Matemáticas sin dificultades

UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
(SNNA)
PROYECTO DE AULA DE MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS SIN DIFICULTADES, IGUAL DE SENCILLAS COMO LO ES
SONREÍR
AUTORES:
Briones Cruz Miriam Estefanía
Gavilanes Chuqui Nubia Geoconda
Mendoza Menéndez Lady Janeth
Merchán Espinoza Meiby Mariel
Olivo Rojas José Gregorio
Solórzano Burgos Gina Grisely
ÁREA:
EDUCACION, COMERCIO Y ADMINISTRACIÓN
DOCENTE:
ING. ROBIN ANGUIZACA
PERÍODO:Abril - Agosto del 2013
MILAGRO – ECUADOR

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Suma.- Es una expresión que tiene por objeto reunir dos o más expresiones
algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).
Resta.- Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos
(minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia).
Ejercicio Paso a Paso
De:x5
-30x3
y2
+40xy4
+y5
restar la suma de:-4x4
y+13x2
y3
-9xy4
con:-6x5
+8x3
y2
+xy4
-
2y5
.
1er
Paso:Efectuar y ordenar la suma, por lo tanto que los términos semejante
queden en columna.
2do
Paso:Indicar la resta del ejercicio.
(x5
-30x3
y2
+40xy4
+y5
) - (-6x5
-4x4
y +8x3
y2
+13x2
y3
-8xy4
-2y5
)
(x5
-30x3
y2
+40xy4
+y5
) +6x5
+4x4
y -8x3
y2
-13x2
y3
+8xy4
+2y5
)
3er
Paso:Efectuar y ordenar la resta. Dejando el minuendo con sus signos y luego
escribimos el sustraendo cambiándole de signo a todos los términos; por lo tanto
que los términos semejantes queden en columna.
Indicar la respuesta del ejercicio.
-4x4
y+13x2
y3
-9xy4
-6x5
+8x3
y2
+xy4
-2y5
-6x5
-4x4
y+8x3
y2
+13x2
y3
-8xy4
-2y5
+6x5
+4x4
y - 8x3
y2
-13x2
y3
+ 8xy4
+2y5
+x5
-30x3
y2
+40xy4
+ y5
+7x5
+4x4
y -38x3
y2
-13x2
y3
+48xy4
+3y5
+7x5
+4x4
y -38x3
y2
-13x2
y3
+48xy4
+3y5
R//

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Multiplicación.- Es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades
llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada
producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el
multiplicador es respecto de la unidad positiva.
División.- Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos
factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
Multiplicar: -2ab +3bc – 8a2
c con 16ab2
c3
y luego dividir con 8bc.
1er
Paso:Efectuar la multiplicación (en forma horizontal).
2do
Paso: Indicar la división del ejercicio:
3er
Paso:Efectuar la división:
(-32a2
b3
c3
+48ab3
c4
-128a3
b2
c4
) / 8abc
-32a2
b3
c3
+48ab3
c4
-128a3
b2
c4
8abc
32a2
b3
c3
+48ab3
c4
-48ab3
c4
-
128a3
b2
c4
+
128a3
b2
c4
-4ab2
c2
+6b2
c2
-16a2
bc3
(-2ab +3bc – 8a2
c) * (16ab2
c3
)
= -32a2
b3
c3
+48ab3
c4
-128a3
b2
c4

Explicación:Dividir -32a2
b3
c3
/ 8abcy esto es igual a -4ab2
c2
. Este primer término
del cociente se lo multiplica por cada uno de los términos del divisor: (-
4ab2
c2
)*(8abc) esto es igual a 32a2
b3
c3
. Luego se escribe este término debajo de
su semejante en el dividendo y lo reducimos. Y se baja el otro término +48ab3
c4
y
lo dividimos para 8abcy da como resultado: +6b2
c2
.Este segundo término del
cociente se lo multiplica por cada uno de los términos del divisor: (+6b2
c2
)*(8abc)
esto es igual a -48ab3
c4
. Se escribe este término debajo de su semejante en el
dividendo. Y luego se baja el último término del dividendo -128a3
b2
c4
lo dividimos
para 8abc que es igual a -16a2
bc3
.Y por último, este tercer término del cociente se
lo multiplica por 8abc esto es igual a +128a3
b2
c4
.
Se realiza dicha operación y en este caso como residuo queda 0. Y como cociente
de dicho ejercicio es: -4ab2
c2
+6b2
c2
-16a2
bc3
.

FACTOR COMÚN
1-. Descomponer en factores a + 2ª a2
+ 2a
Primero observamos que contienen el
Factor común a
2-. Escribimos el factor común a como a ( a + 2 )
coeficiente de un paréntesis; y dentro del
Paréntesis escribimos los coeficientes de dividir
así a2
/ a = a y 2ª / a =2 y tendremos
FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTOS DE TERMINOS
1-.Para descomponer este ejercicio encontramos 2ax + 2bx – ay + 5a – by + 5b
que hay 3 términos que tienen el factor común a
y tres términos que contienen el factor común b.
2-. Agrupamos en un paréntesis los tres primeros (2ax– ay+ 5a) + (2bx – by+5b)
Términos Seguido de los otros tres términos
Precedidos del signo + porque el tercer termino
es de signo +.
3-. De tal manera que los términos agrupados
tengan dentro del paréntesis algún factor común
y procedemos a dividir, luego de sacar el factor a ( 2x-y+5) +b (2x-y+5)
común de cada grupo, deben ser exactamente
iguales de no ser así no es posible la expresión
dada de descomponer este método.
4-. Se expresa el resultado en 2 paréntesis así. ( a+b ) ( 2x-y+5 )

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
1-. Se extrae la raíz cuadrada la primer término 4x2
+12xy2
+ 9y4
Y tercer termino del trinomio y se separan estas
raíces x el signo del segundo termino 2x 3y2
2-. El binomio así formado, que es la raíz 2(2x) (3y2
)
Cuadrada del trinomio, se multiplica por si
mismo o se eleva al cuadrado (2x+3y2
)
DIFERENCIA DE CUADRADO PERFECTOS
1-. Se extrae la raíz cuadrada al primero y al (81a4
– 16)
Segundo termino y se multiplica la suma de estas
raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del 9a2
4
primero y segundo termino.
2-. Al descomponer las raíz cuadrada de el primer
termino y el segundo obtendremos:
(9a2
+4) (9a2
-4)
3-. Al hallar sus raíces se expresan entre 2 paréntesis
El primero con el signo + y el segundo con el signo -
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION
1-. Vemos si este es trinomio cuadrado perfecto, m4
- 17m2
+16
sacando la raíz cuadrada del primer y del tercer
termino y luego el doble producto de estas raíces m2
4
es:
2(m2
)(4) = 8m2
Entonces este trinomio no es trinomio cuadrado
Perfecto
2-.para que sea cuadrado perfecto hay que lograr m4
- 17m2
+16
que el segundo término17m2
se convierta en 8m2
+9m2
-9m2
lo cual se consigue sumándole 9m2
pero para que
el trinomio no varié hay que restarle la misma ( m4
- 8m2
+16 ) -
9m2
cantidad que se suma -9m2
y tenemos. ( m2
-4 ) -9m2

3-. Luego factoramos el trinomio cuadrado perfecto
4-. Factoramos la diferencia de cuadrados (m2
-4 +3m) (m2
-4 -3m) R.
TRINOMIO DE LA FORMA DE LA FORMA ax2
+bx + c
6x2
- 7x - 3
1-. Se descompone en dos paréntesis en el que
El primer término de cada factor será la raíz ( 6x – 9 ) (6x + 2 )
cuadrada De 6x2
es decir 6x así.
2-. Luego vemos 2 números cuya diferencia sea
el segundo término7, cuyo producto resulte del
la multiplicación del 1er y 3er termino 18 y
tendremos.
3-. Como multiplicamos el trinomio dado por 6 2 3 3 1
Ahora tenemos que dividir por 6 pero como ( 6x – 9 ) (6x + 2 )
Ninguno es divisible, tenemos que descomponer2 * 3
Y procedemos a simplificar.
4-. Luego se expresa así. ( 2x – 3 ) ( 3x + 1 ) R.
EL CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO
1-. La expresión tiene cuatro términos 64x3
+ 240x2
y +300xy2
+125y3
y sacamos la raíz cubica de 64x3
que es
4x y la raíz cubica de 125y3
que es 5y. 4x 5y
2-. El triple producto del cuadrado de
la primera raíz por la segunda se obtiene 3(4x)2
(5y) = 240x2
y R.
el segundo término.

3-. El triple producto de la primera raíz por el
cuadrado de la segunda raíz obtenemos el 3(4x) (5y)2
= 300xy2
R.
tercertérmino.
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
1-. La suma de sus raíces cubicas es el cuadrado (x6
+ b9
)
De la primera raíz, menos el producto de las
2 raíces, Mas el cuadrado de la segunda raíz.=(x2
+ b3
) [(x2
) – (x2
) (b3
) + (b3
) ]
=(x2
+ b3
) (x4
- x2
b3
+ b6
) R.
2-. La diferencia de sus raíces cubicases el (a3
+ 8)
cuadrado de la primera raíz mas el producto
de las 2 raíces mas el cuadrado de la segunda raíz. =(a + 2) [(a2
) + (a) (2) + (2)2
]
=(a + 2) (a2
– 2a + 4) R.
SUMA O DIFERENCIADE 2 POTENCIAS IGUALES
(m8
- n8
)
1-. Los términos dados
deben tenerexponentes
mayores a 2 e iguales,
si esta precedido por
el signo – todos van + =(m-n)(m7
+m6
n+m5
n2
+ m4
n3
+ m3
n4
+ m2
n5
+ mn6
+n7
) R.
y sus raíces mientras
el primer termino
disminuye el segundo
aumenta
2-. Al expresar con el signo mas+ (a5
+ b5
)
Si intercalan con el signo – y se
produce la misma regla de la suma
=(a + b) (a4
– a3
b + a2
b2
– ab3
+ b3
) R.

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.
Como tienen la misma base se aplica la división de monomios y se procede
a restar:
Multiplicamos cada uno de los términos y nos damos cuenta que es una
multiplicación de bases iguales por lo que procede a sacar el producto de la
parte literal, se coloca la misma base y se suma los exponentes:
Como no hay raíz de 6 lo convertimos en fracción:
1/2
De ahí multiplicamos la fracción fuera del paréntesis con lo que está en el
interior y este sería el resultado .

RACIONALIZACIÓN
Racionalizar es convertir una fracción cuyo denominador sea irracional
en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional .
Primero racionalizamos el denominador lo pasamos igual al numerador y
denominador con signos diferentes:
Luego pasamos a multiplicar y verificamos si hay un caso de factorización:
Ahora procedemos a realizar el ejercicio:

Descomponemos los términos y lo ponemos en una sola raíz:
Ahora multiplicamos los números con la misma base:
Luego sacamos la raíz y procedemos a sacar su respectiva respuesta .

Simplificación de fracciones
Es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí.
Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible
y entonces la fracción esta reducida a su más simple expresión o a su mínima
expresión.
Simplificación de fracciones con expresiones algebraicas simples
- =
Para simplificar esta fracción simple PRIMERO:
Facturamos el trinomio de la forma que tenemos allí .
Se lo descompone en dos binomios ( ) ( ) cuyo primer término es la raíz
cuadrada de osea x=(x ) (x ) en el primer binomio después de x se pone el
signo del segundo término del trinomio (x- ).En el segundo binomio, después de
x, se pone es signo que resulta de la multiplicación del signo de –x por el signo de
-6 y se tiene que – por – da+ osea:
=(x- ) (x+ )
Ahora, como en estos binomios tenemos signos diferentes buscamos dos
números que cuya resta sea 1 y cuyo producto sea6. Esos números son 3y2,
luego:
. = (x-3) (x+2)
SEGUNDO
Se busca el máximo común múltiplo (m.c.m) entre:
(x-3) (X+2)(X+2)(x-3) y este es (x+2) (x-3)

Dividimos (x-3)(x+2) para (x-3)(x+2)y nos da 1 y esto lo multiplicamos por
x= x, colocamos el mismo signo (-) y seguimos dividiendo (x-3)(x+2) para
(x+2)y nos da (x-3)por -1= (x+3)colocamos el signo (-)y dividimos (x-
3)(x+2)para (x-3)y nos da(x+2)por 2= 2(x+2)y multiplicamos 2porx= 2x y
2 por2= 4y eso es igual a -2x-4
- =
A continuación simplificamos x con –x y nos da como resultado 0, el 3 con el -4
colocamos el signo del mayor y restamos, -1 y el -2x lo dejamos igual porque no
tenemos con que simplificar, entonces la respuesta es:
//
Simplificación de fracciones complejas
Efectuamos el numerador le sacamos el m.c.m entre 1-x- el cual es
Y multiplicamos por 3 = 3
Dividido para x =x por -11 es igual -11x
Dividido para =1 por 6= 6
Nos queda en el numerador.
Efectuamos el denominador sacamos el m.c.m entre 1-x- el cual es y
Multiplicamos por 3 = 3

Dividido para x = x por +4 es igual a 4x
Dividido para = 1 por -4= -4
Nos queda
Realizamos el trinomio de la forma a que tenemos allí.
Lo descompongo en dos binomios y lo factorizo, busco un número
que multiplicado me dé como resultado 18 y sumado 11 siendo estos números 9
y 2 lo dividimos para 3 que es el valor de a y simplifico.
=
Realizamos el mismo procedimiento en el denominador.
=
Y simplificamos términos semejantes.
Y de esta manera obtenemos la respuestala cual es:
//

ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
UNA ECUACION LINEAL O DE PRIMER GRADO, CORRESPONDE AL TIPO
MÁS SIMPLE DE ECUACION, PUDIENDO SER REDUCIDA A UN PREDICADO
DE LA FORMA: p(x): ax+b=0
 Destruimos paréntesis:
 Sacamos el máximo común denominador:
 Luego eliminamos los denominadores y solo nos queda los numeradores:
 Dejamos la parte literal de un lado y la numérica en otro lado:
 Eliminamos términos semejantes:
 Y nos queda:

 Despejamos "X”; y como el -69x está multiplicando pasa a dividir al -16:
ECUACIONES CUADRATICASO DE SEGUNDO GRADO
UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO ES AQUELLA QUE
SE PUEDE REPRESENTAR CON UN PREDICADO DE LA FORMA:
p(x):ax2
+bx+c=0
EL LARGO DE UNA SALA RECTANGULAR ES 3 METROS MAYOR QUE SU ANCHO. SI AUMENTAMOS
EN 3 METROS EL ANCHO Y EL LARGO EN 2 METROS, EL AREA SE DUPLICA. HALLAR EL AREA
ORIGINAL DE LA SALA .
X= ancho de la sala
El largo es de 3 metros mayor que el ancho
X+3= largo de la sala.
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambas expresiones.
Entonces:
X(x+3)= área de la sala
Las condiciones del problema dice que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros, por lo que queda es:
X+3= nuevo ancho de la sala
X+5= nuevo largo de la sala. Por lo tanto (x+3) (x+5); la nueva área es el doble de
la primera (2 veces) así que planteamos la ecuación:

(X+3)(X+5)=2x(x+3)
X2
+5x+3x+15=2x2
+6x
X2
+5x+3x+15+2x2
-6x=0
-X2
+2x+15=0
Aplicamos “FORMULA GENERAL”
ax2
+bx+c=0
El largo de la sala es de x+3= 8m; así que el área original era de 8m.5m=
40m2
.

INECUACIONES DE 1ER GRADO
Para resolver este tipo de ecuaciones tenemos que hallar el valor de la incógnita
que satisfaga la inecuación.
3x-5 - x- 6 < 1 una vez que tenemos la inecuación procedemos a resolverla
1ro: observamos el denominador para ver si tenemos factor común: en este caso
si lo hay que es el # 12 porque es divisible para 4, ponemos raya de fracción y el
denominador:
12
2do: procedemos a dividir 12/4 = 3 que multiplica (3x-5) y lo mismo hacemos con
el siguiente término
3(3x-5) -x+6 < 1
3ro: luego multiplicamos los términos: y observamos que el # 12 está dividiendo
pasa al otro lado a multiplicar.
3(3x-5) -x+6 < 1
12
9x-15-x+6 < 12
4to: observamos los términos semejantes e independientes y procedemos a
removerlos
Ejemplo: 9x - x = 8x
- 15+6 = -9 porque ponemos el signo del número mayor
9x-15-x+6 < 12
8x-9 <12
5to: dejamos en un lado las x y al otro lado los términos independientes y como
el # 9 tiene signo negativo lo pasamos al otro lado con signo positivo.

8x <12+9 = 8x < 21
6to: despejamos x y el 8 que vemos que está multiplicando pasa a dividir
X < 21
8
7mo: nuestra ecuación queda resuelta de la siguiente manera:
3x-5 - x- 6<1
4 12
3(3x-5) -x+6 < 12
12
9x-15-x+6 < 12
8x-9 <12
8x <12+9
X < 21
8
8vo: luego procedemos a realizar nuestro gráfica: como nos está diciendo que –x
es menor de 21 entonces nuestra grafica parte:
8
-
Nuestro ap. (x) es: -x, 21
8

.
INECUACIONES DE 2do GRADO
7x + 21x -28
una vez dada la ecuación procedemos a resolverla
1ro: tenemos que darnos cuenta que caso de inecuación tenemos en este caso
tenemos una inecuación cuadrática que la podemos resolver por medio de la
formula general.
2do: remplazamos los valores en la formula general, sacando los valores de a, b,
c.
a=7
b=21
c=-28
3ro: una vez que tenemos remplazado los valores desarrollamos lo que tenemos
dentro de la raíz, que nos queda 35: multiplicamos lo que tenemos en el
denominador que es 7x2=14 y eso lo ubicamos debajo de la raya de fracción.
4to: sacamos los valores de x1 que lo hacemos de la siguiente manera
= 14/14 = 1
5to: luego sacamos también los valores de x2 y lo hacemos de la misma manera:

= - 56 /14 = -4 en este caso sumamos
6to: una vez que ya tengo los valores de x1 y x2 nos queda expresado de la
siguiente manera
X<1
X<-4
7mo: procedemos a realizar la gráfica de la siguiente manera: como tenemos x1
positivo y tenemos x2 -4 significa que el valor se ubicara en la recta en el lado
negativo y graficaremos así:
(-x,-4) (-4,1) (1,X) x
-x
-4 1
8vo: ubicamos los intervalos de solución
9no: una vez ya graficado procedemos a verificar los intervalos:
(-x,-4)
X=-2
(x.-2) (x+1) = - este valor si cumple
10: verificamos el siguiente de la misma manera:
(1, X)
X=
(X+3) (X+1) = + no corresponde
11: entonces finalmente nuestro ap. (x) es: (-4,1)

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS – DIAGRAMA DE VENN
De un grupo de 1352 turistas que visitan México se encuentra que:
*935 de ellos visitaron las momias de Guanajuato
*955 el museo de antropología
*925 las pirámides de Teotihuacán
* 35 fueron a las pirámides, pero no al museo ni a Guanajuato
*80 fueron al museo, pero no a las pirámides ni a Guanajuato
*120 estuvieron en Guanajuato pero no fueron ni a las pirámides ni al museo
*590 estuvieron en Guanajuato y Teotihuacán
*350 estuvieron en los 3 lugares.
Indique cuantas de estas personas asistieron a :
a) exactamente a uno de estos lugares:
R= 235
b)exactamente a 2 lugares
R= 765
c)al menos a un lugar
R=1350
d)cuando mucho a 2 lugares
R= 1002
e)a lo más a uno de los lugares
R=237
Algunas frases se refieren a varias zonas del diagrama, pero siempre se puede
encontrar alguna que indique con certeza que número va en una sola zona de
éste. Llamo "zona" a cada una de esas partecitas en que quedan divididos los
conjuntos.
CÓMO COMPLETAR EL DIAGRAMA DE VENN:
PASO 1
Voy a llamar G al conjunto de los visitantes a Guanajuato, P al conjunto de los que
fueron a las pirámides, y M al de los que fueron al museo.
La primera frase, por ejemplo, no sirve para saber con exactitud con qué número

llenar una zona. Porque el conjunto G está dividido en 4 partecitas, y no podemos
saber cuántos de esos 935 visitantes van en cada una de esas partecitas.
Lomismo pasa con la segunda frase, que se refiere a todo el conjunto M, y con la
tercera frase, que se refiere al conjunto P. Esas frases nos dan el total que hay en
los conjuntos, pero no en cada pedacito, así que para empezar no nos van a
servir.
En cambio la cuarta frase: "35 fueron a las Pirámides, pero no al Museo ni al
Guanajuato", me está diciendo que en la zona del conjunto P que no se cruza con
ninguno de los otros conjuntos, va el número 35. Así que puedo empezar
poniendo ese número:
G M U
120 80
35 P
PASO 2
Luego, con la quinta frase: "80 fueron al Museo, pero no a las Pirámides ni a
Guanajuato", pasa lo mismo: Me dice que en la zona de M que no se cruza con los
otros conjuntos, va el número 80.
Seguido Ponemos el 120. Porque la frase: "120 estuvieron en Guanajuato, pero
no fueron a las Pirámides ni al Museo, me está diciendo que en la zona del
conjunto G que no se cruza con los otros conjuntos, van 120 personas.
A continuación puse el 350. Porque usé la frase: "350 estuvieron en los tres
lugares". Eso me dice que hay que poner 350 personas en la zona donde se
cruzan (intersectan) los 3 conjuntos.

G M
350
240
P
Después puse el 240. Porque la frase que dice: "590 estuvieron en Guanajuato y
en Teotihuacán", me está indicando que en la intersección de los conjuntos G y P,
hay en total 590 personas. Pero ya puse 350 en una de esas partes. Así que en la
otra, van:
590 - 350 = 240 personas.
ACONTINUACION UN DIAGRAMA DE ESA INTERSECCION
G M
350Intersección entre
G y P
P
590-350
En la parte pintada de celeste es donde van las personas que fueron a Guanajuato
y a Teotihuacán VEN QUE SON 2”ZONAS”en una ya teníamos el 350 y la frase
dice que en total allí van 590 personas entonces en la zona de la izquierda van
590-350= 240
PASO 3

Si me van siguiendo numero por número, ya tiene que tener puesto el 120, el 240
y el 350 además de 80 y 35. Entonces puedes observar que el conjunto G queda
una sola zona vacía y resulta que la primera frase “935 visitaron las momias
deGuanajuato” me está diciendo que el total del conjunto G tiene 935 personas.
Es decir que, en la única zona de G que quedó vacía, tenemos que poner: 935 -
350 - 120 - 240 = 225 personas.
G 80 M 935-350-120-240= 225
personas
120 225
350
240 300
35 P
Pero ahora puedes ver una sola zona vacía del conjunto M y la segunda frase que
dice “955” fueron al Museo de antropología", me está indicando que en total hay
955 personas en M. Entonces, en la única zona vacía de M deben ir: 955 - 225 -
350 - 80 = 300.
955-225-350-80= 300
Ya los 3 conjuntos quedaron llenos, pero la frase: "925 estuvieron en la Pirámides
de Teotihuacán", me sirve para confirmar si todo va bien: La suma de las 4 zonas
en que está dividido el conjunto P, debe dar 925.
Sumo: 240 + 350 + 300 + 35 = 925. Está bien.
350
240 300 conjunto P

35
PASO 4
Lo único que falta ver es si va algo por afuera de los conjuntos. Esa zona
representa a los turistas que no visitaron ninguno de los 3 sitios. Como al
comienzo del ejercicio dice que son 1352 turistas, veamos cuántos turistas hay
entre todos los conjuntos.
G 80 M U
120225
350
240 300
35 P 2
120+225+350+240+300+35+80= 1350
Los que visitaron algunos de los sitios. Son solo 1350 pero en total eran 1352
quiere decir que hay algunos que no fueron a ningún sitio.
1352-1350 = 2
Por eso va el número 2 por fuera de los conjuntos
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS
Una vez que tienes lleno el diagrama completo con los números que van en cada
zona (tenlo siempre a la vista) puedes contestar todas las preguntas.

1.-¿Cuántas personas asistieron exactamente a uno de esos lugares?
Esas personas son 120+80+35=235 (fíjate donde están los números en el
diagrama) porque si solo asistieron a un lugar tienen que estar en las zonas de
cada conjunto que no se cruza con ningún otro. Asistieron a G(120) solo M(80) o
solo P(35) POR ESO ES LA SUMA DE ESOS NUMEROS.
2.-¿Cuántos asistieron exactamente a 2 lugares?
Eso está representado en las partes donde se cruzan los conjuntos de a 2, pero
no la zona donde cruzan los 3, porque dice “exactamente” los números que hay en
la zona son: 240+225+300=765
3.-¿Cuántas asistieron al menos a un lugar?
“Al menos a un lugar” significa que fueron a uno, 2 o los 3 lugares. Son todas las
personas que están dentro de los conjuntos. Ya está hecha la cuenta
anteriormente 1350
4.-¿Cuántos mucho a 2 lugares?
Se refiere a las que fueron a un lugar, a 2 lugares, o a ninguno esas son todas la
1352 personas menos las que están en la intersección de los 3 conjuntos es decir
(350) porque esas fueron a los 3 lugares. Entonces son: 1352-350= 1002
5.-A lo más (o a la suma) a uno de los lugares:
Son las que fueron a un solo lugar, o a ninguno. En la pregunta 1°) vimos cuantas
fueron exactamente a un solo lugar 235 y a ninguno fueron 2(las que están por
fuera d elos conjuntos). Así que son: 235+2= 237

DOMINIO DE UNA FUNCION
 Primero tenemos que ver hay denominadores con variables; y como
no hay; por lo tanto x-1 debe ser desigual de cero:
101 xx
 Después tenemos que ver si hay radicales pares con variables; y
como no hay; sólo tenemos una condición para el dominio:
1;: xxxDomf
- )1(
RANGO DE UNA FUNCION
4x
x
xf
PARA DETERMINAR EL RANGO:
44 x
x
y
x
x
xf
 :4
4
xxy
x
x
y Pasando el denominador a multiplicar a “y”
 :44 xyyxxxy En este caso tenemos una variable “x” en
cada miembro de la igualdad, por lo tanto los agrupamos en un solo
lado pasando la “x” de la derecha para el miembro izquierdo con
signo contrario.
SEA “F” UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL f(x). EL CONJUNTO POR EL CUAL
SE ENCUENTRA DEFINIDA, CONSTITUYE EL DOMINIO DE LA FUNCION. ESTE
CONJUNTO SE REPRESENTA SIMBOLICAMENTE POR: dom f dominio de
una función.
ES
SEA “F” UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL f(x). EL CONJUNTO DE TODAS LAS
IMÁGENES DE LOS ELEMENTOS DEL DOMINIO, CONSTITUYE EL RANGO DE LA
FUNCION. ESTE CONJUNTO SE REPRESENTA SIMBOLICAMENTE POR: rg f
rango de una función

 :404 yxyxyxyx Pasamos y4 para el otro lado consigo
contrario.
Ahora corresponde obtener el factor común entre los términos de la
izquierda:
 :41 yyx Para dejar despejada la “x”, debemos pasar dividiendo
1y :

1
4
y
y
x Teniendo la función expresada en la variable “y”, luego
vemos si hay denominadores con variables; en este caso el
denominador es 1y , por lo tanto: 01y
101 yy
 Luego vemos si hay radicales pares con variables; en este caso no hay por
lo tanto sólo tenemos una condición para el rango:
1: yxrgf
- ) 0(

FUNCIONES LINEALES
Se dice que son funciones lineales, porque la gráfica es una línea recta .
Ejemplo:
Y= 2x-1
*Primero le proponemos valores a X ( positivos y/o negativos ) asi .
X Y
-2
-1
0
1
2
Luego en la ecuaciónY= 2x-1 le remplazamos el valor de X así .
Ahora procedemos a resolver la ecuación de la siguiente manera .
X Y
-2
-1
0
1
2
2(-2)-1=
2(-1)-1=
2 (0)-1=
2 (1)-1=
2 (2)-1=

Ultimo paso graficamos en el plano cartesiano .
Una vez ya realizado el plano cartesiano nos damos cuenta que si cumple la
función lineal .
ECUACIÓN DE LA RECTA
X Y
-2
-1
0
1
2
2(-2)-1= -5
2(-1)-1=-3
2 (0)-1= -1
2 (1)-1= 1
2 (2)-1= 3

Encontrar la pendiente y la ecuación de los puntos: A (3, -2) y B (-2, 7).
1er
Paso:Identificar lo que pide el problema en este caso determinar la pendiente
con los puntos: A (3, -2) y B (-2, 7).
2do
Paso:Como todos sabemos para determinar la pendiente la fórmula es:
3er
Paso:Escogemos el punto A como punto inicial a la x1
= 3; y1
= -2. Y punto final
al B donde -2= x2
y 7 es a y2
.
4to
Paso:Ahora respetando los signos queda así:
5to
Paso:Como ya tenemos la pendiente, lo que sigue es encontrar la ecuación de
la recta. La fórmula del Punto Pendiente es: y – y1
= m (x – x1
).
Recordemos que y los puntos x1
,y1
lo escogemos de cualquier punto,
ya
Sea del punto A o del punto B, al final sale el mismo resultado.
En este caso escodemos el punto A (3, -2).
Ahora resta sustituirla y quedaría así:
7 – (-2)
-2 - 3
M=
M=
7 + 2
M=
-5
9
-2 - 3
-X1
M=
x2
- x1
y2
- y1
M=
9
-5

y – y1
= m (x – x1
)
= y – (-2)= -
5
9
(x – 3).
= y + 2= -
5
9
(x – 3).
= 5 (y + 2) = -9 (x – 3)
= 5y + 10 = -9x + 27
= 5y + 9x = 27 -10
= 5y +9x = 17
O se iguala a 0 y queda así: 5y +9x -17 = 0
6to
Paso:Ahora dejaré la comprobación con el punto B (-2, 7), para que vean que
queda exactamente igual cogiendo cualquier de los 2 puntos:
y – y1
= m (x – x1
)
= y - 7 = -
5
9
(x – (-2))
= y - 7 = -
5
9
(x + 2)
= 5 (y - 7) = -9 (x + 2)
= 5y – 35 = -9x - 18
= 5y + 9x = 35 -18
= 5y +9x = 17 O se iguala a 0 y queda así: 5y +9x -17 = 0
7mo
Paso:Se verifica si se obtiene el mismo resultado los puntos A y B.
A (3, -2) = 5y +9x -17 = 0
B (-2, 7) = 5y +9x -17 = 0
8Vo
Paso: La respuesta del ejercicio es igual que la pendiente de la recta es
5
9
Y laecuación de la recta es a 5y +9x -17 = 0
Rectas paralelas

Determine si la recta que pasa por los puntos P (1,5) y Q (-2 ,1) es paralela a la
recta que pasa por los puntos M (10,7) y N (7,3)
Una vez que nos dan ambos puntos procedemos a resolverla
P (1,5) Q (-2,1)
M (10,7) N (7,3)
1ro: ponemos la fórmula que es para sacar la pendiente
2do: remplazamos la formula con los primeros 2 puntos que nos dan : (1,5) ( -
2,1) en la parte de arriba podemos ubicar los valores de x1,y1,x2,y2 para no
confundirnos ; en este caso a mi 1er pendiente le llamaremos m1, y ponemos
Y como nos da 2 signos negativos aplicamos la ley de los signos y nos queda la
respuesta positiva
3ro: procedemos con el mismo procedimiento a realizar el siguiente punto:
P (10,7) Q (7,3)
4to: una vez que tenemos las pendientes de ambos puntos observamos: que
ambas pendientes sean iguales es decir:
4 = 4
3 3
En este caso las pendientes si son iguales por lo tanto si son rectas
Paralelas y para comprobarlo
Procedemos a graficarla
5to: en un lado del plano ubicamos los valores positivos y en el otro lado los
valores negativos como vamos a ver en la siguiente en el siguiente ejemplo:

(+)
(-)
6to: procedemos a graficar el 1er punto en el plano P (1,5) Q (-2,1) ubicando los
valores positivos y negativos tanto para x como para y.
.
.
Hemos obtenido .
El 1erpunto
Hemos obtenido
Graficamosel 2do punto
Elsegundo punto
Por lo tanto si es una recta paralela
Rectas perpendiculares

Determine si la recta que pasa por los puntos P (-2,3) y Q (3 ,5) es perpendicular
a la recta que pasa por los puntos M (2,-1) y N (-4,14)
Una vez que nos dan ambos puntos procedemos a resolverla
P (-2,3) Q (3,5)
R (2,-1) S (-4,14)
1ro: ponemos la fórmula que es para sacar la pendiente .
2do: remplazamos la formula con los primeros 2 puntos que nos dan : P(1,5) Q ( -
2,1) en la parte de arriba podemos ubicar los valores de x1,y1,x2,y2 para no
confundirnos ; en este caso a mi 1er pendiente le llamaremos m1, y ponemos
Y como nos da 2 signos negativos aplicamos la ley de los signos y nos queda la
respuesta positiva
3ro: procedemos con el mismo procedimiento a realizar el siguiente punto:
R (2,-1) S (-4,4)
En este caso la respuesta la
Respuesta será negativa .
4to: una vez que tenemos las pendientes de ambos puntos observamos: que
ambas pendientes son diferentes la cual nos tiene que dar como resultado - 1.
Entonces tendremos: m1 = m2= -1
2 - 15 = -1
5 6
Simplificamos ambas fracciones y nos queda -1, y si nos queda m1 es -1 y m2
es -1
Entonces salen iguales a,-1, concluimos que las 2 rectas son perpendiculares
Y para comprobarlo procedemos a graficarla de la siguiente manera:
5to: en un lado del plano ubicamos los valores positivos y en el otro lado los
valores negativos como vamos a ver en el siguiente ejemplo:

6to: procedemos a graficar el 1er punto en el plano P (-2,3) Q (3,5) ubicando los
valores positivos y negativos tanto para x como para y.
.
Hemos obtenido
El 1er punto
.
Hemos obtenido
El segundo punto .
Esta es una recta perpendicular porque ambas rectas se interceptan y forman un
Angulo de 90
Estos puntos que nos dieron si nos prueba que su grafica si es una recta
perpendicular .
SISTEMAS DE 3 ECUACIONES CON 3 INCOGNITAS

Método de igualación
3x+2y-p=12
4x-3y+3p=19
2x+4y+4p=20
1: Elija unas de las incógnitas y la despejamos en las 3 ecuaciones
x= 12-2y+p x= 19+3y-3p x=20-4y-4p
3 4 2
2: De las ecuaciones tenemos que elegir 2 de cualquiera ecuación y las
igualamos por ejemplo: yo voy a elegir la primera:
12-2y+p = 19+3y-3p
3 4
(12-2y+p)+4 = (19+3y-3p) +3
48-8y+4p=57+9y-9p
-17+13p = 9
Vemos que, al igualarlos nos quedaron solo 2 incógnitas, finalmente
despejamos una de ellas (en este caso vamos vamos a elegir P), a este
resultado lo denominamos A.
Después tomamos la ecuación que no había utilizado en este caso la 3ra
y la igualamos con alguna de las otras dos ecuaciones y tomamos la 1ra
20-4y-4p = 12-2y+p
2 3
1 2
P=9+17y
13
3 -1

(20-4y-4p) x3 = (12-2y+p) x2
60-12y-12p = 24-4y+2p
60-24 = -4y+2p+12y+12p
36 = 8y+14p
Nuevamente nos quedan 2 incógnitas, de ellas despejamos la misma que
despejamos anteriormente (P) y a su resultado lo denominamos B.
Igualamos A con B Y de esa manera, obtenemos el valor de y.
9+17y 36-8y
13 14
(9+17y)+14 = (36-8y) +13
126+ 238y = 468-10y
342y = 342
y = 342y= 1
342
Para obtener el valor de P, remplazamos en la y por el valor hallado en la
ecuación A y la ecuación B en este casos elegiremos la (B).
36-8Y=P
14
36-8(1) = P
14
36-8/4 = P = 28/4=P
P=9+17y
13

Finalmente , para obtener el valor de x , remplazamos la (y) y la por sus valores
en cualquiera de las 3 ecuaciones iniciales ( utilizamos la 1ra ecuación )
x = 12-2y+p
x = 12-2(1)+2
x = 12-2+2
x = 12
3
x = 4
MÉTODO DE REDUCCIÓN

-2x +4y -3z = 67
3x -2y -2z = 19
x –y +z = -20
1er
Paso:Elegimos las primeras ecuaciones:
-2x +4y -3z = 67
3x -2y -2z= -6
2do
Paso:Buscamos un número para poder eliminar las “y” en este caso es “2”
-2x +4y -3z = 67
(2) 3x -2y -2z = -6
-2x +4y -3z = -67
6x -4y -4z -= -12
4x // -72 = 55 R//
Hemos eliminado los valores de “y”
3er
Paso:De las tres ecuaciones elegimos”2” (cualquiera):
Nosotros elegimos la 1ra y 3era
-2x +4y -3z = 67
x –y +z = -20
4to
Paso:Como en la primera agrupación eliminamos los valores de “y” en la
segunda agrupación también eliminaremos los valores de “y” .En este caso seria
“4”
-2x +4y -3z = 67
(4) x –y +z = -20 procedemos a multiplicar
-2 +4y -3z = 67

4x -4y +4z = -80
2x // +z = -13 R//
Hemos eliminado los valores de “y”
5to
Paso:Tomamos las ecuaciones resultantes de las dos agrupaciones
realizadas anteriormente. Las cuales son:
2x +z = -13
4x +7z = 55
Y procedemos a eliminar los de valores de z y en este caso multiplicaremos la
primera ecuación por 7.
(7) 2x +z = -13 y procedemos a multiplicar
14x -7z = -91
4x -7z = 55
18x // = -36 R// Y despejamos x
x = -36 x=-2
18 y simplificamos
6to
Paso:Como ya tenemos el valor de x ahora buscaremos el valor de z y
tomamos la ecuación resultante de la segunda agrupación
2x +z = -13
2(-2) +z = -13
-4 +z = -13
z = -13
Hemos encontrado el valor de z
x=-2
z = -9

7mo
Paso:Para encontrar el valor de “y” tomaremos una de las
ecuacionesplanteadas al inicio del ejercicios:
En este caso elegimos la tercera ecuación la tercera ecuación la cual es:
x –y +z = -20 y reemplazamos los valores de x y z encontrados anteriormente
-2 –y +z = -20
-y = -20 +9 +2
-y = -9
Hemos encontrado el valor de Y
Estos son los valores de “x”, “y”,”z” encontrados por medio del método de
reducción.
x = -2
y = 9
z =-9
Método de Sustitución
y = 9

x+y+z=4
x-2y+3z=13
x+3y+4z=11
*Se despeja una variable de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga
coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera
ecuación.
x+ y+ z= 4
x=4-y-z
*Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema, agrupamos
términos y obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
* x-2y+3z=13 sustituimos la x
4-y-z-2y+3z=13
-3y+2z=9
* x+3y+4z=11
4-y-z+3y+4z=11
2y+3z=7
*Lo resolvemos por el método de igualación; Despejamos la z de ambas
ecuaciones.
z:
1
2
3

3(9+3y)=2(7-2y)
27+9y=14-4y
9y+4y=14-27
13y=-13
y= = y= -1 obtenemos el valor de y.
z= =
z=3 obteniendo el valor de z.
*Sustituimos los dos valores obteniendo en x=4-y-z
x= 4+1-3
x=2 obteniendo el valor de X
MATRICES
+4X+7Y+5Z = -2

+6X+3Y+7Z=+6
+X-Y+9Z=-21
Buscamos los determinantes de los valores X Y Z
4 7 5
6 3 7
1 -1 9
Elegimos el primer número de la primera fila y columna y luego que lo escogemos
eliminamos los números restantes de la primera fila y columna .
4 7 5
6 3 7
1 -1 9
Con los determinantes restantes lo que hacemos es multiplicar diagonalmente y
precedido por el signo menos (-) en medio de los 2 terminos
3 7= 3 * 9 = 27 27 – ( - 7)=
-1 9=-1 * 7 = -7 27 + 7 = 34
Luego tomamos el 7 y eliminamos la primera fila con la segunda columna en forma
de T
4 7 5
6 3 7
1 -1 9
Con las determinantes restantes, lo que hacemos es, multiplicar diagonalmente y
precedido con el signo menos (-) en medio de los términos .

6 7= 6 * - 9 = -56 -56 – 7 = -63
1 9= 1 * 7= 7
Por ultimo escogemos el 5 y eliminamos la primera fila y tercera columna .
4 75
6 3 7
1 -1 9
Escogemos los determinantes restantes y procedemos a multiplicar diagonalmente
y precedido con el signo menos (-) en medio de los términos .
6 3 = 6 * -1 = -6 -6 – 3 = -9
1 -1= 3 * 1 = 3
Elegimos el 4 y la determinante 34 lo multiplicamos = 136
elegimos el 7 y el -63 multiplicamos = -329
Elegimos el 5 y el -9 multiplicamos = -45
Sumamos todos los valores 136 – 329 – 45 = -238
Y por lo tanto la determinante es = -238
Para encontrar el valor de X divide la matriz reemplazando los valores de la
incógnita X por el resultado de la determinante de la matriz
Procedemos a ubicar los valores dados en sus respectivas letras
X Y Z B
4 7 5 -2
6 3 7 6
1 -1 9 -21
Aquí los valores de b empiezan siguiendo los valores de X
-27 5 3 7 6 7 6 3
6 3 7 2 -7 + 5

-21-1 9 -1 9 21 9 -21 -2
X = =
4 7 5 3 7 6 7 6 3
6 3 7 4 -7 + 5
1 -1 9 -1 9 -1 9 1 -1
5
X= -2 (27+7) -7 (54+147) +5 (-6+63) = -68-1407 -285 = - 1190 (X= 5) R.
4 (27+7) -7 (54-7) +5 (-6-3) 136 -329 – 45 -238
1
Encontramos x que es igual a 5
Luego los valores de B van en la segunda fila reemplazando los valores de Y
Aquí los valores de b empiezan siguiendo los valores de X
4 -2 5 6 7 6 7 6 6
6 67 4 +2 + 5
1 -21 9 -21 9 1 9 1 -21
Y = =
4 7 5 3 7 6 7 6 3
6 3 7 4 -7 + 5
1 -1 9 -1 9 -1 9 1 -1
Y= -4 (54+147) +2 (54-7) +5 (-126-6) = 804+94-660 = - 238 (Y=1) R.
4 (27+7) -7 (54-7) +5 (-6-3) 136 -329 – 45 -238

Y es igual a 1
Y por último los valores de Z son reemplazados por los valores de b en la
terceracolumna .
4 7 -2 3 6 6 6 6 3
6 3 6 4 -7 -2
1 -1 -21 -1 -21 1 -21 1 -1
Z = =
4 7 5 3 7 6 7 6 3
6 3 7 4 -7 + 5
1 -1 9 -1 9 -1 9 1 -1
3
Z= 4 (-63+6) -7 (-126-6) -2 (-6-3) = 228+924+18 = 714 (Z=-3) R.
4 (27+7) -7 (54-7) +5 (-6-3) 136 -329 – 45 - 238
1
El valor de Z es igual a -3
Entonces, los valores son:
X = 5
Y = 1
Z = -3
DISTANCIA DE UN PUNTO A LA RECTA
LA DISTANCIA DE UN PUNTO P Y UNA RECTA R LONGITUD DEL SEGMENTO
CONOCIDO COMO RECTA PROSIBOLA DE LA RECTA QUE ES
PERPENDICULAR A LA RECTA R:ax by =0 Y LA UNE AL PUNTO P(X1,Y1).

PUEDE CALCULARCE ASI:
Primero vamos a reconocer los puntos: P=(-4,7)
 Buscaremos el otro punto de “X” y “Y” utilizando los siguiente formula:
 Con esta fórmula reemplazamos los datos obtenidos:
X= ‐4 Y=7 m= -3
Y1-y0= m(x1-y0)
Y-7= -3(x-(-4))
Y-7= -3(x+4)
Y-7= -3x-12 encontramos la ecuación
y= -3-12+7
 Como ya encontramos la ecuación verificamos los puntos:
L1: Y= -3X-5
L2: Y= -3X+P como ambos tienen la misma pendiente por lo tanto
buscaremos el otro valor de L2 “P”.
 Escogemos el punto L2:Y= -3X+P con esta ecuación la igualaremos a
“0”. L2:Y= -3X+P
3x+y-p=0
 Para calcular la ecuación de la recta debemos ver si la ecuación esta
ordenada de esta manera ax+by+c; luego sacamos los valores de a= 3
b=1 c=-pcon estos datos llevamos la fórmula de la ecuación de la recta es
la siguiente:
Y1-Y0= m(x1-y0)
CALCULA LAS ECUACIONES DE LA RECTA QUE TIENEN LA PENDIENTE -3 Y EQUIDISTAN
EN DOS UNIDADES DEL PUNTO (-4,7).
Y= -3x-5

 Y como en el ejercicio dice que equidistan en 2 unidades realizamos lo
siguiente:
como
√10
esta dividiendo pasa a multiplicar
2√10= │-5-p│como tenemos valo absoluto eliminamos y nos queda:
-5-p= 2√10 siempre en valor absoluto ca a tomar valores positivos y
negativos .
-p=2*(3.16)+5 -P=-2*(3.16)+5
-p=6.32+5 -P=-6,32+5
-p=11,32 R// -P=-1,32 R//
 Entonces el valor de “P”puede ser 11,32 O -1,32
EJERCICIOS ADICIONALES
1 Suma Y Resta De Polinomios.
Como valor
positivo
-p=+2√10
Como valor
positivo
-p=+2√10

*Restar la suma de con 3 de la suma
de con =
[( + -[( +
(3 ]
[4ab2-1/2 a3+9b3-8/3a2b+5/6a3] - [2a3+7a2b+3ab2-6a2b+b3]
7/4ab2-1/2a3+9b3-8/3a2b +5/6a3-2a3-7a2b-3ab2+6a2b-b3
-5/4ab2-5/3a3+8a3-11/3a2 b//
Multiplicación y división de polinomios
(x
3
-11+8)(x-2) = x
4
-2x
3
-11x
2
+30x-16 =
(x
2
+3x-2) x
2
+3x-2
x
4
-2x
3
-11x
2
+30x-16 x
2
+3x-2
-x
4
-3x
3
+ 2x
2
x
2
-5x+6
// -5x
3
- 9x
2
+30x
+5x
3
+15x
2
-10x
// +6x
2
+20x-16
-6x
2
-18x +1
// +2x -4
3. Factorización
4x4-4x2y2-4x3y+4xy3+y2x2-y4

(4x4-4x2y2) + (-4x3y+4xy3) + (y2x2-y4)
4x2(x2-y2) -4xy(x2-y2) +y2(x2-y2)
(x2-y2) (4x2-4xy+y2)
(x+y)(x-y) (2x-y)2//
4.Potencia y Radicación
= =
= =
//
5. Racionalización
=
=
=
//

6. Simplificación de fracciones con expresiones algebraicas
Simples.
- =
//
7. Simplificaciones de fracciones Complejas
=
= = =
Ecuaciones de primergrado
=
3(x-2)-5(2x+1)=x-3
3x-6-10x-5=x-3
-7x-x=-3+6+5
-8x=8
8x=-8
X=
X=-1
Ecuaciones de segundo grado
= = = =

-
2
A=2
B=14
x1=3
x2=-10
10. Inecuaciones de Primer Grado
9x-15-x+6<12
8x-9<12 -
8x<12+9
X<
A=2
B=14
C=60

11. Inecuaciones de Segundo Grado
=
= = =
X1=
X2=
0
CONJUNTOS
1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos
elementos pertenecen a A o a B.
Ejemplo
A={3,4,5,8,9} B={5,7,8,9,10}
A B={3,4,5,7,8,9,10}
A=4
B=12
C=9
U
Ab

2.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es un
conjuntos cuyos elementos son comunes a A y B.
Ejemplo:
A={7,8,9,10,11,12} B={5,6,9,11,13,14}
A B={9, 11}
3.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos
que no están en el conjunto A y que están en el universo.
Ejemplo:
U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}
Ac
= {1,2,5,8,9,10}
4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un
conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el
conjunto B.
Ejemplo:
C = {u, v, x, y, z} D = {s, t, z, v, p, q}
C - D = {x, y, u}
U
A ) B
)
)
AAA
Ac
U
A
U
A B

FUNCIONES LINEALES
Ejemplo:
Y= x-1
Procedimiento :
GRAFICAMOS
X Y
-2
-1
0
1
2
(-2)-1=-3
(-1)-1=-2
(0)-1=-1
(1)-1=0
(2)-1=1

CONCLUSIÓN
Queda concluido que el trabajo en grupo fue importante por la posibilidad de
compartir y apoyarnos entre nosotros,asímismo, la socialización del trabajo
realizado fue clave para establecer comparaciones y llegar a acuerdos entre
todos, aplicando todos los métodos aprendidos en la asignatura de matemáticas,
llegando a la conclusión que si desarrollamos un ejercicio debemos realizarlo por
el método más fácil y adecuado para así conseguir una respuesta correcta.
Concluimos que para un resultado más concreto y preciso de los problemas
debemos tener cierta técnica desconcentración y entendimiento del mismo para su
resolución .

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