Introducción DEA enfoque intuitivo

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Introducción: enfoque intuitivo
Retorno constante a escala (enfoque de insumos)
Retorno variable a escala y eficiencias de escala (enfoque de insumos)
Rendimiento no creciente a escala (enfoque de insumos)
DEA con enfoque de producto
Data Envelopment Analysis (DEA)
Clase 6 - conceptos básicos
Mauro Orlando Gutiérrez Mart´ınez
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
gutierrez mauro@hotmail.com
abril 2018
Mauro Orlando Gutiérrez Mart´ınez DEA - Introducción

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Contenido
1 Introducci´on: enfoque intuitivo
2 Retorno constante a escala (enfoque de insumos)
3 Retorno variable a escala y eﬁciencias de escala (enfoque de
insumos)
4 Rendimiento no creciente a escala (enfoque de insumos)
5 DEA con enfoque de producto

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Contenido
1 Introducci´on: enfoque intuitivo
2 Retorno constante a escala (enfoque de insumos)
3 Retorno variable a escala y eﬁciencias de escala (enfoque de insumos)
4 Rendimiento no creciente a escala (enfoque de insumos)
5 DEA con enfoque de producto

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Concepto intuitivo de eficiencia
Medición de eficiencia.
La medida de eficiencia más recurrente es el ratio entre el producto
y los insumos:
output
input
(1)
Cuando se considera un solo ´ınput en relación a uno de los insumos,
se le denomina productividad parcial, como por ejemplo: producto
por trabajador.
Cuando estamos en un entorno de M productos y N insumos, se
busca establecer un ratio agregado, al que se denomina ”Productivi-
dad Total de Factores”.

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Caso: un insumo y un solo producto
Sup´ongase que hay 8 tiendas, con los siguientes resultados:
Figura 1: Caso: Un solo insumo, un solo insumo

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¿Por qué no usar OLS para determinar la frontera
eficiente?
Figura 3: L´ınea de regresión vs L´ınea de la frontera eficiente

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¿Cuál tienda es la más eficiente?
La eficiencia en relación a la empresa B, se mide como:
0 ≤
Venta por empleados de las otras
Ventas por empleado de B
≤ 1
Dada esta relación:
1 = B > E > D > C > H > A = G > F = 0.4
Figura 4: Eficiencia

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¿Cómo alcanzar la eficiencia?
Para la empresa A, puede alcanzar a la frontera eficiente, reduciendo
los insumos (A1) o incrementando el nivel de producción (A2).
En general cualquier punto en el segmento A1A2, al permitir reducir
el uso de insumos y aumentar el producto.

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Caso: dos insumos y un solo producto
Figura 5: Caso 2 input y 1 producto

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Caso: dos insumos y un solo producto
La eficiencia de las tiendas que no se encuentran en la frontera
pueden ser medidas en relación a la distancia de esta.
Por ejemplo, la eficiencia de la firma A se se define como:
OP
OA
= 0.8571
Figura 6: Medición de eficiencia y
mejora de la eficiencia

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Caso: Un insumo y 2 productos
Figura 7: caso: un insumo y 2 productos

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Las empresas A, C y D son ineﬁcientes y sus eﬁciencias pueden ser
referidas a las l´ıneas de las frontera.
Para el caso de la empresa D:
d(O, D)
d(O, P)
= 0.75

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d(O, D) =
2
42 + 32 = 5
d(O, P) =
2 16
3
2
+ 42 =
20
3
d(O, D)
d(O, P)
=
5
(20/3)
= 0.75

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Nótese que puede surgir otra ineficiencia si se observa un
comportamiento ineficiente en los insumos o en los productos.
Obsérvese los puntos A, Q y B.
La eficiencia del punto A se medir´ıa como:
d(O, a)
d(O, Q)
= 0.714
Como se aprecia moverse de B a Q no mejora la producción,
por lo que el punto Q no es eficiente.

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Modelo CCR (Charnes, Cooper y Rhodes)
Para cada DMU se forma un insumo virtual y un producto
virtual:
Insumo virtual = v1x1o + ... + vmxmo
Producto virtual = u1y1o + ... + usyso
El modelo busca a trav´es de la programaci´on lineal maximizar
el ratio
Insumo virtual
Producto virtual
Debe notarse que los ponderadores (tanto de los insumos,
como del producto) var´ıan para cada DMU.

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Modelo CCR
Formulaci´on
Dado:
DMUo, donde o = 1, 2, ..., n
vi es el ponderador de los insumos, donde i = 1, ..., m
ur es el ponderador de los productos, donde r = 1, ..., s
El problema para la unidad DMOo queda deﬁnido como:
max
u,v
θ =
u1y1o + u2y2o + ... + usyso
v1x1o + v2x2o + ... + vmxmo
(2)
s.a.
u1y1j + ... + usysj
v1x1j + ... + vmxmj
≤ 1 (j = 1, ..., n)
v1, v2, ..., vm ≥ 0
u1, u2, ..., um ≥ 0

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Modelo CCR
Formulaci´on
El problema anterior puede ser reexpresado como:
max
u,v
θ = u1y1o + u2y2o + ... + usyso (3)
s.a.
v1x1o + ... + vmxmo = 1
u1y1j + ... + usysj ≤ v1x1j + ... + vmxmj
(j = 1, ..., n)
v1, v2, ..., vm ≥ 0
u1, u2, ..., um ≥ 0

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Eficiencia en el modelo CCR
Una DMUo es CCR-eficiente si θ∗
= 1 y existe al menos un óptimo
(v∗
, u∗
), con v∗
> 0 y u∗
> 0.
En otro caso, DMUo es CCR-ineficiente.
En el caso de las DMUo ineficientes (θ < 1), existen algunas inecuaciones
que se satisfacen con igualdad.
Eo = j :
s
r=1
u∗
r yrj =
m
i=1
v∗
i xij (4)
El conjunto Eo de Eo, compuesto por las DMU eficientes, se llaman
conjunto de referencia o peer group del DMUo.

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Ejemplo 1: Caso 1 insumo y 1 producto
Resolviendo para la DMU A:
max θ = u (5)
s.a.
2v = 1
u ≤ 2v; 3u ≤ 3v; 2u ≤ 3v
3u ≤ 4v; 4u ≤ 5v; 2u ≤ 5v
3u ≤ 6v; 5u ≤ 8v
La solución óptima está definida por v∗
= 0.5; u∗
= 0.5; θ∗
= 0.5. El conjunto
de referencia de A es EA = {B}

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Resolviendo para la DMU B:
max θ = 3u (6)
s.a.
3v = 1
u ≤ 2v; 3u ≤ 3v
2u ≤ 3v; 3u ≤ 4v
4u ≤ 5v; 2u ≤ 5v
3u ≤ 6v; 5u ≤ 8v
= 0.3333; u∗
= 0.3333; θ∗
= 1. El
conjunto de referencia de B es EB = {B}

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Ejemplo 2: caso 2 insumos y 1 producto
El problema de optimizaci´on del DMU A es:
max θ = u (7)
s.a.
4v1 + 3v2 = 1
u ≤ 4v1 + 3v2; u ≤ 7v1 + 3v2; u ≤ 8v1 + v2
u ≤ 4v1 + 2v2; u ≤ 2v1 + 4v2; u ≤ 10v1 + v2
1 = 0.1429; v∗
2 = 0.1429;
u∗
= 0.8571 y θ∗
= .8571. El conjunto de referencia de A es
EA = {D, E}

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El problema de optimizaci´on del DMU B es:
max θ = u (8)
s.a.
7v1 + 3v2 = 1
u ≤ 4v1 + 3v2; u ≤ 7v1 + 3v2
u ≤ 8v1 + v2; u ≤ 4v1 + 2v2
u ≤ 2v1 + 4v2; u ≤ 10v1 + v2
1 = 0.0526; v∗
2 = 0.2105;
u∗ = 0.6316 y θ∗ = 0.6316. El conjunto de referencia de B es
EB = {C, D}

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El problema de optimizaci´on del DMU F es:
max θ = u (9)
s.a.
10v1 + v2 = 1
u ≤ 4v1 + 3v2; u ≤ 7v1 + 3v2
u ≤ 8v1 + v2; u ≤ 4v1 + 2v2
u ≤ 2v1 + 4v2; u ≤ 10v1 + v2
1 = 0; v∗
2 = 1; u∗
= 1 y
θ∗
= 1. El conjunto de referencia de F es EF = {F}
Sin embargo, dado que v∗
1 = 0, se asigna un valor peque˜no v1 = y
se observa los cambios en θ∗
.
Por tanto 10 + v2 = 1, ello implica v2 = 1 − 10 .

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Reemplazando dicha expresión en las inecuaciones, tenemos:
u ≤ 3 − 26 ; u ≤ 3 − 23
u ≤ 1 − 2 ; u ≤ 2 − 16
u ≤ 4 − 38 ; u ≤ 1
Nótese que al ser positivo y pequeño, el m´ınimo valor del lado derecho
es 1 − 2 . Ello implica:
u = 1 − 2
(10)
Por lo tanto, si ≥ 0, ello implica θ∗
= 1 − 2 < 1. Por lo tanto F no es
CCR-eficiente.

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DEA Retornos constantes a escala
El DEA puede interpretarse bajo la forma de una ratio. Para cada
ﬁrma, se estima el ratio u qi /v xi , donde u es vector de producto
Mx1 y v es un vector de insumos Nx1.
max
u,v
u qi /v xi
s.a.
u qi /v xj ≤ 1; j = 1, 2, ..., I
u, v, ≥ 0

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Un problema con la formulación anterior, es la existencia de un
número infinito de soluciones. Para ello se impone la restricción
v xi = 1:
max
µ,v
µ qi
s.a.
v xi = 1
µ qj − v xj ≤ 0, j = 1, 2, ..., I
µ, v ≥ 0

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Enfoque Dual
min
θ,λ
θ (11)
s.a.
−qi + Qλ ≥ 0
θxi − Xλ ≥ 0
λ ≥ 0,
Donde
θ es un escalar y λ es un vector Ix1 es un vector de constantes.
Q: matriz de producto Mx1
X: matriz de insumos Nx1
I: Número de firmas
El valor θ, es calculado para firma y representa el nivel de eficiencia. La función
de producción asociada a la ecuación 11, puede ser definida como
T = {(x, q) : q ≤ Qλ, x ≥ Xλ}.

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Enfoque Dual
Las firmas C y D son parte de la frontera eficiente, mientras que las
empresas A y B están en la zona ineficiente.
La medida de eficiencia de la empresa B es OB /OB, mientras que,
la medida de eficiencia de la empresa A es OA /OA.
No obstante resulta cuestionable la medida de A, desde que se puede
reducir el uso del insumo x2 (CA’). Esto es conocido como el ”input
slack”.

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Slack input y slack output
Para la ﬁrma i:
- No existe output slack si Qλ − qi = 0.
- No existe input slack si θxi − Xλ = 0.
- Dado los niveles ´optimos de θ y λ.

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Ejemplo
Figura 8: Datos - ejemplo 1

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Ejemplo: optimizaci´on para la DMU 3
min
θ,λ
θ,
q1 q2 q3 q4 q5
Q






λ1
λ2
λ3
λ4
λ5






λ
− q3
qi
≥ 0
θ
x13
x23
xi
−
x11 x12 x13 x14 x15
x21 x22 x23 x24 x25
X






λ1
λ2
λ3
λ4
λ5






λ
≥ 0
λ1, λ2, λ3, λ4, λ5 ≥ 0

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Ejemplo: optimizaci´on para la DMU 3
min
θ,λ
θ,
(q1λ1 + q2λ2 + q3λ3 + q4λ4 + q5λ5) − q3 ≥ 0
θx13 − (x11λ1 + x12λ2 + x13λ3 + x14λ4 + x15λ5) ≥ 0
θx23 − (x21λ1 + x22λ2 + x23λ3 + x24λ4 + x25λ5) ≥ 0
λ1, λ2, λ3, λ4, λ5 ≥ 0

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DEA CRS con STATA
Comando STATA para DEA.
x1 x2 = q

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DEA con STATA
La firma 3, tiene la posibilidad de reducir sus insumos en
16.7% sin reducir el nivel de producción.
Las firmas 2 y 5 son referencias para la empresa 3, las cuales
configuran el punto 3’ con los λ óptimos.
La firma 1 es eficiente al 50% y adicionalmente, puede reducir
el uso de 0.5 unidades de x2 por unidad de q.

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DEA con STATA
Resultado gráfico
Figura 9: Resultado gráfico - DEA. Coelli (2005).

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Modelo VRS - rendimiento variable a escala
min
θ,λ
λ
s.a.
−qi + Qλ ≥ 0
θxi − Xλ ≥ 0
I1 λ = 1
λ ≥ 0
Donde I1 es un vector Ix1 de unos.
La restricción I1 λ = 1 asegura que las ineficiencias se
comparen con empresas de tamaño similar.

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Cálculo de eficiencias de escala
Figura 10: Medida de eficiencia de escala en DEA

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Cálculo de eficiencias de escala
Figura 11: Medida de eficiencia de
escala en DEA (Coelli 2005
TECRS = APC /AP (12)
TEVRS = APV /AP (13)
SE = APC /APV (14)
Donde:
TECRS = TEVRS · SE (15)
Por tanto, la eficiencia CRS,
puede ser descompuesta en
eficiencia técnica pura y
eficiencia de escala.

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Rendimiento no creciente a escala
min
θ,λ
λ
s.a.
−qi + Qλ ≥ 0
θxi − Xλ ≥ 0
I1 λ ≤ 1
λ ≥ 0

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Ejemplo 2 - rendimiento variable a escala
Figura 12: VRS orientado a insumos

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Ejemplo 2 - rendimiento variable a escala
Figura 13: VRS orientado a insumos
TECRS =2/4=0.5
TEVRS =2.5/4=0.625
SE = TECRS /TEVRS =
0.5/0.625=0.8

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DEA VRS con STATA
Comando STATA para DEA.
dea x = q, rts(vrs) ort(in)

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min
θ,λ
φ
s.a.
−φqi + Qλ ≥ 0
xi − Xλ ≥ 0
I1 λ = 1
λ ≥ 0
Donde 1 ≤ φ ≤ ∞ y φ−1 es el incremento proporcional en productos
que puede ser logrado por la empresa i, con los insumos constantes.
La expresión 1/φ define el score de eficiencia que va entre 0 y 1.

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Figura 14: DEA orientado a productos
En el caso de la proyecci´on OP, el segmento PA deﬁne el slack en
el producto q1.

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Referencias
Cooper, W.; Seiford, L. and Tone, K. (2006)
Data Envelopment Analysis: a comprehensive text with models, applications,
references and DEA-solver software. Springer edition, 2007.
Coelli, T.; Sai, D. , Rao, P.,O’Donnell C. y Battese, G. (2005)
An introduction to eﬃciency and productivity analysis. Cap 6. Springer edition,
2005.

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