deflexión en vigas

1. AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
1
RESISTENCIA DE MATERIALES II DEFLEXION EN VIGAS
CAPITULO 5
DEFLEXION EN VIGAS
5.1) INTRODUCCION. -
En resistencia de materiales, no solo es necesario determinar la resistencia de una
viga, sino también analizar las deflexiones (Flecha 𝛿 y pendiente 𝜃) y que estas
sean menores a los admisibles. El estudio de las deflexiones tiene su mayor
aplicación en el análisis de estructuras hiperestáticas, ya que, para resolver estas
estructuras, además de las ecuaciones de equilibrio, es necesario otras ecuaciones
llamadas ecuaciones de compatibilidad.
5.2) DEDUCCION DE LA ECUACION DE LA LINEA ELASTICA. -
𝑎𝑏
̅̅̅ = Permanece indeformada por ser fibra del 𝐸𝑁.
𝑐′𝑑′
̅̅̅̅̅ = Fibra deformada.

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2
RESISTENCIA DE MATERIALES II DEFLEXION EN VIGAS
Analizando el elemento diferencial
Sustituyendo la ecuación (2) en (1)
𝜎 = 𝐸
𝑦𝑑𝜃
𝑑𝑧
𝜎 = 𝐸
𝑦
𝑟
(4)
Relación de esfuerzo normal y momento flector
∑𝑀𝑥 = 0 → 𝑀 = ∫ 𝜎𝑦 𝑑𝐴
𝑀 = ∫ (𝐸
𝑦
𝑟
) 𝑦 𝑑𝐴
𝑀 =
𝐸
𝑟
∫ 𝑦2
𝑑𝐴 ; 𝐼 = ∫ 𝑦2
𝑑𝐴
Deformación unitaria en la fibra “𝑦”
𝜀 =
𝑑𝑑′
𝑐𝑑
𝑑𝑑′
= 𝑦𝑑𝜃 ; 𝑐𝑑 = 𝑑𝑧
𝜀 =
𝑦𝑑𝜃
𝑑𝑧
(1)
Ley de Hooke
𝜎 = 𝐸𝜀 (2)
Además
𝑎𝑏 = 𝑟𝑑𝜃 = 𝑑𝑧 →
1
𝑟
=
𝑑𝜃
𝑑𝑧
(3)

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3
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𝑀 =
𝐸
𝑟
𝐼 ⟶
1
𝑟
=
𝑀
𝐸𝐼
(5)
También sabemos
tan 𝜃 =
𝑑𝑦
𝑑𝑧
; para angulos pequeños tan 𝜃 ≅ 𝜃
𝜃 =
𝑑𝑦
𝑑𝑧
Ahora derivando
𝑑𝜃
𝑑𝑧
=
𝑑2
𝑦
𝑑𝑧2
(6)
Igualando las ecuaciones (3) y (6)
1
𝑟
=
𝑑2
𝑦
𝑑𝑧2
(7)
Finalmente, de las ecuaciones (5) y (7)
𝑑2
𝑦
𝑑𝑧2
=
𝑀
𝐸𝐼
(Ecuación diferencial de la elástica)
Donde:
𝑀 = Momento flector en cualquier distancia “𝑀(𝑧)”
𝐸 = Módulo de elasticidad del material de la viga
𝐼 = Momento de inercia de la sección de la viga
A partir de la ecuación de la elástica
𝑑2
𝑦
𝑑𝑧2
=
𝑀
𝐸𝐼
1ra Integración. - Para determinar la pendiente o deformación angular (𝜃)
∫
𝑑2
𝑦
𝑑𝑧
= ∫
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑧
𝜃 =
𝑑𝑦
𝑑𝑧
= ∫
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑧 Si: 𝐸𝐼 = 𝑐𝑡𝑡𝑒
𝜃 =
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀 𝑑𝑧 + 𝜃𝑜

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4
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2da Integración. - Para determinar la flecha o deformación lineal (𝛿)
∫ 𝑑𝑦 = ∫ [
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀 𝑑𝑧 + 𝜃𝑜] 𝑑𝑧
𝑦 =
1
𝐸𝐼
∫ ∫ 𝑀 𝑑𝑧 𝑑𝑧 + 𝜃𝑜𝑧 + 𝑦𝑜
Donde:
𝑦 = Variación de la deformación, cuando es máxima se suele designar con “𝛿”.
𝜃𝑜, 𝑦𝑜 = Constantes que dependen de las condiciones de contorno.
Condiciones de Contorno
a) Para una viga simplemente apoyada
b) Para una viga empotrada
Convención de Signos para las deformaciones
Flecha Pendiente
Además de este método, se tienen varios métodos para el calculo de las
deformaciones, por ejemplo: El método de la viga conjugada, método de área de
momentos, método de los parámetros de origen.
Las deformaciones están en función de las dimensiones de la viga, sistema de
cargas, tipos de apoyo y propiedades del material de la viga.
𝑆𝑖 𝑧 = 0 → 𝑦 = 0 → 𝑦𝑜
𝑆𝑖 𝑧 = 𝐿 → 𝑦 = 0 → 𝜃𝑜
𝑆𝑖 𝑧 = 0 → 𝜃 = 0 → 𝜃𝑜
𝑆𝑖 𝑧 = 0 → 𝑦 = 0 → 𝑦𝑜
𝒚
𝒚(+)
𝒚(−)
𝒛
𝜽(+) Sentido Antihorario ↺
𝜽(−) Sentido Horario ↻

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EJERCICIOS RESUELTOS
E-1] Calcular el máximo valor de 𝑃(𝑡) para que la flecha a medio tramo sea inferior
a 𝐿 300
⁄ .
SOLUCION
Aplicando el principio de superposición, primeramente, resolveremos la viga con
las cargas conocidas, en este caso la carga uniformemente distribuida (Estado 1)
y luego con las cargas puntuales (Estado 2), para finalmente sumar los dos efectos.
ESTADO “1” ESTADO “2”
ESTADO “1”
• Reacciones de Apoyo
∑𝑀2 = 0 𝑉1(5,5) − 2(3,5)(1,75 + 2) = 0 ⟶ 𝑉1 = 4,773 𝑡
∑𝑀1 = 0 − 𝑉2(5,5) + 2(3,5)(1,75) = 0 ⟶ 𝑉2 = 2,227 𝑡
Control: ∑𝐹𝑉 = 0 4,773 + 2,227 − 2(3,5) = 0
0 = 0 ✓
Sección transversal
𝐸 = 2,1𝑥105
𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄

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6
RESISTENCIA DE MATERIALES II DEFLEXION EN VIGAS
• Función de momentos flectores
Tramo 1/2 Origen 1 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟓, 𝟓 𝒎
Completando la carga distribuida
𝑀 = 4,773𝑧 − 2(𝑧) (
𝑧
2
) + 〈2(𝑧 − 3,5) (
𝑧 − 3,5
2
)〉𝑧≥3,5
𝑀 = 4,773𝑧 − 𝑧2
+ 〈(𝑧 − 3,5)2〉𝑧≥3,5
• Determinación de la ecuación de la elástica
De la ecuación diferencial
𝑑2
𝑦
𝑑𝑧2
=
𝑀
𝐸𝐼
Pendiente (𝟏𝐫𝐚
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧)
𝜃 =
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀 𝑑𝑧
𝜃 =
1
𝐸𝐼
∫[4,773𝑧 − 𝑧2
+ 〈(𝑧 − 3,5)2〉𝑧≥3,5] 𝑑𝑧
𝜃 =
1
𝐸𝐼
[
4,773𝑧2
2
−
𝑧3
3
+ 〈
(𝑧 − 3,5)3
3
〉𝑧≥3,5] + 𝜃𝑜
Flecha (𝟐𝐝𝐚
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧)
𝑦 = ∫ {
1
𝐸𝐼
[
4,773𝑧2
2
−
𝑧3
3
+ 〈
(𝑧 − 3,5)3
3
〉𝑧≥3,5] + 𝜃𝑜} 𝑑𝑧
𝑦 =
1
𝐸𝐼
∫ [
4,773𝑧2
2
−
𝑧3
3
+ 〈
(𝑧 − 3,5)3
3
〉𝑧≥3,5] 𝑑𝑧 + 𝜃𝑜𝑧
𝑦 =
1
𝐸𝐼
[
4,773𝑧3
6
−
𝑧4
12
+ 〈
(𝑧 − 3,5)4
12
〉𝑧≥3,5] + 𝜃𝑜𝑧 + 𝑦𝑜

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7
RESISTENCIA DE MATERIALES II DEFLEXION EN VIGAS
Condiciones de contorno
𝟏) 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝒚𝒐 Si 𝑧 = 0 → 𝑦 = 0
0 =
1
𝐸𝐼
[
4,773(0)3
6
−
04
12
] + 𝜃𝑜(0) + 𝑦𝑜 ⟶ 𝑦𝑜 = 0
𝟐) 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝜽𝒐 Si 𝑧 = 5,5 𝑚 → 𝑦 = 0
0 =
1
𝐸𝐼
[
4,773(5,5)3
6
−
5,54
12
+
(5,5 − 3,5)4
12
] + 𝜃𝑜(5,5) ⟶ 𝜃𝑜 = −
10,4417
𝐸𝐼
Entonces la ecuación de la elástica será:
𝑦 =
1
𝐸𝐼
[
4,773𝑧3
6
−
𝑧4
12
+ 〈
(𝑧 − 3,5)4
12
〉𝑧≥3,5 − 10,4417𝑧]
𝐅𝐥𝐞𝐜𝐡𝐚 𝐚 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐨 𝐭𝐫𝐚𝐦𝐨 (𝑧 =
𝐿
2
=
5,5
2
→ 𝑧 = 2,75 𝑚)
𝑦1 =
1
𝐸𝐼
[
4,773(2,75)3
6
−
(2,75)4
12
− 10,4417(2,75)]
𝒚𝟏 = −
𝟏𝟔, 𝟗𝟑𝟔𝟕
𝑬𝑰
ESTADO “2”
• Reacciones de Apoyo
∑𝑀2 = 0 𝑉1(5,5) − 𝑃(4) − 𝑃(1) = 0 ⟶ 𝑉1 = 0,9091𝑃
∑𝑀1 = 0 − 𝑉2(5,5) + 𝑃(4,5) + 𝑃(1,5) = 0 ⟶ 𝑉2 = 1,0909𝑃
Control: ∑𝐹𝑉 = 0 0,9091𝑃 + 1,0909𝑃 − 𝑃 − 𝑃 = 0
0 = 0 ✓

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• Función de momentos flectores
Tramo 1/2 Origen 1 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟓, 𝟓 𝒎
𝑀 = 0,9091𝑃𝑧 − 〈𝑃(𝑧 − 1,5)〉𝑧≥1,5 − 〈𝑃(𝑧 − 4,5)〉𝑧≥4,5
• Determinación de la ecuación de la elástica
De la ecuación diferencial
𝑑2
𝑦
𝑑𝑧2
=
𝑀
𝐸𝐼
Pendiente (𝟏𝐫𝐚
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧)
𝜃 =
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀 𝑑𝑧
𝜃 =
1
𝐸𝐼
∫[0,9091𝑃𝑧 − 〈𝑃(𝑧 − 1,5)〉𝑧≥1,5 − 〈𝑃(𝑧 − 4,5)〉𝑧≥4,5] 𝑑𝑧
𝜃 =
1
𝐸𝐼
[
0,9091𝑃𝑧2
2
− 〈
𝑃(𝑧 − 1,5)2
2
〉𝑧≥1,5 − 〈
𝑃(𝑧 − 4,5)2
2
〉𝑧≥4,5] + 𝜃𝑜
Flecha (𝟐𝐝𝐚
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧)
𝑦 = ∫ {
1
𝐸𝐼
[
0,9091𝑃𝑧2
2
− 〈
𝑃(𝑧 − 1,5)2
2
〉𝑧≥1,5 − 〈
𝑃(𝑧 − 4,5)2
2
〉𝑧≥4,5] + 𝜃𝑜} 𝑑𝑧
𝑦 =
1
𝐸𝐼
∫ [
0,9091𝑃𝑧2
2
− 〈
𝑃(𝑧 − 1,5)2
2
〉𝑧≥1,5 − 〈
𝑃(𝑧 − 4,5)2
2
〉𝑧≥4,5] 𝑑𝑧 + 𝜃𝑜𝑧
𝑦 =
1
𝐸𝐼
[
0,9091𝑃𝑧3
6
− 〈
𝑃(𝑧 − 1,5)3
6
〉𝑧≥1,5 − 〈
𝑃(𝑧 − 4,5)3
6
〉𝑧≥4,5] + 𝜃𝑜𝑧 + 𝑦𝑜
Condiciones de contorno
𝟏) 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝒚𝒐 Si 𝑧 = 0 → 𝑦 = 0
0 =
1
𝐸𝐼
[
0,9091𝑃(0)3
6
] + 𝜃𝑜(0) + 𝑦𝑜 ⟶ 𝑦𝑜 = 0

9. AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
9
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𝟐) 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝜽𝒐 Si 𝑧 = 5,5 𝑚 → 𝑦 = 0
0 =
1
𝐸𝐼
[
0,9091𝑃(5,5)3
6
−
𝑃(5,5 − 1,5)3
6
−
𝑃(5,5 − 4,5)3
6
] + 𝜃𝑜(5,5)
𝜃𝑜 = −
2,6137𝑃
𝐸𝐼
Entonces la ecuación de la elástica será:
𝑦 =
1
𝐸𝐼
[
0,9091𝑃𝑧3
6
− 〈
𝑃(𝑧 − 1,5)3
6
〉𝑧≥1,5 − 〈
𝑃(𝑧 − 4,5)3
6
〉𝑧≥4,5 − 2,6137𝑃𝑧]
𝐅𝐥𝐞𝐜𝐡𝐚 𝐚 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐨 𝐭𝐫𝐚𝐦𝐨 (𝑧 =
𝐿
2
=
5,5
2
→ 𝑧 = 2,75 𝑚)
𝑦2 =
1
𝐸𝐼
[
0,9091𝑃(2,75)3
6
−
𝑃(2,75 − 1,5)3
6
− 2,6137𝑃(2,75)]
𝒚𝟐 = −
𝟒, 𝟑𝟔𝟐𝟏𝑷
𝑬𝑰
𝐅𝐥𝐞𝐜𝐡𝐚 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐚 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐨 𝐭𝐫𝐚𝐦𝐨
𝛿 = 𝑦1 + 𝑦2
𝛿 = −
16,9367
𝐸𝐼
−
4,3621𝑃
𝐸𝐼
𝜹 = −
𝟏
𝑬𝑰
[𝟏𝟔, 𝟗𝟑𝟔𝟕 + 𝟒, 𝟑𝟔𝟐𝟏𝑷]
• Propiedades de la sección transversal
• Áreas
𝐴1 = 30(40) = 1200 𝑐𝑚2
𝐴2 =
5(40)
2
= 100 𝑐𝑚2
Área total
𝐴 = 1200 − 2(100) = 1000 𝑐𝑚2

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10
RESISTENCIA DE MATERIALES II DEFLEXION EN VIGAS
• Centroide
𝑦𝑐 =
∑𝐴𝑖𝑦𝑖
∑𝐴𝑖
=
1200(20) − 2 [100 (
40
3
)]
1000
⟶ 𝑦𝑐 = 21,333 𝑐𝑚
• Momento de Inercia
𝐼 = ∑[𝐼𝑐𝑖 + 𝐴𝑖(𝑦𝑖 − 𝑦𝑐)2]
𝐼 = [
30(40)3
12
+ 1200(20 − 21,333)2
] − 2 [
5(40)3
36
+ 100(
40
3
− 21,333)
2
]
𝐼 = 131555,556 𝑐𝑚4
Determinación de EI (1 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
= 10 𝑡 𝑚2
⁄
⁄ )
Modulo elástico
𝐸 = 2,1𝑥105(10) → 𝐸 = 2,1𝑥106
𝑡 𝑚2
⁄
𝐸𝐼 = 2,1𝑥106(131555,556 ∗ 100−4)
𝐸𝐼 = 2762,667 𝑡-𝑚2
Calculo de “𝑷”
Flecha a medio tramo
𝛿 = −
1
𝐸𝐼
[16,9367 + 4,3621𝑃] ≤ −
𝐿
300
La condición del problema indica que la flecha a medio tramo debe ser inferior al
valor admisible 𝐿 300
⁄ , puesto que la flecha debido a las cargas es negativa
entonces esta condición también debe ser de signo negativo − 𝐿 300
⁄ , como se
muestra en la anterior ecuación.
1
2762,667
[16,9367 + 4,3621𝑃] =
5,5
300
16,9367 + 4,3621𝑃 = 50,648895
4,3621𝑃 = 33,7122 ⟶ 𝑷 = 𝟕, 𝟕𝟐𝟖 𝒕
Respuesta: El valor máximo de la carga puntual es 𝑃 = 7,728 𝑡, para que la flecha
a medio tramo de la viga sea inferior a 𝐿 300
⁄

11. AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
11
RESISTENCIA DE MATERIALES II DEFLEXION EN VIGAS
E-2] Calcular la altura necesaria de la viga ℎ(𝑐𝑚) para que la flecha a medio tramo
sea inferior a 𝐿 300
⁄ .
SOLUCION
• Reacciones de Apoyo
∑𝑀3 = 0 𝑉1(4,5) −
7(3)
2
(2 + 1,5) + 2(1) = 0 ⟶ 𝑉1 = 7,722 𝑡
∑𝑀1 = 0 − 𝑉3(4,5) + 2(5,5) +
7(3)
2
(1) = 0 ⟶ 𝑉3 = 4,778 𝑡
Control: ∑𝐹𝑉 = 0 7,722 + 4,778 −
7(3)
2
− 2 = 0
0 = 0 ✓
• Función de momentos flectores
Tramo 1/4 Origen 4 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟓, 𝟓 𝒎
Sección transversal
𝐸 = 2,1𝑥105
𝑘𝑔 𝑐𝑚2
⁄
Función de la carga
𝑞𝑧
𝑧 − 2,5
=
7
3
𝑞𝑧 =
7(𝑧 − 2,5)
3

12. AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
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RESISTENCIA DE MATERIALES II DEFLEXION EN VIGAS
𝑀 = −2𝑧 + 〈4,778(𝑧 − 1)〉𝑧≥1 − 〈
7(𝑧 − 2,5)
3
(
𝑧 − 2,5
2
) (
𝑧 − 2,5
3
)〉𝑧≥2,5
𝑀 = −2𝑧 + 〈4,778(𝑧 − 1)〉𝑧≥1 − 〈
7(𝑧 − 2,5)3
18
〉𝑧≥2,5
• Determinación de la ecuación de la elástica
De la ecuación diferencial
𝑑2
𝑦
𝑑𝑧2
=
𝑀
𝐸𝐼
Pendiente (𝟏𝐫𝐚
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧)
𝜃 =
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀 𝑑𝑧
𝜃 =
1
𝐸𝐼
∫ [−2𝑧 + 〈4,778(𝑧 − 1)〉𝑧≥1 − 〈
7(𝑧 − 2,5)3
18
〉𝑧≥2,5] 𝑑𝑧
𝜃 =
1
𝐸𝐼
[−2
𝑧2
2
+ 〈
4,778(𝑧 − 1)2
2
〉𝑧≥1 − 〈
7(𝑧 − 2,5)4
72
〉𝑧≥2,5] + 𝜃𝑜
𝜃 =
1
𝐸𝐼
[−𝑧2
+ 〈
4,778(𝑧 − 1)2
2
〉𝑧≥1 − 〈
7(𝑧 − 2,5)4
72
〉𝑧≥2,5] + 𝜃𝑜
Flecha (𝟐𝐝𝐚
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧)
𝑦 = ∫ {
1
𝐸𝐼
[−𝑧2
+ 〈
4,778(𝑧 − 1)2
2
〉𝑧≥1 − 〈
7(𝑧 − 2,5)4
72
〉𝑧≥2,5] + 𝜃𝑜} 𝑑𝑧
𝑦 =
1
𝐸𝐼
∫ [−𝑧2
+ 〈
4,778(𝑧 − 1)2
2
〉𝑧≥1 − 〈
7(𝑧 − 2,5)4
72
〉𝑧≥2,5] 𝑑𝑧 + 𝜃𝑜𝑧
𝑦 =
1
𝐸𝐼
[−
𝑧3
3
+ 〈
4,778(𝑧 − 1)3
6
〉𝑧≥1 − 〈
7(𝑧 − 2,5)5
360
〉𝑧≥2,5] + 𝜃𝑜𝑧 + 𝑦𝑜
Condiciones de contorno
1) Si 𝑧 = 1 𝑚 → 𝑦 = 0
0 =
1
𝐸𝐼
[−
13
3
] + 𝜃𝑜(1) + 𝑦𝑜
𝜃𝑜 + 𝑦𝑜 =
1
3𝐸𝐼
(1)

13. AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
13
RESISTENCIA DE MATERIALES II DEFLEXION EN VIGAS
2) Si 𝑧 = 5,5 𝑚 → 𝑦 = 0
0 =
1
𝐸𝐼
[−
5,53
3
+
4,778(5,5 − 1)3
6
−
7(5,5 − 2,5)5
360
] + 𝜃𝑜(5,5) + 𝑦𝑜
5,5𝜃𝑜 + 𝑦𝑜 = −
12,38254
𝐸𝐼
(2)
Se tiene un sistema de ecuaciones:
𝜃𝑜 + 𝑦𝑜 =
1
3𝐸𝐼
(1) 𝑚𝑚 ∗ (−1)
5,5𝜃𝑜 + 𝑦𝑜 = −
12,38254
𝐸𝐼
(2)
}
−𝜃𝑜 − 𝑦𝑜 = −
1
3𝐸𝐼
(1)
5,5𝜃𝑜 + 𝑦𝑜 = −
12,38254
𝐸𝐼
(2)
} 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 (1) 𝑦 (2)
4,5𝜃𝑜 + 0 = −
12,71587
𝐸𝐼
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
⟶ 𝜃𝑜 = −
2,82575
𝐸𝐼
Reemplazando en la ecuación (1)
−
2,82575
𝐸𝐼
+ 𝑦𝑜 =
1
3𝐸𝐼
⟶ 𝑦𝑜 =
3,15908
𝐸𝐼
Entonces la ecuación de la elástica será:
𝑦 =
1
𝐸𝐼
[−
𝑧3
3
+ 〈
4,778(𝑧 − 1)3
6
〉𝑧≥1 − 〈
7(𝑧 − 2,5)5
360
〉𝑧≥2,5 − 2,82575𝑧 + 3,15908]
𝐅𝐥𝐞𝐜𝐡𝐚 𝐚 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐨 𝐭𝐫𝐚𝐦𝐨
La longitud de la viga se considera de apoyo a apoyo, entonces la distancia hasta
medio tramo considerando el origen de la función será la suma como se muestra:
𝐿
2
=
4,5
2
= 2,25 ; 𝑧 = 2,25 + 1 ⟶ 𝑧 = 3,25 𝑚
𝛿 =
1
𝐸𝐼
[−
3,253
3
+
4,778(3,25 − 1)3
6
−
7(3,25 − 2,5)5
360
− 2,82575(3,25) + 3,15908]
𝜹 = −
𝟖, 𝟒𝟎𝟏𝟏𝟗𝟔
𝑬𝑰

14. AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
14
RESISTENCIA DE MATERIALES II DEFLEXION EN VIGAS
• Propiedades de la sección transversal
Determinación de EI (1 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
= 10 𝑡 𝑚2
⁄
⁄ )
Modulo elástico
𝐸 = 2,1𝑥105(10) → 𝐸 = 2,1𝑥106
𝑡 𝑚2
⁄
𝐸𝐼 = 2,1𝑥106
[
5ℎ3
3
− (ℎ − 8)3
] ∗ 100−4
𝐸𝐼 = 0,021 [
5ℎ3
3
− (ℎ − 8)3
]
Calculo de “𝒉”
Flecha a medio tramo
𝛿 = −
8,401196
𝐸𝐼
≤ −
𝐿
300
8,401196
0,021 [
5ℎ3
3
− (ℎ − 8)3]
=
4,5
300
Despejando tenemos:
𝒉 = 𝟐𝟕, 𝟐𝟖 𝒄𝒎
Respuesta: La altura necesaria de la viga es ℎ = 27,28 𝑐𝑚, para que la flecha a
medio tramo de la viga sea inferior a 𝐿 300
⁄
• Momento de Inercia
𝐼 = ∑[𝐼𝑐𝑖 + 𝐴𝑖(𝑦𝑖 − 𝑦𝑐)2]
𝐼 = [
20(ℎ)3
12
−
12(ℎ − 8)3
12
]
𝐼 = [
5ℎ3
3
− (ℎ − 8)3
]