Voladura Controlada Sobrexcavación (como se lleva a cabo una voladura)
Cap 4 corte por flexion en vigas
1. AUX. ISRAEL OSMAR MENDOZA APAZA CIV 2203 “B”
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RESISTENCIA DE MATERIALES II CORTE EN VIGAS
CAPITULO 4
CORTE POR FLEXION EN VIGAS
4.1) INTRODUCCION. -
Se puede observar que al flexarse una viga sometida a cargas transversales, a los
esfuerzos normales (𝜎), se deben acompañar esfuerzos cortantes (𝜏). Cuando una
viga se somete a flexión pura, solo se tiene momentos flectores y los únicos
esfuerzos son los normales. Sin embargo, la mayor parte de las vigas se someten
tanto a cargas que producen momentos flectores como a fuerzas cortantes.
Figura a Figura b
La existencia de esfuerzos cortantes horizontales en una viga se puede demostrar
mediante un experimento simple, coloque dos vigas rectangulares idénticas y
sométalas a una carga P, como se muestra en la figura a. Si la fricción entre las
vigas es pequeña, estas se flexionarán de manera independiente como se muestra
en la figura b. Cada una de ellas estará en compresión arriba de su propio eje
neutro y en tracción debajo de este, y por tanto la superficie inferior de la viga
superior se deslizará con respecto a la superficie superior de la viga inferior.
Ahora suponga que las dos vigas se pegan a lo largo de la superficie de contacto,
de manera que se conviertan en una sola viga sólida. Cuando esta se carga, se
deben desarrollar esfuerzos cortantes horizontales a lo largo de la superficie
pegada a fin de evitar el deslizamiento que se muestra en la figura b.
4.2) DEDUCCION DE LA ECUACION DE ESFUERZO DE CORTE. -
Prisma Diferencial Teorema de Cauchy
𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 = 𝜏
Por otro lado
𝜎𝑦 = 0
𝜎𝑧 = 𝜎
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Entonces en una viga
Analizando el elemento diferencial, debemos separar el elemento diferencial en
dos partes: Arriba y debajo de la fibra y.
Analizando el equilibrio estático del elemento diferencial arriba de la fibra “y”
∑𝐹𝑧 = 0 ⟶ +
∫ 𝜎 𝑑𝐴 + 𝜏𝑏𝑜𝑑𝑧 − ∫ 𝜎 𝑑𝐴 − ∫ 𝑑𝜎 𝑑𝐴 = 0
𝜏𝑏𝑜𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜎 𝑑𝐴
𝜏 =
1
𝑏𝑜
∫ (
𝑑𝜎
𝑑𝑧
) 𝑑𝐴 ; 𝜎 =
𝑀
𝐼
𝑦
𝜏 =
1
𝑏𝑜
∫
𝑑 (
𝑀
𝐼
𝑦)
𝑑𝑧
𝑑𝐴
𝜏 =
1
𝑏𝑜
∫
𝑑 (
𝑀
𝐼
)
𝑑𝑧
𝑦 𝑑𝐴
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a) SECCION CONSTANTE
Momento flector 𝑀 = 𝑓(𝑧)
Momento de Inercia 𝐼 = 𝑐𝑡𝑡𝑒
𝜏 =
1
𝑏𝑜𝐼
∫
𝑑𝑀
𝑑𝑧
𝑦 𝑑𝐴 ; 𝑄 =
𝑑𝑀
𝑑𝑧
𝜏 =
𝑄
𝑏𝑜𝐼
∫ 𝑦 𝑑𝐴 ; 𝑆𝑥 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴
El esfuerzo tangencial es igual a:
𝜏 =
𝑄𝑆𝑥
𝑏𝑜𝐼
Donde:
𝜏 = Esfuerzo tangencial
𝑄 = Fuerza cortante en la sección de análisis
𝐼 = Momento de inercia de toda la sección
𝑆𝑥 = Momento estático de la sección a un lado de la fibra “𝑦”
𝑏𝑜 = Ancho de la sección en la fibra “𝑦”
b) SECCION VARIABLE. -
Momento de Inercia 𝐼 = 𝑓(𝑧)
𝜏 =
1
𝑏𝑜
∫
𝑑
𝑑𝑧
(
𝑀
𝐼
)𝑦 𝑑𝐴 =
1
𝑏𝑜
∫ (
𝑑𝑀
𝑑𝑧
𝐼 − 𝑀
𝑑𝐼
𝑑𝑧
𝐼2
) 𝑦 𝑑𝐴 ; 𝑄 =
𝑑𝑀
𝑑𝑧
𝜏 =
1
𝑏𝑜
[
𝑄∫ 𝑦 𝑑𝐴
𝐼
−
𝑀
𝐼2
(
𝑑𝐼
𝑑𝑧
)∫ 𝑦 𝑑𝐴]
𝜏 =
𝑄𝑆𝑥
𝑏𝑜𝐼
−
𝑀
𝐼2
(
𝑑𝐼
𝑑𝑧
) 𝑆𝑥
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4.3) ESFUERZOS MAXIMOS EN EL PLANO
Se puede calcular el valor de esfuerzo normal 𝜎 y cortante 𝜏 en cualquier punto de
la sección, cuando se conoce el momento flector M y fuerza cortante Q en dicha
sección. El valor máximo de 𝜎 corresponde a las fibras más alejadas del EN, por el
contrario, generalmente el valor máximo de 𝜏 se presenta en el EN.
𝜎 =
𝑀
𝐼
𝑦 ; 𝜏 =
𝑄𝑆𝑥
𝐼𝑏𝑜
Prisma diferencial
Es posible escoger las caras de tal forma que solamente se presenten esfuerzos
normales, estas direcciones se llaman principales, y los esfuerzos
correspondientes, esfuerzos principales.
Las ecuaciones para determinar los esfuerzos principales son:
𝜎𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑎𝑥
=
𝜎1 + 𝜎2
2
± √𝜏2 + (
𝜎1 − 𝜎2
2
)
2
; 𝜎2 = 0
𝜎𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑎𝑥
=
𝜎
2
± √𝜏2 + (
𝜎
2
)
2
; 𝜑𝑝 =
1
2
tan−1
(−
2𝜏
𝜎
)
𝜎1 = 𝜎
𝜎2 = 0
𝜏𝑧𝑦 = 𝜏
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EJERCICIOS RESUELTOS
E-1] Determinar la variación del esfuerzo tangencial “𝜏” de la sección A-A y su
valor máximo. Dibujar el diagrama de esfuerzo tangencial.
SOLUCION
1) Determinación de Fuerzas Internas
• Reacciones de Apoyo
∑𝑀5 = 0 𝑉2(6,5) − 3(5)(5,5) −
2(5)
2
(6,333) − 7(1) + 2 = 0
𝑉2 = 18,333 𝑡
∑𝑀2 = 0 − 𝑉5(6,5) + 7(5,5) + 2 + 3(5)(1) +
2(5)
2
(0,1667) = 0
𝑉5 = 8,667 𝑡
Control: ∑𝐹𝑉 = 0 18,333 + 8,667 − 7 − 3(5) −
2(5)
2
= 0
0 = 0 ✓
Sección transversal
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• Diagramas de Fuerzas Internas
2) Propiedades geométricas de la sección
Área total
𝐴 = 𝐴1 − 2𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4
𝐴 = 459 − 2(25𝜋) + 70 + 85
𝑨 = 𝟒𝟓𝟔, 𝟗𝟐𝟎 𝒄𝒎𝟐
• Áreas
𝐴1 = 27(17) = 459 𝑐𝑚2
𝐴2 =
𝜋(10)2
4
= 25𝜋 𝑐𝑚2
𝐴3 = 7(10) = 70 𝑐𝑚2
𝐴4 = 17(5) = 85 𝑐𝑚2
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• Centroide
𝑦𝑐 =
∑𝐴𝑖𝑦𝑖
∑𝐴𝑖
𝑦𝑐=
459(23,5) − 2[25𝜋(19,244)]+70(10)+85(2,5)
456,920
𝒚𝒄 = 𝟏𝟖, 𝟗𝟖𝟖 𝒄𝒎
• Momento de Inercia
𝐼 = ∑[𝐼𝑖 + 𝐴𝑖(𝑦𝑖 − 𝑦𝑐)2]
𝐼= [
27(17)3
12
+459(23,5 − 18,988)2
] − 2[0,05488(10)4
+25𝜋(19,244 − 18,988)2]
+ [
7(10)3
12
+70(10 − 18,988)2
] + [
17(5)3
12
+85(2,5 − 18,988)2
]
𝑰 = 𝟒𝟖𝟖𝟏𝟑, 𝟔𝟓𝟑 𝒄𝒎𝟒
3) Determinación de Esfuerzos Cortantes
Para a
El punto a pertenece a la fibra superior, la cual no delimita ningún área si es que
empezamos el análisis por la parte superior.
Entonces, el área para dicha fibra será 𝐴 = 0, por lo tanto: 𝑆𝑎 = 0
𝜏𝑎 =
𝑄𝑆𝑎
𝐼𝑏𝑜
=
3283(0)
48813,653(27)
⟶ 𝜏𝑎 = 0
Esfuerzo Cortante
𝜏 =
𝑄𝑆𝑥
𝐼𝑏𝑜
(1)
Momento Estático
𝑆𝑥 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴
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Tramo a/b 𝟔, 𝟎𝟏𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝟏𝟑, 𝟎𝟏𝟐 𝒄𝒎
𝑏𝑜 = 27 𝑐𝑚 ; 𝑑𝐴 = 𝑏𝑜𝑑𝑦
𝑆𝑥 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦 𝑏𝑜𝑑𝑦
𝑆𝑥 = 27∫𝑦
13,012
𝑦 𝑑𝑦
𝑆𝑥 = 27 [
𝑦2
2
]
𝑦
13,012
𝑆𝑥 = 13,5[13,0122
− 𝑦2]
𝑆𝑥 = 2285,714 − 13,5𝑦2
Reemplazando en la ecuación 1
𝜏 =
3283(2285,714 − 13,5𝑦2)
48813,653(27)
𝜏 = 5,694 − 0,0336𝑦2
Tramo b/c −𝟑, 𝟗𝟖𝟖 ≤ 𝒚 ≤ 𝟔, 𝟎𝟏𝟐 𝒄𝒎
La ecuación de la circunferencia es:
[𝑥 − 𝑘]2
+ [𝑦 − ℎ]2
= 𝑅2
Donde:
𝑘, ℎ = Coordenadas del centro de la circunferencia.
𝑘 = 13,5 ; ℎ = −3,988
y bo Sx 𝝉[𝒌𝒈 𝒄𝒎𝟐
⁄ ]
13,012 27 0 0
9,512 27 1064,259 2,654
6,012 27 1797,768 4,480
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RESISTENCIA DE MATERIALES II CORTE EN VIGAS
• Diagrama de Esfuerzos Cortantes
E-2] En el ejemplo anterior, determinar los esfuerzos principales “𝜎𝑚𝑎𝑥, 𝜎𝑚𝑖𝑛” y el
ángulo “𝜑𝑝”, en la sección B para el punto n.
SOLUCION
1) Determinación de Fuerzas Internas
• Funciones de Funciones internas
Del anterior ejemplo tenemos las funciones con origen en el apoyo móvil
𝑀 = −2 + 8,667𝑧 − 〈7(𝑧 − 1)〉𝑧≥1 − 〈
3(𝑧 − 3)2
2
〉𝑧≥3 − 〈
(𝑧 − 3)3
15
〉𝑧≥3
+ 〈18,333(𝑧 − 6,5)〉𝑧≥6,5
𝑄 = −8,667 + 〈7〉𝑧≥1 + 〈3(𝑧 − 3)〉𝑧≥3 + 〈
(𝑧 − 3)2
5
〉𝑧≥3 − 〈18,333〉𝑧≥6,5
Sección transversal