Modelo Base para el análisis de problemas económicos de información.

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Introducci´on
Modelo base
Modelo base para an´alisis de los problemas de
informaci´on
Informaci´on asim´etrica
Mauro Orlando Guti´errez Mart´ınez
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
gutierrez mauro@hotmail.com
enero 2018
Mauro Orlando Guti´errez Mart´ınez Modelo Base

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Introducci´on
Modelo base
Contenido
1 Introducci´on
2 Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Mauro Orlando Guti´errez Mart´ınez Modelo Base

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Introducci´on
Modelo base
El problema del riesgo moral
La parte que posea la ventaja inform´ativa intentar´a utilizarla en su
provecho. Se asume que el comportamiento del agente no es
observable para el principal, o que, aun si´endolo observable, no es
verificable. La no verificabilidad del esfuerzo, tiene como
consecuencia que ´este no pueda ser incluido en los t´erminos del
contrato.
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base (1)
Se asume que toda la informaci´on es verificable.
El resultado es una variable aleatoria y que el contrato solo depende
de variables verificables.
El principal elige la cantidad de esfuerzo e que demandar´a del
agente y el salario que pagar´a acorde al resultado [w(xi )]i=1,...,n
La soluci´on eficiente se obtiene de resolver el siguiente problema:
max
e,[w(xi )]i=1,...,n
n
i=1
pi (e)B(xi − w(xi )) (1)
s.a
n
i=1
pi (e)u(w(xi )) − v(e) ≥ U
La restricci´on del problema de maximizaci´on, se denomina como
restricci´on de participaci´on del agente.
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de salario ´optimo
∂L
∂w(xi )
(w0
(xi ), e0
, λ0
) = (2)
−pi (e0
)B (xi − w0
(xi )) + λ0
pi (e0
)u (w0
(xi )) = 0
De all´ı se deduce que:
λ0
=
B (xi − w0
(xi ))
u (w0(xi ))
, para ∀i ∈ 1, 2, ..., n (3)
N´otese que el multiplicador no tendr´a un valor de 0 (dados los supuestos
de las funciones B y u, por lo que la restricci´on de participaci´on se
cumple con igualdad.
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de salario ´optimo
Mecanismos de pagos ´optimos
Del resultado anterior, se obtiene:
B (xi − w0
(xi ))
u (w0(xi ))
= c (4)
El cociente de las utilidades marginales del principal y del agente,
debe ser el mismo, cual fuera el resultado final.
Asumiendo 2 resultados x1, x2, la ecuaci´on anterior puede
expresarse como (tangencia de las curvas):
B (x2 − w2)
B (x1 − w1)
=
u (w2)
u (w1)
(5)
Lo anterior, junto con la restricci´on de participaci´on con igualdad,
definen el equilibrio:
2
i=1
pi (e)u(w(xi )) − v(e) = U (6)
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de salario ´optimo
Mecanismos de pagos ´optimos (an´alisis gr´afico)
Figure: Equilibrio entre el agente y el principal
Las rectas [OA, A] y [OB , B] representan los sucesos seguros para el
agente y el principal respectivamente, por tanto, la soluci´on ´optima lleva
a los participantes a repartir los riesgos, si ambos son adversos al riesgo.
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de salario ´optimo
Principal neutral al riesgo
Si el principal es neutral al riesgo ⇒ B (.) = cte
Lo anterior implica que:
u (w0
(xi )) = u (w0
(xj )) ⇒ w0
(xi ) = w0
(xj ) (7)
Es decir, en el contrato ´optimo, el agente recibe un pago
independiente del resultado:
w0
(x1) = w0
(x2) = ... = w0
(xn) (8)
Dada la restricci´on de participaci´on:
w0
= u−1
(U + v(e0
)) (9)
El principal asume todo el riesgo, y el salario depende del esfuerzo
solicitado.
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de salario ´optimo
Principal neutral al riesgo (2)
Figure: Equilibrio entre el agente y el principal neutral al riesgo
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de salario ´optimo
Agente neutral al riesgo
Si el agente es neutral al riesgo u (.) = cte y el principal es adverso
(B (.) < 0), la soluci´on ´optima implica:
B (xi − w0
(xi )) = cte ⇒
x1 − w0
(x1) = x2 − w0
(x2) = ... = xn − w0
(xn) = k (10)
El salario oscila dependiendo del estado, por tanto el agente asume
todo el riesgo.
w0
(xi ) = xi − k (11)
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de salario ´optimo
Agente neutral al riesgo
Para que la restricci´on de participaci´on se cumpla se requiere que:
n
i=1
pi (e0
)[xi − k] = U + v(e0
) ⇔
k =
n
i=1
pi (e0
)[xi − k] − U − v(e0
) (12)
k puede ser interpretado como el valor al que el principal vende su
posici´on al agente. Para ello, el pago es igual al valor esperado,
menos la utilidad de reserva y la desutilidad del esfuerzo.
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de salario ´optimo
Agente y principal adversos al riesgo
De la condici´on de Kuhn-tucker se tiene:
−B (xi − w0
(xi )) + λ0
u (w0
(xi )) = 0 (13)
Dado que el principal y el agente son adversos al riesgo se
tiene:
−B 1 −
dw0
dxi
+ λ0
u
dw0
dxi
= 0 (14)
Sustituyendo λ0 =
B (xi − w0(xi ))
u (w0(xi ))
Podemos reescribir la ecuaci´on anterior por:
−
B
B
1 −
dw0
dxi
+
u
u
dw0
dxi
= 0 (15)
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de salario ´optimo
Agente y principal adversos al riesgo
Sea rp = −
B
B
y ra = −
u
u
, los coeficientes de adversi´on al
riesgo del principal y del agente.
La variabilidad del salario puede reescribirse como:
dw0
dxi
=
rp
rp + ra
∈ (0, 1) (16)
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de salario ´optimo
Agente y principal adversos al riesgo
¿Los contratos lineales son eficientes?
w0
(xi ) = c + bxi (17)
Para que sean eficientes se requiere:
rp
rp + ra
= b ⇒ rp = cte y ra = cte (18)
Por tanto, se requerir´ıa como caso especial que:
u(w) = −k.exp(−raw) (19)
B(x) = −h.exp(−rpx) (20)
Aun cuando se cuente con informaci´on sim´etrica, los contratos
dif´ıcilmente son lineales.
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de esfuerzo ´optimo
Casos
Caso 1: Se asume que el principal es neutral al riesgo y que el agente es adverso.
Como se sabe bajo dichos supuestos, el salario es constante, pero depende del esfuerzo
del agente.
w0
= u−1
(U + v(e)) (21)
El problema del principal por tanto se reduce a:
max
e
n
i=1
pi (e)xi − u−1
(U + v(e)) (22)
La condici´on de primer orden implica, que si existe soluci´on interior en e0, este se
alcanza en:
n
i=1
pi (e0
)xi = (u−1
) (U + v(e0
))v (e0
) =
v (e0)
u (w0)
(23)
En equilibrio, el incremento marginal del ingreso debe ser igual al costo marginal de
incremento en el salario.
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de esfuerzo ´optimo
Caso 1
Para que exista un m´aximo se requiere:
n
i=1
pi (e0
)xi +
u (w0)
(u )3
v (e0
)2
−
v (e0)
u (w0)
≤ 0 (24)
Por lo tanto para asegurar el m´aximo solo se necesita:
n
i=1
pi (e0
)xi ≤ 0 (25)
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Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de esfuerzo ´optimo
Supuestos del modelo
Figure: Salario y esfuerzo de equilibrio - representaci´on 1
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de esfuerzo ´optimo
Supuestos del modelo
Otra forma de representar el equilibrio es considerando la ecuaci´on
de participaci´on:
Figure: Salario y esfuerzo de equilibrio - representaci´on 2
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Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de esfuerzo ´optimo
Caso 2
Caso 2: Principal adverso al riesgo y principal neutral. En este caso se
sabe que:
w0
(xi ) = xi − k (26)
De este modo el problema de maximizaci´on puede expresarse como:
max
e
n
i=1
pi (e)xi − v(e) (27)
Por tanto el equilibrio se alcanza en:
n
i=1
pi (e0
)xi = v (e0
) (28)
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Introducci´on
Modelo base
Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Modelo Base: El nivel de esfuerzo ´optimo
Caso 2
Requiri´endose para que exista m´aximo local que:
n
i=1
pi (e0
)xi − v (e0
) ≤ 0 (29)
Por tanto al igual que para el caso 1, se requiere como condici´on
suficiente que:
n
i=1
pi (e0
)xi ≤ 0 (30)
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Nivel de salario ´optimo
Nivel de esfuerzo ´optimo
Referencias
Macho, Ines y P´erez, David (1994)
Introducci´on a la econom´ıa de la informaci´on, cap´ıtulo 3. Editorial Ariel
S.A.
Mauro Orlando Guti´errez Mart´ınez Modelo Base