Teoría de juegos

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos dinámicos con información completa
Juegos estáticos con información incompleta
Elementos básicos de Teor´ıa de juegos
Mauro Orlando Gutiérrez Mart´ınez
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
gutierrez mauro@hotmail.com
Marzo 2018
Mauro Orlando Gutiérrez Mart´ınez Teor´ıa de juegos

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Contenido
1 Introducción
2 Juegos estáticos
3 Juegos dinámicos con información completa
4 Juegos estáticos con información incompleta

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
¿Qué es un juego?
Es una representación formal de una situación en el que las
decisiones son interdependientes.
La interdependencia implica:
El pago de quien decide depende de las decisiones de cada uno
del resto de jugadores.
Los jugadores están conscientes de esta dependencia y actúan
bajo dicho principio.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
¿Elementos de un juego?
1 Jugadores.
2 Las reglas de juego
Quién mueve y cuándo
Qué saben los jugadores cuando mueven
Qué pueden hacer cada vez que les corresponde mover
(acciones disponibles)
3 Los resultados posibles para combinación posible de acciones
4 Las preferencias de los jugadores sobre cada resultado del
juego. Se asume racionalidad y preferencias del tipo VNM.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
¿Qué es un jugador racional?
Un jugador es racional si:
1 Conoce el juego.
2 Sabe que el resto de jugadores conoce el juego y que él sabe
que ellos saben, y as´ı sucesivamente.
1. y 2. son de conocimiento común, por tanto, la racionalidad es
de conocimiento común.

[opacity=1]
Introducci´on
Juegos est´aticos
Ejemplo de juegos: Dilema del prisionero
Jugador 2
c n
20 10
C
Jugador 1 20 140
140 140
N
10 100
Tabla 1: Dilema del prisionero

[opacity=1]
Introducci´on
Juegos est´aticos
Ejemplo de juegos: Batalla de los sexos
Jugador 2
f b
2 0
F
Jugador 1 1 0
0 1
B
0 2
Tabla 2: Batalla de sexos

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Ejemplo de juegos: Polic´ıas y ladrones
Ladrones
z1 z2
-1 1
Z1
Polic´ıas 1 -1
1 -1
Z2
-1 1
Tabla 3: Polic´ıas y ladrones
Este juego es uno de conflicto puro o estrictamente competitivo.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Ejemplo de juegos: ¿Adoptar o no?
Ejemplo de juegos
Jugador 2
a n
3 0
A
Jugador 1 3 2
0 1
N
0 1
No es un juego de conflicto de intereses, sino uno de coordinación.

[opacity=1]
Introducci´on
Juegos est´aticos
Ejemplo de juegos: Entrar o no entrar
Figura 1: Entrar o no entrar
2
(20, 0)
n
1
(0, −10)
G
(10, 10)
A
e

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos estáticos
Un juego es estático cuando ningún jugador sabe qué combinación
de acciones eligió cada uno de los jugadores restantes, sin tener
tiempo para reaccionar.
Caracter´ısticas de un juego estático
1 Los jugadores eligen simultáneamente sus acciones.
2 Los jugadores reciben sus pagos, los que dependen de la
combinación de acciones

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos estáticos (II)
Un juego estático consiste en:
1 Un conjunto finito de N jugadores.
2 Un conjunto Ai de acciones posibles, para todo jugador i ∈ R.
3 Una función de pago VNM ui : XN
i=1Ai → R, para cada
jugador i ∈ N, tal que:
Eui (x) = X ui (x)dF(x)
x∈X π(x)ui (x)
El juego estático en su forma normal queda definido por:
J = (N, (Ai ), (ui ))

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Observaciones
Observación 1.
Para toda combinación posible de acciones:
a ∈ A = XN
i=1Ai (1)
ui nos dice el nivel de utilidad que de ella obtiene cada jugador.
Observación 2.
Se supone que (N, (Ai ), (ui )) es de conocimiento común.
∀i es de conocimiento común que el jugador j ordena los
resultados según uj .
Este juego es de información completa.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Representación de un juego: Dilema del prisionero
1 N = {1, 2}
2 A1 = {C, N}, A2 = {c, n}
3 A = A1XA2 = {(C, c), (N, n), (C, n), (N, c)}
4 u1 : A → R, por ejemplo : u1(C, n) = 140
5 u2 : A → R, por ejemplo : u2(C, n) = 10
El caso especial para 2 jugadores, puede ser representado gráficamente
como:
Jugador 2
c n
20 10
C
Jugador 1 20 140
140 100
N
10 100

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Estrategias dominadas
Estrategias dominadas.
La estrategia ai ∈ Ai es dominada estrictamente por ai ∈ Ai si
∀a−i ∈ Xj=i Aj :
ui (ai , a−i ) < ui (ai , a−i )
La estrategia ai ∈ Ai es dominada débilmente si:
ui (ai , a−i ) ≤ ui (ai , a−i )
con desigualdad estricta para al menos un a−i ∈ Xj=i Aj

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Estrategias dominadas (II)
Observación.
1 Toda estrategia estrictamente dominada será eliminada. El
resultado no cambia con el orden de eliminación.
2 El resultado puede depender del orden de eliminación si se
eliminan estrategias débilmente dominadas.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Estrategias dominadas (III)
¿Depende del orden de eliminación?
a b c
4 2 4
A
3 3 3
4 2 4
B
0 2 4
4 0 6
C
2 0 4

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Equilibrio de Nash
Equilibrio de Nash.
Un equilibrio de Nash del Juego J = (N, (Ai ), (ui )) es una
combinación de estrategias a∗ ∈ A tal que ∀i ∈ N
ui (a∗
i , a∗
−i ) ≥ ui (ai , a∗
−i ), ∀ai ∈ Ai (2)

[opacity=1]
Introducci´on
Juegos est´aticos
Equilibrio de Nash - Oligopolio
a b c
10 14 0
A
10 -5 -10
-5 5 0
B
14 5 -5
-10 -5 0
C
0 0 0

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Equilibrio de Nash - Oligopolio
El equilibrio de Nash no asegura la selección de estrategias
que maximiza las utilidades conjuntas.
Un equilibrio de Nash no requiere de un agente externo para
sostenerse, ya que los incentivos son suficientes para no
desviarse del equilibrio.
La definición del Equilibrio de Nash no nos dice como se llega
a este.
¿Experimentación?
¿Jugadores racionales?
Algunos juegos no tiene Equilibrio de Nash en estrategias
puras.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Estrategias mixtas
Una estrategia mixta σi es una distribución de probabilidades sobre
estrategias puras. σi (ai ) es la probabilidad que σi le asigna a la
estrategia pura ai

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Estrategias mixtas: Propiedades
1 Si el set de estrategias puras del jugador i es Ai , el set de
estrategias mixtas de i, es el simplex de dimensión ni − 1,
donde ni es el número de estrategias puras.
2 Denotemos por ∆(Ai ) el set de todas las estrategias mixtas de
i.
3 ∆(A) = XN
i=1∆(Ai ) es el espacio de estrategias mixtas de J.
4 Si σ es un elemento de ∆(A), entonces σi (ai ) es la
probabilidad que aparezca la acción ai de i, dado que se
escogió σ como combinación de estrategias.
5 El pago del i-ésimo jugador, si se juega la combinación de
estrategias σ es:
a∈A
{ΠN
j=1σj (aj )}ui (a1, a2, ..., aN ) ≡
a∈A
{ΠN
j=1σj (aj )}ui (a) (3)

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
6 La forma del pago de cada jugador implica que las
preferencias de cada uno son VNM, y que sus estrategias son
independientes entre s´ı.
7 Las definiciones sobre estrategias dominadas y equilibrio de
Nash se extiende directamente al caso de estrategias mixtas.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Propiedad.
En un equilibrio de Nash en estrategias mixtas, a cada jugador le
es indiferente qué estrategia pura juega entre aquellas que, según
su estrategia mixta juega con probabilidad positiva.
Ejemplo
Ladrones
z1 z2
-1 1
Z1
Polic´ıas
1 -1
2 -1
Z2
-1 1
Resolución
l(1) + (1 − l)(−1) = l(−1) + (1 − l)(1)
l =
1
2
p(−1) + (1 − p)(2) = p(1) + (1 − p)(−1)
p =
3
5

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Estrategias mixtas: cr´ıticas
Si en equilibrio están indiferentes respecto a que estrategia
jugar ¿por qué habrán de hacerlo justo con la frecuencia
requerida en la estrategia mixta de equilibrio?
Cambios marginales en la estrategia mixta de un jugador
llevaran cambios drásticos en el comportamiento del otro
jugador

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos dinámicos
Existen juegos en los que un jugador mueve antes que otro, y que los otros
jugadores observan su decisión antes de jugar.
Estos juegos se les denomina juegos dinámicos.
Ejemplo
Figura 2: Entrar o no entrar
2
(20, 0)
n
1
(0, −10)
G
(10, 10)
A
e
Ejemplo
La empresa 2 decide si entra (e)
o no entra (n) al mercado.
La empresa 1, observa si se
produce la entrada. En ese caso
decide si inicia una guerra de
precios (G) o se acomoda (A).

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos con información perfecta
La forma extensiva de un juego dinámico con información perfecta consiste en:
1 Un conjunto finito de N jugadores
2 Un conjunto H de historias o secuencias que cumplen 4 condiciones:
a) ∅ ∈ H
b) Si (ak
)k=1,2,...,K ∈ H y L < K < ∞, entonces (ak
)k=1,2,...,L ∈ H
c) Si una secuencia infinita (ak
)∞ satisface que
(ak
)k=1,2,...,L ∈ H, ∀L ∈ N, entonces (ak
)∞ ∈ H.
d) A(h) ∩ A(h ) = ∅ ∀h, h ∈ H, h = h .
Donde (ak
)k=1,2,...,L ∈ H por h
Todo elemento de H es una historia. Cada componente de una
historia es una acción.
Una historia (ak
)1,2,...,K es terminal si K = ∞ 0 aK+1
tal que
(ak
)1,2,...,K+1 ∈ H

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos con información perfecta
3 Una función P : H Z → N que le asigna, a cada historia no
terminal, un jugador a quién le corresponderá el turno de
jugar. Z es el conjunto de historias terminales. Esta definición
implica que no hay jugadores en las historias terminales.
4 Para cada jugador i ∈ N, una función de utilidad ui : Z → R.
Esta función implica que sólo existirá pagos en las historias
terminales.
Acción.
Después de cada historia no terminal h, el jugador P(h) elige una
acción del set:
A(h) = {a : (h, a) ∈ H}

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos con información perfecta: representación
La representación extensiva del Juego es por tanto:
N, H, P, (ui)
Dos historias distintas no pueden terminar en la misma acción.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos con información perfecta: Estrategias
Una estrategia del jugador i ∈ N en N, H, P, (ui ) es una función
que le asigna una y sólo una acción A(h) a cada historia no
terminal h ∈ H Z, para lo cual P(h) = i. La denotamos por Si
Una estrategia es una plan completo; especifica la acción elegida
para cada historia después de la cual le toca elegir, aún si dada la
combinación de estrategias elegidas por los jugadores, esa historia
no ocurre.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos con información perfecta: Ejemplo
Ejemplo
1
2
I
c
II
d
A
2
III
e
IV
f
B
Representación normal
ce cf de df
A I I II II
B III IV III IV

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos con información perfecta: Resultado del juego
Resultado del juego.
Para cada combinación de estrategias s = {Si }N
i=1 ∈ S, se define
como resultado del juego R(s) como la historia terminal que
resulta si cada jugador sigue los dictados de Si .
R(s) es la historia terminal (a1, ..., aK ) ∈ Z, tal que ∀0 ≤ k < K
se tiene que:
Sp(a1,...,ak )(a1
, ..., ak
)) = ak+1

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos con información perfecta: Resultado del juego (II)
Ejemplo
ce cf de df
A I I II II
B III IV III IV
En el ejemplo, si S1((∅)) = A
y S2((A)) = c, S2((B)) = f ,
entonces,
R((S1, S2)) = (A, c)

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Equilibrio
Si los jugadores eligieran simultáneamente al comenzar el
juego, la representación normal y el concepto de equilibrio de
Nash, bastar´ıa para representar y solucionar el juego.
La secuencialidad y la posibilidad de repensar las acciones a
medida que avanza el juego, lleva al concepto de Equilibrio
perfecto en subjuegos.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Ejemplo de juego dinámico

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Ejemplo de juego dinámico
En el juego existen 3 equilibrios de Nash, sin embargo el equilibrio {(A, F), d} es no
cre´ıble. La amenaza de jugar F del jugador 1 es no cre´ıble, dado que si tiene que elegir
seleccionará E, logrando un beneficio mayor.

[opacity=1]
Introducci´on
Juegos est´aticos
Subjuego
El subjuego h ∈ H : (h, h ) de J = N, H, P, (ui ) es el juego
J(h) = N, H/h, P/h, (ui/h)
H/h es el conjunto de subhistorias (h, h ) ∈ H
P/h(h ) = P(h, h ), ∀h ∈ H/h
ui/h(h ) ≥ ui/h(h ) si y solo si
ui (h, h ) ≥ ui (h, h ), ∀h , h ∈ H

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Equilibrio perfecto en sub juegos
La combinación de estrategias s∗ ∈ S es un equilibrio perfecto en
subjuegos de J = N, H, P, (ui ) si:
Es un equilibrio de J.
∀h ∈ H Z, s∗/h es un equilibrio de Nash de
J(h) = N, H/h, P/h, (ui/h) .

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Equilibrio perfecto en sub juegos en un juego finito
Sea J = N, H, P, (ui ) un juego de horizonte finito. La
combinación de estrategias s∗ ∈ S es un EPS ssi ∀i ∈ N y cada
historia h ∈ H Z, para lo cual P(h) = i, a ∈ A(h), a = a∗, tal
que:
ui/h(S∗
−i/h, (a, S∗
i/(h,a))) > ui/h(S∗
−i/h, (a∗
, S∗
i/(h,a∗)))
Todo juego dinámico finito tiene un EPS en estrategias puras.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Información imperfecta
El desconocimiento de los jugador puede referirse a:
- Los jugadores continuamente toman decisiones con
limitaciones de información.
- Las acciones que pueden tomar los otros jugadores.
- Las caracter´ısticas del medio ambiente.
- La información con la que cuentan los otros jugadores.
En resumen, los jugadores tienen información imperfecta
cuando tienen conocimiento imperfecto sobre las funciones de
pago del resto de los jugadores.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos bayesianos estático en forma normal
Componentes
1 Un número de N jugadores, más la naturaleza (En este caso N = 2).
2 Para cada jugador i, existe un conjunto Ai de acciones posibles.
3 Para cada jugador i existe un conjunto de Ti de encarnaciones
posibles.
4 Para cada jugador existe una función VNM ui : A1xA2xTi −→ R
5 Existe una función de probabilidad conjunta p, que es de
conocimiento común. Esta probabilidad calcula la probabilidad con
la que la naturaleza elige las encarnaciones de la cada jugador:
a. p : T1xT2 −→ [0, 1]
b. T1xT2
pl = 1

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Juegos bayesianos estático en forma normal
Representación
Un juego bayesiano estático en forma normal se representa por:
B = N, (Ai ), (Ti ), (ui ), p
En este juego, la naturaleza elige (t1, t2) ∈ T1xT2 de acuerdo a p y
revela a cada jugador su tipo, pero no la de los otros.
Los jugadores luego eligen sus acciones simultáneamente.
Por simplicidad, se asume N = 2

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Elaboración de conjeturas
Imaginar la naturaleza de los otros jugadores
La naturaleza revela al jugador i que su tipo es k.
El jugador conjetura la probabilidad de que su competidor sea del
tipo m, basado en el teorema de Bayes.
πk
i (m) = prob(tm
j /tk
i ) =
pkm
m pkm
Cuando el jugador i es del tipo tk
i elige a1 ∈ A1 para maximizar:
m
πk
i (m) · ui (ai (k), aj (m); k)
Donde aj (m) reconoce que las distintas encarnaciones que puede
tomar el tipo j, potencialmente generan distintas decisiones.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Estrategias
En juegos estáticos con información incompleta
En el juego B = N, (Ai ), (Ti ), (ui ), p , una estrategia del
jugador i es una función Si : Ti −→ Ai .
Si es el conjunto de estrategias del jugador i

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Estrategias confusión (agrupadora) y separadora
Si : Ti −→ Ai , tal que Si (tk) = ai ∀tk ∈ Ti , se llama estrategia de
confusión o agrupadora.
Si : Ti −→ Ai , tal que ∃tk, tl ∈ Ti de manera que Si (tk) = Si (tl ),
se llama estrategia separadora.

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Equilibrio bayesiano
En el juego B = N, (Ai ), (Ti ), (ui ), p , la combinación de
estrategias s∗ = (S∗
1 , S∗
2 ), es un equilibrio bayesiano si ∀i ∈ N y
ti ∈ Ti
l
πti
i (l) · ui (S∗
i (ti ), S∗
j (tl ); ti ) ≥
l
πti
i (l) · ui (ai , S∗
j (tl ); ti ), ∀ai ∈ Ai

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Ejemplo de equilibrio bayesiano
Licitación de primer precio a sobre cerrado
Hay 2 jugadores cada uno de los cuales valora el bien en vi , i = 1, 2.
vi , se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, 1].
Los licitantes son neutrales al riesgo y es de conocimiento común.
El ganador es el propone la postura más alta.
Por tanto:
- N = 2
- Ai = [0, ∞]
- Ti = [0, 1]
- Prob(vi = va, vj = vb) ∈ U[0, 1]
- ui (b1, b2; vi ) =



vi − bi si bi > bj
vi −bi
2 si bi = bj
0 si bi < bj

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Licitación de primer precio a sobre cerrado: equilibrio (1)
El par de estrategia (bi (vi ), bj (vj )) tal que bk (vk ) = vk
2 ∀k es un equilibrio
bayesiano.
Demostración
La función de utilidad del jugador 1 está definida por:
u1 = max
b1
(v1 − b1) · prob b1 >
v2
2
+
1
2
(v1 − b1) · prob b1 =
v2
2
+0 · prob b1 <
v2
2
Dado que:
prob b1 =
v2
2
= 0

[opacity=1]
Introducci´on
Juegos est´aticos
Entonces
u1 = max
b1
(v1 − b1) · prob b1 >
v2
2
max
b1
(v1 − b1) · prob [2b1 > v2]
max
b1
(v1 − b1) ·
2b1
0
dx
max
b1
(v1 − b1) · 2b1
Por tanto:
∂u1
∂b1
= 2v1 − 4b1 = 0
b1 =
v1
2

[opacity=1]
Introducción
Juegos estáticos
Cada jugador ofrece la mitad de su valoración.
Al aumentar su propuesta aumenta su probabilidad de ganar.
Pero de ganar reduce su excedente.
El equilibrio es único y simétrico.
El equilibrio es eficiente. Gana el que tiene una valoración más
alta.

[opacity=1]
Introducci´on
Juegos est´aticos
Ejercicio
Figura 3: Imagen tomada de Galetovic (2002)

[opacity=1]
Introducci´on
Juegos est´aticos
Referencias
Galetovic Alexander (2002)
Notas de clase - microeconomia II, disponible en:
http://www.carlospitta.com/Courses/Microeconomia/PDF/apun702.pdf

Teoría de juegos

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Más de Mauro Gutierrez

Más de Mauro Gutierrez (20)

Último

Último (20)

Teoría de juegos