cecyte 05

1. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
VERSIÓN: 2019
Plantel 05 Panabá
CÁLCULO INTEGRAL
Folio 81-E
5to Semestre
3er Parcial
Turno Matutino
Especialidad en Programación
L.E.M. José Armando Dzul Xuluc
Ciclo Escolar agosto 19 –enero 20
Integrantes:
1. Cauich Medrano Miguel Ángel
2. Carolina de Jesús Chan Martin
3. Elvia Estefania Coronado Carillo
4. Ana Guadalupe Correa Sandoval
5. Herrera Aranda Joan Argel
6. Perla Aideé Olea Martin
7. Uitzil Gil Rommi Giovanni

2. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
VERSIÓN: 2019
PLANTEL 05 PANABÁ
2
ÍNDICE
1. Portada……………………………………1
2. Integración por partes…………………...3
3. Integración por cambio de variable…….7
4. Aplicaciones en la Física……………….9
5. Punto de vista………………………….11
6. Conclusión…………………………….12

3. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
VERSIÓN: 2019
PLANTEL 05 PANABÁ
3
Panabá, Yucatán a 04 de diciembre del 2019
Integración por partes
Para empezar a resolver este problema es importante mencionar la formula con la
que se realizaran los ejercicios esta es la misma para todos los ejercicios de este
tipo.
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
En este primer ejercicio podemos observar la u en este caso representada por la x
y la du representada por la e2x.
Lo primero que hay que hacer es sacar los datos y derivar.
1. 𝑥𝑒2𝑥
dx
1) Datos
Derivar
U=x
Dv=dx
Integrar
𝑑𝑢 =
1
2
𝑒2𝑥
2dx
| v= ½ e2x
u= 2x
du= 2dx
Después es necesario sustituir los resultados en la función.
2) Sustitución
𝑥𝑒2𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥
1
2
𝑒2𝑥
– 1
1
2
𝑒2𝑥
𝑑𝑥
Este resultado debe
ser igual al que se
obtiene
al derivar en la
mayoría de los casos.
Igual

4. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
VERSIÓN: 2019
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4
𝑥𝑒
2𝑥
𝑑𝑥 =
1
2
𝑥𝑒2𝑥
−
1
2
𝑒2𝑥
𝑑𝑥
𝑥 𝑒2𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒2𝑥
−
1
2
1
2
𝑒2𝑥
Con el resultado que obtuvimos anteriormente realizaremos la integral nueva.
3) Integral nueva
(½ e2x) 2dx
U=2x
Du=2dx
= ½ e2x
Para poder obtener el resultado no debe de haber ninguna integral en la función
para ello se realiza el proceso de integración hasta que ya no quede ninguna
como podemos observar.
Listo podemos observar el resultado de la integral.
4) Resultado final
𝑥𝑒2𝑥
𝑑𝑥 =
1
2
𝑥𝑒2𝑥
−
1
4
𝑒2𝑥
+ 𝐶
Igual

5. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
VERSIÓN: 2019
PLANTEL 05 PANABÁ
5
En este segundo ejercicio podemos observar la u en este caso representada por la
x3 y la du representada por la e4x.
Lo primero que hay que hacer es sacar los datos y derivar.
2. 𝑥3
𝑒4𝑥
3𝑥2
𝑑𝑥
5) Datos
Derivar
U=x3
Dv= 3x2 dx
Integrar
𝑑𝑢 =
1
4
𝑒4𝑥
4𝑑𝑥
| v= 1/4 e4x
u= 4x
du= 4dx
Después es necesario sustituir los resultados en la función, en este caso se
multiplica.
6) Sustitución
𝑥3
𝑒4𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥3
1
4
𝑒4𝑥
−
1
4
𝑒4𝑥
3𝑥2
𝑑𝑥
𝑥3
𝑒4𝑥
𝑑𝑥 =
1
4
𝑥3
𝑒4𝑥
−
3
4
𝑥2
𝑒4𝑥
𝑑𝑥
Con el resultado que obtuvimos anteriormente realizaremos la integral nueva y
derivamos e integramos.
7) Integral nueva
𝑥2
𝑒4𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥2
1
4
𝑒4𝑥
𝑑𝑥 −
1
4
𝑒4𝑥
2𝑑𝑥
Este resultado debe ser igual al que se obtiene
al derivar en la mayoría de los casos si no es
así a completamos el resultado.
Igual
Multiplicar

6. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
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6
Derivar
U=x2
Du=2dx
Como podemos observar aún existe una integral así que hay que continuar
derivando e integrando.
𝑥 𝑑𝑥
Derivar
U= x
Du= dx
Integrar
𝑑𝑣 = 𝑒4𝑥
𝑑𝑥
V= ¼ e4x
= 𝑥𝑒4𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥
1
4
𝑒4𝑥 1
4
𝑒4𝑥
𝑑𝑥
=
1
4
𝑥𝑒4𝑥
−
1
4
𝑒4𝑥
𝑑𝑥
=
1
4
𝑥𝑒4𝑥
−
1
4
1
4
𝑒4𝑥
=
1
4
𝑥𝑒4𝑥
−
1
16
𝑒4𝑥
Para poder obtener el resultado no debe de haber ninguna integral en la función
para ello se realiza el proceso de integración hasta que ya no quede ninguna
como podemos observar.
8) Resultado final
𝑥3
𝑒4𝑥
𝑑𝑥 =
1
4
𝑥3
𝑒4𝑥
−
3
4
1
4
𝑥2
𝑒4𝑥
−
1
8
𝑥𝑒4𝑥
+
1
32
𝑒4𝑥
𝑥3
𝑒4𝑥
𝑑𝑥 =
1
4
𝑥3
𝑒4𝑥
−
3
16
𝑥2
𝑒4𝑥
−
3
32
𝑥𝑒4𝑥
−
3
128
𝑒4𝑥
+ 𝐶
Integrar
V= ¼ e4x
=
1
4
𝑥2
𝑒4𝑥
−
1
2
𝑥𝑒4𝑥
𝑑𝑥

7. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
VERSIÓN: 2019
PLANTEL 05 PANABÁ
7
Integración por cambio de variable
Para empezar a resolver este problema es importante mencionar la formula con la
que se realizaran los ejercicios esta es la misma para todos los ejercicios de este
tipo.
𝑓 𝑥 𝑑
𝑑𝑥
𝑛
𝑓 𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶
𝑢 𝑛
𝑑 𝑢
𝑑𝑥
𝑢 𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶
En este primer ejercicio podemos observar la u en este caso representada por la
función (3x4 + 17)6.
Lo primero que hay que hacer es derivar.
1. 3𝑥4
+ 17 6
12𝑥3
𝑑𝑥
U=3x4 +17
Du= 12x3 dx
Luego se sustituyen los datos en la segunda parte de la formula y se realiza el
ejercicio.
= (3x4 + 17)6 / 7 + C
Listo este es el resultado.
=1/7 (3x4 + 17)7 + C
Este resultado debe
ser igual al que se
obtiene
al derivar.

8. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
VERSIÓN: 2019
PLANTEL 05 PANABÁ
8
En este segundo ejercicio podemos observar la u en este caso representada por la
función (5x2 - 10).
Lo primero que hay que hacer es derivar.
2. 5𝑥2 − 10 𝑥 𝑑𝑥3
1
10
5𝑥2 − 10
1
3
+1
10𝑥 𝑑𝑥
U=5x2 - 10
Du= 10x dx
Luego se sustituyen los datos en la segunda parte de la formula y se realiza el
ejercicio.
= 1/10(5x2 - 10)4/3 + C
4/3
Listo este es el resultado.
= 3/40 (5x2 - 10)4/3 + C
Igual.
Multiplicar

9. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
VERSIÓN: 2019
PLANTEL 05 PANABÁ
9
Aplicaciones en la Física
1. Una viga de 8.5 m de largo tiene un peso de 30 N y está extendida para
levantar en el suelo ¿Cuánto trabajo se requiere para levantar un
extremo de la viga a una altura de 8.5 m que esté totalmente extendida
verticalmente?
Primero es necesario saber la fórmula que se utilizará la cual esta planteada a
continuación:
𝑇 = 𝐹𝑑
Lo primero que hay que hacer es sustituir los datos en la formula.
La variable x representa la altura, pero como no esta levantada, si no apenas se
comenzará a elevar la altura no es especifica por eso se coloca la x.
𝑇 = 30𝑁 𝑋
Se colocan los límites.
30𝑥 𝑑𝑥
8.5
0
Se realiza la división en este caso 30 dividido entre 2.
𝑇 =
30𝑥2
2
|0
8,5
𝑇 = 15𝑥2
|0
8.5
Se sustituyen los límites en la función.
𝑇 = 15 8.5 2
− 15 0 2
Así obtenemos el resultado.
𝑇 = 1,083.75 𝐽

10. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
VERSIÓN: 2019
PLANTEL 05 PANABÁ
10
2. Un resorte tiene una longitud natural de 8 pul. Si se aplica una fuerza de
20 lb y estira el resorte 0.5 pul. Determina el trabajo para estirar el
resorte de 8 a 11 pul.
8 pul.
Primero es necesario saber la fórmula que se utilizará la cual está planteada a
continuación:
𝑇 = 𝐹𝑑
Lo primero que hay que hacer es sustituir los datos en la formula.
La variable x representa los centímetros que el resorte se estira, pero como no
está estirado, si no apenas se comenzará a estirar la medida no es especifica por
eso se coloca la x.
𝑇 = 20 𝑋
Se colocan los límites. Como el resorte se estiro máximo 3 cm ese será uno de los
límites y el otro será cero que es donde comienza.
20𝑥 𝑑𝑥
3
0
Se realiza la división en este caso 20 dividido entre 2.
𝑇 =
20𝑥2
2
|0
3
𝑇 = 10𝑥2
|0
3
Se sustituyen los límites en la función.
𝑇 = 10 3 2
− 10 0 2
𝑇 = 90 − 0
Así obtenemos el resultado.
𝑇 = 90 𝐽

11. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
VERSIÓN: 2019
PLANTEL 05 PANABÁ
11
Punto de vista
Algunas veces nos encontramos con funciones cuyas integrales no se
pueden obtener de manera directa (integrales inmediatas).
En este tema veremos algunos métodos de integración, los cuales son
técnicas que te permitirán encontrar la integral de una función
reduciéndola a una integral inmediata o a una suma de integrales
inmediatas.
Como ya habíamos mencionado anteriormente existen diferentes tipos de
integración el primero que realizamos se llama integración por partes el
cual es el procesoque encuentrala integral de un producto de funciones
en términos de la integral de sus derivadas y antiderivadas.
Frecuentemente usado para transformar la antiderivada de un producto
de funciones en una antiderivada, por lo cual, una solución puede ser
hallada más fácilmente.
El segundo método que utilizamos fue el de integración por cambio de
variables el cual es uno de los métodos más usados en la integración.
Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un
nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera.

12. COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE YUCATÁN
VERSIÓN: 2019
PLANTEL 05 PANABÁ
12
Conclusión
En conclusiónlos métodos de integraciónson los medios porlos cuales
se puede conoceruna función indefinidaque ya está dada, pero que no
conocemos,existen tres métodos de integración en esta actividad solo
utilizamos dos.
En ocasiones,calcular la integral de una función se puede complicarun
poco y será necesario algún artificio matemático para reducirla a una
integral inmediata.
Asu vez todos los métodos de integración tienen por objetivo
transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias,
cuyo cálculo resulte más sencillo.
Se entiende por método de integración a la integral de las diferentes
técnicas elementales usadas (a veces de forma combinada)para
calcular una derivada o integral inmediata de una función. Así,dada
una función f(x), un método de integración que nos permite encontrar
otra función lo cual por el teorema fundamental del cálculo equivale a
hallar una función igual a su derivada.