traslaciones de graficas

1. Transformaciones de gráficas
http://www.lahc.edu/math/precalculus/math_260a.html

2. Transformaciones de gráficas
Calistenia de funciones (Autor desconocido)

3. ojos, labios y rostros

4. Objetivos:
* Estirar verticalmente y comprimir
gráficas
* Traslaciones verticales y
horizontales de gráficas
Transformaciones de gráficas

5. Usando software de manipulación de imágenes,
podemos arrastrar y soltar o estirar imágenes.
Transformaciones de gráficas

6. Usando software de manipulación de imágenes,
podemos arrastrar y soltar o estirar imágenes. Por
ejemplo
y = f(x)
Transformaciones de gráficas

7. Usando software de manipulación de imágenes,
podemos arrastrar y soltar o estirar imágenes. Por
ejemplo, podemos estirar,
estirar
y = f(x)
Transformaciones de gráficas

8. Usando software de manipulación de imágenes,
podemos arrastrar y soltar o estirar imágenes. Por
ejemplo, podemos estirar, arrastrar, bajar y reflejar
horizontalmente la imagen mostrada,
estirar
bajar
y = f(x)
Transformaciones de gráficas

9. Usando software de manipulación de imágenes,
podemos arrastrar y soltar o estirar imágenes. Por
ejemplo, podemos estirar, arrastrar, bajar y reflejar
horizontalmente la imagen mostrada,
estirar
bajar
reflejar
horizontalmente
para crear otro
patrón.
y = f(x)
Transformaciones de gráficas

10. Usando software de manipulación de imágenes,
podemos arrastrar y soltar o estirar imágenes. Por
ejemplo, podemos estirar, arrastrar, bajar y reflejar
horizontalmente la imagen mostrada,
estirar
bajar
reflejar
horizontalmente
para crear otro
patrón.
Si la imagen original
es la gráfica de la
función y = f(x),
entonces podemos
denotar estas
transformaciones
por medio de
notación funcional.
y = f(x)
Transformaciones de gráficas

11. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de su gráfica, como se muestra,
el valor f(x) = y representa la altura de este punto.
x
P = (x, f(x))
f(x) = ht y= f(x)
x
Traslaciones verticales

12. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de su gráfica, como se muestra,
el valor f(x) = y representa la altura de este punto.
x
P = (x, f(x))
f(x) = ht y= f(x)
Así, expresiones en términos de f(x)
pueden reescribirse para
representar la manipulación
realizada a la gráfica original.
x
Traslaciones verticales

13. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de su gráfica, como se muestra,
el valor f(x) = y representa la altura de este punto.
x
P = (x, f(x))
f(x) = ht y= f(x)
Así, expresiones en términos de f(x)
pueden reescribirse para
representar la manipulación
realizada a la gráfica original.
Translaciones verticales x
Traslaciones verticales

14. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de su gráfica, como se muestra,
el valor f(x) = y representa la altura de este punto.
x
P = (x, f(x))
f(x) = ht y= f(x)
Así, expresiones en términos de f(x)
pueden reescribirse para
representar la manipulación
realizada a la gráfica original.
Translaciones verticales
Cambiar la coordenada Y a
f(x) + 3 sube 3 unidades el punto P.
(x, f(x)+3)
x
Traslaciones verticales

15. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de su gráfica, como se muestra,
el valor f(x) = y representa la altura de este punto.
x
P = (x, f(x))
f(x) = ht y= f(x)
Así, expresiones en términos de f(x)
pueden reescribirse para
representar la manipulación
realizada a la gráfica original.
Translaciones verticales
Cambiar la coordenada Y a
f(x) + 3 sube 3 unidades el punto P.
Por lo tanto, y = f(x) + 3 representa mover toda la
gráfica 3 unidades hacia arriba.
(x, f(x)+3)
y= f(x) + 3
x
Traslaciones verticales

16. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de su gráfica, como se muestra,
el valor f(x) = y representa la altura de este punto.
x
P = (x, f(x))
f(x) = ht y= f(x)
Así, expresiones en términos de f(x)
pueden reescribirse para
representar la manipulación
realizada a la gráfica original.
Translaciones verticales
Cambiar la coordenada Y a
f(x) + 3 sube 3 unidades el punto P.
Por lo tanto, y = f(x) + 3 representa mover toda la
gráfica 3 unidades hacia arriba. Asimismo, cambiar
la coordenada Y a f(x) – 3 representa bajar 3
unidades todos los puntos de la gráfica y = f(x).
(x, f(x)+3)
(x, f(x)–3)
y= f(x) – 3
y= f(x) + 3
x
Traslaciones verticales

17. La gráfica de (x, y = f(x) + c) es el desplazamiento
vertical de la gráfica (x, f(x)).
Traslaciones verticales
Traslaciones verticales

18. La gráfica de (x, y = f(x) + c) es el desplazamiento
vertical de la gráfica (x, f(x)).
Traslaciones verticales
P = (x, f(x)) y= f(x)
(x, f(x)+c)
donde c > 0
(x, f(x)+c)
donde c < 0
Traslaciones verticales

19. La gráfica de (x, y = f(x) + c) es el desplazamiento
vertical de la gráfica (x, f(x)).
Traslaciones verticales
P = (x, f(x)) y= f(x)
(x, f(x)+c)
donde c > 0
(x, f(x)+c)
donde c < 0
Por ejemplo,
y = f(x) = x2
y = f(x) + 5 = x2 + 5
y = x2
y = x2 + 5
(0, 0)
(0, 5)
x
Traslaciones verticales

20. La gráfica de (x, y = f(x) + c) es el desplazamiento
vertical de la gráfica (x, f(x)). Si
c > 0, subir la gráfica (x, f(x)) se
denota como (x, f(x) + c).
Traslaciones verticales
P = (x, f(x)) y= f(x)
(x, f(x)+c)
donde c > 0
(x, f(x)+c)
donde c < 0
Por ejemplo,
y = f(x) = x2
y = f(x) + 5 = x2 + 5
y = x2
y = x2 + 5
(0, 0)
(0, 5)
x
Traslaciones verticales

21. La gráfica de (x, y = f(x) + c) es el desplazamiento
vertical de la gráfica (x, f(x)). Si
c > 0, subir la gráfica (x, f(x)) se
denota como (x, f(x) + c).
Traslaciones verticales
P = (x, f(x)) y= f(x)
(x, f(x)+c)
donde c > 0
(x, f(x)+c)
donde c < 0
Por ejemplo,
y = f(x) = x2
y = f(x) + 5 = x2 + 5
y = f(x) = x2
y = f(x) – 5 = x2 – 5
y = x2
y = x2 + 5
y = x2 – 5
y = x2
(0, 0)
(0, 5)
(0, 0)
(0, –5)
x
x
Traslaciones verticales

22. La gráfica de (x, y = f(x) + c) es el desplazamiento
vertical de la gráfica (x, f(x)). Si
c > 0, subir la gráfica (x, f(x)) se
denota como (x, f(x) + c).
Traslaciones verticales
Bajar la gráfica (x, f(x)) se denota
como (x, f(x) – c).
P = (x, f(x)) y= f(x)
(x, f(x)+c)
donde c > 0
(x, f(x)+c)
donde c < 0
Por ejemplo,
y = f(x) = x2
y = f(x) + 5 = x2 + 5
y = f(x) = x2
y = f(x) – 5 = x2 – 5
y = x2
y = x2 + 5
y = x2 – 5
y = x2
(0, 0)
(0, 5)
(0, 0)
(0, –5)
x
x
Traslaciones verticales

23. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de la gráfica mostrada,
P = (x, f(x))
y= f(x)
Estiramiento vertical y compresión

24. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de la gráfica mostrada,
reescribir la coordenada Y como 3f(x)
triplicará la altura del punto P.
P = (x, f(x))
y= f(x)
y= 3f(x)
Estiramiento vertical y compresión

25. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de la gráfica mostrada,
reescribir la coordenada Y como 3f(x)
triplicará la altura del punto P.
P = (x, f(x))
y= f(x)
Por lo tanto y = 3f(x) denota alargar
todos los puntos de la gráfica por 3,
mientras las abscisas al origen (x, 0)
permanecen en el mismo lugar,
pues 3(0) = 0.
y= 3f(x)
Estiramiento vertical y compresión

26. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de la gráfica mostrada,
reescribir la coordenada Y como 3f(x)
triplicará la altura del punto P.
P = (x, f(x))
y= f(x)
Por lo tanto y = 3f(x) denota alargar
todos los puntos de la gráfica por 3,
mientras las abscisas al origen (x, 0)
permanecen en el mismo lugar,
pues 3(0) = 0.
y= 3f(x)
Estiramiento vertical y compresión

27. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de la gráfica mostrada,
reescribir la coordenada Y como 3f(x)
triplicará la altura del punto P.
P = (x, f(x))
y= f(x)
Por lo tanto y = 3f(x) denota alargar
todos los puntos de la gráfica por 3,
mientras las abscisas al origen (x, 0)
permanecen en el mismo lugar,
pues 3(0) = 0.
De la misma manera, y = (1/3)f(x) denota
la compresión de la gráfica a un tercio de
su tamaño original, mientras que las
abscisas permanecen en el mismo lugar.
y= 3f(x)
Estiramiento vertical y compresión

28. Dada una función y = f(x) y P = (x, y = f(x))
un punto cualquiera de la gráfica mostrada,
reescribir la coordenada Y como 3f(x)
triplicará la altura del punto P.
P = (x, f(x))
y= f(x)
Por lo tanto y = 3f(x) denota alargar
todos los puntos de la gráfica por 3,
mientras las abscisas al origen (x, 0)
permanecen en el mismo lugar,
pues 3(0) = 0.
De la misma manera, y = (1/3)f(x) denota
la compresión de la gráfica a un tercio de
su tamaño original, mientras que las
abscisas permanecen en el mismo lugar.
y= 3f(x)
y= f(x)/3
Estiramiento vertical y compresión

29. Suponiendo que c > 0, la gráfica de y = cf(x) representa
el estiramiento vertical o compresión de y = f(x).
Estiramiento vertical y compresión

30. Suponiendo que c > 0, la gráfica de y = cf(x) representa
el estiramiento vertical o compresión de y = f(x).
Por ejemplo,
y = f(x) = 4 – x2
y = 3f(x) = 3(4 – x2)
y = 4 – x2
y = 3(4 – x2)
(0, 4)
(0, 12)
(–2, 0) (2, 0)
c = 3
x
Estiramiento vertical y compresión

31. Suponiendo que c > 0, la gráfica de y = cf(x) representa
el estiramiento vertical o compresión de y = f(x).
Si c > 1, este será un estiramiento por un factor c.
Por ejemplo,
y = f(x) = 4 – x2
y = 3f(x) = 3(4 – x2)
y = 4 – x2
y = 3(4 – x2)
(0, 4)
(0, 12)
(–2, 0) (2, 0)
c = 3
x
Estiramiento vertical y compresión

32. Suponiendo que c > 0, la gráfica de y = cf(x) representa
el estiramiento vertical o compresión de y = f(x).
Si c > 1, este será un estiramiento por un factor c.
Por ejemplo,
y = f(x) = 4 – x2
y = 3f(x) = 3(4 – x2)
y = f(x) = 4 – x2
y = f(x)/2 = (4 – x2)/2
y = 4 – x2
y = 3(4 – x2)
y = 4 – x2
y = (4 – x2)/2
(0, 4)
(0, 12)
(0, 4)
(0, 2)
(–2, 0) (2, 0)
(–2, 0) (2, 0)
c = 3 c = 1/2
x
x
Estiramiento vertical y compresión

33. Suponiendo que c > 0, la gráfica de y = cf(x) representa
el estiramiento vertical o compresión de y = f(x).
Si c > 1, este será un estiramiento por un factor c.
Si 0 < c < 1, este será una compresión por un factor c.
Por ejemplo,
y = f(x) = 4 – x2
y = 3f(x) = 3(4 – x2)
y = f(x) = 4 – x2
y = f(x)/2 = (4 – x2)/2
y = 4 – x2
y = 3(4 – x2)
y = 4 – x2
y = (4 – x2)/2
(0, 4)
(0, 12)
(0, 4)
(0, 2)
(–2, 0) (2, 0)
(–2, 0) (2, 0)
c = 3 c = 1/2
x
x
Estiramiento vertical y compresión

34. Reescribir la coordenada Y como –f(x) refleja el punto
P verticalmente a través el eje X como Q(x, –f(x)).
P = (x, f(x))
y= f(x)
x
Estiramiento vertical y compresión

35. Reescribir la coordenada Y como –f(x) refleja el punto
P verticalmente a través el eje X como Q(x, –f(x)).
P = (x, f(x))
y= f(x)
Q = (x, –f(x))
x
Estiramiento vertical y compresión

36. Reescribir la coordenada Y como –f(x) refleja el punto
P verticalmente a través el eje X como Q(x, –f(x)).
P = (x, f(x))
y= f(x)
Entonces y = –f(x) representa
reflejar todos los puntos de la
gráfica verticalmente a través
del eje X.
y= –f(x)Q = (x, –f(x))
x
Estiramiento vertical y compresión

37. Reescribir la coordenada Y como –f(x) refleja el punto
P verticalmente a través el eje X como Q(x, –f(x)).
P = (x, f(x))
y= f(x)
Entonces y = –f(x) representa
reflejar todos los puntos de la
gráfica verticalmente a través
del eje X. Por lo tanto
y = –cf(x) = c*(–f(x)) denota
reflejar la gráfica (x, f(x))
verticalmente, y luego
estirar la reflexión por un factor c.
y= –f(x)Q = (x, –f(x))
x
Estiramiento vertical y compresión

38. Reescribir la coordenada Y como –f(x) refleja el punto
P verticalmente a través el eje X como Q(x, –f(x)).
P = (x, f(x))
y= f(x)
Entonces y = –f(x) representa
reflejar todos los puntos de la
gráfica verticalmente a través
del eje X. Por lo tanto
y = –cf(x) = c*(–f(x)) denota
reflejar la gráfica (x, f(x))
verticalmente, y luego
estirar la reflexión por un factor c.
y= –f(x)
y= –2f(x)
Q = (x, –f(x))
(x, –2f(x))
x
Estiramiento vertical y compresión

39. Reescribir la coordenada Y como –f(x) refleja el punto
P verticalmente a través el eje X como Q(x, –f(x)).
P = (x, f(x))
y= f(x)
Entonces y = –f(x) representa
reflejar todos los puntos de la
gráfica verticalmente a través
del eje X. Por lo tanto
y = –cf(x) = c*(–f(x)) denota
reflejar la gráfica (x, f(x))
verticalmente, y luego
estirar la reflexión por un factor c.
El orden en el que hagamos estas transformaciones
no importa, “reflejar luego estirar” o “estirar luego
reflejar” producen el mismo resultado. Esto no ocurre
cuando “estiramos” y “desplazamos verticalmente”.
y= –f(x)
y= –2f(x)
Q = (x, –f(x))
(x, –2f(x))
x
Estiramiento vertical y compresión

40. Ejemplo A.
a. Dada la gráfica de y = f(x),
grafica y = g(x) = –2f(x) + 3
(–3, 1)
(–1, –1)
(1, 1) (2, 1)
x
Estiramiento vertical y compresión

41. Ejemplo A.
a. Dada la gráfica de y = f(x),
grafica y = g(x) = –2f(x) + 3
(–3, 1)
(–1, –1)
(1, 1) (2, 1)
“–2f(x)" corresponde al estiramiento de la gráfica por
un factor de 2, y luego reflejar la gráfica a través del
eje X. Finalmente movemos 3 unidades hacia arriba.
x
Estiramiento vertical y compresión

42. Ejemplo A.
a. Dada la gráfica de y = f(x),
grafica y = g(x) = –2f(x) + 3
(–3, 1)
(–1, –1)
(1, 1) (2, 1)
“–2f(x)" corresponde al estiramiento de la gráfica por
un factor de 2, y luego reflejar la gráfica a través del
eje X. Finalmente movemos 3 unidades hacia arriba.
Para dibujar la gráfica, localizaremos los “puntos
importantes”.
x
Estiramiento vertical y compresión

43. Ejemplo A.
a. Dada la gráfica de y = f(x),
grafica y = g(x) = –2f(x) + 3
(–3, 1)
(–1, –1)
(1, 1) (2, 1)
“–2f(x)" corresponde al estiramiento de la gráfica por
un factor de 2, y luego reflejar la gráfica a través del
eje X. Finalmente movemos 3 unidades hacia arriba.
Para dibujar la gráfica, localizaremos los “puntos
importantes”. Sustituiremos sus coordenadas en X
para encontrar los nuevos valores en Y.
x
Estiramiento vertical y compresión

44. Ejemplo A.
a. Dada la gráfica de y = f(x),
grafica y = g(x) = –2f(x) + 3
(–3, 1)
(–1, –1)
(1, 1) (2, 1)
“–2f(x)" corresponde al estiramiento de la gráfica por
un factor de 2, y luego reflejar la gráfica a través del
eje X. Finalmente movemos 3 unidades hacia arriba.
Para dibujar la gráfica, localizaremos los “puntos
importantes”. Sustituiremos sus coordenadas en X
para encontrar los nuevos valores en Y.
(–3, 1)
x
y = g(x) = –2f(x) + 3y = f(x)
Estiramiento vertical y compresión

45. Ejemplo A.
a. Dada la gráfica de y = f(x),
grafica y = g(x) = –2f(x) + 3
(–3, 1)
(–1, –1)
(1, 1) (2, 1)
“–2f(x)" corresponde al estiramiento de la gráfica por
un factor de 2, y luego reflejar la gráfica a través del
eje X. Finalmente movemos 3 unidades hacia arriba.
Para dibujar la gráfica, localizaremos los “puntos
importantes”. Sustituiremos sus coordenadas en X
para encontrar los nuevos valores en Y.
(–3, 1) (–3, –2f(–3) + 3 = 1)
x
y = g(x) = –2f(x) + 3y = f(x)
Estiramiento vertical y compresión

46. Ejemplo A.
a. Dada la gráfica de y = f(x),
grafica y = g(x) = –2f(x) + 3
(–3, 1)
(–1, –1)
(1, 1) (2, 1)
“–2f(x)" corresponde al estiramiento de la gráfica por
un factor de 2, y luego reflejar la gráfica a través del
eje X. Finalmente movemos 3 unidades hacia arriba.
Para dibujar la gráfica, localizaremos los “puntos
importantes”. Sustituiremos sus coordenadas en X
para encontrar los nuevos valores en Y.
(–3, 1) (–3, –2f(–3) + 3 = 1)
(–1, –1) (–1, –2f(–1) + 3 = 5)
x
y = g(x) = –2f(x) + 3y = f(x)
Estiramiento vertical y compresión

47. Ejemplo A.
a. Dada la gráfica de y = f(x),
grafica y = g(x) = –2f(x) + 3
(–3, 1)
(–1, –1)
(1, 1) (2, 1)
“–2f(x)" corresponde al estiramiento de la gráfica por
un factor de 2, y luego reflejar la gráfica a través del
eje X. Finalmente movemos 3 unidades hacia arriba.
Para dibujar la gráfica, localizaremos los “puntos
importantes”. Sustituiremos sus coordenadas en X
para encontrar los nuevos valores en Y.
(–3, 1) (–3, –2f(–3) + 3 = 1)
(–1, –1) (–1, –2f(–1) + 3 = 5)
(1, 1) (1, –2f(1) + 3 = 1)
(2, 1) (2, –2f(2) + 3 = 1)
x
y = g(x) = –2f(x) + 3y = f(x)
Estiramiento vertical y compresión

48. Ejemplo A.
a. Dada la gráfica de y = f(x),
grafica y = g(x) = –2f(x) + 3
(–3, 1)
(–1, –1)
(1, 1) (2, 1)
“–2f(x)" corresponde al estiramiento de la gráfica por
un factor de 2, y luego reflejar la gráfica a través del
eje X. Finalmente movemos 3 unidades hacia arriba.
Para dibujar la gráfica, localizaremos los “puntos
importantes”. Sustituiremos sus coordenadas en X
para encontrar los nuevos valores en Y.
(–3, 1) (–3, –2f(–3) + 3 = 1)
(–1, –1) (–1, –2f(–1) + 3 = 5)
(1, 1) (1, –2f(1) + 3 = 1)
(2, 1) (2, –2f(2) + 3 = 1)
(–3, 1)
(–1, 5)
(1, 1)
(2, 1)
x
x
y = g(x) = –2f(x) + 3y = f(x) Gráfica de
y = g(x)
Estiramiento vertical y compresión

49. Traslaciones horizontales
y= f(x)
x
Sea y = f(x) una función.

50. Traslaciones horizontales
y= f(x)
x
Sea y = f(x) una función.
Definamos g(x) = f(x + 1),
la cual queremos graficar.

51. Traslaciones horizontales
x
y= f(x)
x
Sea y = f(x) una función.
Definamos g(x) = f(x + 1),
la cual queremos graficar.
Para el punto x, la coordenada
Y es y = g(x) = f(x + 1),

52. Traslaciones horizontales
x
(x+1, f(x+1))
ht =f(x+1)
y= f(x)
x
Sea y = f(x) una función.
Definamos g(x) = f(x + 1),
la cual queremos graficar.
Para el punto x, la coordenada
Y es y = g(x) = f(x + 1),
x+1

53. Traslaciones horizontales
x
(x+1, f(x+1))
ht =f(x+1)
y= f(x)
x
Sea y = f(x) una función.
Definamos g(x) = f(x + 1),
la cual queremos graficar.
Para el punto x, la coordenada
Y es y = g(x) = f(x + 1),
así que el punto(x, g(x) = f(x +1))
está en la gráfica de g(x). x+1

54. Traslaciones horizontales
x
(x+1, f(x+1))
ht =f(x+1)
y= f(x)
x
Sea y = f(x) una función.
Definamos g(x) = f(x + 1),
la cual queremos graficar.
Para el punto x, la coordenada
Y es y = g(x) = f(x + 1),
así que el punto(x, g(x) = f(x +1))
está en la gráfica de g(x). x+1
(x, f(x +1))

55. Traslaciones horizontales
x
(x+1, f(x+1))
ht =f(x+1)
y= f(x)
x
Sea y = f(x) una función.
Definamos g(x) = f(x + 1),
la cual queremos graficar.
Para el punto x, la coordenada
Y es y = g(x) = f(x + 1),
así que el punto(x, g(x) = f(x +1))
está en la gráfica de g(x). ux+1
(x, f(x +1))
Igualmente, para el punto u

56. Traslaciones horizontales
x
(x+1, f(x+1))
ht =f(x+1)
y= f(x)
x
Sea y = f(x) una función.
Definamos g(x) = f(x + 1),
la cual queremos graficar.
Para el punto x, la coordenada
Y es y = g(x) = f(x + 1),
así que el punto(x, g(x) = f(x +1))
está en la gráfica de g(x). u
(u+1, f(u+1))
ht = f(u+1)
u+1x+1
(x, f(x +1))
Igualmente, para el punto u
tenemos y = g(u) = f(u + 1)

57. Traslaciones horizontales
x
(x+1, f(x+1))
ht =f(x+1)
y= f(x)
x
Sea y = f(x) una función.
Definamos g(x) = f(x + 1),
la cual queremos graficar.
Para el punto x, la coordenada
Y es y = g(x) = f(x + 1),
así que el punto(x, g(x) = f(x +1))
está en la gráfica de g(x). u
(u+1, f(u+1))
ht = f(u+1)
u+1x+1
(x, f(x +1))
(u, f(u +1))
Igualmente, para el punto u
tenemos y = g(u) = f(u + 1) así que el punto(u, f(u +1))
está en la gráfica de g(x).

58. Por lo tanto, para obtener la gráfica de y = f(x + 1),
moveremos la gráfica de y = f(x), 1 unidad a la izquierda.
Traslaciones horizontales
x
(x+1, f(x+1))
ht =f(x+1)
y= f(x)
x
Sea y = f(x) una función.
Definamos g(x) = f(x + 1),
la cual queremos graficar.
Para el punto x, la coordenada
Y es y = g(x) = f(x + 1),
así que el punto(x, g(x) = f(x +1))
está en la gráfica de g(x). u
(u+1, f(u+1))
ht = f(u+1)
u+1x+1
y = g(x) or
y = f(x + 1)
(x, f(x +1))
(u, f(u +1))
Igualmente, para el punto u
tenemos y = g(u) = f(u + 1) así que el punto(u, f(u +1))
está en la gráfica de g(x).
Desplazamiento
hacia la izquierda

59. Por lo tanto, para obtener la gráfica de y = f(x + 1),
moveremos la gráfica de y = f(x), 1 unidad a la izquierda.
Traslaciones horizontales
x
(x+1, f(x+1))
ht =f(x+1)
y= f(x)
x
Sea y = f(x) una función.
Definamos g(x) = f(x + 1),
la cual queremos graficar.
Para el punto x, la coordenada
Y es y = g(x) = f(x + 1),
así que el punto(x, g(x) = f(x +1))
está en la gráfica de g(x). u
(u+1, f(u+1))
ht = f(u+1)
u+1x+1
y = g(x) or
y = f(x + 1)
(x, f(x +1))
(u, f(u +1))
Igualmente, para el punto u
tenemos y = g(u) = f(u + 1) así que el punto(u, f(u +1))
está en la gráfica de g(x).
Desplazamiento
hacia la izquierda
Podemos demostrar de la misma manera que y = f(x – 1)
denota mover 1 unidad a la derecha y = f(x).

60. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = f(x + c) es el desplazamiento
horizontal de y = f(x), c unidades.
Traslaciones horizontales

61. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = f(x + c) es el desplazamiento
horizontal de y = f(x), c unidades.
Ejemplo B. Grafica las siguientes funciones
trasladando la gráfica de y = f(x) = x2. Localiza sus
vértices.
a. g(x) = (x + 2)2 = f(x + 2)
x
y=x 2
b. h(x) = (x – 2)2 = f(x – 2)
Desplazamiento
horizontal
Traslaciones horizontales

62. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = f(x + c) es el desplazamiento
horizontal de y = f(x), c unidades. Si c > 0:
mover y = f(x) a la derecha se denota y = f(x + c).
Ejemplo B. Grafica las siguientes funciones
trasladando la gráfica de y = f(x) = x2. Localiza sus
vértices.
a. g(x) = (x + 2)2 = f(x + 2)
x
y=x 2
b. h(x) = (x – 2)2 = f(x – 2)
Desplazamiento
horizontal
Traslaciones horizontales

63. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = f(x + c) es el desplazamiento
horizontal de y = f(x), c unidades. Si c > 0:
mover y = f(x) a la derecha se denota y = f(x + c).
Ejemplo B. Grafica las siguientes funciones
trasladando la gráfica de y = f(x) = x2. Localiza sus
vértices.
a. g(x) = (x + 2)2 = f(x + 2)
mueve la gráfica y = x2, 2 unidades
a la izquierda.
x
y=x 2
b. h(x) = (x – 2)2 = f(x – 2)
Desplazamiento
horizontal
Traslaciones horizontales

64. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = f(x + c) es el desplazamiento
horizontal de y = f(x), c unidades. Si c > 0:
y=(x + 2)2
mover y = f(x) a la derecha se denota y = f(x + c).
Ejemplo B. Grafica las siguientes funciones
trasladando la gráfica de y = f(x) = x2. Localiza sus
vértices.
a. g(x) = (x + 2)2 = f(x + 2)
mueve la gráfica y = x2, 2 unidades
a la izquierda.
x
y=x 2
b. h(x) = (x – 2)2 = f(x – 2)
Desplazamiento
horizontal
Traslaciones horizontales

65. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = f(x + c) es el desplazamiento
horizontal de y = f(x), c unidades. Si c > 0:
y=(x + 2)2
mover y = f(x) a la derecha se denota y = f(x + c).
Ejemplo B. Grafica las siguientes funciones
trasladando la gráfica de y = f(x) = x2. Localiza sus
vértices.
a. g(x) = (x + 2)2 = f(x + 2)
mueve la gráfica y = x2, 2 unidades
a la izquierda. Su vértice es (–2, 0).
x
y=x 2
b. h(x) = (x – 2)2 = f(x – 2)
Desplazamiento
horizontal
(–2, 0)
Traslaciones horizontales

66. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = f(x + c) es el desplazamiento
horizontal de y = f(x), c unidades. Si c > 0:
y=(x + 2)2
mover y = f(x) a la derecha se denota y = f(x + c).
mover y = f(x) a la izquierda se denota y = f(x – c).
Ejemplo B. Grafica las siguientes funciones
trasladando la gráfica de y = f(x) = x2. Localiza sus
vértices.
a. g(x) = (x + 2)2 = f(x + 2)
mueve la gráfica y = x2, 2 unidades
a la izquierda. Su vértice es (–2, 0).
x
y=x 2
b. h(x) = (x – 2)2 = f(x – 2)
Desplazamiento
horizontal
(–2, 0)
Traslaciones horizontales

67. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = f(x + c) es el desplazamiento
horizontal de y = f(x), c unidades. Si c > 0:
y=(x + 2)2
mover y = f(x) a la derecha se denota y = f(x + c).
mover y = f(x) a la izquierda se denota y = f(x – c).
Ejemplo B. Grafica las siguientes funciones
trasladando la gráfica de y = f(x) = x2. Localiza sus
vértices.
a. g(x) = (x + 2)2 = f(x + 2)
mueve la gráfica y = x2, 2 unidades
a la izquierda. Su vértice es (–2, 0).
x
y=x 2
b. h(x) = (x – 2)2 = f(x – 2)
mueve la gráfica y = x2, 2 unidades
a la derecha. Su vértice es (2, 0). Desplazamiento
horizontal
(–2, 0)
Traslaciones horizontales

68. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = f(x + c) es el desplazamiento
horizontal de y = f(x), c unidades. Si c > 0:
y=(x + 2)2 y=(x – 2)2
mover y = f(x) a la derecha se denota y = f(x + c).
mover y = f(x) a la izquierda se denota y = f(x – c).
Ejemplo B. Grafica las siguientes funciones
trasladando la gráfica de y = f(x) = x2. Localiza sus
vértices.
a. g(x) = (x + 2)2 = f(x + 2)
mueve la gráfica y = x2, 2 unidades
a la izquierda. Su vértice es (–2, 0).
x
y=x 2
b. h(x) = (x – 2)2 = f(x – 2)
mueve la gráfica y = x2, 2 unidades
a la derecha. Su vértice es (2, 0). Desplazamiento
horizontal
(–2, 0) (2, 0)
Traslaciones horizontales

69. x
0
y= f(x)
Estiramiento horizontal y compresión
Sean y = f(x) y
g(x) = f(2x) funciones.

70. x
x0
y= f(x)
Estiramiento horizontal y compresión
Sean y = f(x) y
g(x) = f(2x) funciones.
Para el punto x,
el valor en Y es
g(x) = f(2x),

71. x
x0
y= f(x)
Estiramiento horizontal y compresión
Sean y = f(x) y
g(x) = f(2x) funciones.
Para el punto x,
el valor en Y es
g(x) = f(2x), así que
(x, y = f(2x)) forma parte de la gráfica de g(x).

72. 2x
ht =f(2x) x
ux0
y= f(x)
(2x, f(2x))
Estiramiento horizontal y compresión
Sean y = f(x) y
g(x) = f(2x) funciones.
Para el punto x,
el valor en Y es
g(x) = f(2x), así que
(x, y = f(2x)) forma parte de la gráfica de g(x).

73. 2x
ht =f(2x) x
ux0
y= f(x)
(x, g(x)=f(2x))
(2x, f(2x))
Estiramiento horizontal y compresión
Sean y = f(x) y
g(x) = f(2x) funciones.
Para el punto x,
el valor en Y es
g(x) = f(2x), así que
(x, y = f(2x)) forma parte de la gráfica de g(x).

74. 2x
ht =f(2x) x
u
Asimismo, para el punto u, el valor en Y es g(u) = f(2u)
así que el punto (u, y = f(2u)) está en la gráfica de g(x).
x0
y= f(x)
(x, g(x)=f(2x))
(2x, f(2x))
Estiramiento horizontal y compresión
Sean y = f(x) y
g(x) = f(2x) funciones.
Para el punto x,
el valor en Y es
g(x) = f(2x), así que
(x, y = f(2x)) forma parte de la gráfica de g(x).

75. 2x
ht =f(2x) x
2u
(2u, f(2u))
ht = f(2u)
u
Asimismo, para el punto u, el valor en Y es g(u) = f(2u)
así que el punto (u, y = f(2u)) está en la gráfica de g(x).
x0
y= f(x)
(x, g(x)=f(2x))
(2x, f(2x))
Estiramiento horizontal y compresión
Sean y = f(x) y
g(x) = f(2x) funciones.
Para el punto x,
el valor en Y es
g(x) = f(2x), así que
(x, y = f(2x)) forma parte de la gráfica de g(x).

76. 2x
(u,g(u))=f(2u)
ht =f(2x)
y=g(x)=f(2x)
x
2u
(2u, f(2u))
ht = f(2u)
u
Sean y = f(x) y
g(x) = f(2x) funciones.
Para el punto x,
el valor en Y es
g(x) = f(2x), así que
(x, y = f(2x)) forma parte de la gráfica de g(x).
Asimismo, para el punto u, el valor en Y es g(u) = f(2u)
así que el punto (u, y = f(2u)) está en la gráfica de g(x).
x0
y= f(x)
(x, g(x)=f(2x))
(2x, f(2x))
Estiramiento horizontal y compresión

77. 2x
(u,g(u))=f(2u)
ht =f(2x)
y=g(x)=f(2x)
x
2u
(2u, f(2u))
ht = f(2u)
u
Sean y = f(x) y
g(x) = f(2x) funciones.
Para el punto x,
el valor en Y es
g(x) = f(2x), así que
(x, y = f(2x)) forma parte de la gráfica de g(x).
Asimismo, para el punto u, el valor en Y es g(u) = f(2u)
así que el punto (u, y = f(2u)) está en la gráfica de g(x).
x0
y= f(x)
Por lo tanto, vemos que la gráfica de y = f(2x)
representa la compresión horizontal de y = f(x)
por un factor de ½ .
(x, g(x)=f(2x))
(2x, f(2x))
Estiramiento horizontal y compresión
Estiramiento horizontal

78. 2x
(u,g(u))=f(2u)
ht =f(2x)
y=g(x)=f(2x)
x
2u
(2u, f(2u))
ht = f(2u)
u
Sean y = f(x) y
g(x) = f(2x) funciones.
Para el punto x,
el valor en Y es
g(x) = f(2x), así que
(x, y = f(2x)) forma parte de la gráfica de g(x).
Asimismo, para el punto u, el valor en Y es g(u) = f(2u)
así que el punto (u, y = f(2u)) está en la gráfica de g(x).
x0
y= f(x)
Por lo tanto, vemos que la gráfica de y = f(2x)
representa la compresión horizontal de y = f(x)
por un factor de ½ . Similarmente, la gráfica de
y = f(½ * x) es el estiramiento horizontal de y = f(x)
por un factor de 2. (Demuéstralo.)
(x, g(x)=f(2x))
(2x, f(2x))
Estiramiento horizontal y compresión
Estiramiento horizontal

79. Reflexión horizontal
x
Sean y = f(x), y
g(x) = f(–x) funciones.
0
y= f(x)
y
Reflejo horizontal
Estiramiento horizontal y compresión

80. Reflexión horizontal
x
Sean y = f(x), y
g(x) = f(–x) funciones.
Para el punto x,
el valor de la coordenada
Y es g(x) = f(–x)
0
y= f(x)
x
y
Reflejo horizontal
Estiramiento horizontal y compresión

81. Reflexión horizontal
x
Sean y = f(x), y
g(x) = f(–x) funciones.
Para el punto x,
el valor de la coordenada
Y es g(x) = f(–x)
así que (x, y = f(–x)) está en la gráfica de g(x).
0
y= f(x)
x–x
y
Reflejo horizontal
Estiramiento horizontal y compresión

82. Reflexión horizontal
x
Sean y = f(x), y
g(x) = f(–x) funciones.
Para el punto x,
el valor de la coordenada
Y es g(x) = f(–x)
así que (x, y = f(–x)) está en la gráfica de g(x).
0
y= f(x)
x–x
(x, g(x)=f(–x))
u
y
Reflejo horizontal
Estiramiento horizontal y compresión

83. Reflexión horizontal
x
Sean y = f(x), y
g(x) = f(–x) funciones.
Para el punto x,
el valor de la coordenada
Y es g(x) = f(–x)
así que (x, y = f(–x)) está en la gráfica de g(x).
0
y= f(x)
x–x
(x, g(x)=f(–x))
u
Para el punto u, su coordenada en Y es g(u) = f(–u),
así que (u, y = f(–u)) está en la gráfica de g(x).
y
Reflejo horizontal
Estiramiento horizontal y compresión

84. Reflexión horizontal
x
Sean y = f(x), y
g(x) = f(–x) funciones.
Para el punto x,
el valor de la coordenada
Y es g(x) = f(–x)
así que (x, y = f(–x)) está en la gráfica de g(x).
0
y= f(x)
x–x
(x, g(x)=f(–x))
–uu
Para el punto u, su coordenada en Y es g(u) = f(–u),
así que (u, y = f(–u)) está en la gráfica de g(x).
y
Reflejo horizontal
Estiramiento horizontal y compresión

85. Reflexión horizontal
x
Sean y = f(x), y
g(x) = f(–x) funciones.
Para el punto x,
el valor de la coordenada
Y es g(x) = f(–x)
así que (x, y = f(–x)) está en la gráfica de g(x).
0
y= f(x)
x–x
(x, g(x)=f(–x))
–uu
Para el punto u, su coordenada en Y es g(u) = f(–u),
así que (u, y = f(–u)) está en la gráfica de g(x).
(u, g(u)=f(–u))
y
Reflejo horizontal
Estiramiento horizontal y compresión

86. Reflexión horizontal
x
Sean y = f(x), y
g(x) = f(–x) funciones.
Para el punto x,
el valor de la coordenada
Y es g(x) = f(–x)
así que (x, y = f(–x)) está en la gráfica de g(x).
0
y= f(x)
x–x
(x, g(x)=f(–x))
–uu
Para el punto u, su coordenada en Y es g(u) = f(–u),
así que (u, y = f(–u)) está en la gráfica de g(x).
(u, g(u)=f(–u))
y
Reflejo horizontal
Por lo tanto, el reflejo horizontal de y = f(x) con
respecto al eje Y se denota como y = f(–x).
Estiramiento horizontal y compresión

87. Reflexión horizontal
x
Sean y = f(x), y
g(x) = f(–x) funciones.
Para el punto x,
el valor de la coordenada
Y es g(x) = f(–x)
así que (x, y = f(–x)) está en la gráfica de g(x).
0
y= f(x)
x–x
(x, g(x)=f(–x))
–uu
(u, g(x)=f(–x))
Para el punto u, su coordenada en Y es g(u) = f(–u),
así que (u, y = f(–u)) está en la gráfica de g(x).
(u, g(u)=f(–u))
y
Reflejo horizontal
Por lo tanto, el reflejo horizontal de y = f(x) con
respecto al eje Y se denota como y = f(–x).
Estiramiento horizontal y compresión

88. Reflexión horizontal
x
Sean y = f(x), y
g(x) = f(–x) funciones.
Para el punto x,
el valor de la coordenada
Y es g(x) = f(–x)
así que (x, y = f(–x)) está en la gráfica de g(x).
0
y= f(x)
x–x
(x, g(x)=f(–x))
–uu
(u, g(x)=f(–x))
Para el punto u, su coordenada en Y es g(u) = f(–u),
así que (u, y = f(–u)) está en la gráfica de g(x).
(u, g(u)=f(–u))
y
Reflejo horizontal
Por lo tanto, el reflejo horizontal de y = f(x) con
respecto al eje Y se denota como y = f(–x).
Para graficar y = f(–2x), comprimimos y = f(x)
por un factor de ½ para obtener la gráfica de y = f(2x),
luego reflejamos el resultado para obtener y = f(–2x).
Estiramiento horizontal y compresión

89. Resumen de transformaciones verticales (c > 0).
Transformación de gráficas
Desplazamientos Estiramientos verticales
y compresiones
x
y= f(x)
y= f(x)
x

90. Resumen de transformaciones verticales (c > 0).
Transformación de gráficas
Desplazamientos Estiramientos verticales
y compresiones
x
y= f(x)
y= f(x)
y = f(x) + c sube a f, c unidades
y = f(x) – c baja a f, c unidades
x

91. Resumen de transformaciones verticales (c > 0).
Transformación de gráficas
Desplazamientos Estiramientos verticales
y compresiones
y= f(x) + 1
x
y= f(x) + 2
y= f(x)
y= f(x)
y = f(x) + c sube a f, c unidades
y = f(x) – c baja a f, c unidades
x

92. Resumen de transformaciones verticales (c > 0).
Transformación de gráficas
Desplazamientos Estiramientos verticales
y compresiones
y= f(x)–1
y= f(x) + 1
x
y= f(x) + 2
y= f(x)–2
y= f(x)–3
y= f(x)
y= f(x)
y = f(x) + c sube a f, c unidades
y = f(x) – c baja a f, c unidades
x

93. Resumen de transformaciones verticales (c > 0).
Transformación de gráficas
Desplazamientos Estiramientos verticales
y compresiones
y= f(x)–1
y= f(x) + 1
x
y= f(x) + 2
y= f(x)–2
y= f(x)–3
y= f(x)
y= f(x)
y = f(x) + c sube a f, c unidades
y = f(x) – c baja a f, c unidades c > 1, y = cf(x) estira a f verticalmente
x

94. Resumen de transformaciones verticales (c > 0).
Transformación de gráficas
Desplazamientos Estiramientos verticales
y compresiones
y= f(x)–1
y= f(x) + 1
x
y= f(x) + 2
y= f(x)–2
y= f(x)–3
y= f(x)
y= 2f(x)
y= f(x)
y = f(x) + c sube a f, c unidades
y = f(x) – c baja a f, c unidades c > 1, y = cf(x) estira a f verticalmente
x

95. Resumen de transformaciones verticales (c > 0).
Transformación de gráficas
Desplazamientos Estiramientos verticales
y compresiones
y= f(x)–1
y= f(x) + 1
x
y= f(x) + 2
y= f(x)–2
y= f(x)–3
y= f(x)
y= 2f(x)
y= f(x)
y = f(x) + c sube a f, c unidades
y = f(x) – c baja a f, c unidades c > 1, y = cf(x) estira a f verticalmente
y = –f(x) refleja a
f verticalmente
0 < c < 1, y = cf(x) comprime a f
x

96. Resumen de transformaciones verticales (c > 0).
Transformación de gráficas
Desplazamientos Estiramientos verticales
y compresiones
y= f(x)–1
y= f(x) + 1
x
y= f(x) + 2
y= f(x)–2
y= f(x)–3
y= f(x)
y= 3f(x)
y= 2f(x)
y= f(x)
y = f(x) + c sube a f, c unidades
y = f(x) – c baja a f, c unidades c > 1, y = cf(x) estira a f verticalmente
y = –f(x) refleja a
f verticalmente
0 < c < 1, y = cf(x) comprime a f
x

97. Resumen de transformaciones verticales (c > 0).
Transformación de gráficas
Desplazamientos Estiramientos verticales
y compresiones
y= f(x)–1
y= f(x) + 1
x
y= f(x) + 2
y= f(x)–2
y= f(x)–3
y= f(x)
y= 3f(x)
y= f(x)/3
y= 2f(x)
y= f(x)
y = f(x) + c sube a f, c unidades
y = f(x) – c baja a f, c unidades c > 1, y = cf(x) estira a f verticalmente
y = –f(x) refleja a
f verticalmente
0 < c < 1, y = cf(x) comprime a f
x

98. Resumen de transformaciones verticales (c > 0).
Transformación de gráficas
Desplazamientos Estiramientos verticales
y compresiones
y= f(x)–1
y= f(x) + 1
x
y= f(x) + 2
y= f(x)–2
y= f(x)–3
y= f(x)
y= 3f(x)
y= f(x)/3
y= 2f(x)
y= –f(x)
y= f(x)
y = f(x) + c sube a f, c unidades
y = f(x) – c baja a f, c unidades c > 1, y = cf(x) estira a f verticalmente
y = –f(x) refleja a
f verticalmente
0 < c < 1, y = cf(x) comprime a f
x

99. Resumen de transformaciones verticales (c > 0).
Transformación de gráficas
Desplazamientos Estiramientos verticales
y compresiones
y= f(x)–1
y= f(x) + 1
x
y= f(x) + 2
y= f(x)–2
y= f(x)–3
y= f(x)
y= 3f(x)
y= f(x)/3
y= 2f(x)
y= –f(x)
y= –2f(x)
y= –3f(x)
y= f(x)
y = f(x) + c sube a f, c unidades
y = f(x) – c baja a f, c unidades c > 1, y = cf(x) estira a f verticalmente
y = –f(x) refleja a
f verticalmente
0 < c < 1, y = cf(x) comprime a f
x

100. x
–1
Desplazamientos
y=f(x)
y=f(x)
–2–3
y
Estiramiento horizontal
y compresión
(0,f(0))
Resumen de transformaciones horizontales (c > 0).
x
Transformación de gráficas

101. x
–1
Desplazamientos
y=f(x)
y=f(x)
–2–3
y
Estiramiento horizontal
y compresión
(0,f(0))
y = f(x + c) mueve c unidades a la izquierda a f
y = f(x – c) mueve c unidades a la derecha a f
Resumen de transformaciones horizontales (c > 0).
x
Transformación de gráficas

102. x
–1
Desplazamientos
y=f(x)
y=f(x+2)
y=f(x+1)
y=f(x)
–2–3
y
Estiramiento horizontal
y compresión
(0,f(0))
y = f(x + c) mueve c unidades a la izquierda a f
y = f(x – c) mueve c unidades a la derecha a f
Resumen de transformaciones horizontales (c > 0).
x
Transformación de gráficas

103. x
–1
Desplazamientos
y=f(x)
y=f(x+2)
y=f(x+1)
y=f(x–2)
y=f(x–1)
y=f(x)
–2–3
y
Estiramiento horizontal
y compresión
(0,f(0))
y = f(x + c) mueve c unidades a la izquierda a f
y = f(x – c) mueve c unidades a la derecha a f
Resumen de transformaciones horizontales (c > 0).
x
Transformación de gráficas

104. x
–1
Desplazamientos
y=f(x)
y=f(x+2)
y=f(x+1)
y=f(x–2)
y=f(x–1)
y=f(x)
–2–3
y
Estiramiento horizontal
y compresión
(0,f(0))
y = f(x + c) mueve c unidades a la izquierda a f
y = f(x – c) mueve c unidades a la derecha a f
c > 1, y = f(cx) comprime f horizontalmente
0 < c < 1, y = f(cx) estira f horizontalmente
Resumen de transformaciones horizontales (c > 0).
x
Transformación de gráficas

105. x
–1
Desplazamientos
y=f(x)
y=f(x+2)
y=f(x+1)
y=f(x–2)
y=f(x–1)
y=f(x) y=f(2x)
–2–3
y
Estiramiento horizontal
y compresión
(0,f(0))
y = f(x + c) mueve c unidades a la izquierda a f
y = f(x – c) mueve c unidades a la derecha a f
c > 1, y = f(cx) comprime f horizontalmente
0 < c < 1, y = f(cx) estira f horizontalmente
Resumen de transformaciones horizontales (c > 0).
x
Transformación de gráficas

106. x
–1
Desplazamientos
y=f(x)
y=f(x+2)
y=f(x+1)
y=f(x–2)
y=f(x–1)
y=f(x) y=f(2x)
–2–3
y=f(3x)
y
Estiramiento horizontal
y compresión
(0,f(0))
y = f(x + c) mueve c unidades a la izquierda a f
y = f(x – c) mueve c unidades a la derecha a f
c > 1, y = f(cx) comprime f horizontalmente
0 < c < 1, y = f(cx) estira f horizontalmente
Resumen de transformaciones horizontales (c > 0).
x
Transformación de gráficas

107. x
–1
Desplazamientos
y=f(x)
y=f(x+2)
y=f(x+1)
y=f(x–2)
y=f(x–1)
y=f(x)y=f(x/2)y=f(x/3) y=f(2x)
–2–3
y=f(3x)
y
Estiramiento horizontal
y compresión
(0,f(0))
y = f(x + c) mueve c unidades a la izquierda a f
y = f(x – c) mueve c unidades a la derecha a f
c > 1, y = f(cx) comprime f horizontalmente
0 < c < 1, y = f(cx) estira f horizontalmente
Resumen de transformaciones horizontales (c > 0).
x
Transformación de gráficas

108. x
–1
Desplazamientos
y=f(x)
y=f(x+2)
y=f(x+1)
y=f(x–2)
y=f(x–1)
y=f(x)y=f(x/2)y=f(x/3) y=f(2x)
–2–3
y=f(3x)
y
Estiramiento horizontal
y compresión
y = f(–x) refleja f
horizontalmente
y=f(–x/3)
(0,f(0))
y = f(x + c) mueve c unidades a la izquierda a f
y = f(x – c) mueve c unidades a la derecha a f
c > 1, y = f(cx) comprime f horizontalmente
0 < c < 1, y = f(cx) estira f horizontalmente
Resumen de transformaciones horizontales (c > 0).
x
Transformación de gráficas

109. Traslaciones horizontales
Sea y = f(x) una función definida en el intervalo [0, 1]
como se muestra a continuación.
y
y = f(x)
1
x
2 3½

110. Traslaciones horizontales
Sea y = f(x) una función definida en el intervalo [0, 1]
como se muestra a continuación.
y
y = f(x)
1
x
2 3
La gráfica de y = g(x) = f(½ * x) es el estiramiento
horizontal por un factor de 2, de la gráfica y = f(x).
y=g(x)=f(½ * x)
½

111. Traslaciones horizontales
Sea y = f(x) una función definida en el intervalo [0, 1]
como se muestra a continuación.
y
y = f(x)
1
x
2 3
La gráfica de y = g(x) = f(½ * x) es el estiramiento
horizontal por un factor de 2, de la gráfica y = f(x).
El dominio de y = g(x) = f(½ * x) corresponde al
dominio estirado de y = f(x), de [0, 1] a [0, 2].
y=g(x)=f(½ * x)
½

112. Traslaciones horizontales
Sea y = f(x) una función definida en el intervalo [0, 1]
como se muestra a continuación.
y
y = f(x)
1
x
2 3
La gráfica de y = g(x) = f(½ * x) es el estiramiento
horizontal por un factor de 2, de la gráfica y = f(x).
El dominio de y = g(x) = f(½ * x) corresponde al
dominio estirado de y = f(x), de [0, 1] a [0, 2].
y=g(x)=f(½ * x)
½
y = f(x/3)

113. Traslaciones horizontales
Sea y = f(x) una función definida en el intervalo [0, 1]
como se muestra a continuación.
y
y = f(x)
1
x
2 3
La gráfica de y = g(x) = f(½ * x) es el estiramiento
horizontal por un factor de 2, de la gráfica y = f(x).
El dominio de y = g(x) = f(½ * x) corresponde al
dominio estirado de y = f(x), de [0, 1] a [0, 2].
Similarmente el dominio de y = h(x) = f(2x) es la
compresión de [0, 1] a [0, ½ ].
y=g(x)=f(½ * x)y = f(2x)
½
y = f(x/3)

114. Traslaciones horizontales
Sea y = f(x) una función definida en el intervalo [0, 1]
como se muestra a continuación.
y
y = f(x)
1
x
2 3
La gráfica de y = g(x) = f(½ * x) es el estiramiento
horizontal por un factor de 2, de la gráfica y = f(x).
El dominio de y = g(x) = f(½ * x) corresponde al
dominio estirado de y = f(x), de [0, 1] a [0, 2].
Similarmente el dominio de y = h(x) = f(2x) es la
compresión de [0, 1] a [0, ½ ].
y=g(x)=f(½ * x)y = f(2x)
½
y = f(x/3)
y = f(3x)

115. Traslaciones horizontales
Sea y = f(x) una función definida en el intervalo [0, 1]
como se muestra a continuación.
y
y = f(x)
1
x
2 3
La gráfica de y = g(x) = f(½ * x) es el estiramiento
horizontal por un factor de 2, de la gráfica y = f(x).
El dominio de y = g(x) = f(½ * x) corresponde al
dominio estirado de y = f(x), de [0, 1] a [0, 2].
Similarmente el dominio de y = h(x) = f(2x) es la
compresión de [0, 1] a [0, ½ ].
y=g(x)=f(½ * x)
Dominio de y = f(cx), c > 0
Si el dominio de
y = f(x) es [0, a],
el dominio de
y = f(cx) es [0, a/c].
y = f(2x)
½
y = f(x/3)
y = f(3x)

116. Traslaciones horizontales
Ejemplo C.
a. Dada la gráfica de la función
y = f(x) cuyo dominio es [–2, 2],
grafica y = (x – 3)2 – 1 aplicando
las reglas de transformación. Indica el nuevo dominio
y localiza los vértices y extremos de la gráfica.
f(x)=x2
x
(2,4)(–2,4)
2–2 (0,0)

117. Traslaciones horizontales
Ejemplo C.
a. Dada la gráfica de la función
y = f(x) cuyo dominio es [–2, 2],
grafica y = (x – 3)2 – 1 aplicando
las reglas de transformación. Indica el nuevo dominio
y localiza los vértices y extremos de la gráfica.
f(x)=x2
x
(2,4)(–2,4)
2–2
i. Desplazamos f(x) = x2
tres unidades a la derecha
para obtener y = (x – 3)2.
(0,0)
2–2
Desplazamos 3 unidades

118. Traslaciones horizontales
Ejemplo C.
a. Dada la gráfica de la función
y = f(x) cuyo dominio es [–2, 2],
grafica y = (x – 3)2 – 1 aplicando
las reglas de transformación. Indica el nuevo dominio
y localiza los vértices y extremos de la gráfica.
f(x)=x2
x
(2,4)(–2,4)
2–2
i. Desplazamos f(x) = x2
tres unidades a la derecha
para obtener y = (x – 3)2.
(0,0)
ii. Bajamos y = (x – 3)2 una
unidad para obtener
y = (x – 3)2 – 1.
2–2
(5,3)(1,3)
(3,–1)
Desplazamos 3 unidades
Bajamos
1 unidad

119. Traslaciones horizontales
Ejemplo C.
a. Dada la gráfica de la función
y = f(x) cuyo dominio es [–2, 2],
grafica y = (x – 3)2 – 1 aplicando
las reglas de transformación. Indica el nuevo dominio
y localiza los vértices y extremos de la gráfica.
f(x)=x2
x
(2,4)(–2,4)
2–2
i. Desplazamos f(x) = x2
tres unidades a la derecha
para obtener y = (x – 3)2.
(0,0)
ii. Bajamos y = (x – 3)2 una
unidad para obtener
y = (x – 3)2 – 1.
2–2
(5,3)(1,3)
(3,–1)
Desplazamos 3 unidades
Bajamos
1 unidad
El nuevo dominio es[–2 + 3, 2 + 3] = [1, 5]. El nuevo
vértice es (3, –1) y los extremos son (1, 3) y (5, 3).

120. Traslaciones horizontales
x
(4,2)
(0,0)
y=g(x)=√x
4
b. Dada la gráfica de la función y = g(x) = √x
y y = G(x) una transformación de y = g(x),
expresa G(x) en términos de g(x).
cy=G(x)
(6,2)
62

121. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = G(x) se
obtiene comprimiendo
horizontalmente la gráfica
x
(4,2)
(0,0)
y=g(x)=√x
4
b. Dada la gráfica de la función y = g(x) = √x
y y = G(x) una transformación de y = g(x),
expresa G(x) en términos de g(x).
cy=G(x)
(6,2)
62
y = g(x) por un factor de ½,
con lo cual se obtiene
h(x) = g(2x) = √2x, x
(4,2)
(0,0)
y=g(x)=√x
4 62
(2,2)
c
y=h(x)=√2x Compresión
horizontal

122. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = G(x) se
obtiene comprimiendo
horizontalmente la gráfica
x
(4,2)
(0,0)
y=g(x)=√x
4
b. Dada la gráfica de la función y = g(x) = √x
y y = G(x) una transformación de y = g(x),
expresa G(x) en términos de g(x).
cy=G(x)
(6,2)
62
y = g(x) por un factor de ½,
con lo cual se obtiene
h(x) = g(2x) = √2x, x
(4,2)
(0,0)
y=g(x)=√x
4 62
(2,2)
c
luego desplazando h(x) a la
derecha 4 unidades tenemos
y=h(x)=√2x
x
(0,0) 4
cy=G(x)
(6,2)
62
(2,2)
c
y=h(x)=√2x
Compresión
horizontal
desplazamiento
horizontal

123. Traslaciones horizontales
La gráfica de y = G(x) se
obtiene comprimiendo
horizontalmente la gráfica
x
(4,2)
(0,0)
y=g(x)=√x
4
b. Dada la gráfica de la función y = g(x) = √x
y y = G(x) una transformación de y = g(x),
expresa G(x) en términos de g(x).
cy=G(x)
(6,2)
62
y = g(x) por un factor de ½,
con lo cual se obtiene
h(x) = g(2x) = √2x, x
(4,2)
(0,0)
y=g(x)=√x
4 62
(2,2)
c
luego desplazando h(x) a la
derecha 4 unidades tenemos
G(x) = h(x – 4)
= √2(x – 4) ó
G(x) = √2x – 8.
y=h(x)=√2x
x
(0,0) 4
cy=G(x)
(6,2)
62
(2,2)
c
y=h(x)=√2x
Compresión
horizontal
desplazamiento
horizontal

124. Valor absoluto

125. Valor absoluto
y = f(x) = x
x -2 -1 0 1
y -2 -1 0 1

126. Valor absoluto
y = f(x) = x
x -2 -1 0 1
y -2 -1 0 1

127. Valor absoluto
y = f(x) = x y = |f(x)| = |x|
x -2 -1 0 1
y -2 -1 0 1
x -2 -1 0 1
y 2 1 0 1

128. Valor absoluto
y = f(x) = x y = |f(x)| = |x|
x -2 -1 0 1
y -2 -1 0 1
x -2 -1 0 1
y 2 1 0 1

129. Valor absoluto
y = f(x) = x
Obtenemos la gráfica de y = |f(x)| reflejando hacia
arriba el segmento de gráfica que se encuentre
por debajo del eje x.
y = |f(x)| = |x|
x -2 -1 0 1
y -2 -1 0 1
x -2 -1 0 1
y 2 1 0 1

130. Por ejemplo,
y = x2 – 1
(0,–1)
Valor absoluto

131. Por ejemplo,
y = x2 – 1 y = |x2 – 1|
(0,–1)
Valor absoluto

132. Por ejemplo,
y = x2 – 1 y = |x2 – 1|
(0,–1)
(1,0)
Valor absoluto

133. Por ejemplo,
y = x2 – 1 y = |x2 – 1|
y = |x2 – 1| – 1
(0,–1)
(1,0)
Valor absoluto

134. Por ejemplo,
y = x2 – 1 y = |x2 – 1|
y = |x2 – 1| – 1
(0,–1)
(0,0)
(1,0)
Valor absoluto

135. Por ejemplo,
y = x2 – 1 y = |x2 – 1|
y = |x2 – 1| – 1 y = 2(|x2 – 1| – 1)
(0,–1)
(0,0)
(1,0)
Valor absoluto

136. Por ejemplo,
y = x2 – 1 y = |x2 – 1|
y = |x2 – 1| – 1 y = 2(|x2 – 1| – 1)
(0,–1)
(0,0) (0,0)
(1,0)
Valor absoluto

137. Reflexión horizontal
La gráfica de y = f(–x) es la reflexión horizontal de la
gráfica de y = f(x) a través del eje y.

138. Reflexión horizontal
La gráfica de y = f(–x) es la reflexión horizontal de la
gráfica de y = f(x) a través del eje y.
y = f(x) = x3 – x2

139. Reflexión horizontal
La gráfica de y = f(–x) es la reflexión horizontal de la
gráfica de y = f(x) a través del eje y.
y = f(x) = x3 – x2
y = f(-x) = (-x)3 – (-x)2

140. Reflexión horizontal
La gráfica de y = f(–x) es la reflexión horizontal de la
gráfica de y = f(x) a través del eje y.
y = f(x) = x3 – x2
y = f(-x) = (-x)3 – (-x)2
y = f(-x) = – x3 – x2

141. Reflexión horizontal
La gráfica de y = f(–x) es la reflexión horizontal de la
gráfica de y = f(x) a través del eje y.
y = f(x) = x3 – x2
y = f(-x) = (-x)3 – (-x)2
y = f(-x) = – x3 – x2

142. Reflexión horizontal
La gráfica de y = f(–x) es la reflexión horizontal de la
gráfica de y = f(x) a través del eje y.
y = f(x) = x3 – x2
y = f(-x) = (-x)3 – (-x)2
y = f(-x) = – x3 – x2
Se dice que una función
es par si f(x) = f(– x). Las
gráficas de las funciones
pares son simétricas
respecto al eje Y.

143. Reflexión horizontal
La gráfica de y = f(–x) es la reflexión horizontal de la
gráfica de y = f(x) a través del eje y.
y = f(x) = x3 – x2
y = f(-x) = (-x)3 – (-x)2
y = f(-x) = – x3 – x2
Se dice que una función
es par si f(x) = f(– x). Las
gráficas de las funciones
pares son simétricas
respecto al eje Y. Gráfica de una función par
x
(x, f(x))
–x
(–x, f(–x))

144. Reflexión horizontal
La gráfica de y = f(–x) es la reflexión horizontal de la
gráfica de y = f(x) a través del eje y.
y = f(x) = x3 – x2
y = f(-x) = (-x)3 – (-x)2
y = f(-x) = – x3 – x2
Se dice que una función
es par si f(x) = f(– x). Las
gráficas de las funciones
pares son simétricas
respecto al eje Y. Gráfica de una función par
x
(x, f(x))
–x
(–x, f(–x))

145. Las funciones polinomiales
cuyos términos son todos
pares, son pares. La gráfica
de la derecha es el
polinomio par y = x4 – 4x2. y = x4 – 4x2
Reflexión horizontal

146. Las funciones polinomiales
cuyos términos son todos
pares, son pares. La gráfica
de la derecha es el
polinomio par y = x4 – 4x2. y = x4 – 4x2
Se dice que una función es
impar si f(–x) = – f(x).
Reflexión horizontal

147. Las funciones polinomiales
cuyos términos son todos
pares, son pares. La gráfica
de la derecha es el
polinomio par y = x4 – 4x2. y = x4 – 4x2
Se dice que una función es
impar si f(–x) = – f(x).
Las gráficas de funciones
impares son simétricas al
origen,
Reflexión horizontal

148. Las funciones polinomiales
cuyos términos son todos
pares, son pares. La gráfica
de la derecha es el
polinomio par y = x4 – 4x2. y = x4 – 4x2
Se dice que una función es
impar si f(–x) = – f(x).
Las gráficas de funciones
impares son simétricas al
origen, es decir, son un
reflejo de ellas mismas con
respecto del eje Y y luego
una reflexión con respecto
al eje X.
Reflexión horizontal

149. Las funciones polinomiales
cuyos términos son todos
pares, son pares. La gráfica
de la derecha es el
polinomio par y = x4 – 4x2. y = x4 – 4x2
Gráfica de una función impar
Se dice que una función es
impar si f(–x) = – f(x).
Las gráficas de funciones
impares son simétricas al
origen, es decir, son un
reflejo de ellas mismas con
respecto del eje Y y luego
una reflexión con respecto
al eje X.
x–x
0
(x, f(x))
(–x, –f(x))
Reflexión horizontal

150. Las funciones polinomiales
cuyos términos son todos
pares, son pares. La gráfica
de la derecha es el
polinomio par y = x4 – 4x2. y = x4 – 4x2
Gráfica de una función impar
Se dice que una función es
impar si f(–x) = – f(x).
Las gráficas de funciones
impares son simétricas al
origen, es decir, son un
reflejo de ellas mismas con
respecto del eje Y y luego
una reflexión con respecto
al eje X.
x–x
0
(x, f(x))
(–x, –f(x))
u
(u, f(u))
(–u, –f(u))
–u
Reflexión horizontal

151. Las funciones polinomiales
cuyos términos son todos
pares, son pares. La gráfica
de la derecha es el
polinomio par y = x4 – 4x2. y = x4 – 4x2
Gráfica de una función impar
Se dice que una función es
impar si f(–x) = – f(x).
Las gráficas de funciones
impares son simétricas al
origen, es decir, son un
reflejo de ellas mismas con
respecto del eje Y y luego
una reflexión con respecto
al eje X.
x–x
0
(x, f(x))
(–x, –f(x))
u
(u, f(u))
(–u, –f(u))
–u
Reflexión horizontal

152. Las funciones polinomiales
cuyos términos son potencias
impares son impares.
Reflexión horizontal

153. y = x3 – 4x
Las funciones polinomiales
cuyos términos son potencias
impares son impares. La gráfica
de la derecha es la función
polinomial impar y = x3 – 4x.
Reflexión horizontal

154. y = x3 – 4x
Teorema (par e impar):
Las funciones polinomiales
cuyos términos son potencias
impares son impares. La gráfica
de la derecha es la función
polinomial impar y = x3 – 4x.
Reflexión horizontal

155. y = x3 – 4x
Teorema (par e impar):
I. La suma de funciones pares es par.
La suma de funciones impares es impar.
Las funciones polinomiales
cuyos términos son potencias
impares son impares. La gráfica
de la derecha es la función
polinomial impar y = x3 – 4x.
Reflexión horizontal

156. y = x3 – 4x
Teorema (par e impar):
I. La suma de funciones pares es par.
La suma de funciones impares es impar.
II. El producto de funciones pares es par.
Las funciones polinomiales
cuyos términos son potencias
impares son impares. La gráfica
de la derecha es la función
polinomial impar y = x3 – 4x.
Reflexión horizontal

157. y = x3 – 4x
Teorema (par e impar):
I. La suma de funciones pares es par.
La suma de funciones impares es impar.
II. El producto de funciones pares es par.
El producto de funciones impares es par.
Las funciones polinomiales
cuyos términos son potencias
impares son impares. La gráfica
de la derecha es la función
polinomial impar y = x3 – 4x.
Reflexión horizontal

158. y = x3 – 4x
Teorema (par e impar):
I. La suma de funciones pares es par.
La suma de funciones impares es impar.
II. El producto de funciones pares es par.
El producto de funciones impares es par.
El producto de una función par y una impar es
impar.
Las funciones polinomiales
cuyos términos son potencias
impares son impares. La gráfica
de la derecha es la función
polinomial impar y = x3 – 4x.
Reflexión horizontal

159. y = x3 – 4x
Teorema (par e impar):
I. La suma de funciones pares es par.
La suma de funciones impares es impar.
II. El producto de funciones pares es par.
El producto de funciones impares es par.
El producto de una función par y una impar es
impar. (Lo mismo aplica para cocientes.)
Las funciones polinomiales
cuyos términos son potencias
impares son impares. La gráfica
de la derecha es la función
polinomial impar y = x3 – 4x.
Reflexión horizontal

160. y = x3 – 4x
Teorema (par e impar):
I. La suma de funciones pares es par.
La suma de funciones impares es impar.
II. El producto de funciones pares es par.
El producto de funciones impares es par.
El producto de una función par y una impar es
impar. (Lo mismo aplica para cocientes.)
es impar,x
x4 + 1
Las funciones polinomiales
cuyos términos son potencias
impares son impares. La gráfica
de la derecha es la función
polinomial impar y = x3 – 4x.
Reflexión horizontal

161. y = x3 – 4x
Teorema (par e impar):
I. La suma de funciones pares es par.
La suma de funciones impares es impar.
II. El producto de funciones pares es par.
El producto de funciones impares es par.
El producto de una función par y una impar es
impar. (Lo mismo aplica para cocientes.)
es impar, es par,x
x4 + 1
x2
x4 + 1
Las funciones polinomiales
cuyos términos son potencias
impares son impares. La gráfica
de la derecha es la función
polinomial impar y = x3 – 4x.
Reflexión horizontal

162. y = x3 – 4x
Teorema (par e impar):
I. La suma de funciones pares es par.
La suma de funciones impares es impar.
II. El producto de funciones pares es par.
El producto de funciones impares es par.
El producto de una función par y una impar es
impar. (Lo mismo aplica para cocientes.)
es impar, es par, (x + 1) no es par ni imparx
x4 + 1
x2
x4 + 1
Las funciones polinomiales
cuyos términos son potencias
impares son impares. La gráfica
de la derecha es la función
polinomial impar y = x3 – 4x.
Reflexión horizontal

163. Transformación de Gráficas
Calistenia de
funciones
(Autor desconocido)
Ejercicio A.
Usa las gráficas mostradas en la tabla
para bosquejar las siguientes gráficas.
1. y = 3x2 2. y = –2x2
3. y = –0.5x2 4. y = x2 – 1
5. y = 2x2 – 1
8. y = –x3 – 2
6. y = (x+1)2
7. y = 2(x – 3)2
10. y = –(x – 2)3 – 29. y = –(x – 2)3
11. y = l x – 2 l + 1
12. y = –2l x + 2 l + 3
13. y = 14. y =
x
–1
+ 1 x + 1
1 – 1
15. y = 16. y =x
–1
+ 1 x + 1
1
– 1l l l l

164. Transformación de Gráficas
B. Los siguientes problemas asumen el conocimiento de
gráficas de funciones trigonométricas. Grafica al menos dos
periodos de cada función. Localiza los máximos y mínimos.
1. y = sin(x – π/2) 2. y = cos(x + π/4)
3. y = cos(x – 3π/4) 4. y = –3sin(x – π/2)
8. y = cos(2x)
9. y = 3sin(4x) 10. y = cos(x/3)
7. y = –sin(x/2)
11. y = –2cos(3x)
5. y = tan(2x) 6. y = –cot(x/2)
12. y = 3cos(x + π/4) – 2
13. y = –3sin(x – 3π/4) + 1 14. y = 4cos(x/2) – 2
15. y = –2sin(2x) + 1

165. C. Dadas las siguientes gráficas, grafica las
funciones indicadas.
Transformación de Gráficas
(1,0)
(0,1)
(2,0)
(3,2)y = f(x): y = g(x):
(0,0)
(–1,1) (1,1)
(2, –1)
1. y = 2f(x – 4) 2. y = –f(x – 2)
3. y = –3g(x + 4) 4. y = –1/2 g(x – 2)
5. y = 2g(x + 2) – 1 6. y = –3f(x – 1) + 1
7. y = –4f(x + 4) + 3 8. y = –1/2 g(x – 3/2) – 4
9. ¿Cuál es el dominio de f(x)? ¿Cuál es el dominio de f(–x)?
a. Grafica f(–x). b. Grafica –f(–x).
10. ¿Cuál es el dominio de g(x)? ¿Cuál es el dominio de g(–x)?
a. Grafica g(–x). b. Grafica –g(–x).

166. Transformación de Gráficas
Ejercicio A.
1. y = 3x2 3. y = –0.5x2 5. y = 2x2 – 1
7. y = 2(x – 3)2 9. y = –(x – 2)3 11. y = l x – 2 l + 1

167. Transformación de Gráficas
13. y = x
–1
+ 1 15. y = x
–1
+ 1l l

168. Transformación de Gráficas
Ejercicio B.
1. y = sin(x – π/2)
(0, -1)
(π, 1)(-π, 1)
(2π, -1)(-2π, -1)
3. y = cos(x – 3π/4)
(-0.78, -1) (5.49, -1)(-7.06, -1)
(2.33, 1)(-3.92, 1)

169. Transformación de Gráficas
5. y = tan(2x)
7. y = –sin(x/2)
(-9.42, -1) (3.14, -1) (15.70, -1)
(9.42, 1)(-3.14, 1)

170. Transformación de Gráficas
9. y = 3sin(4x)
(-1.17, 3) (0. 39, 3) (1.96, 3)
(-0.39,-3) (1.17,-3)
11. y = –2cos(3x)
(-1.04, 2) (1.04, 2)
(-2.09, -2) (0, -2) (2.09, -2)

171. Transformación de Gráficas
13. y = –3sin(x – 3π/4) + 1
15. y = –2sin(2x) + 1
(-2.35, -2) (3.92, -2)
(7.06, 4)(-5.49, 4) (0.78, 4)
(-0.78, 1) (2.35, 1)
(3.92, -1)(-2.35, -1) (0.78, -1)

172. Ejercicio C.
Transformación de Gráficas
(5,0)
(4,2)
(6,0)
(7,4)
(-4,0)
(–5,-3) (-3,-3)
(-2, 3)
1. y = 2f(x – 4) 3. y = –3g(x + 4)
5. y = 2g(x + 2) – 1 7. y = –4f(x + 4) + 3
(-2,-1)
(–3,1) (-1,1)
(0, –3)
(-3,0)
(-4,-4)
(-2,0)
(-1,-8)

173. Transformación de Gráficas
9. dominio de f(x): [0, 3]
dominio de f(–x): [-3, 0]
10. dominio de g(x): [-1, 2]
dominio de g(–x): [-2, 1]
a. y = f(–x): b. y = –f(–x):
a. y = g(–x): b. y = –g(–x):
(-3,2)
(-3,-2)
(-2,0)
(-2,0)
(-1,0)
(-1,0)
(0,1)
(0,-1)
(-2,-1)
(-1,1)
(0,0)
(0,0)
(1,1)
(1,-1)(-1,-1)
(-2,1)

174. Transformaciones de gráficas

175. Transformaciones de gráficas

176. Transformaciones de gráficas

177. Transformaciones de gráficas