tasa de interés

1. CLAVE ASIGNATURA 519
“Importancia de la tasa de interés simple
e interés compuesto”

2. Matemáticas
Financieras

3. MATEMATICAS FINANCIERAS:
El valor del dinero a través del
tiempo.

4. Valor del dinero en el tiempo
Esto significa que cantidades iguales de dinero
no tienen el mismo valor, es decir, no son
equivalentes, si se encuentran en puntos
diferentes en el tiempo. ¿Porqué?

5. Valor del dinero en el tiempo
• Ejemplo: ¿Cuánto valen $1000 pesos a recibirse en exactamente un año el día de hoy? ¿Y
si los recibimos en 2,…, n años?
• Relación Valor Presente (VP), tasa de descuento, y la tasa de interés.
• ¿Y la inflación? → (1 + inom) = (1 + ireal).(1 + E(f))
• Ejemplo: Supongamos que tomamos un préstamo de $100 para un año. Sin inflación
pagamos un interés de 10% => Al final del año pagamos $110. Sin embargo, si el nivel de
inflación (f) esperada es de 50% necesitamos desembolsar $165.
• La tasa nominal es la tasa que normalmente observamos.

6. Equivalencia
$100
$115
Un año
Tasa de interés del 15%

7. Interés simple
- Es la cantidad generada sobre una inversión o
préstamo en donde los intereses generados en los
primeros períodos no se incorporan al capital.
- El monto de los intereses de cada período
permanece constante.

8. Fórmulas: I = P * i * n
F = P + I
F = P (1+ i*n)
Nomenclatura:
P: Cantidad inicial, principal, actual o presente
F: Cantidad Futura
I : Intereses totales
i : Tasa de interés
n: Número de periodos

9. Interés simple
¿Cuál sería el monto final que se deberá pagar si se obtiene un
préstamo de $1,000 por 30 días a una tasa de interés simple
mensual del 4%?
F = $1,000 * ( 1 + ( 0.04 * 1 )) = $1,040
n = 1 mes
i = 4% mensual
F
$1,000

10. Interés simple
¿Cuál será el monto que se acumulará al final de un
año si el préstamo se mantiene por ese período?
F = $1,000 * ( 1 + ( 0.04 * 12 )) = $1,480
n = 12 meses
i = 4% mensual
F
$1,000

11. Interés simple
¿A qué tasa de interés la cantidad de $40,000 se convertirá en
$42,400 en nueve meses?
i = F - P = $42,400 - $40,000 = 0.0067
P * n $40,000 * 9 meses
i = 0.67% mensual
n = 9 meses
i = ?
$42,40
0
$40,000

12. ¿Qué suma debe ser invertida al 15% anual para tener $20,000 dentro
de seis meses y quince días?
i = 15% anual = 1.25% mensual
P = F = $20,000 = $18,497.11
1 + (i * n) 1 + (0.0125 * 6.5)
n = 6.5 meses
i = 15% anual
$20,000
P

13. • Usted pagó $450,000 por un pagaré de $400,000 firmado el 16
de mayo de 199X a una tasa del 42% anual. ¿Que plazo
transcurrió?
n = F - P = $450,000 - $400,000 = 0.2976 años
P * i $400,000 * 0.42
n = 107.14 días => que correspondería al 1° de septiembre de
199X
n = ?
i = 42% anual
$450,000
$400,000

14. Interés compuesto
- A diferencia del interés simple, en el interés compuesto
los intereses de los primeros períodos se acumulan al
capital para generar intereses en los períodos
subsiguientes.
- Los intereses de un período serán menores que los
calculados en períodos posteriores.

15. Interés compuesto
Fórmula:
F = P *(1+ i)n
Nomenclatura:
P: Cantidad inicial, principal, actual o presente
F: Cantidad futura
i : Tasa de interés
n: Número de periodos

16. Interés compuesto
Explicación Numérica P = $1,000
n = 2 años
i = 10% anual
Año Adeudo inicial Intereses Adeudo final
1 $1,000 $100 $1,100
2 1,100 110 1,210

17. Si se realiza una inversión de $1,000 al 4% mensual, que se renovará
durante 12 meses, ¿cuál será el monto al final del año?
F = $1,000 * ( 1 + 0.04 )12
= $1,601.03
n = 12 meses
i = 4% mensual
F
$1,000

18. Valor presente
q Un valor presente siempre es menor que el valor futuro, porque sobre el
valor presente se van a acumular intereses hasta llegar a la fecha futura1.
P = F .
( 1 + i )n
P = F ( P/F, i%, n )
1 Salvo en tasas de interés negativas.

19. Valor futuro
La fórmula de valor futuro será:
F = P ( 1 + i )n
F = P ( F/P, i%, n )
La fórmula de la tasa de interés será:
i = ( F/P )1/n - 1

20. Valor presente y valor futuro
¿Qué cantidad se debe depositar ahora en una cuenta de inversión que
gana el 33% anual para que al final del tercer año se tenga $35,000?
P = $35,000 = $14,876.92
( 1 + 0.33 ) 3
n = 3 años
i = 33% anual
$35,000
P

21. Valor presente y valor futuro
• Una persona está en posibilidad de invertir ahora $8,000 con el fin de
pagar obligaciones futuras de $10,500. ¿Cuál es la tasa requerida para
conseguir esa cantidad en 5 años?
i = ( $10,500/$8,000 )1/5 - 1 = 0.0559 => 5.59% anual
n = 5 años
i = ?
$10,500
$8,00
0

22. Anualidades constantes
- Es un flujo de efectivo constante que se paga o se cobra
cada cierto período.
- Las cantidades deben ser iguales y el intervalo de tiempo
entre ellas siempre es el mismo.
- Los intereses se acumulan una vez cada período.

23. Las anualidades pueden clasificarse en:
– Anualidades ordinarias. Cuando:
m La primera anualidad está un período después
que el presente, o;
m La última anualidad está junto con el futuro.
– Anualidades anticipadas. Cuando:
m La primera anualidad está junto con el presente,
o;
m La última anualidad está un período antes que el
futuro.

24. Anualidades ordinarias
P = A * ( 1 + i )n
- 1
( 1 + i )n
* i
P = A ( P/A, i%, n )
P = valor presente
A = anualidad
i = tasa de interés para un solo período
n = número de períodos

25. F = A* ( 1 + i )n
- 1
i
F = A ( F/A, i%, n )
F = valor futuro
A = anualidad
i = tasa de interés para un solo período
n = número de períodos

26. A = P * ( 1 + i )n
* i
( 1 + i )n
- 1
A = P ( A/P, i%, n )
A = F * i
( 1 + i )n
- 1
A = F ( A/F, i%, n )

27. Anualidades anticipadas
P = A * ( 1 + i )n
– 1 *(1+i)
( 1 + i )n * i
P = A ( P/A, i%, n - 1 )
F = A * [ ( 1 + i ) n
- 1 ] * ( 1 + i )
i
F = A ( F/A, i%, n - 1 )

28. A = P /(1+i) * ( 1 + i )n
* i
( 1 + i )n - 1
A = P ( A/P, i%, n - 1 )
A = F * i
[ ( 1 + i )n
- 1 ] * ( 1 + i )
A = F ( A/F, i%, n - 1 )

29. EJEMPLOS:
1. Un ingeniero vende su patente a una empresa y se le ofrece la opción
de un monto de US$ 12,500 en una sola exhibición (es decir,
inmediatamente) el día de hoy (t = 0) o, alternativamente, un pago de
US$2,000 por año por los próximos 10 años, empezando el próximo
año (t = 1).
Como el ingeniero está pagando un 12% de interés anual por año por
concepto de hipoteca sobre su casa, decide usar esta misma tasa
para evaluar las alternativas. Si usted fuera este ingeniero, ¿cuál de
las dos alternativas escogería?

30. EJEMPLOS:
Juan, cumpliendo 40 años y pensando en su jubilación, planea ahorrar la suma de $
1,500 por año sobre un período de 25 años. En promedio el espera ganar 12% de
interés anual c/anualmente, sobre todos los fondos invertidos. ¿Cuánto tendría Juan
al final de 25 años? Respuesta: $200,000 (ignorando fracciones).
Pensando un poco más allá, Juan como demógrafo sabe que si llega a cumplir 65
años, tendría una esperanza de vida de más o menos 16 años. Asimismo, estima
que necesita un ingreso de unos $25,000 anuales para vivir cómodamente con su
esposa. La lógica financiera dicta que a esa edad ya no se debe tomar mucho riesgo
con los fondos, y el piensa poner el ahorro estimado arriba en una cuenta de ahorros
que le daría a lo mucho 9% de interés anual c/anual. ¿Si Juan retira cada año
$25,000, cuánto tiempo -es decir- cuántos años durarán sus fondos? Respuesta: 14
años (ignorando fracciones).
Como su fondo de retiro NO cubre su expectativa de vida a los 65 años, ¿Cuánto
debería ahorrar entonces cada año hasta cumplir los 65 años para que le diera los
$25,000 cada año por 16 años? Respuesta: $1,558.60.

31. EJEMPLOS: REMOCASA
• Remodela tu casa, solicita el préstamo REMOCASA. Si tienes más de
3 años como socio y has cumplido con tus compromisos económicos
con la Cooperativa, puedes ser acreedor de un préstamo de hasta
$100,000.00 para remodelar tu casa a una tasa de interés del 1.75%
mensual sobre saldos insolutos, con un plazo de hasta 36 meses.
• Si quieres pagar este préstamo en 36 pagos iguales incluyendo
intereses y amortización del préstamo, cuánto pagarías
mensualmente?
• Respuesta: $ 3,767.51
• Después de 15 pagos (o meses) recibes la noticia que has ganado un
premio en la lotería y decides de re-embolsar el resto en una sola
exhibición a la fecha del pago número 16, cuánto habría que pagar
entonces?
• Respuesta: $ 66,884.10

32. ¿Cuál es el valor actual de 6 pagos iguales de $1,500 a una tasa del
40%, (a) si los pagos se hacen al final de cada año; (b) si los pagos se
hacen al inicio de cada año?
(a) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 ) = $3,251.96
(b) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 - 1 ) = $4,552.75
n = 6 años
i = 40% anual
P
A n = 6 años
i = 40% anual
P
A

33. Se va a comprar un auto nuevo cuyo valor total es de $240,000. Se
pagará un enganche de $40,000 y el resto a 24 mensualidades a una tasa
del 8% mensual sobre saldos insolutos. ¿Cuál será el monto de las
mensualidades si se pagan al final de cada mes?
A = $200,000 * ( A/P, 8%, 24 ) = $18,995.59
n = 24 meses
i = 8% mensual
$200,000
A

34. ¿Que cantidad constante tendrá que depositar en un banco al 36%
anual si quiere obtener $450,000 al final del séptimo año, haciendo los
depósitos al inicio de cada año?
A = $450,000 * ( A/F, 36%, 7 - 1 ) = $15,662.19
n = 7 años
i = 36% anual
$450,000
A

35. q Se ha tomado la convención de expresar la tasa de interés
en una tasa anual nominal y al aplicarla debe de
especificarse la fracción del período anual en la que se
capitaliza.
F = P ( 1 + j /m )n * m
j = tasa de interés nominal anual
m = número de períodos en un año
n = número de años

36. Obtenga el monto a recibir al final de un año para $1,000,000 a una
tasa de interés del 48% anual si se capitaliza: (a) anual; (b) trimestral.
(a) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48 ) 1 = $1,480,000
(b) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48/4 ) 4 = $1,573,519
n = 1 año
i = 48% anual
F
$1,000,000
n = 4 trimestres
i = 48% anual
F
$1,000,000

37. Calcule el valor de $80,000 después de dos años y seis meses
colocados a una tasa del 42% con capitalización trimestral.
n * m = 2.5 años * 4 trimestres por año = 10 trimestres
F = $80,000 * ( 1 + 0.42/4 ) 10 = $217,126.47
i = 42% anual
F
$80,000
n = 2.5 años
m = 4 trimestres

38. ¿En cuanto tiempo se triplica una inversión colocada al 40% con
capitalizaciones trimestrales?
n = ln ( F / P ) = ln ( 3 ) = 11.53 trimestres
ln ( 1 + i ) ln ( 1 + 0.4/4 )
n = ? trimestres
i = 10% trimestral
3 * P
P

39. Una inversión ofrece una tasa del 40% con capitalización mensual y otra
ofrece el 45% con capitalización trimestral. ¿Cuál prefiere usted?
(analice un año).
(a) F = $1 * ( 1 + 0.4/12 )12 = $1.4821
(b) F = $1 * ( 1 + 0.45/4 )4 = $1.5318
La mejor opción es la tasa del 45% con capitalización trimestral.

40. Tópicos
Tasa efectiva
1
1 








m
n
e
m
r
r
Tasas equivalentes, si
1
1
1
1 2
1

















b
n
a
n
b
r
a
r

41. Tópicos
Perpetuidad
r
A
P 
Perpetuidad creciente a tasa g
g
r
A
P



42. Tópicos
Gradiente aritmético
Equivalente uniforme de anualidad que se da durante n periodos, que
crece G unidades monetarias cada periodo, empezando de cero en t=1
  









1
1
1
1
n
r
r
G
A

43. Tópicos
Gradiente geométrico



















n
r
g
g
r
A
P
1
1
1
1

44. Tópicos
Demostración de la fórmula de anualidades
Sea
   n
r
A
r
A
r
A
P







1
1
1 2

r
x


1
1
 
1
2
1 




 n
x
x
x
Ax
P 

45. Tópicos
Dado que
   n
n
x
x
x
x
x 





 
1
1
1 1
2

x
x
Ax
P
n



1
1
 
r
r
r
r
A
r
r
r
A
P
n
n

























1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

46. Tópicos
Resulta
  







 n
r
r
A
P
1
1
1

47. Tópicos
Perpetuidad. Partimos de:
  







 n
r
r
A
P
1
1
1
Si n  , el segundo término dentro de paréntesis cuadrados
desaparece

48. Tópicos
Anualidad desde perpetuidades
 n
r
r
A
r
A
P



1
1
  







 n
r
r
A
P
1
1
1