Matemáticas del renacimiento

1. T10 Las matemáticas en el renacimiento: la iniciación del
Álgebra en Europa. La influencia de la matemática árabe e
hindú.
1.Los progresos de la aritmética.
Si se exceptúan el advenimiento de la perspectiva, y algunos atisbos del futuro cálculo
infinitesimal, puede decirse que en ese campo la preocupación del siglo XVI fue de índole
instrumental, ya en el sentido de completar el conocimiento de la matemática antigua
mediante los textos impresos que se difunde, ya en el sentido de perfeccionar los métodos y
recursos que desde el siglo XIII se desarrollaban en aritmética, en álgebra y en trigonometría.
Otra característica de la matemática renacentista debe verse en la influencia que ejercieron en
su desarrollo factores extrínsecos: así como las exigencias de los artistas dieron nacimiento a la
perspectiva, que se convertirá en una nueva rama de la geometría, así las necesidades de los
comerciantes, contadores y calculistas provocaron innovaciones aritméticas y las exigencias de
los astrónomos condujeron a perfeccionamientos en la trigonometría.
La única rama que se mantuvo dentro de su carácter técnico especulativo, fue el álgebra,
aunque en su desarrollo no deja de advertirse cierta nota proveniente del ambiente de la
época: el interés por el planteo y la propuesta de cuestiones difíciles y la atracción que aún
ejercían las justas y desafíos otorgaron al latente carácter lúdico de la matemática una
característica propia. En ninguna otra época de su historia la matemática vio episodios
semejantes a los que se desarrollaron entre los matemáticos italianos de la primera mitad del
siglo XVI; en ningún otro momento se suscitó un interés público semejante.
En el campo aritmético el siglo XVI asiste a la paulatina eliminación del cálculo con el ábaco y
su sustitución por las reglas ordinarias del cálculo con las cifras arábigas.
Como importantes innovaciones aritméticas del siglo deben considerarse los números
decimales, los logaritmos y las fracciones continuas.
Aunque pueden señalarse ciertos intentos anteriores en el sentido de adoptar un sistema de
fracciones decimales, el primer tratamiento sistemático de aquéllas se debe a una de las
figuras científicas del siglo: el belga Simon Stevin, de actividades múltiples, como funcionario y
como científico.
Su primera publicación en 1584 consistió en unas tablas para el cálculo de interés compuesto,
mientras que en el año
2.Los progresos del álgebra.

2. Aun dentro de su carácter instrumental, los progresos del álgebra resultaron más importantes,
pues incluyen la resolución, de las ecuaciones cúbica y cuártica e innovaciones en el
simbolismo.
El estudio y resolución de las ecuaciones de tercero y cuarto grados se llevan a cabo en la
primera mitad del siglo XVI en el seno de algebristas italianos, en circunstancias personales
difíciles de precisar dada la costumbre de la época de mantener el secreto de los
descubrimientos científicos con el objeto de resaltar y prevalecer sobre los adversarios en los
torneos y justas, a veces públicos, donde se planteaban problemas científicos.
Se atribuye a Scipione del Ferro, profesor de Bologna, el haber sido el primero en resolver la
ecuación cúbica de la forma x3+px=q. Pero ni se conoce la solución ni se ha logrado encontrar
con lo que podríamos encontrar nos con haberse malogrado una celebridad.
El hecho es que a principios de siglo comienzan a aparecer, en el ambiente de los calculistas y
algebristas italianos, problemas que conducen a ecuaciones de tercer grado, entre cuyos
proponentes figura el discípulo de Del Ferro, Antonio María Fior.
Es ahora que aparece uno de los protagonistas de estos sucesos: el ingeniero y matemático
autodidacto Niccolo Tartaglia quien, estimulado sin duda por aquellos problemas, encuentra
por su cuenta, según propias declaraciones, la regla para resolver ecuaciones cúbicas. Cuando
el año siguiente se produce un importante desafío matemático entre Fior y Tartaglia, éste
resuelve las 30 cuestiones que le propuso Fior (en dos horas, según afirma Tartaglia) mientras
Fior no resuelve ninguna de las cuestiones que, en igual número e índole, le propone Tartaglia.
La fama que entonces conquista Tartaglia llega a oídos de otro protagonista de esta cuestión,
el médico y matemático Gerolano Cardano, entonces profesor en Milán, Ludovico Ferrari,
probablemente el matemático más brillante del grupo, que aporta la solución de la ecuación
cuártica mediante un método que hoy lleva su nombre.
Enterado de los hallazgos de Tartaglia, Cardano se esfuerza en conocerlos para incluirlos en su
Ars Magna en preparación, pero Tartaglia, deseoso de hacerlos aparecer en sus propios libros,
cuando Cardano logra una entrevista con Tartaglia éste cede, y revela a Cardano las soluciones
de las cúbicas mediante unos tercetos, no sin hacerle jurar que no las hará conocer antes de
que Tartaglia las publique por su cuenta.
Pero en 1545 Cardano, probablemente ante la demora de Tartaglia en publicar esas
soluciones, rompe el juramento y las hacer conocer en su Ars Magna, exponiendo al respecto
su propio punto de vista acerca de la cuestión, hecho que da lugar a que Tartaglia, en sus
Quesiti del año siguiente, publique ciertas apreciaciones sobre Cardano que provocan una
polémica entre Tartaglia y Ferrari, que se prolonga desde principios de 1547 hasta 1548, nada
edificante y que tampoco agrega nada a la cuestión de la solución de las ecuaciones de tercero
y cuarto grados.
Sin embargo, quedaba aún una laguna, el llamado “caso irreducible” que se presentaba
cuando, al aplicar las reglas de Tartaglia, aparecían por parejas raíces cuadradas de radicandos
negativos sin interpretación real, no obstante lo cual era fácil comprobar que existían valores

3. reales que satisfacían la ecuación. Esta dificultad la salvará, para casos particulares, otro
matemático italiano del siglo; Rafael Bombelli, con su Álgebra de 1572.
Además de la resolución de las ecuaciones cúbica y cuártica, sin duda el principal
acontecimiento algebraico de la primera mitad del siglo XVI, este siglo vio otras innovaciones
algebraicas, en especial referentes al simbolismo.
Durante ese siglo se publicaron aritméticas y álgebras en distintos países de Europa, inspiradas
en gran parte en la Summa de Pacioli. Así, en Alemania el álgebra tomó el nombre de Die Coss,
es decir “la cosa”, nombre con que en Italia se designaba a la incógnita; las abreviaturas para
indicar sus potencias fueron denominadas “signos cósicos”.
La primera álgebra publicada en alemán vulgar, es Christoff Rudolff. Allí aparece, por primera
vez, el símbolo , corrupción de la inicial de la palabra radix, para indicar la raíz cuadrada
(duplica el signo para la raíz cuarta y lo triplica para la cúbica). El signo = aparece por primera
vez en The Whetstone of Witte (el aguzador del ingenio) publicada en 1557 por Robert
Recorde, que es el primer tratado inglés de álgebra, donde el autor afirma que ha elegido ese
símbolo porque dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas. Este símbolo se
generalizó hacia fines del siglo XVII; todavía en ese siglo Descartes utiliza un signo semejante al
símbolo del infinito, probable corrupción de la inicial de la palabra ae qualis (igual, en latín).
El matemático más importante de la segunda mitad del siglo XVI es Francois Viete, que se
ocupó de todas las ramas de la matemática. Respecto del álgebra fue su mérito ordenar y
adecuar todo el material existente, otorgándole unidad y sentido lógico, no obstante el
lenguaje oscuro y difícil que utiliza y agrava al introducir un número excesivo de helenismos y
neologismos.
Así, en una de sus primeras obras, In artem analyticen isazoge (Introducción al arte del análisis,
donde “análisis” quiere decir “álgebra”, palabra que Viéte no emplea por ser de origen árabe)
de 1591, expone los principios fundamentales del álgebra, no sólo considerando el método
analítico en el sentido antiguo y sus etapas, sino estableciendo también una serie de
postulados en que se han de fundar las transformaciones algebraicas. Agrega que la debilidad
de los antiguos analistas fue la que Viéte llama “logística numerosa” dando a la palabra
“logística” también la acepción griega. Lo que debe hacerse, agrega es una nueva logística, una
“logística speciosa” comparando entre sí las magnitudes. En esta “logística speciosa” reside
uno de esos mayores méritos, pues trajo consigo la importante innovación de utilizar en las
cuestiones algebraicas cantidades cualesquiera y, por lo tanto, la de introducir el uso
matemático de las letras.
También el ya mencionado Stevin se ocupó de álgebra. Se le debe la idea del método de
aproximación de las raíces mediante sustituciones sucesivas, señalando que si la diferencia
entre los valores numéricos de ambos miembros de la ecuación cambia de signo para dos
valores numéricos de la incógnita, la raíz está comprendida entre estos dos valores.
Con Stevin se vincula Albert Girard, que tradujo al francés varias obras del primero, autor de
contribuciones originales al álgebra, en especial a la teoría de ecuaciones. Escribe éstas en
forma completa, separando en cada miembro los términos de igual paridad de las potencias de

4. la incógnita y admitiendo coeficientes nulos cuando la ecuación carece de este término.
Afirma, sin demostrarlo, el enunciado del teorema fundamental del álgebra: toda ecuación
tiene tantas raíces como indica el grado, para lo cual considera, además de las raíces positivas,
las negativas y las complejas (que llama “enveloppés”) simples y dobles. Observa que las raíces
“imposibles” (negativas e imaginarias) sirven para asegurar la validez de la regla general y
comprobar que no hay otras soluciones y, asimismo, que prestan utilidad para inventar las
ecuaciones y, asimismo, que prestan utilidad para inventar las ecuaciones que las contiene.
Por lo demás, agrega ejemplos en los cuales las soluciones negativas tienen interpretación
concreta, como en el problema, por otra parte clásico: dado un cuadrado de vértices opuestos
A y B, determinar por A rectas cuya inserción entre los lados (o sus prolongaciones) del
cuadrado que concurren en B sea un segmento dado, mayor que el doble de la diagonal del
cuadrado.
Entre otras propiedades que figuran en Girard, mencionemos la resolución completa de la
ecuación completa de la ecuación cúbica en el caso irreducible, mediante la trisección del
ángulo, las relaciones entre los coeficientes de una ecuación de cualquier grado y las raíces, o
la suma de potencias de igual exponente de esas raíces.
Tales relaciones, así como la descomposición factorial, aunque limitada al caso de raíces reales
positivas, aparecen también en el inglés Thomas Harriot, a quien se debe la importante
innovación, en el simbolismo, de indicar las potencias mediante los factores repetidos, y la
menos importante de sustituir las mayúsculas de Viéte (para las incógnitas) por minúsculas.
A Harriot se debe la introducción de los símbolos actuales para mayor y menor. En alguna
ocasión utilizó el punto como símbolo de multiplicación, aunque como tal el punto no se
difundió hasta el siglo XVIII por obra de Leibniz. El signo X para la multiplicación parece ser
original de Oughtred, quien dio entre propios y ajenos unos 150 signos matemáticos. De ellos
se han conservado el de la multiplicación, los signo : y :: para la razón y la proporción, aunque
ya en desuso, y algunas abreviaturas como log para logaritmo. Como signo precursor
agreguemos el símbolo π/d para la razón de la circunferencia y el diámetro.