DISEÑO TEORIA DE FALLAS

1. TEORIAS DE FALLA
La falla de un elemento se refiere a la pérdida de su funcionalidad, es decir cuando una
pieza o una máquina dejan de ser útiles.
Esta falta de funcionalidad se dar por:
•
•
•
•
Rotura
Distorsión Permanente
Degradación
Etc.
La rotura o la degradación permanente se deben a que los esfuerzos soportados son
mayores que la resistencia del material de fabricación.
Para poder determinar para qué cantidad de esfuerzo aplicado se producirá una falla, se
utilizan algunas teorías de falla.
Todas las teorías de falla se basan en la comparación del esfuerzo actuante contra el
resultante aplicado en una prueba uniaxial de tensión o compresión.
1. TEORÍA DE FALLA POR ESFUERZO NORMAL MÁXIMO
La falla ocurrirá en la parte di cualquiera de los esfuerzos normales principales excede
el esfuerzo normal principal que da lugar a la falla en la prueba uniaxial simple.
Si:
S1 = Esfuerzo Principal 1
S2 = Esfuerzo Principal 2
S3 = Esfuerzo Principal 3.
σyc = Esfuerzo de fluencia a compresión
σyt = Esfuerzo de fluencia a tensión.
Se debe cumplir que:
σ yc ≥ S1 ≤ σ yt
σ yc ≥ S 2 ≤ σ yt
(1)
σ yc ≥ S 3 ≤ σ yt
Si se aplica un factor de diseño se consiguen las ecuaciones de diseño:
σ yc
σ yt
nd
σ yc
nd
σ yc
nd
≥ S1 ≤
≥ S2 ≤
≥ S3 ≤
nd
σ yt
nd
(2)
σ yt
nd
Para materiales frágiles σyc o σyt es el esfuerzo de fluencia.
2. TEORIA DE FALLA POR ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO:

2. Para materiales dúctiles:
La falla ocurre en una parte si cualquiera de los esfuerzos cortantes principales excede
el esfuerzo cortante principal que da lugar a la falla en la prueba uniaxial simple.
Puesto que:
σ −σ2
τ 1−2 = 1
2
σ −σ3
τ 1−3 = 1
2
σ −σ3
τ 2 −3 = 2
2
τ fluencia = σ
(3)
La teoría de falla es:
σ yc ≤ ( σ 1 − σ 2 ) ≤ σ yt
σ yc ≤ ( σ 2 − σ 3 ) ≤ σ yt
(4)
σ yc ≤ ( σ 1 − σ 3 ) ≤ σ yt
Si se introduce un factor de diseño se tiene la respectiva ecuación de diseño:
σ yc
nd
≤ (σ 1 − σ 2 ) ≤
σ yt
nd
(5)
Esta teoría predice que si se presenta un estado de esfuerzos hidrostáticos no se produce
fluencia, así estos esfuerzos sean mayores que σy:
Si se descomponen cada esfuerzo principal normal en una componente hidrostática mas
otra cualquiera se obtiene:
σ 1 = σ '1 +σ ' '1
σ 2 = σ ' 2 +σ ' ' 2
σ 3 = σ '3 +σ ' ' 3
en donde:
(6)
σ’1: Componente Hidrostática.
Se cumple que: σ1 = σ2 = σ3
Si en algún caso: σ’1 = σ’2 = σ’3 = 0, Se tendría que σ1 = σ’’1 etc.
No habría cortante!
Por esta razón se creó la teoría de falla de la energía de distorsión y deformación.
3. TEORIA DE FALLA POR ENERGÍA DE DEFORMACIÓN MÁXIMA:

3. La falla ocurre en una parte cuando la energía de deformación por volumen unitario
exceda la de una prueba de tensión uniaxial en la falla.
Para determinar la energía de deformación por volumen unitario:
Sea el bloque de dimensiones diferenciales de la figura 1, sobre el cual actúan los
esfuerzos normales principales:
Figura 1. Bloque con esfuerzos unitarios.
La energía de deformación es el trabajo realizado por estas fuerzas al desplazar el cubo
una distancia δl.
La energía de deformación U es igual al trabajo necesario para deformar el cubo:
U =W = ∫ F .δ
l
(7)
Para causar esta deformación, la fuerza causada por cada esfuerzo σ es:
Fx final =σ1 d y d z
Fy final =σ2 d x d z
(8)
Fz final =σ3 d x d y º
Puesto que el estiramiento depende linealmente de la fuerza aplicada, este
comportamiento se puede mostrar como en la gráfica 3.
F
10
Trabajo
δl
0
0
10
Figura 2. comportamiento lineal de fuerza por desplazamiento
Por lo tanto: W =
F .δl
2
(9)

4. FX final .δx F y final.δy Fz final
+
+
2
2
2
U deformación =
Además como:
ε1 =
δx
dx
δy
ε2 =
dy
δz
ε3 =
dz
∆l
ε=
l
(10)
δx = ε1 .dx
δy = ε 2 .dx
δz = ε 3 .dx
luego
(11)
Por la ley de Hooke se tiene que:
1
.(σ 1 −νσ 2 −νσ 3 )
E
1
ε 2 = .( σ 2 −νσ 1 −νσ 2 )
E
1
ε 3 = .(σ 3 −νσ 1 −νσ 3 )
E
ε1 =
(12)
Por lo tanto:
σ 1 dy dz dx
( σ 1 − νσ 2 − νσ 3 ) + σ 2 dx dz dy ( σ 2 − νσ 1 − νσ 3 ) + σ 3 dx dy dz ( σ 3 − νσ 1 − νσ 2 )
2E
2E
2E
dy dz dx 2
2
2
U=
σ 1 + σ 2 + σ 3 − 2ν ( σ 1σ 2 + σ 1σ 3 + σ 2σ 3 )
2E
(13)
Como es por volumen unitario, se divide por dx dy dz:
U=
(
µ=
)
(
1
2
2
2
σ 1 + σ 2 + σ 3 − 2ν ( σ 1σ 2 + σ 1σ 3 + σ 2σ 3 )
2E
)
(14)
Por razonamiento similar la energía de deformación por volumen unitario en la prueba
de tensión es:
µ fy =
1
σ yp 2
2E
(15)
Y finalmente se tiene para diseñar:
σ 1 + σ 2 + σ 3 − 2ν (σ 1σ 2 + σ 1σ 3 + σ 2σ 3 )
2
2
2
 σ yp
≤
N
 fs
2

 ← para diseñar


(16)
TEORIA DE FALLA POR ENERGIA DE DISTORSIÓN MÁXIMA
(Materiales Dúctiles)
La energía de deformación se compone de la energía de deformación (cambio de
volumen) y de la distorsión.

5. µ = µv + µ d
( µvolumen + µdistorsion ) (17)
La falla ocurre si la energía de distorsión por volumen unitario excede la
correspondencia a una prueba de tensión unitaria en la falla.
Los esfuerzos principales se componen de esfuerzos que producen cambio de volumen y
cambio de distorsión.
σ 1 = σ 1 + σ 1v
σ i = σ que causa distorsión.
σ 2 = σ 2 + σ 2v
'
σ i = σ que causa cambio de volumen. (18)
'
'
'
σ 3 = σ 3 + σ 3v
'
Y para que no halla cambio de volumen por los componentes de distorsión se debe
cumplir que:
ε '1 +ε ' 2 +ε '3 = 0
(19)
Además se tiene que por la ley de Hooke:
1
.(σ'1 − .σ2 ´− .σ' 3 )
ν
ν
E
1
ε' 2 = .(σ' 2 − .σ1´− .σ' 3 )
ν
ν
E
1
ε' 3 = .(σ' 3 − .σ1´− .σ' 2 )
ν
ν
E
ε'1 =
(20)
Como se debe cumplir la ecuación 19
1
(σ'1 − .σ2 ´− .σ' 3 +σ' 2 − .σ1´− .σ' 3 +σ'3 − .σ1´− .σ' 2 ) = 0
ν
ν
ν
ν
ν
ν
E
Por lo tanto
σ '1 +σ ' 2 +σ ' 3 −2ν .(σ1´+σ 2 ´+σ ' 3 ) = 0
(22)
Y puesto que ν no es cero, se cumple que
.(σ1´+σ 2 ´+σ '3 ) = 0
(23)
De otra parte si se suman las ecuaciones 18
σ 1 + σ 2 + σ 3 = σ v + σ v + σ v + σ 1´+σ 2 ´+σ '3 = 0
1
σ v = .( σ 1 + σ 2 + σ 3 )
3
(24)
(21)

6. La ecuación 24 se puede usar para encontrar los esfuerzos principales de distorsión en
función de los esfuerzos normales principales.
Como se tiene la condición de las ecuaciones 18 sabiendo que σv es el mismo para los
tres esfuerzos:
1
σ 1´= σ 1 − .(σ 1 + σ 2 + σ 3 )
3
2
3
1
3
1
3
σ1´= σ1 − σ 2 − σ 3
σ 
σ
2
σ 1´= .σ 1 − 2 − 3 
3
2
2 
σ σ 
2
σ 2 ´= .σ 2 − 1 − 3 
3
2
2 
σ σ 
2
σ 3 ´= .σ 3 − 1 − 2 
3
2
2 
(25)
La energía de deformación por cambio de volumen será:
Uv =
3σ v ε v
2
(26)
En este caso se puede usar la ley de Hooke como:
σ
1
.( σ v − ν .σ v − ν .σ v ) = v (1 − 2ν )
E
E
Por lo tanto
εv =
(27)
σ
3
U v = σ v . v (1 − 2ν )
2
2
Y teniendo en cuenta la relación 24
Uv =
(28)
1 − 2ν 3
(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 2
6E
(29)
Y como Ud = U - Uv
Y que
Uv =
(30)
[
1
σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 − 2ν ( σ 1σ 2 + σ 1σ 3 + σ 2σ 3 )
2E
]
(31)
Se tiene de 29 30 y 31 que
Ud =
[
1 −ν
σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 − σ 1σ 2 − σ 1σ 3 − σ 2σ 3
3E
]
(32)
Análogamente para una prueba uniaxial, la energía de distorsión será:

7. Ud =
1 −ν 2
σ yp
3E
[ ]
(33)
Y entonces para diseñar se tiene el siguiente criterio, introduciendo un factor de Diseño
Nd
σ1 + σ 2 + σ 3
2
2
2
 σ yp
− σ 1σ 2 − σ 1σ 3 − σ 2σ 3 ≤ 
 n
 d




2
(34)

8. 2. CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS
En una pieza sometida a esfuerzos, si se llegan a presentar cambios abruptos en la
geometría de la pieza, se presenta una concentración de las “líneas de esfuerzo” en los
puntos donde cambia abruptamente la geometría.
Los cambios de geometría se presentan si hay:
Cambios de forma y tamaño de la sección
Muescas
Estrias
Raspaduras
Agujeros
Chiveteros
Marcas de herramientas
Inclusiones y defectos en el
material.
En estos puntos se puede calcular un factor de concentración de esfuerzos K.
K =
Valor mas alto del esfuerzo real en el cambio
esfuerzo no min al calculado
CUANDO CONSIDERAR QUE HAY CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS
La concentración de esfuerzos se puede despreciar en los casos:
Si la carga es baja y estática
Si la temperatura de la pieza y del ambiente es normal.
Si el material es dúctil (si resiste 5% de alargamiento antes de la falla)
En los siguientes casos si se debe considerar aplicar un factor de concentración de
esfuerzos.
Si el material es frágil
Si el material es dúctil a temperaturas extremas que lo hacen frágil
Si hay rápidos cambios de esfuerzos que no permitan que haya una fluencia local
Si hay esfuerzos cíclicos.
Se tiene la siguiente tabla en la cual hay criterios para aplicar o no un factor de
concentración de esfuerzo.
Material
Condición de
Carga
Si o No
K
Frágil
Cualquiera
Si
K
Si
K
SI
KK
Dúctil
Dúctil
Baja
Temperatura
Aplicación
Rápida
Dúctil
Cíclica
Si
Kf
Dúctil
Estática a
Temp.
ambiente
No
1
Tipo de Falla
Fractura
rápida
Fractura
rápida
Fractura
rápida
Falla
progresiva
Ninguna

9. 3. DISEÑO POR CARGA CÌCLICA
Algunos elementos de las máquinas, normalmente ejes y resortes, estàn sometidos a
ciclos de carga y los esfuerzos varían continuamente.
En estas piezas la falla se da por esfuerzos menores al esfuerzo de fluencia del material,
pero el cual se repite cíclicamente.
En este caso se establece el límite de fatiga del material sobre el cual aparece la falla
después de un número de ciclos de esfuerzo.
La falla se origina alrededor de una grieta minúscula en un punto de concentración de
esfuerzos, que puede ser un defecto en el material.
La grieta puede ser el concentrador de esfuerzos y crecer hasta originar la falla.
PRUEBA DE LABORATORIO
En laboratorio una muestra del material se conforma como una viga en rotación a la
cual se aplica un momento flexionante puro, de forma que el esfuerzo varía de tensión
máxima a compresión máxima.
σ
1,5
σe
t
0
0
800
-1,5
Figura 3. Variación del esfuerzo axial en una prueba de fatiga.
σe: Esfuerzo en el límite de fatiga: Es el esfuerzo máximo completamente invertido que
una probeta puede soportar durante 106 ciclos sin fallar.
También existen cargas de fatiga por torsión y casi nunca por axial.

10. 3. DISEÑO POR CARGA CÌCLICA
Algunos elementos de las máquinas, normalmente ejes y resortes, estàn sometidos a
ciclos de carga y los esfuerzos varían continuamente.
En estas piezas la falla se da por esfuerzos menores al esfuerzo de fluencia del material,
pero el cual se repite cíclicamente.
En este caso se establece el límite de fatiga del material sobre el cual aparece la falla
después de un número de ciclos de esfuerzo.
La falla se origina alrededor de una grieta minúscula en un punto de concentración de
esfuerzos, que puede ser un defecto en el material.
La grieta puede ser el concentrador de esfuerzos y crecer hasta originar la falla.
PRUEBA DE LABORATORIO
En laboratorio una muestra del material se conforma como una viga en rotación a la
cual se aplica un momento flexionante puro, de forma que el esfuerzo varía de tensión
máxima a compresión máxima.
σ
1,5
σe
t
0
0
800
-1,5
Figura 3. Variación del esfuerzo axial en una prueba de fatiga.
σe: Esfuerzo en el límite de fatiga: Es el esfuerzo máximo completamente invertido que
una probeta puede soportar durante 106 ciclos sin fallar.
También existen cargas de fatiga por torsión y casi nunca por axial.