ( )3z − :
1 690 108700 -333000
3 3 2079 332337 Resulta así la ecuación transformada
1 693 11 0779 -663
3 2088 ( ) ( ) ( )
3 2
3 699 3 112,867 3 663 0z z z− + − + − − = ,
3 1 696 1 12867 tomando la ecuación dada por
3 ( )3
10
u
z − =
3 1 696 tenemos también que: Esta ecuación cambia
( ) 3 2
6990 11286700 663000 0.P z u u u= + + − =
3 1 Esta ecuación cambia de signo en el intervalo ( )0,1 , es
decir: ( )0 663000 0P = − <
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
1 1 6990 1 11286700 1 663000 10630691 0P = + + − = > luego la parte entera de
“u” es 3 0;α = es decir 0
10
v
u = + , de donde ,
10
v
u = con 0 10v< < .
Como en este caso la cifra calculada es cero, se agregan nuevamente los ceros a la ecuación
y se procede a hallar siguiente.
Cuarto paso:
( ) 3 2 2 4 6
699 10 112867 10 663 10 0P v v v v= + × + × − × =
( ) ( )4 4, 0,1 ;α β = luego 0
10
w
v = + es decir
10
w
v =
Otra vez la cifra calculada es cero, luego:
TOMAS NAVARRO 62

Quinto paso:
( ) 3 3 2 6 9
699 10 112867 10 663 10 0P w w w w= + × + × − × =
( ) ( )5 5, 5,6 ;α β = 5
10
s
w = + de donde 5
10
s
w − =
y así siguiendo podemos resumir diciendo que:
2 ,
10
y
r = + 3
10
z
y = + , 3
10
u
z = + , 0
10
v
u = + , 0
10
w
v = + , 5
10
s
w = + de
donde por sustitución tenemos que:
6
2.33005 2.33005...
10
s
r = + = la cual es la raíz buscada, con seis cifras exactas.
El método se utiliza para hallar una raíz irracional positiva. Si se quiere alguna raíz
negativa, basta con buscar la correspondiente raíz positiva de la ecuación transformada
en aquella cuyas raíces son las opuestas de las raíces de la ecuación original y
procedemos de la misma forma.
Ejercicios para hacer en clase:
Hallar con seis decimales la raíz de ( ) 3 2
2 23 70 0P x x x x= + − − = , comprendida entre 5 y 6
(entre estos límites existe al menos una raíz, ya que ( ) ( )5 10 6 80P y P= − = )
Ejercicios propuestos:
Para las ecuaciones dadas, calcular con tres cifras decimales la raíz que se encuentra en el
intervalo (1,2).
1. ( ) 4 3 2
4 12 6 0P x x x x x= + − − − =
TOMAS NAVARRO 63

2. ( ) 3
3 0P x x= − =
3. ( ) 3 2
10 34 60 0P x x x x= + + − =
4. ( ) 3 2
3 6 0P x x x x= + + − =
5. ( ) 3 2
5 2 6 0P x x x x= − + + =
TOMAS NAVARRO 64

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