1. UNIVERSIDAD ESTATAL DE
MILAGRO
SISTEMA DE NIVELACION 2013
PROYECTO DE AULA
MATEMATICAS
Casos de Factorización
VI, VII, VIII, IX, X
GRUPO#5
INTEGRANTES:
 MABEL PAREJA VIDAL
 BETTY PILAY HOLGUIN
 VANESSA TORRES GONZALEZ
 LISSETTE LEON
DOCENTE:
MSC. PAULINA VERZOSI
MILAGRO - ECUADOR

2. PRESENTACIÓN
A través de este proyecto podemos demostrar que la factorización juega un papel
importante en una gran cantidad de aplicaciones de la Matemática, pues nos permite
convertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando así su
estudio; ya que es un proceso mediante el cual se agrupan problemas grandes para
reducirlos en algo pequeños y poder así solucionarlos de una manera más fácil.
Desde este punto de vista podemos recalcar que todas las personas hacen uso de la
factorización a lo largo de su vida sin darse cuenta; por ejemplo, cuando memorizan un
número de cuenta bancaria, e incluso el número de un celular o alguna dirección; lo
suelen agrupar de dos en dos, o de tres en tres), etc. Para que su memorización sea más
fácil. Y en conclusión, siempre que se puede reducir un problema grande en problemas
más pequeños y fáciles de resolver se está factorizando.
También consiste en aplicar las operaciones básicas algebraicas para descomponer en
factores una expresión algebraica y determinar a partir de ello una solución; es el
proceso inverso de realizar un producto notable, es decir; es encontrar los factores que
dieron origen a la expresión que se trata de factorizar.
Los temas más vistos en factorización algebraica son: Trinomio Cuadrado Perfecto,
Trinomio de la forma x2
+ bx + c, Trinomio de la forma ax2
+ bx + c, Factor Común,
Diferencia de Cuadrados, y Suma o diferencia de Cubos.
Hablar de Factorización en Matemáticas, no es algo sencillo, se tratan de múltiples
procesos, donde se tiene que dominar correctamente las operaciones básicas
algebraicas, es por ello que el presente manual práctico pretende de una forma práctica
mostrar una forma de aprendizaje constructivista, socio constructivista y significativo.
Respecto a lo antes expuesto hacemos referencia a lo dicho por J. Piaget (Marqués,
1999), con respecto a su teoría del constructivismo donde se determinan las fases del
desarrollo cognitivo y el desarrollo de la inteligencia es donde Piaget fundamenta que la
construcción del propio conocimiento es mediante la interacción constante con el
medio, lo que significa que los educandos comprenden mejor los contenidos temáticos
cuando las actividades que realicen, así como las tareas son de motivación para ellos.
Por otra parte, el presente trabajo comparte también las ideas de Vigotsky, sobre el
socio constructivismo, puesto que a partir de los saberes previos inicia el proceso de
construcción de nuevos conocimientos, y es dependiente de la situación y el medio en
que se dé ese aprendizaje.
A continuación presentamos ejercicios prácticos y sencillos sobre los últimos casos de
factorización:

3. CASO VI
TRINOMIO DE LA FORMA x2
+bx+c
Condiciones:
1. El coeficiente del primer término es 1.
2. El primer término siempre es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3. El segundo término debe tener la misma parte literal que el primero pero con
exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera ya sea positiva o
negativa.
4. El tercer término es independiente del primer y del segundo término.
Regla
1.- Se descompone en dos factores cuyo primer término es x, o sea, la raíz cuadrada
del primer término de la expresión.
2.- En el primer factor, después de x se debe escribe el signo del segundo término
del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que al
multiplicar el signo del segundo y el tercer término del trinomio
3.- Si los dos factores binomios tiene en el medio signo igual se buscan dos
números que el resultado de la suma sea el valor del segundo término y la
multiplicación de ambos números sea el valor del tercer término del trinomio.
4.- Si los dos factores binomios tienen en el medio signo distinto se buscan dos
números que cuya diferencia entre ambos sea el valor del segundo término y
cuyo producto sea el valor del tercer término del trinomio.
EJEMPLO:
Factorar x2
+ 10x+25
1. Descomponer el trinomio en dos binomios cuyos términos es la raíz cuadrada.
x2
+ 10x+25 (x ) (x )
2. Después de la x se pone signo + porque el segundo término es + 5x
x2
+ 10x+25
( x + ) ( x + )
x

4. 3. Ahora cuando tenemos signo iguales buscamos dos números que cuya suma sea 5 y
cuyo producto sea 6. Esos números son 5 y 4, luego tenemos lo siguiente:
x2
+10+25
5+5=10
( x+5) (x+5)
5*5= 25
EJERCICIOS
1º.-m2
+12m+36
(m+6) (m+6)
2º.-a2
-13ª+40
(a-8) (a-5)
3º.-x2
+2x -15
(x+5) (x-3)
4º.-x2
+7x+10
(x+5) (x+2)
5º.-a2 – 2 a – 35
(a-7) (a+5)
Cuando tenemos signo menos
-13 a y + 40
Se debe multiplicar los signos.
-13 a + 40

5. CASO VII:
TRINOMIO DE LA FORMA ax2
+ bx + c
Se diferencia del caso 6 en que el primer término tiene coeficiente distinto a 1.
Factorizar: 4a2
+15a +9
Ejercicios
1.-)
4a
2
+ +9
4a 3= +3a
1a 3= + 12a
Respuesta: (4a+3) (1a+3)
¿Cómo lo resolvemos?
Tenemos el trinomio 4a2
+15a +9 en el cual descomponemos el 1er término (4a 2
) y el
3er término +9
En esa descomposición tenemos que tener en cuenta que la suma o resta de términos
nos dé el termino del medio es decir +15a
 4a2
lo descomponemos en 4a . 1a
 9 lo descomponemos en 3 . 3 se multiplica en X es decir 4ax3= 12a y
1ax3=3a de ahí sumamos la respuestas 12a+3 = 15a.
 Pero la respuesta en si es ( 4 a+ 3) (1 a +3)
+15a
15a

6. 2.-)
8a
2
-14a -15 Respuesta:
2 a -5 = -20 a 2 a -5 4 a + 3
4 a +3 = +6 a
3.-)
9x
2
+37x +4
9x 1 = +1x
1x 4 = +36x Respuesta:
+37x 9x+1 1x+4
4.-)
14 m2
-31m -10 Respuesta:
7m +2 = +4m 7m+2 2m-5
2m -5 = -35m
-31m
-14 a

7. 5.-)
30x2
+13 x -10 Respuesta:
6x 5 = +25x 6x+5 5x-2
5x -2 = -12x
13x
CASO VIII
CÚBO PERFECTO DE BINOMIOS
Debemos tener en cuenta que los productos notables nos dicen que:
(a+b)3
= a2
+3a 2
b+3 a b 2
+b3
y (a-b)3
= a2
-3a 2
b+3ab 2
- b3
La fórmula de arriba nos dice que para una expresión algebraica ordenada con respecto
a una parte literal sea el cúbo de un binomio, tiene que cumplir lo siguiente:
1. Tener cuatro términos.
2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos.
3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz cúbica elevada
al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último término.
4. Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz cubica del
último término elevada al cuadrado
Si todos los términos de la expresión algebraica son positivos, la respuesta de la
expresión dada será la suma de sus raíces cúbicas de su primer y último término, y si los
términos son positivos y negativos la expresión será la diferencia de dichas raíces.

8. EJERCICIOS:
Factorar las siguientes expresiones:
1.-)
8a3
-36a2
b+54ab2
-27b3
La raíz cúbica de 8a3
es 2a
La raíz cúbica de 27b3
es 3b
3(2 a)2
(3b) = 36a2
b, segundo término
3(2 a) (3b)2
= 54ab2,
tercer término
Y como los términos son alternativamente positivos y negativo, la expresión dada es el
cúbo de:
R. (2a -3b)3
2.-)
27-27x+9x2
-x3
La raíz cúbica de 27 es 3
La raíz cúbica de x3
es x
3(3)2
(x)= 27x, segundo término
3(3) (x)2
= 9x2
, tercer término
Y como los términos son alternativamente positivos y negativo, la expresión dada es el
cúbo de:
R. (3-x)3

9. 3.-)
27m3
+108m2
n+144mn2
+64n3
La raíz cúbica de 27m3
es 3
La raíz cúbica de 64n3
es 4n
3(3m)2
(4n)= 108m2
n, segundo término
3(3m) (4n)= 144mn2
, tercer término
Y como los términos son alternativamente positivos, la expresión dada es el cúbo de :
R. (3m+4n)3
4.- )
m3
-3am2
n+3a2
mn2
-a3
n3
La raíz cubica de m3
es m
La raíz cubica de a3
n3
es a n
3(m)2
(an)= 3am2
n, segundo termino
3(m) (an)2
= 3a2
mn2
, tercer termino
Y como los términos son alternativamente positivos y negativo, la expresión dada es el
cúbo de:
R. (m-an)3
5.- )
8x6
-36x4
y3
+54x2
y6
-27y9
La raíz cubica de 8x6
es 2x2
La raíz cubica de 27y9
es 3y3
3(2x2
)2
(3y3
)= 36x4
y3
, segundo termino
3(2x2
)(3y3
)2
=54x2
y6
, tercer termino
Y como los términos son alternativamente positivos y negativo, la expresión dada es el
cúbo de:
R. (2x2
-3y3
)3

10. CASO IX
SUMA O DIFERENCIA DE CÚBOS PERFECTOS
Pasos para resolver el ejercicio:
1. Descomponemos en dos factores.
2. En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de las
raíces cúbicas de los dos términos.
3. En el segundo factor se escribe la raíz del primer termino elevada al cuadrado,
empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es
una suma de cúbos) o con signo más (si es una diferencia de cúbos) el producto
de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz.
La fórmula (1) nos dice:
REGLA 1
La suma de dos cúbos perfectos se descompone en dos factores:
1. La suma de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, menos la multiplicación de las dos raíces, más
el cuadrado de la segunda raíz.
a3
+b3
=(a+b)(a2
-ab+b2
)
La fórmula (2) nos dice:
REGLA 2
La diferencia de dos cúbos perfectos se descompone en dos factores:
1. La diferencia de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, más el cuadrado de la segunda raíz.
a3
- b3
=(a-b)(a2
+ab+b2
)

11. EJERCICIOS:
1.) Factorar: 27x3
+ 125 y9
La raíz cúbica de 27x3
es: 3x
La raíz cúbica de 125y9
es: 5y3
Según la formula (1)
Descomponemos en dos factores:
Primer factor (3x+5y3
)
Segundo factor [(3x)2
-(3x) ( 5y3
)+( 5y3
)2
]
Destruimos paréntesis: [(3x)2
-(3x) ( 5y3
)+( 5y3
)2
]
=(9x2
-15x y3
+25y6
)
Entonces tenemos:
Primer factor (3x+5y3
)
Segundo factor (9x2
-15x y3
+25y6
)
Respuesta: (3x+5y3
) (9x2
-15x y3
+25y6
)
2.) Factorar: 1 – a3
La raíz cúbica de 1 es: 1
La raíz cúbica de a3
es: a
Según la formula (2)
Descomponemos en dos factores:
Primer factor (1-a)
Segundo factor [(1)2
+ (1) (a)+( a)2
]
Destruimos paréntesis: [(1)2
+ (1) (a)+( a)2
]
=(1+a+ a2
)

12. Primer factor (1-a)
Segundo factor (1+a+ a2
)
Respuesta: (1-a) (1+a+ a2
)
3.) Factorar: 1 + a3
La raíz cúbica de 1 es: 1
La raíz cúbica de a3
es: a
Según la formula (1)
Descomponemos en dos factores:
Primer factor (1+a)
Segundo factor [(1)2
- (1) (a)+( a)2
]
Destruimos paréntesis: [(1)2
- (1) (a)+( a)2
]
=(1-a+ a2
)
Primer factor (1+a)
Segundo factor (1-a+ a2
)
Respuesta: (1+a) (1-a+ a2
)
4.) Factorar: a3
+ 27
La raíz cúbica de a3
es: a
La raíz cúbica de 27 es: 3
Según la formula (1)
Descomponemos en dos factores:
Primer factor (a+3)
Segundo factor [(a)2
-(a)( 3)+( 3)2
]

13. Destruimos paréntesis: [(a)2
-(a)( 3)+( 3)2
]
=(a2
- 3a+ 9)
Entonces tenemos:
Primer factor (a+3)
Segundo factor (a2
- 3a+ 9)
Respuesta: (a+3) (a2
- 3a+ 9)
5.)Factorar: x3
– 27
La raíz cúbica de x3
es: x
La raíz cúbica de 27 es: 3
Según la formula (1)
Descomponemos en dos factores:
Primer factor (x -3)
Segundo factor [(x)2
- (x) (3)+ (3)2
]
Destruimos paréntesis: [(x)2
- (x) (3)+ (3)2
]
=(x2
- 3x+ 9)
Entonces tenemos:
Primer factor (x -3)
Segundo factor (x2
- 3x+ 9)
Respuesta: (x -3) (x2
- 3x+ 9)
Recordando:
Para elevar potencia a otra potencia; Se eleva el coeficiente a la otra potencia, se ubica
la literal y se multiplican los exponentes: (a2
) 2
= a2
*2
= a4
Para encontrar la raíz cúbica de una potencia, se saca la raíz cúbica del coeficiente, se
ubica la parte literal y se divide el exponente de la potencia entre el índice de la raíz
cúbica (3): a6
= a6
/3 = a2

14. CASO X
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
Procedimiento:
Se aplican los siguientes criterios:
Criterios de divisibilidad de expresiones de la forma an
+ - bn
Pasos para resolver la suma de dos potencias iguales
Factorar x5
+32
1.- Encontramos la raíz quinta de los términos:
Raíz quinta de x5
= x ; raíz quinta de 32 = 2
2.- Formamos el primer factor con las raíces: (x +2)
3.- Formamos el segundo factor:
(x4
– x3
(2) +x2
(2)2
– x(2)3
+ (2)4
) = (x4
– 2x3
+ 4x2
– 8x + 16)
–> x5
+32 = (x +2) (x4
– 2x3
+ 4x2
– 8x + 16) Solución
NOTA:
Cuando el primer factor es suma (x+1), los signos del segundo factor son
alternativamente” +” y” – “
Cuando el primer factor es una diferencia (x-1), los signos del segundo factor son todos
positivos” + “
Criterio 1: an
– bn
es divisible por a - b siendo n par o impar
Criterio 2: an
– bn
es divisible por a + b siendo n impar
Criterio 3: an
– bn
es divisible por a + b siendo n es par
Criterio 4: an
+ bn
nunca es divisible por a - b

15. EJERCICIOS:
1.) Factorar: x7
+128
1.- Encontramos la raíz séptima de los términos:
Raíz séptima de x7
= x ; raíz séptima de 128 = 2
2.- Formamos el primer factor con las raíces: (x +2)
3.- Formamos el segundo factor:
( x6
-x5
(2)+ x4
(2)2
- x3
(2)3
+x2
(2)4
- x(2)5
+ (2)6
)
= (x6
-2x5
+4x4
-8x3
+16x2
-32x+64)
Entonces como respuesta de x7
+128 tenemos:
(x+2)(x6
-2x5
+5x4
-8x3
+16x2
-32x+64) solución
2.) Factorar: 243-32b5
1.- Encontramos la raíz quinta de los términos:
Raíz quinta de 243 = 3 ; raíz quinta de 32b5
= 2b
2.- Formamos el primer factor con las raíces: (3 -2b)
3.- Formamos el segundo factor:
[(3)4
+(3)3
(2b) + (3)2
(2b)2
+ 3(2b)3
+ (2b)4
]
= [81+(27)(2b) + (9)(4b) + 3(8b) + 16b4
]
Entonces como respuesta de 243-32b5
tenemos:
(3-2b)(81+54b+36b2
+24b3
+16b4
) solución

16. 3.) Factorar: a5
+ b5
c5
1.- Encontramos la raíz quinta de los términos:
Raíz quinta de a5
= a ; raíz quinta de b5
c5
= bc
2.- Formamos el primer factor con las raíces: (a +bc)
3.- Formamos el segundo factor:
=[(a)4
-(a)3
(bc) + (a)2
(bc)2
- (a)(bc)3
+ (bc)4
]
= (a4
-a3
bc+ a2
b2
c2
- ab3
c3
+b4
c4
)
Entonces como respuesta de a5
+ b5
c5
tenemos:
(a+bc)(a4
-a3
bc+ a2
b2
c2
- ab3
c3
+b4
c4
) solución
4.) Factorar: m7
-a7
x7
1.- Encontramos la raíz séptima de los términos:
Raíz séptima de m7
= x ; raíz séptima de a7
x7
= ax
2.- Formamos el primer factor con las raíces:(m+ax)
3.- Formamos el segundo factor:
( m6
+m5
(ax)+ m4
(ax)2
+ m3
(ax)3
+m2
(ax)4
+ m(ax)5
+ (ax)6
)
=(m6
+am5
x +a2
m4
x2
+a3
m3
x3
+a4
m2
x4
+a5
mx5
+a6
x6
)
Entonces como respuesta de m7
-a7
x7
tenemos:
(m-x)(m6
+a m5
x +a2
m4
x2
+a3
m3
x3
+a4
m2
x4
+ a5
m x5
+a6
x6
) solución

17. 5.) Factorar: x10
+32y5
1.- Encontramos la raíz quinta de los términos:
Raíz quinta de x10
= x2
; raíz quinta de 32y5
= 2y
2.- formamos el primer factor con las raíces: (x10
+2y)
3.- Formamos el segundo factor:
[(x2
)4
– (x2
)3
(2y) +(x2
)2
(2y)2
– (x2
)(2y)3
+ (2y)4
]
= (x8
-2x6
y+4x4
y2
-8x2
y3
+16y4
)
Entonces como respuesta de x10
+32y5
tenemos:
(x2
+2y)(x8
-2x6
y+4x4
y2
-8x2
y3
+16y4
) solución

18. Conclusión:
La factorización promueve el desarrollo de habilidades del pensamiento, fomenta el
razonamiento matemático para que nosotros logremos resolver problemas aplicables a
la vida real, motiva el aprendizaje de nosotros los estudiantes, impulsando el desarrollo
de las competencias matemáticas.
La estrategia alternativa para la enseñanza y aprendizaje del tema de factorización en
nuestra educación superior representa una ventaja para fortalecer los cimientos de las
habilidades cognitivas y las competencias matemáticas que el estudiante debe de lograr
para continuar con el estudio de otras asignaturas.
Bibliografía:
 Algebra de Baldor
 http://ejerciciosalgebra.wordpress.com/2012/11/03/caso-x-suma-o-diferencia-de-
potencias-impares-iguales/
 http://mialgebra.blogspot.com/2009/03/ejercicios-resueltos-de-algebra-
de.html
 http://algebrabaldor.webcindario.com/id142.htm