Este documento explica los conceptos de derivación implícita y explícita. La derivación implícita se aplica cuando una función y está definida implícitamente por una ecuación en lugar de de forma explícita. Explica que para derivar funciones implícitas se usa la regla de la cadena. También presenta una fórmula para calcular la derivada de una función implícita usando derivadas parciales.

1. Derivación Implícita
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos
están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo,
muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función
y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos
despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente:
.
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación.
El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo,
¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil
despejar y como función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación
será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde
aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Derivación Implícita http://www.sectormatematica.cl/seccion/derivacion.htm
1 de 3 08/08/2012 01:35 p.m.

2. Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el
segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis
cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a
continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
Derivación Implícita http://www.sectormatematica.cl/seccion/derivacion.htm
2 de 3 08/08/2012 01:35 p.m.

3. donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Ejemplo 4:
Hallar , de la función implícita:
Solución:
Primero,
segundo,
ahora el cociente,
acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con
algunos ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el
tema de derivación implícita.
Nota:
Solo doy un ejemplo ya que para el buen entendido del tema es suficiente. Cada
lector puede consultar libros sobre el tema y probar la fórmula que proponemos.
Bibliografía consultada: Cálculo. Roland Larson y otros, Cálculo Diferencial e Integral,
Willian Granville y otros.
Principal > La sección de Waldo Márquez > Derivación Implícita
Derivación Implícita http://www.sectormatematica.cl/seccion/derivacion.htm
3 de 3 08/08/2012 01:35 p.m.