El documento explica conceptos básicos sobre exponentes y notación científica. Cubre reglas de exponentes como el producto, cociente, potencia y potencia expandida. También explica exponentes negativos, conversión a notación científica y cálculos con esta notación. Por último, introduce polinomios, identificando, sumando y restando estos.

1. Matematicas Nivelatoria
“Si no te esfuerzas hasta el
máximo, ¿cómo sabrás donde
está tu límite?”
Ing. Medardo Galindo

2. 4.1 Exponentes
• Repasar los conceptos básicos de los
exponentes
• Aprender las reglas de los exponentes
• Simplificar una expresión antes de utilizar
la regla de la potencia expandida

3. Conceptos Básicos
• En la expresión 𝑥 𝑛, denominamos base a
la x, y a la n, exponente.
𝑥2 = 𝑥 ∙ 𝑥
𝑥4 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥
𝑚
𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙∙∙∙ 𝑥
𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦 = 𝑥 4 𝑦 3

4. Regla del producto
𝑥 𝑚 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑥 𝑚 +𝑛
• Ejemplo
𝑥 4 ∙ 𝑥 3 = 𝑥 4+3 = 𝑥 7
• Resolver
𝑎) 32 ∙ 3 𝑏) 24 ∙ 22 𝑐) 𝑥 ∙ 𝑥 4

5. Importante
Evitar errores comunes
𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
32 ∙ 31 = 33
𝐼𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
32 ∙ 31 = 93

6. Regla del cociente
𝑥𝑚 𝑚 −𝑛
𝑛
= 𝑥 , 𝑥≠0
𝑥
• Resolver
35 𝑥 12 𝑦10
𝑎) 2 𝑏) 5 𝑐) 8
3 𝑥 𝑦

7. • Cuando el denominador es mayor que el
del numerador, dividimos los factores
comunes.
𝑥5 /5
𝑥 1
= 5 7= 7
𝑥 12 /
𝑥 ∙ 𝑥 𝑥
• Resolver
𝑥9 𝑦4
𝑎) 12 𝑏) 9
𝑥 𝑦

8. • Regla del exponente cero
𝑥 0 = 1, 𝑥≠0
Resolver
𝑎) 𝑥 0 𝑏) 3𝑥 0 𝑐) 3 𝑥 0 𝑑) 4𝑥 2 𝑦 3 𝑧 0
• Regla de la potencia para los exponentes
(𝑥 𝑚 ) 𝑛 = 𝑥 𝑚 ∙𝑛
Resolver
𝑎) (𝑥 3 )5 𝑏) (34 )2

9. • Regla de la potencia expandida para
exponentes
𝑚
𝑎𝑥 𝑚 𝑎 𝑥𝑚
= 𝑚 𝑚
, 𝑏 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0
𝑏𝑦 𝑏 𝑦
• Simplificar
2
−3𝑦 3
𝑎) 𝑏) 5𝑥𝑦
2𝑧

10. • Simplificar una expresión antes de utilizar
la regla de la potencia expandida
3 2 3
9𝑥 𝑦
𝑎)
3𝑥𝑦 2
4 3 4
25𝑥 𝑦
𝑏)
5𝑥 2 𝑦 7
𝑐) 3𝑦 3 𝑧 2 4 (2𝑦 4 𝑧)

11. 4.2 Exponentes Negativos
• Entender la regla del exponente negativo
• Simplificar expresiones que contienen
exponentes negativos

12. Entender la regla del exponente
negativo
• Regla del exponente negativo
−𝑚
1
𝑥 = 𝑚, 𝑥≠0
𝑥
• Resolver
𝑎) 𝑥 −6 𝑏) 4−2

13. Simplificar expresiones con
exponentes negativos
• Por lo general, cuando simplifique una
expresión exponencial, la respuesta final
no debe contener exponente negativos.
1 1 1 𝑥2
= = ∙ = 𝑥2
𝑥 −2 1 2 1 1
𝑥

14. Resolver
𝑎) 7𝑥 4 (6𝑥 −9 )
16𝑟 3 𝑠 −3
𝑏)
8𝑟𝑠 2

15. • Regla de una fracción elevada a un
exponente negativo
𝑚
𝑎 𝑎 −𝑚 𝑏
, 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0, =
𝑏 𝑏 𝑎
• Simplificar
2 −3 −5
𝑥 𝑦
𝑎)
𝑧4

16. 4.3 Notación Científica
• Convertir números a notación científica y
viceversa
• Reconocer números en notación
científica con coeficiente 1
• Hacer cálculos con notación científica

17. Convertir números a notación
científica
• Es frecuente utilizar números muy
grandes o muy pequeños
• Para simplificar dichos números se
escriben en notación científica
𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑀𝑢𝑛𝑑𝑖𝑎𝑙 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑟𝑢𝑠 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑧𝑎
6,160,000,000 0.0000001
𝑁𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐶𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑁𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐶𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
6.16 × 109 1.0 × 10−7

18. • Escribimos cada numero en notación científica
como un mayor o igual a uno y menor que 10
(1 ≤ 𝑎 ≤ 10)
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
1.2 × 106
3.672 × 103
8.07 × 10−2

19. Para escribir en notación
científica
• Recorrer punto decimal del numero
original a la derecha del primer digito
diferente de cero. Esto cumple (1 ≤ 𝑎 ≤ 10)
• Contar numero de lugares que recorrimos
el punto decimal, si era 10 o mayor sera
positiva, si es menor que 1 negativa
• Multiplique el numero que obtuvimos en el
paso 1 por 10 elevado a la cuenta

20. Resolver
• Escriba los números siguientes en
notación científica
𝑎) 10,700
𝑏) 0.000386
𝑐) 972,000
𝑑) 0.0083

21. Convertir de notación científica
a decimal
• Observar exponente de la potencia 10
• Si el exponente es positivo, el punto
decimal del numero se recorre a la
derecha el mismo numero de lugares que
el exponente.
• Si es 0, el punto decimal no se mueve
• Si el exponente es negativo, el punto
decimal del numero se recorre a la
izquierda.

22. Resolver
• Escriba cada numero sin exponentes
𝑎) 2.9 × 104
𝑏) 6.28 × 10−3
𝑐) 7.95 × 108

23. Números en notación científica
con coeficiente 1
Prefijo Significado Símbolo
nano 10−9 𝑛
micro 10−6 𝜇
mili 10−3 𝑚
unidad base 100 1
kilo 103 𝑘
mega 106 𝑀
giga 109 𝐺
183 𝑛𝑎𝑛𝑜𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
Escriba sin prefijo numérico 52 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠

24. Cálculos con notación científica
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 4.2 × 106 2 × 10−4
𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙
3.2 × 10−6
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎
5 × 10−3
𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎

25. Aplicación
• El desplazamiento del crucero Disney
4
Magic es alrededor de 8.5 x 10 ton. El del
Destiny de la lineal Carnival, es cerca de
5
1.02 x 10
a.¿Cuánto mas grande es el
desplazamiento bruto del Destiny que el
de Disney Magic?

26. 4.4 Suma y Resta de
Polinomios
• Identificar Polinomios
• Sumar Polinomios
• Restar Polinomios
• Restar polinomios en columnas

27. Identificar Polinomios
• Un polinomio en x es una expresión que
contiene la suma de un numero finito de
n
términos de la forma ax , para cualquier
numero real a y cualquier numero entero
positivo n.

28. 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑁𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠
2𝑥 4𝑥 1/2
1 3𝑥 2 + 4𝑥 −1 + 5
𝑥−4
3 1
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 4+
𝑥

29. • Se escribe un polinomio en orden
descendente (o en potencias
descendentes) de la variable, con los
exponentes de esta en disminución de
izquierda a derecha.
𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
2𝑥 4 + 4𝑥 2 − 6𝑥 + 3

30. Tipos de Polinomios
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 # 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠
𝑀𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑈𝑛𝑜 8, 4𝑥, −6𝑥 2
𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝐷𝑜𝑠 𝑥 + 5, 𝑥 2 − 6, 4𝑦 2 − 5𝑦
𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑇𝑟𝑒𝑠 𝑥 2 − 2𝑥 + 3, 3𝑧 2 − 6𝑧 + 7

31. Grado de un termino
• Es el exponente que tiene la variable en
dicho termino.
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
4𝑥 2 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜
2𝑦 5 𝑄𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜
−5𝑥 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜
3 Cero

32. Suma de Polinomios
• Simplificar
𝑎) 4𝑥 2 + 6𝑥 + 3 + (2𝑥 2 + 5𝑥 − 1)
𝑏) 3𝑥 2 𝑦 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 + (𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦)
• Sumar con el uso de columnas
𝑐) 5𝑤 3 + 2𝑤 − 4 𝑦 (2𝑤 2 − 6𝑤 − 3)

33. Resta de Polinomios
• Usamos la propiedad distributiva para
eliminar paréntesis.
• Reducir términos semejantes
Simplificar
𝑎) 3𝑥 2 − 2𝑥 + 5 − (𝑥 2 − 3𝑥 + 4)
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 −3𝑥 2 − 5𝑥 + 3 𝑑𝑒(𝑥 3 + 2𝑥 + 6)

34. Resta Polinomios en Columnas
• Escriba el polinomio que va a restar
debajo del polinomio del que se restara.
• Cambie el signo de cada termino en el
polinomio que va a restar
• Sumar los términos en cada columna
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 2𝑥 2 − 6 𝑑𝑒 (−3𝑥 3 + 4𝑥 − 3)

35. 4.5 Multiplicación de Polinomios
• Multiplicar monomio por otro monomio
• Multiplicar polinomio por un monomio
• Multiplicar binomios por propiedad distrib.
• Multiplicar binomios por método PIES
• Multiplicar binomios con productos
notables
• Multiplicar polinomio por otro polinomio

36. Monomio por otro monomio
𝑎) 6𝑥 2 𝑦 7𝑥 5 𝑦 4 = 42𝑥 2+5 𝑦1+4
= 42𝑥 7 𝑦 5
𝑏) −4𝑥 4 𝑧 9 −3𝑥𝑦 7 𝑧 3 = 12𝑥 4+1 𝑦 7 𝑧 9+3
= 12𝑥 5 𝑦 7 𝑧12

37. Polinomio por un monomio
• Se emplea la propiedad distributiva
𝑎) − 3𝑛 4𝑛2 − 2𝑛 − 1 =
−3𝑛 4𝑛2 + −3𝑛 −2𝑛 + −3𝑛 (−1)
−12𝑛3 + 6𝑛2 + 3𝑛

38. Binomios por propiedad
distributiva
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 3𝑥 + 2 𝑥 − 5
= 3𝑥 + 2 𝑥 + 3𝑥 + 2 −5
= 3𝑥 2 + 2𝑥 − 15𝑥 − 10
= 3𝑥 2 − 13𝑥 − 10

39. Método PIES

40. Productos Notables
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑚𝑎
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑚𝑎
2𝑥 + 4 2𝑥 − 4 , 𝑠𝑒𝑎 𝑎 = 2𝑥 𝑦 𝑏 = 4
2 2
2𝑥 − 4 = 4𝑥 2 − 16

41. Cuadrado de un Binomio
1. (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
2. (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟
1. 𝑥 + 5 2
2. 2𝑥 − 4 2

42. Polinomio por polinomio
• Resolver
3𝑥 + 2 4𝑥 2 − 5𝑥 − 3
= 3𝑥 4𝑥 2 − 5𝑥 − 3 + 2 4𝑥 2 − 5𝑥 − 3
= 12𝑥 3 − 15𝑥 2 − 9𝑥 + 8𝑥 2 − 10𝑥 − 6
= 12𝑥 3 − 7𝑥 2 − 19𝑥 − 6

43. 4.6 División de Polinomios
• Dividir Polinomio entre un monomio
• Dividir un polinomio entre un binomio
• Comprobación de problemas de división
de polinomios
• Escribir polinomios en orden descendente
al dividir.

44. Dividir Polinomio entre un
Monomio
• Para dividir un polinomio entre un
monomio, dividimos cada termino del
polinomio entre el monomio.
Resolver
2𝑥 + 16
𝑎)
2
10𝑥 2 − 4𝑥 4𝑡 5 − 6𝑡 4 + 8𝑡 − 3
𝑏) 𝑐)
2𝑥 2𝑡 2

45. Evitar Errores Comunes
𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑥+2 𝑥 2 𝑥 𝑥+2 𝑥+1
𝑎) = + = +1 𝑎) = = 𝑥+1
2 2 2 2 2 1
𝑥+2 𝑥 2 2 𝑥+2 𝑥+2 1+2
𝑏) = + =1+ 𝑏) = = =3
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1

46. Dividir un Polinomio entre un
Binomio
• Dividimos un polinomio entre un binomio
de manera muy parecida a como
realizamos una división larga.
Resolver 𝑥 2 + 6𝑥 + 8
𝑎)
𝑥+2
6𝑥 2 − 5𝑥 + 5
𝑏)
2𝑥 + 3

47. Comprobación de problemas de
división de polinomios
• Para verificar la división de polinomios
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 × 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
• Comprobaremos la respuesta del ejercicio
c. El divisor es 2x + 3, el cociente 3x – 7,
el residuo es 26, y el dividendo 6𝑥 2 − 5𝑥 + 5

48. Escribir Polinomios en orden
descendente
• Al dividir un polinomio entre un binomio,
escribimos tanto el polinomio como el
monomio en orden descendente.
• Si no existe un termino elevado a una
potencia dada, a menudo es útil incluirlo
con un coeficiente de 0. Para conservar el
lugar
Resolver: 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 −𝑥 + 9𝑥 3 − 28 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (3𝑥 − 4)