El documento resume los temas cubiertos en la sesión 2 de Cálculo I, incluyendo métodos de integración como sustitución, partes, sustitución trigonométrica y fracciones parciales. Explica estos métodos a través de ejemplos y ejercicios resueltos. El objetivo de la sesión es que los estudiantes aprendan a calcular integrales aplicando diferentes métodos de integración.

1. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA 1
CÁLCULO I
ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS
SEMANA 4 - SESIÓN 2

2. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
Logro de la Sesión
2
Al finalizar la sesión, el estudiante calcula integrales
aplicando los diferentes métodos de integración
(sustitución, por partes, fracciones parciales y
sustitución trigonométrica) mostrando un proceso
detallado.

3. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
Temario
 Métodos de integración: Por sustitución, por
partes, sustitución trigonométrica, fracciones
parciales.

4. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
Reflexionemos
Cómo podríamos calcular la antiderivada de
f (x) =
3x2
- 4
x3
- 4x

5. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
Si y = f(x) es una función derivable, entonces el diferencial dy
está definida por:
 dx
x
f
dy 

Diferencial de una función
Ejemplos:
En los siguientes ejercicios determine el diferencial de u:
1
3 2

 x
u
1.
x
u ln
3 

2.
1
cos 
 x
u
3.

6. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
Integración por sustitución
Por lo que al pretender calcular la integral de la izquierda, al hacer el
cambio u = g(x), lograremos calcular una integral más sencilla.
 
     

 
 du
u
f
dx
x
g'
x
g
f
6
Regla de la sustitución en integral indefinida:
Si g’(x) es continua en un intervalo I y f es continua en el rango de
u= g(x), x en I, entonces:

7. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
7
7
Regla de la sustitución en integral definida:
Si g’(x) es continua en [a; b] y f es continua en el rango de u = g(x),
x en [a; b], entonces:
 
     
 
 

 

b
g
a
g
b
a
du
u
f
dx
x
g'
x
g
f
Por lo que al calcular la integral de la izquierda, haciendo el
cambio u = g(x), también hay que cambiar los límites de
integración.
Integración por sustitución

8. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
Ejercicios:
Determine las siguientes integrales:
 
dx
x
x
d
dx
x
x
x
c
dx
e
x
b
dx
x
a
e
x









1
2
7
5
2
10
ln
)
6
5
6
2
)
)
3
2
)
3
8

9. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
La regla que corresponde a la regla del producto para derivación se
llama regla para integración por partes
Si integramos y acomodamos los términos, se obtiene
9
Integración por partes
)
(
)
( x
g
v
y
x
f
u 

Si hacemos:
La fórmula se convierte en:

10. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
Ejercicios
Determine las siguientes integrales:




 dx
x
d
dx
e
x
c
dx
x
x
b
dx
x
x
a
x
)
1
2
ln(
)
)
ln
)
sen
)
2
2
10

11. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA 11

12. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
 dx
x
3
cos
 dx
x
x 2
3
cos
sen
INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
2.
1.
 dx
x
x m
n
cos
sen Si n o m es impar
Caso I:
Se descompone la función trigonométrica de exponente impar,
buscando el factor senxdx o cosxdx según sea el caso y
expresando los factores restantes en términos de cosx o senx
respectivamente.
Ejercicios
12

13. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
 dx
x
4
cos
 dx
x
2
sen
INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
2.
1.
 dx
x
x m
n
cos
sen Si m y n son pares
Caso II:
Aplicamos:
 
2
2
cos
1
sen2 x
x


 
2
2
cos
1
cos2 x
x


Ejercicios
 dx
x
x 2
2
cos
sen
3.
13

14. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
Expresión Sustitución Identidad
Sustituciones trigonométricas
dx
x
a
  2
2
dx
a
x
  2
2
dx
a
x
  2
2
2
2



 


 ,
sen
a
x
2
2





 θ
,
θ
tan
a
x
2
3
2
0





 



 o
a
x ,
sec
x
x 2
2
1 cos
sen 

x
x 2
2
1 sec
tan 

x
x 2
2
1 tan
sec 

Se utiliza para integrar expresiones que involucran las raíces ,
y .
2
2
x
a 
2
2
x
a  2
2
a
x 
Así la sustitución a realizar que permite eliminar el radical en el
integrando será:
14

15. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
Halle:
dx
x
x
  2
3
9
.
1
dx
x
x
  1
1
.
2 2
dx
x
x
  4
.
3 2
3
Ejercicios
15

16. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
¿Qué aprendiste hoy?
En esta sesión revisamos los siguientes temas
Integración por sustitución
Integración trigonométrica
Integración por partes
Integración por sustitución trigonométrica
16

17. CÁLCULO I EPE INGENIERÍA
Bibliografía
Cálculo de una variable
Conceptos y contextos
Cuarta edición
James Stewart
Cálculo de una variable
Conceptos y contextos
Cuarta edición
James Stewart
Cálculo de una variable
Conceptos y contextos
Cuarta edición
17