Guia matematica II

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
ÁREA DE EDUCACION
UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA II
PROF: MIGUEL GARCÍA
1 Guía Teórico /Practico de Matemática II
Antiderivada o Primitiva:
Definición 1:
Una función F se llama antiderivada de una función f, en un intervalo I, si
F`(x) = f (x) para todo valor de x en I.
Teorema 1:
Si F es una primitiva (o antiderivada) de f en un intervalo I, entonces G es
una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma
G(x) = F(x) + C; para todo x en I
donde C denota una constante.
Nota: C es una constante, llamada constante de integración. La familia de
funciones representada por G se llama la primitiva general de f y G(x) =
F(x) + C es la solución general de la ecuación diferencial.
La operación de hallar todas las soluciones de esta ecuación se llama
Integración Indefinida o Antiderivación, y se denota por un signo integral .
La solución general se denota por:
y   f (x)dx  F(x) C
Variable de
Integración
Integrando
Constante de Integración

ÁREA DE EDUCACION
La Integración es el procedimiento <<inverso>> de la diferenciación”
Propiedades Básicas de la Integral Indefinida:
1.-
3.-
5.-
7.-
9.-
11.-
13.-
15.-
17.-
19.-
2.-
4.-
6.-
8.-
10.-
12.-
14.-
16.-
18.-
20.-

ÁREA DE EDUCACION
Importante: Revisar “Procedimientos de ajuste de integración a las reglas
básicas”. Capitulo 7. Pág. 542.Cálculo, R. Larson.
Ejemplos:
Problema #1: Calcular la siguiente integral:  x dx 9
Solución:
La integral del enunciado es de tipo potencial, por lo tanto podemos
aplicarle a ella la siguiente fórmula:
 


1
1
n
x
x dx
n
n
así que aplicándola al ejemplo, nos queda:
C I x C
x
C I
x
I      



10
9 1 10
10
1
9 1 10
Por lo tanto:
 x dx  x  C 9 10
10
1
Problema #2: Calcular la siguiente integral:  x dx 3
8
5
Solución:
Primeramente, antes de empezar a integrar la expresión del enunciado,
debemos transformarla, utilizando la propiedad de linealidad, sacando la
constante fuera de la integral, es decir:

ÁREA DE EDUCACION
 x dx 3
8
5
Ahora, como la integral es del tipo potencial aplicamos el procedimiento
indicado:
C x C
x
C I
x
I      



4
3 1 4
*
32
5
4
*
8
5
3 1
*
8
5
Por lo tanto:
 x dx  x  C 3 4
32
5
8
5
Ejercicios Propuestos:
PARTEI
Aplicar las reglas básicas de integración para encontrar:
1.-
4.-
7.-
2.-
5.-
8.-
3.-
6.-
9.-

ÁREA DE EDUCACION
Recomendaciones:
- Utilice álgebra elemental, o algunas identidades trigonométricas para transformar en integrales de fácil solución.
- No sólo debes practicar con los ejercicios aquí propuestos, debes investigar y resolver además, en los libros recomendados por el profesor.
- Trate de resolverlos usted mismo en caso de alguna duda consulta con tu profesor.
Técnicas de Integración:
Integración por Sustitución:
Es el método ó técnica utilizada para integrar funciones compuestas
Teorema 2: Antiderivada de una función compuesta Sea g una función cuyo recorrido es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:
Si u = g(x), entonces du g´(x)dx y
Para este método se utiliza un cambio de variable, donde reexpresamos por completo la integral en términos de u y du (o de cualquier otra variable que nos convenga) El cambio de variable hace uso de la notación de Leibniz para la diferencial. Es decir, si u = g(x), entonces du = g´(x)dx, con lo que la integral adopta la forma:

ÁREA DE EDUCACION
Teorema 3:
Regla general de las potencias para integrales
Si g es una función derivable de x, entonces
Equivalentemente, si u = g(x), entonces
Estrategias para el cambio de variable
1.- Elegir una sustitución u = g(x). En general, conviene elegir la
parte interna de una función compuesta, tal como una cantidad
elevada a una potencia.
2.- Hallar du = g´(x)dx.
3.- Rescribir la integral dad en términos de u.
4.- Hallar la integral resultante en u.
5.- Sustituir u por g(x) para obtener la primitiva en términos de x.
6.- Verificar la respuesta por derivación.
 f (g(x)) * g(x)dx   f (u)du  f (u)  C
Derivada De La Función Interior
Función Interior
Función Exterior

ÁREA DE EDUCACION
PARTE II. Hallar la siguiente integral utilizando la técnica estudiada.
1.-
4.-
7.-
2.-
5.-
8.-
3.-
6.-
9.-
Integración Por Partes:
Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de integrales y es particularmente eficaz para integrados donde aparecen productos de funciones algebraicas y trascendentes. La fórmula a utilizar proviene de la aplicación de la siguiente propiedad diferencial:
Integrando ambos miembros
Despejando
(**)
Para los fines del calculo, se puede obtener una manera más adecuada de escribir esta formula al considerar:

ÁREA DE EDUCACION
u = f(x) du = f´(x)
entonces:
v = g(x) dv = g´(x)
Sustituyendo en (**) nos queda:
"FORMULA PARA LA INTEGRACIÓN POR PARTE"
Por medio de una selección apropiada de u y dv, puede ser más fácil integrar la segunda integral que la primera, por lo cual es útil la siguiente indicación:
I
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
L
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
A
FUNCIÓN ALGEBRAICA
T
FUNCIÓN TRIGOMÉTRICA
E
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Correspondiendo a la primera función seleccionada (utilizando este método), la variable u y la segunda dv.

ÁREA DE EDUCACION
PARTE III. Encontrar la integral indicada.
1.-
4.-
7.-
2.-
5.-
8.-
3.-
6.-
9.-
Integración de Funciones Trigonométricas:
En este método, serán considerando cuatro casos que implican el uso de senos y cosenos.
Caso # 01:
, donde n es un entero impar.
- Caso # 02:
, donde n es un entero par.
- Caso #03:
, donde cuando menos uno de los exponentes es impar.
Nota: La solución de este caso es similar al método utilizado en el caso 1.

ÁREA DE EDUCACION
- Caso # 04:
, donde m y n son par. Nota: La solución de este caso es similar al método utilizado en el caso 2.
Recomendaciones: Utiliza las siguientes identidades trigonométrica.
Identidades Pitagóricas:
Identidades de Angulo Medio:
Ejemplo:
- Problema # 01: Calcular
Solución:
Vamos a resolver esta integral aplicando fórmulas trigonométricas. Para ello comenzamos manipulando el integrando:
Ahora aplicamos la identidad pitagórica:
, despejando la función que nos interesa tenemos que:

ÁREA DE EDUCACION
Sustituyendo en la integral original.
multiplicando cosx dx por cada uno de los elementos dentro del paréntesis, nos queda:
Así que ahora, ambas son integrales inmediatas, la primera es de tipo seno y la segunda es de tipo potencial (cambio de variable)
Por lo tanto:
Solución:
Para resolver la integral, empezamos manipulando el integrando de manera tal que luego se pueda aplicar alguna de las fórmulas conocidas:
Ahora ubicamos la fórmula de Angulo Medio para la función indicada:
Sustituyendo, nos queda:

ÁREA DE EDUCACION
- Integral Original
- Aplicando la fórmula de Ángulo Medio
- Resolviendo el Cuadrado del Binomio
- Separando las integrales
- Aplicando a la tercera integral la fórmula de Ángulo Medio
- Separando esta integral en dos nuevas integrales
- Resultando asi cuatro (4) integrales inmediatas
- Solución General
Por lo tanto:
PARTEIV. Encuentre la siguiente integral.
1.-
2.-
3.-

ÁREA DE EDUCACION
4.-
7.-
5.-
8.-
6.-
9.-
Integración de Potencias de las Funciones Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante:
Con el uso de las fórmulas de integración que implican a las funciones tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (csc), además de las identidades antes mencionadas, pueden evaluarse integrales de la forma:
, donde m y n son enteros no negativos.
Por lo tanto, serán considerados seis casos que implican el uso de estas funciones trigonométricas.
- Caso # 01:
, donde n es un entero positivo.
Recomendación: Cambios a utilizar

ÁREA DE EDUCACION
Ejemplo:
Solución:
- Caso # 02:
, donde n es un entero positivo par.
Recomendación: Cambios a utilizar

ÁREA DE EDUCACION
Ejemplo:
Solución:
- Caso # 03:
, donde n es un entero positivo impar.
Recomendación: Para integrar potencias impares de las funciones sec y csc se utiliza la integración por partes.
Ejemplo:

ÁREA DE EDUCACION
Solución:
Sea:
Aplicando integración Por Partes
Utilizando identidad trigonométrica, luego operar algebraicamente
Al sumar
en ambos lados se obtiene
Quedando así en el segundo miembro una integral inmediata
Despejando ahora la integral de la cual partimos
Separando cada término
Obteniendo asi el resultado de la integral
- Caso # 04:
, donde n es un entero positivo par.

ÁREA DE EDUCACION
Ejemplo:
Solución:
- Caso # 05:
, donde n es un entero positivo impar.

ÁREA DE EDUCACION
Ejemplo:
Problema # 05: Calcular
Solución:
- Caso # 06:
, donde m es un entero positivo par y n un entero positivo impar.
Recomendación:
El integrando puede expresarse en términos de potencias impares de la sec ó csc.

ÁREA DE EDUCACION
Ejemplo:
Solución:
Nota: Para evaluar cada una de estas integrales se utiliza integración por partes, como se indicó en el caso 3.
Técnicas de Integración:
3.1 Integración por Sustituciones Trigonométricas:
Este tipo de sustituciones se utilizan para resolver integrales cuyos integrandos contengan los radicales de la forma:
El propósito de esas sustituciones es eliminar los radicales. Eso se consigue con las identidades pitagóricas:

ÁREA DE EDUCACION
- Caso # 01:
En integrales que contienen
hacer:
Ejemplo:
Problema # 01: Encontrar
Solución:
Como observamos la integral dada
es de la forma
donde
así que la sustitución a utilizar debe ser
y
Sustituyendo el valor de x, dentro de la raíz dada, nos queda:
al despejar la función trigonométrica (seno) de la forma a sustituir obtenemos los valores de los catetos e hipotenusa del triángulo rectángulo,

ÁREA DE EDUCACION
estos valores y la posición que ocupan cambiaran dependiendo de la función a utilizar según el caso.
Sustituyendo ahora los resultados obtenidos, en la integral dada:
- Caso # 02:
hacer:

ÁREA DE EDUCACION
Ejemplo:
Solución:
es de la forma
. Así que la sustitución a utilizar debe ser
en este caso
y
. Sustituyendo el valor de x, dentro de la raíz dada, nos queda:
al despejar la función trigonométrica (tangente) de la forma a sustituir obtenemos los valores de los catetos e hipotenusa del triángulo rectángulo, estos valores y la posición que ocupan cambiaran dependiendo de la función a utilizar según el caso.

ÁREA DE EDUCACION
- Caso # 03:
hacer:
Nota: Tomar el valor positivo si u > a y el negativo si u < -a.
Ejemplo:

ÁREA DE EDUCACION
Solución:
es de la forma
. Así que la sustitución a utilizar debe ser
en este caso
y
Sustituyendo el valor de x, dentro de la raíz dada, nos queda:
al despejar la función trigonométrica (secante) de la forma a sustituir obtenemos los valores de los catetos e hipotenusa del triángulo rectángulo, estos valores y la posición que ocupan cambiaran dependiendo de la función a utilizar según el caso.

ÁREA DE EDUCACION
Ejercicios Propuestos.
PARTE I.- Hallar la integral haciendo la sustitución adecuada.
1.-
4.-
2.-
5.-
3.-
6.-
3.2 Integración de Funciones Cuadráticas:
Cuando hay funciones cuadráticas en el integrando, completar el cuadrado ayuda a resolver la integral. Por ejemplo, la función cuadrática
puede escribirse como diferencia de cuadrados sumando y restando
; entonces:
Ejemplo:
Solución:
Completando cuadrado en el denominador, se tiene:

ÁREA DE EDUCACION
Sustituyendo en la integral dada:
Ejercicios Propuestos.
PARTE II.- Hallar la integral aplicando completación de cuadrados.
1.-
4.-
2.-
5.-
3.-
6.-

Guia matematica II

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Guia matematica II

Similar a Guia matematica II (20)

Último

Último (20)

Guia matematica II