Anillos con potencia y el teorema de Wedderburn para anillos de división finitos

59

Abstraction and Application, Vol. 1, (2009), 59-71.

El teorema de Wedderburn para anillos de divisiń finitos
o
Roger Pacheco, Efrń P´rez*
e
e
Facultad de Ingenier´ Facultad de Matem´ticas
ıa,
a

Universidad Autńoma de Yucatń
o
a
*jperezt@uady.mx
Abstract

The proof of the classical Wedderburn’s theorem on finite division rings is motivated through abstract
algebra exercises.
Resumen
Uno de los teoremas de Wedderburn nos dice que si D es un anillo de divisiń finito entonces D es
o
un campo; en este escrito motivamos dicho resultado resolviendo ejercicios cl´sicos de ´lgebra moderna
a
a
y desarrollamos con detalle una prueba del teorema de Wedderburn.

Keywords and phrases : Anillos de divisiń finitos, campos, anillos con potencia, conmutatividad, Wedderburn.
o
2010 M athematics Subject Classif ication 1600, 1601.

1.

Introducciń
o

Uno de los algebristas m´s importantes de la historia fue el escoc´s Joseph Henry MacLagan Weddera
e
burn (2 de febrero de 1882 - 9 de octubre de 1948). Entre sus principales resultados ([MH]) estń una
a
parte del conocido Teorema de Wedderburn-Artin acerca de ´lgebras semi-simples, el “Teorema principal de
a
Wedderburn” (de acuerdo con [Ro]) que nos dice que si R es una k−´lgebra de dimensiń finita con k un
a
o
campo perfecto entonces R ∼ S ⊕ rad(R) como S − S−bim´dulos y S una k−´lgebra semisimple, as´ como
o
a
ı
=
el teorema que queremos mostrar en este texto, el cual tambiń puede ser encontrado con el nombre de
e
“Teorema pequeõ de Wedderburn”. Adem´s Jacobson [Ja] menciona que Wedderburn cre´ los anillos de
n
a
o
polinomios oblicuos (skew polynomial rings) al mismo tiempo que Oystein Ore [O].
Es interesante que Nathan Jacobson, precisamente el creador del radical de Jacobson, fue el alumno m´s
a
famoso de Wedderburn (ver [MGP]).
Uno de los alumnos de Jacobson fue Louis Halle Rowen cuyos libros “Ring Theory” siguen siendo una
referencia obligada.
El teorema de Wedderburn de 1905 (ver [M]) establece que todo anillo de divisiń finito es un campo; a
o
primera vista es curioso que la finitud y la posibilidad de dividir por elementos distintos de cero impliquen
que la multiplicaciń del anillo sea conmutativa.
o
En este escrito vamos a dar una prueba detallada del mencionado teorema, aunque comenzaremos probando que, para una infinidad de naturales n, el que un anillo tenga potencia n implica que dicho anillo es
conmutativo.
Como un ejemplo de los anillos que estudiaremos, suponga que R es un anillo arbitrario que satisface
2
x2 = x para toda x en R. Afirmamos que R es conmutativo; sea x ∈ R, entonces 2x = (2x) = 4x2 = 4x


60

por lo cual 2x = 0. En particular esto implica x = −x para toda x ∈ R. Por otro lado, dados x, y ∈ R
arbitrarios, tenemos que
x + y = (x + y)2 = x2 + xy + yx + y 2 = x + xy + yx + y
luego xy + yx = 0. Por lo tanto xy = −yx = yx para toda x, y en R, esto es, R es conmutativo. Como el
lector recordar´ este es un ejercicio cl´sico de de los cursos de ´lgebra moderna.
a
a
a
La intenciń de dedicar la segunda secciń a los anillos con potencia es motivar el teorema de Wedderburn
o
o
y de pasada resolver varios ejercicios que comńmente se ven en el curso de ´lgebra moderna, por lo que el
u
a
presente escrito puede ser de utilidad en el aula.
En la tercera secciń estudiamos dos casos de anillos de divisiń que tambiń son anillos con potencia,
o
o
e
con la intenciń de mostrar como usar la teor´ de campos en el resultado principal.
o
ıa
En la cuarta secciń se da una de las pruebas cl´sicas del teorema de Wedderburn.
o
a
Existe una generalizaciń de Jacobson hasta anillos acotados (todo anillo con potencia es un anillo
o
acotado) la cual puede encontrar el lector en [He].
Por lo general R denotar´ un anillo. En este escrito los anillos no necesariamente tienen unitario. Si un
a
anillo R tiene unitario 1R = 0R entonces denotamos por R× al grupo de las unidades de R; si R es un anillo
de divisiń entonces R× = R − {0}.
o

2.

Anillos con potencia

Definiciń 2.1 Sea R un anillo. Un entero n > 1 es una potencia del anillo R si xn = x para toda x ∈ R.
o
Denotamos por P t(R) al conjunto de todas las potencias del anillo R y si P t(R) = ∅ entonces decimos que
R es un anillo con potencia.

Observaciń 2.2 N´tese que un anillo con potencia puede tener varias potencias; de hecho, si n ∈ P t(R)
o
o
entonces n2 ∈ P t(R).

Ejemplo 2.3 Es fćil verificar que todo anillo de divisiń finito es un anillo con potencia. Por otro lado,
a
o
consideremos el anillo R = F2 × F2 × ... = ×i∈N F2 , donde F2 es el campo con 2 elementos: R es un anillo
infinito, no es un dominio y P t(R) = N − {1}.
En la introducciń mostramos que si 2 es potencia del anillo R entonces R es conmutativo. Es bien
o
conocido que si R es un anillo con potencia entonces R es conmutativo [He]; en este escrito no haremos
la prueba completa, pero s´ veremos que para algunas n particulares, los anillos R con potencia tales que
ı
n ∈ P t(R) son conmutativos. Para lograrlo vamos a obtener algunos resultados acerca de los anillos con
potencia.
Lema 2.4 Sea R un anillo con potencia y sean x, y ∈ R. Si xy = 0 entonces yx = 0.
Demostraciń. Como R es un anillo con potencia existe n ∈ P t(R), luego yx = (yx)n y tenemos que
o
yx = (yx)(yx) · · · (yx) = y(xy) · · · (xy)x.
Por definiciń n > 1, as´ que el factor xy aparece al menos una vez; como xy = 0 entonces yx = 0.
o
ı

61


Definiciń 2.5 Recordemos que x ∈ R es un elemento idempotente si satisface la identidad x2 = x. Por
o
otro lado, el centro de un anillo, que denotaremos por Z(R), es por definiciń el conjunto
o
Z(R) = {x ∈ R|xy = yx para toda y ∈ R}.
Es fćil verificar que Z(R) es un subanillo de R.
a

Lema 2.6 Sea R un anillo con potencia. Si y es un elemento idempotente en R entonces y ∈ Z(R).
Demostraciń. Sea y un idempotente en R y sea x un elemento arbitrario de R.
o
y(yx − x) = (y)2 x − yx = yx − yx = 0; por el lema 2.4 tenemos que (yx − x)y = 0, por lo tanto
yxy = xy.
De manera similar, (xy − x)y = 0, por lema 2.4 se sigue que y(xy − x) = 0, luego yxy = yx.

Hemos probado que xy = yx para toda x en R, as´ que y ∈ Z(R).
ı

Lema 2.7 Sea R un anillo con potencia y sea n ∈ P t(R) entonces:
1. xn−1 es idempotente.
2. Si u ∈ N y u = t(n − 1) + r, con t ≥ 0 y 0 < r ≤ n − 1, entonces xu = xr .
Demostraciń.
o
1. Si n = 2 entonces x = x2−1 es idempotente. Si n > 2 entonces xn−1
luego xn−1 es idempotente.

2

= xn xn−2 = xxn−2 = xn−1 ,
t

2. Supongamos que u = t(n − 1) + r con 0 < r ≤ n − 1. Luego xu = xt(n−1)+r = xt(n−1) xr = xn−1 xr ,
como xn−1 es idempotente entonces xu = xn−1 xr ; si r = 1 nos queda que xn−1 xr = xn = x = xr ,
mientras que si r > 1 obtenemos que xn−1 xr = xn xr−1 = xxr−1 = xr .

Observaciń 2.8 En la demostraciń anterior hemos evitado los exponentes cero, pues la expresiń x0
o
o
o
puede no tener sentido cuando no hay elemento unitario en R.

Con las herramientas desarrolladas trabajaremos algunos casos, esto es, suponiendo que n ∈ P t(R) para
algunas n particulares. Tambiń veremos que esta herramienta no es suficiente para probar el caso general,
e
dado que cada uno de los casos que a continuaciń presentamos utilizan m´todos distintos y conforme n
o
e
crece la dificultad tambiń.
e
Ejercicio 2.9 Si 3 ∈ P t(R) entonces R es conmutativo.
Demostraciń. Como 3 es potencia del anillo R entonces x3 = x para toda x en R. Sea x en R, note que
o
x2 es idempotente para toda x en R por el lema 2.7. Sean x, y ∈ R arbitrarios, luego
xy = (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = x(yx)(yx)y = x(yx)2 y,


62

como (yx)2 , x2 , y 2 son idempotentes entonces por el lema 2.6 x2 , y 2 , (yx)2 ∈ Z(R), por lo cual
xy = x(yx)2 y = xy(yx)2 = xyyxyx = xy 2 xyx = y 2 x2 yx = y 3 x3 = yx,
luego R es conmutativo.

Observaciń 2.10 Sea R un anillo, decimos que R tiene caracter´
o
ıstica n, si n es el entero positivo m´
ınimo
tal que na = 0 para toda a ∈ R. Si no existe tal entero decimos que R tiene caracter´
ıstica cero. Denotaremos
la caracter´
ıstica de un anillo R por car(R).

Lema 2.11 Si n par es una potencia del anillo R entonces car(R) = 2.
Demostraciń. Dado x ∈ R, x = xn y (−x)n = −x, como n es par entonces xn = (−x)n por lo cual 2x = 0,
o
de donde se sigue que R tiene caracter´
ıstica 2 (a menos que R = {0} pero este caso carece de inter´s).
e

Ejercicio 2.12 Sea R un anillo. Si 4 ∈ P t(R) entonces R es conmutativo.
Demostraciń. Como la potencia de R es par, por el lema 2.11 R tiene caracter´
o
ıstica 2. Luego
(x + x2 )2 = x2 + 2x3 + x4 = x2 + x,
es decir que x + x2 es idempotente, as´ que por el lema 2.6 x + x2 ∈ Z(R) para toda x ∈ R. Entonces, si
ı
x, y ∈ R tenemos que (x + y) + (x + y)2 , x + x2 , y + y 2 ∈ Z(R). Como Z(R) es un subanillo de R se sigue
que (x + y) + (x + y)2 − (x + x2 ) − (y + y 2 ) ∈ Z(R); simplificando obtenemos
xy + yx = (x + y) + (x + y)2 − (x + x2 ) − (y + y 2 ) ∈ Z(R).
En consecuencia
x2 (x2 y + yx2 ) = (x2 y + yx2 )x2 ,
o equivalentemente x4 y = yx4 , es decir que xy = yx; R es conmutativo.

Demostraciń. Como x5 = x para toda x ∈ R, tenemos que 2x = (2x)5 = 32x5 = 32x, esto es,
o
30x = 0 para toda x ∈ R.

(2.1)

Por otro lado, por el lema 2.7 x4 es idempotente por lo cual, usando el lema 2.6, x4 ∈ Z(R) para toda x. De
aqu´
ı
(x + x3 )4 = x4 + 4x6 + 6x8 + 4x10 + x12 ∈ Z(R)
pero usando el lema 2.7 tenemos que x6 = x10 = x2 , x8 = x12 = x4 , luego
(x + x3 )4 = x4 + 4x2 + 6x4 + 4x2 + x4 = 8(x4 + x2 ) ∈ Z(R).
Puesto que x4 ∈ Z(R) y Z(R) es un subanillo de R se sigue que
8x2 ∈ Z(R) para toda x ∈ R.

(2.2)


63

De (2.1) y (2.2) obtenemos que
2x2 = 4(8x2 ) ∈ Z(R) para toda x ∈ R.

(2.3)

Por otro lado,
x + x2 = (x + x2 )5 = x5 + 5x6 + 10x7 + 10x8 + 5x9 + x10 .
Usando el lema 2.7 obtenemos que x5 = x9 = x, x6 = x10 = x2 , x7 = x3 , x8 = x4 por lo que
x + x2 = x + 5x2 + 10x3 + 10x4 + 5x + x2
de aqu´ cancelando, 5x2 + 10x3 + 10x4 + 5x = 0, multiplicando la igualdad anterior por 3 y usando (2.1)
ı,
obtenemos 15x2 + 15x = 0, es decir, 15x = −15x2 = 15x2 (usando otra vez (2.1)). Luego (15x)2 = 225x2 =
15x2 , es decir que 15x2 es idempotente por lo cual
15x = 15x2 ∈ Z(R) para toda x ∈ R.

(2.4)

x2 = 15x2 − 7(2x2 ) ∈ Z(R) para toda x ∈ R.

(2.5)

xy + yx = (x + y)2 − x2 − y 2 ∈ Z(R) para toda x, y ∈ R.

(2.6)

De (2.3) y (2.4) se sigue que

Por lo anterior, tenemos que

De la identidad
(x + x2 )4 = x4 + 4x5 + 6x6 + 4x7 + x8 = x4 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4
y de (2.5), tenemos que
4(x + x3 ) = (x + x2 )4 − 2x4 − 6x2 ∈ Z(R),
as´ que por (2.4)
ı
x + x3 = 16(x + x3 ) − 15(x + x3 ) ∈ Z(R).
Luego, por lo anterior tenemos que
[ (x + y) + (x + y)3 − (x + x3 ) − (y + y 3 )] ∈ Z(R),
es decir que
x2 y + xyx + yx2 + y 2 x + yxy + xy 2 ∈ Z(R) para toda x, y ∈ R.

(2.7)

Si en la expresiń (2.7) consideramos −y en lugar de y y el resultado obtenido se lo restamos a la expresiń
o
o
en (2.7) obtenemos que 2(x2 y + xyx + yx2 ) ∈ Z(R) y por (2.4) tenemos que (x2 y + yx2 ) + xyx ∈ Z(R) de
donde, usando (2.6), se sigue que
xyx ∈ Z(R) para toda x, y ∈ R.
(2.8)
Por (2.8), tenemos que yxy ∈ Z(R), luego y(xyx)(yxy)(xyx) = (xyx)(yxy)(xyx)y, as´ que
ı
yx = (yx)5 = (xy)5 = xy
lo cual dice que R es conmutativo.

Demostraciń. Por el lema 2.11, 2x = 0 para toda x en R, as´ que para x en R tenemos que
o
ı
x + x2 = (x + x2 )6 = x6 + 6x7 + 15x8 + 20x9 + 15x10 + 6x11 + x12 = x + x8 + x10 + x12 .
Ahora usamos la observaciń 2.7, para obtener x8 = x3 , x10 = x5 , x12 = x2 luego
o
x + x2 = x + x8 + x10 + x12 = x + x3 + x5 + x2 .

64


Por lo cual x3 + x5 = 0, esto es x3 = −x5 = x5 (pues car(R) = 2). Multiplicando la igualdad anterior por
x3 y reduciendo los exponentes (usando el lema 2.7) obtenemos que x = x3 ; es decir que 3 ∈ P t(R), por lo
que el ejercicio 2.9 nos dice que R es conmutativo.

En el ejercicio previo aparece la idea de disminuir la potencia con la que se est´ trabajando, lo que nos
a
permite tratar con los anillos tales que 2m + 2 ∈ P t(R), pero para ello vamos a necesitar un resultado previo.
2m + 2
n

Lema 2.15 Para 2m + 2, con m ≥ 2, se tiene que los unicos coeficientes binomiales impares de
´

son

2m + 2
0

2m + 2
2

,

2m + 2
2m

,

2m + 2
2m + 2

y

.

Demostraciń. Primero veamos que los unicos coeficientes binomiales impares de 2m con
o
´
m ≥ 1 son

2m
0

2m
2m

y

. Procedamos por inducciń:
o

2
0

i. Para m = 1, los coeficientes binomiales son
2
0

2
2

=1y

,

2
1

2
2

,

, de los que los unicos impares son
´

= 1.

ii. Supongamos como hip´tesis de inducciń que el resultado es v´lido para m = k y demostremos el caso
o
o
a
m = k + 1. Recordemos que los coeficientes binomiales de 2k+1 son los que aparecen en el desarrollo de

(a + b)2

k+1

= (a + b)2

k

2

2k

k

2
i

=
i=0

2
ai b2

k

−i 

.

Usando la identidad
(x0 + x1 + · · · + xl )2 = x2 + x2 + · · · + x2 + 2
1
2
l

xi xj
0≤i<j≤l

obtenemos que
2k

(a + b)2

k+1

=
i=0

k

2
i



2

a2i b2

k+1

−2i

k

2
i

+ 2
0≤i<j≤2k

k

2
j


ai+j b2

k+1

−(i+j) 

.

(2.9)

As´ que por la hip´tesis de inducciń los unicos t´rminos con coeficientes impares en el primer sumando
ı
o
o
´
e
son
2k
0

2

a0 b2

k+1

y

2k
2k

2

a2

k+1

b0 .

Como en el segundo sumando todos los coeficientes son pares se sigue que los unicos t´rminos con
´
e
k
k
coeficientes impares en (2.9) son a2 +1 , b2 +1 y es bien conocido que sus coeficientes son
2k+1
0
respectivamente.

y

2k+1
2k+1

65


Ahora, si m ≥ 2 entonces 2m ≥ 4. As´ en la 2m −´sima fila del trińgulo de Pascal aparecen al menos 5
ı
e
a
posiciones las cuales, viendo el trińgulo de Pascal m´dulo 2 tiene un 1 en la primera y ultima posiciń y
a
o
´
o
ceros en las otras posiciones. A partir de ´sta fila podemos construir la fila 2m + 1 y la fila 2m + 2 para
e
obtener el resultado deseado:

2m
2 +1
2m + 2
m

1

1
0

1 0 ··· 0
1 0 ··· 0
1 0 ··· 0

1
1
1

1
0

1

Proposiciń 2.16 Sea R un anillo. Si para m ≥ 0 se tiene que 2m + 2 ∈ P t(R) entonces R es conmutativo.
o
Demostraciń. Esta afirmaciń es una generalizaciń del caso 6 ∈ P t(R). Por lema 2.11 la caracter´
o
o
o
ıstica
de R es 2 luego, del lema 2.15 tenemos que
x + x2 = (x + x2 )2
m

m

+2

m+1

= x2

m

+2

+ x2

m

+4

+ x2

m+1

+2

+ x2

m+1

+4

= x + x2

m

+4

+ x2

m+1

+2

+ x2 .

m+1

+2
+2
Se sigue que x2 +4 = −x2
= x2
. Usando el lema 2.7 con 2m + 4 = (2m + 1) + 3 y 2m+1 + 2 =
m
(2m + 1) + (2m + 1) obtenemos que x3 = x2 +1 . Multiplicando la igualdad anterior por x, obtenemos x4 = x
para toda x en R, por lo cual 4 ∈ P t(R); se sigue del ejercicio 2.12 que R es conmutativo.

Observaciń 2.17 El caso anterior nos resuelve muchos m´s, por ejemplo:
o
a
Suponga que 12 ∈ P t(R). Sea l ∈ N y x en R. Puesto que x11 es idempotente (por 2.7), se tiene que
l
x12+l(11) = x12 x11 = xx11 = x12 = x; en particular cuando l = 2, x34 = x para toda x en R pero
5
5
34 = 2 + 2 luego 2 + 2 ∈ P t(R): por el caso anterior R es conmutativo.
14 ∈ P t(R). Procediendo del modo an´logo al anterior, podemos ver que x14+13l = x en particular
a
para l = 4, x66 = x para toda x en R pero 66 = 26 + 2 ∈ P r(R).
Potencia de R igual a 20. En este caso x20+(26)19 = x para toda x ∈ R, sin embargo 514 = 29 + 2 ∈
P t(R).

3.

Ejemplos en anillos de divisiń con potencia
o

El desarrollo de la secciń previa puede haber convencido al lector de que vale la pena cambiar el enfoque
o
y primero tratar de resolver la cuestiń de conmutatividad con una hip´tesis m´s restrictiva, por lo que
o
o
a
ahora vamos a trabajar con anillos con potencia que adem´s son anillos de divisiń.
a
o
Definiciń 3.1 R es un anillo de divisiń si es un anillo con elemento unitario y adem´s cada elemento no
o
o
a
cero en R es una unidad, o equivalentemente, el grupo de las unidades de R bajo la multiplicaciń (denotado
o
R× ) es R − {0}.
Observaciń 3.2 Si R es un anillo de divisiń entonces Z(R), el centro de R, es un campo: sabemos que es
o
o
un subanillo conmutativo de R y si x ∈ Z(R) con x = 0 tendremos que xr = rx para toda r ∈ R y despejando
que rx−1 = x−1 r, luego x−1 ∈ Z(R). Notemos que por [Hu, teorema 1.9, p´g. 119] p = car(R) = car(Z(R))
a
y, por este mismo teorema, p = 0 o bien p es un n´mero primo. Luego existe un subcampo F de Z(R) tal
u
que Q ∼ F si p = 0 o bien Fp ∼ F si p > 0, este campo es llamado el campo primo de R. Sin p´rdida de
e
=
=
generalidad, podemos suponer que F = Q o bien F = Fp segń sea el caso.
u

66


Para a = 0 y F el campo primo de R se denota por F (a) el campo generado por F y a y se caracteriza
como
F (a) = {f (a)/g(a)|f (t), g(t) ∈ F [x] con g(a) = 0}
[Hu, teorema 1.3, p´g. 232]. Adem´s si a es ra´ del polinomio g(x) que tiene coeficientes en F , entonces por
a
a
ız
[Hu, teorema 1.6, p´g. 234] F (a) visto como un espacio vectorial sobre F es de dimensiń finita, as´ F (a) ∼ F m
a
o
ı
=
(como F -espacios vectoriales) para algń m ∈ N.
u
En particular, si F es finito y a es ra´ de un polinomio g(x) ∈ F [x] entonces F (a) es finito y tiene pm
ız
elementos donde p = car(R), y F (a) ∼ F m . M´s ań, F (a)× es un grupo c´
a u
ıclico con pm − 1 elementos, por
=
m
lo cual posee un elemento de orden p − 1 (ver [Hu, teorema 5.3, p´g. 279]).
a

Veamos que se puede hacer tras la restricciń de trabajar con anillos de divisiń.
o
o
Observaciń 3.3 Sea R un anillo de divisiń y sea x ∈ R tal que xn = 1 y xm = 1. Entonces xd = 1 donde
o
o
d = (n, m) es el m´ximo comń divisor.
a
u
Ejercicio 3.4 Si R es un anillo de divisiń tal que 7 ∈ P t(R), entonces R es conmutativo.
o
Demostraciń. La hip´tesis implica que x6 = 1 para toda x ∈ R× . N´tese que (2x)7 = 128x = 2x por lo
o
o
o
cual 126x = 0 para toda x luego, por el principio del buen orden, existe un natural p (p = car(R)) m´
ınimo tal
que px = 0 para toda x ∈ R; por lo recordado en la observaciń 3.2 se tiene que p es primo. Por minimalidad
o
de p se puede afirmar que p divide a 126 = 2 · 32 · 7, luego p s´lo puede ser 2, 3 o 7.
o
Como p > 0 es la caracter´
ıstica de R entonces podemos considerar que el campo Fp est´ contenido en R.
a
Si α ∈ R es arbitrario entonces, como α7 − α = 0, se tiene que Fp (α) es un campo finito con pn elementos
para algń n ∈ N.
u
×

Usando los comentarios anteriores y el hecho de que Fp (α) es un grupo c´
ıclico bajo la multiplicaciń,
o
probaremos que R es conmutativo analizando los siguientes casos:
2

Si la caracter´
ıstica de R es 2 y α ∈ R× es arbitrario entonces tenemos que 1 = α6 = α3 . En el anillo
de divisiń R la ecuaciń x2 = 1 tiene unicamente la soluciń x = 1, por lo que α3 = 1 y α4 = α :
o
o
´
o
como α fue arbitrario, tenemos que 4 ∈ P t(R); por ejercicio 2.12 R es conmutativo.
Ahora supongamos que la caracter´
ıstica de R es 3. Ahora tenemos las identidades 1 = α6 = α2
2
3
por lo que α = 1 y α = α : se sigue que 3 ∈ P t(R) y, por el ejercicio 2.9, que R es conmutativo.

3

,

Finalmente supongamos que la caracter´
ıstica de R es 7 y sea α ∈ R× . Entonces F7 (α) tiene 7n elementos
×
y el grupo multiplicativo F7 (α) tiene un elemento de orden 7n − 1. Se sigue que 7n − 1 divide a 6,
luego n = 1. Tenemos as´ que F7 (α) = F7 y α ∈ F7 : se sigue que R = F7 .
ı

Observaciń 3.5 Veamos que podemos decir del caso 8 ∈ P t(R) con las ideas ya mostradas. Sea R un
o
anillo tal que 8 es una potencia de R. Por el lema 2.11 R tiene caracter´
ıstica 2, por lo que el campo primo
×
de R es F2 . Sea α ∈ R× , dado que α8 = α entonces F2 (α) tiene 2n elementos para algń n. Como F2 (α)
u
es c´
ıclico, entonces tiene un elemento β de orden 2n − 1. Puesto que β 7 = 1 tenemos que 2n − 1 divide a 7,
as´ que n = 3.
ı
Como podr´ observar el lector no hemos logrado reducir el an´lisis a un caso ya conocido, por lo que es
a
a
necesario intentar algo nuevo.
A partir de ahora agregaremos la hip´tesis de que R es finito. Para obtener m´s provecho de esta nueva
o
a
restricciń usaremos lo siguiente:
o

67


Lema 3.6 Sean R un anillo de divisiń y a ∈ R. Entonces
o
Ca = {x ∈ R | xa = ax}
es un subanillo de divisiń de R. Adem´s Z(R) ⊆ Ca ⊆ R.
o
a
Demostraciń.
o
Si x ∈ Z entonces xr = rx para toda r ∈ R, en particular xa = ax, luego x ∈ Ca ; se sigue que
Z(R) ⊆ Ca .
Sean x, y ∈ Ca , entonces (x + y)a = xa + ya = ax + ay = a(x + y) por lo cual x + y ∈ Ca . Por otro
lado (xy)a = x(ya) = x(ay) = (xa)y = (ax)y = a(xy) luego xy ∈ Ca .
Sea x ∈ Ca con x = 0, como xa = ax entonces a = x−1 ax, por lo cual ax−1 = x−1 a, esto es, x−1 ∈ Ca .

Ya podemos regresar al caso 8.
Ejercicio 3.7 Sea R un anillo de divisiń finito tal que 8 ∈ P t(R), entonces R es conmutativo.
o
Demostraciń. Para abreviar denotemos por Z al centro de R. Es conocido que Z es un campo que
o
adem´s es una extensiń finita (pues R es finito) de F2 . As´ que Z tiene que ser una extensiń simple, esto
a
o
ı
o
es, Z = F2 (γ) para algń γ ∈ Z (ver [Hu, corolario 5.4, p´g. 279]) y por la observaciń 3.5 Z tiene 2 u 8
u
a
o
elementos. Sea α ∈ R − Z, de la observaciń 3.5 se sigue que F2 (α) tiene 8 elementos.
o
N´tese que F2 (α) ⊆ Cα . Ahora bien, si la contenciń fuera propia, existir´ β ∈ Cα − F2 (α), luego
o
o
ıa
F2 (α, β) es un campo que contiene a F2 , α y β por lo cual contiene propiamente a F2 (α) , as´ que F2 (α, β)
ı
tendr´ m´s de 8 elementos. Por otro lado, ya que F2 (α, β) es finito entonces F2 (α, β) = F2 (δ) ; esto no es
ıa a
posible, pues cualquier campo contenido en R de la forma F2 (δ) tiene a lo m´s 8 elementos, por lo tanto
a
F2 (α) = Cα .
Gracias al argumento desarrollado quedan dos casos por verificar:
Si Z tiene 8 elementos entonces Z = Cα para cualquier α ∈ R, lo que implica que R = Z.
Ahora consideremos el caso en que Z tiene 2 elementos. Notemos que R tiene estructura de espacio
vectorial sobre el campo Z, por lo cual R ∼ Z n para algń n ∈ N de aqu´ que R tiene 2n elementos.
u
ı
=
As´ R× es un grupo bajo la multiplicaciń de orden 2n − 1. Si α ∈ R − Z entonces, como en el inciso
ı
o
×
anterior, Cα es un campo con 8 elementos. M´s ań Cα es el centralizador de α en el grupo R× .
a u
Tambiń Z × es el centro de R× . Si hacemos actuar R× sobre s´ mismo bajo conjugaciń entonces el
e
ı
o
×
ındice | R× : Cα | [Du, Proposiciń 6, p´g. 123]. La
n´mero de conjugados de α ∈ R× es igual al ´
u
o
a
ecuaciń de clase [Du, Teorema 7, p´g. 124], implica:
o
a
k

|R× | = |Z × | +

×
|R× : Cαi |
i=1

donde α1 , α2 , ..., αk son representantes de las distintas clases de conjugaciń que no estń contenidas en
o
a
el centro, por lo cual podemos suponer que αi ∈ Z para cada i = 1, 2, ..., k. Por lo visto anteriormente
×
×
Cαi es un campo con 8 elementos, por lo cual |R× : Cαi | = |R× |/|Cαi | = (2n − 1)/7, luego
k

2n − 1 = 1 +
i=1

2n − 1
7

Reescribiendo esta ecuaciń obtenemos 7(2n − 1) = 7 + k(2n − 1), o bien, (7 − k)(2n − 1) = 7. Como 7 es
o
primo s´lo tenemos 2 casos. Si 7−k = 1 y 2n −1 = 7 entonces k = 6 y n = 3, luego R tiene 8 elementos;
o

68


considere algń αi , como Cαi es un campo de 8 elementos contenido en R entonces R = Cαi , por lo
u
cual R es un campo. Esto es una contradicciń, pues implica que R = Z y estamos considerando que
o
k = 6. Solamente queda que 7 − k = 7 y 2n − 1 = 1, en cuyo caso k = 0 y n = 1, as´ que R = Z = F2 .
ı

4.

Un anillo de divisiń finito es un campo
o

Como vimos en el ultimo ejemplo de la secciń previa, el hecho de que R sea un anillo de divisiń finito
´
o
o
permite usar m´s herramientas bien conocidas de los cursos de ´lgebra moderna. Tambiń hemos visto en la
a
a
e
secciń previa que un anillo de divisiń con potencia 7 es un campo y que un anillo de divisiń finito y con
o
o
o
potencia 8 es un campo.
Teorema 4.1 (Wedderburn) Todo anillo de divisiń finito es un campo.
o
Demostraciń. Sea R un anillo de divisiń finito. Sabemos que Z = Z(R), el centro de R, es un campo
o
o
contenido en R. Supongamos que Z tiene q elementos. Procediendo como en el ejemplo anterior podemos ver
a R como un espacio vectorial sobre el campo finito Z. Puesto que R es finito tiene dimensiń finita como
o
un Z-espacio vectorial; se sigue que R ∼ Z n para algń n ∈ N. Probaremos que R = Z o, equivalentemente,
u
=
que n = 1.
Para cada a ∈ R sea Ca = {x ∈ R | xa = ax}. En el lema 3.6 probamos que Z ⊆ Ca y que Ca es un
subanillo de divisiń de R. Ahora, viendo a Ca como un espacio vectorial sobre Z se sigue que Ca tiene q n(a)
o
elementos para algń n(a) ∈ N.
u
Afirmamos que n(a) | n : recuerde que los elementos de R× = R − {0} forman un grupo bajo la
×
multiplicaciń cuyo orden es q n − 1; como Ca es un subanillo de divisiń de R se sigue que Ca = Ca − {0} es
o
o
×
n(a)
n(a)
n
un subgrupo de R que tiene q
− 1 elementos. Por el teorema de Lagrange q
− 1 | q − 1 esto implica
que n(a) | n, para ver esto ultimo, suponga que n = kn(a) + r con 0 ≤ r < n(a), como
´
q n − 1 = (q n(a) − 1)(q n−n(a) + q n−2n(a) + · · · + q n−kn(a) ) + (q n−kn(a) − 1),
y q n(a) − 1 | q n − 1, entonces q n(a) − 1 | q n−kn(a) − 1, pero r = n − kn(a) < n(a) as´ que 0 ≤ q r − 1 < q n(a) − 1,
ı
luego la unica forma de que q n(a) − 1 | q r − 1 es que q r = 1; por otro lado, como 0, 1 ∈ Z entonces q ≥ 2 por
´
lo cual la igualdad q r = 1 implica r = 0, luego n(a) | n.
×
Observe que Z × es el centro de R× y que Ca es el centralizador de a en R× , entonces por [Du, proposiciń
o
×
6, p´g. 123] el n´mero de conjugados de a en R× es | R× : Ca |= (q n − 1)/(q n(a) − 1).
a
u

Note que si a ∈ Z × entonces a tiene un solo conjugado pues xax−1 = xx−1 a = a para toda x ∈ R× ,
×
de aqu´ q n − 1 = q n(a) − 1 esto es n = n(a). Rec´
ı
ıprocamente, si n = n(a) entonces R× = Ca (pues
×
×
×
×
|R : Ca | = 1), es decir, ax = xa para toda x ∈ R luego a ∈ Z . Hemos probado que n(a) = n si y s´lo si
o
×
a ∈ Z × . Por otro lado, si n(a) = 1 entonces Z × = Ca ; esto implica a ∈ Z × por lo cual, si a ∈ Z × , entonces
n(a) = 1 y n(a) = n.
La ecuaciń de clase [Du, Teorema 7, p´g. 124] implica lo siguiente:
o
a
qn − 1 = q − 1 +
n(a)|n
n(a)=n
n(a)=1

qn − 1
q n(a) − 1

(4.1)

donde la suma del lado derecho no es considerada sobre todas las a tales que n(a) | n con n(a) = 1, n(a) = n,
sino una por cada clase de conjugaciń que no est´ contenida en Z.
o
e
Nuestro problema se reduce ahora a demostrar que la ecuaciń (4.1) no tiene soluciones enteras. La
o
prueba de este hecho se basa en demostrar que existe un entero que divide a (q n − 1)/(q n(a) − 1) para todos

69


los divisores n(a) de n excepto para n(a) = n, pero que no divide a q − 1 lo cual contradice (4.1) a menos
que n = 1, con lo cual habremos demostrado el teorema de Wedderburn.
Sea n ∈ N, considere el polinomio xn − 1 ∈ C[x]. Como C es algebraicamente cerrado, podemos factorizar
a x − 1 del siguiente modo:
xn − 1 =
(x − λ)
n

donde el producto es tomado sobre todas las ra´
ıces n-´simas de la unidad, esto es, todas las λ ∈ C tales que
e
λn = 1. Notemos que existen n ra´ n-´simas de la unidad todas distintas entre s´ pues (xn − 1) = nxn−1 y
ıces e
ı,
xn − 1, nxn−1 = 1 (ver [Hu, teorema 6.10, p´g 161]). El conjunto de todas las λ ∈ C que satisfacen λn = 1
a
forman un grupo bajo la multiplicaciń. Como todo subgrupo finito del grupo de los elementos distintos de
o
cero de un campo es c´
ıclico, se sigue que el grupo de todas las ra´
ıces n-´simas de la unidad es un grupo
e
c´
ıclico. Una ra´ que es un generador del grupo mencionado es una ra´ n-´sima primitiva de la unidad .
ız
ız e
Sea Φn (x) =
(x − θ) donde θ recorre todas las ra´ n-´simas primitivas de la unidad. Este polinomio
ıces e
es llamado el n-´simo polinomio ciclot´mico. A continuaciń listamos algunos polinomios ciclot´micos:
e
o
o
o
Φ1 (x) = x − 1.
Φ2 (x) = x + 1.
Φ3 (x) = x2 + x + 1.
Observe que todos esos polinomios son mńicos y con coeficientes enteros. Afirmamos que, en general, Φn (x)
o
es un polinomio mńico con coeficientes enteros.
o
Si d es un divisor de n, cada factor x − θ de Φd (x) es un factor de xn − 1 pues, como θd = 1 tenemos
n/d
que θn = θd
= 1 y adem´s x − θ aparece solo una vez en la factorizaciń de xn − 1 pues este ultimo no
a
o
´
tiene ra´ repetidas. Rec´
ıces
ıprocamente sea x − λ un factor de xn − 1 y sea d el orden de λ en el grupo de las
ra´
ıces n-´simas de la unidad, de la definiciń de ra´ primitiva λ es una ra´ d-´sima primitiva de la unidad
e
o
ız
ız e
por lo que x − λ es un factor de Φd (x) y d | n por el teorema de Lagrange. Con esto hemos probado que para
cada divisor d de n los factores de Φd (x) aparecen una vez en la factorizaciń de xn − 1 y rec´
o
ıprocamente
que cada factor de xn − 1 es un factor de Φd (x) para algń d divisor de n, es decir,
u
xn − 1 =

Φd (x).

(4.2)

d|n

Probaremos que Φn (x) es un polinomio mńico con coeficientes enteros, por inducciń sobre n:
o
o
i. Para n = 1, hemos visto que Φn (x) = x − 1.
ii. Supongamos como hip´tesis de inducciń que Φd (x) es un polinomio mńico con coeficientes enteros
o
o
o
para d < n.
Demostremos el resultado para n. Por la hip´tesis de inducciń se sigue que en particular Φd (x) es un
o
o
polinomio mńico con coeficientes enteros para d | n con d < n, luego por (4.2) xn − 1 = Φn (x)g(x)
o
donde g(x) es el producto de los polinomios Φd (x) donde d | n con d < n y como estos polinomios
satisfacen la hip´tesis de inducciń, se sigue que g(x) es mńico y con coeficientes enteros.
o
o
o
Como g(x) es mńico (esta hip´tesis es fundamental ) existen polinomios q(x), r(x) unicos y con
o
o
´
coeficientes enteros tales que xn − 1 = q(x)g(x) + r(x) donde r(x) = 0 o grado(r(x)) < grado(g(x))
[Hu, teorema 6.2, p´g. 158], de esto se sigue que g(x)(Φn (x) − q(x)) = r(x): si r(x) = 0 entonces
a
Φn (x) = q(x) por lo cual
grado(g(x)) ≤ grado(g(x)) + grado(Φn (x) − q(x)) = grado(r(x)) < grado(g(x))
lo cual es imposible, luego r(x) = 0 y, como g(x) = 0, se sigue que Φn (x) = q(x) de aqu´ Φn (x) es un
ı
polinomio con coeficientes enteros.
El hecho de que sea mńico se sigue de que el t´rmino principal de xn − 1 es igual al producto del
o
e
t´rmino principal de g(x), que es mńico, por el de Φn (x).
e
o

70


Sea d un divisor de n, entonces xd − 1 | xn − 1 este hecho se sigue de la identidad:
xn − 1 = (xd − 1)(xn−d + xn−2d + · · · + xn−(k−1)d + 1) , donde n = kd,
as´ (xn − 1)/(xd − 1) es un polinomio con coeficientes enteros. Ahora, afirmamos que para cualquier divisor
ı
d de n, con d < n,
xn − 1
Φn (x) d
x −1
en el sentido de que el cociente es un polinomio con coeficientes enteros. Para ver esto, note que
xd − 1 =

Φk (x).
k|d

Puesto que cada divisor de d es un divisor de n, reagrupando los t´rminos en (4.2) obtenemos xn − 1 =
e
(xd − 1)p(x) donde p(x) es el producto de las Φk (x) tales que k | n y k d. Como d < n entonces Φn (x) no
aparece en la expresiń de xd − 1 como producto de las Φk (x). As´ (4.2) puede ser escrita como xn − 1 =
o
ı
Φn (x)(xd − 1)f (x) donde
f (x) =
Φk (x)
k|n
kd
k=n

es un polinomio con coeficientes enteros, as´
ı
xn − 1
= Φn (x)f (x),
xd − 1
luego

xn − 1
xd − 1
en el sentido de que el cociente, que es f (x), es un polinomio con coeficientes enteros, lo cual demuestra la
afirmaciń.
o
Φn (x)

Como Φn (x) es un polinomio con coeficientes enteros, tenemos que para cualquier entero t, Φn (t) es un
entero que divide a (tn − 1)/(td − 1) para cualquier divisor d de n, con d < n de hecho (tn − 1)/(td − 1) =
Φn (t)f (t) con f (t) entero. En particular, retomando el contexto de la ecuaciń (4.1), se tiene que
o
Φn (q)

qn − 1
q n(a) − 1

para todas las a consideradas en la suma, esto es, n(a) | n y 1 < n(a) < n. Adem´s Φn (q) | q n − 1. Se sigue
a
por (4.1) que Φn (q) | q − 1, lo que implica |Φn (q)| ≤ q − 1.
Sin embargo, afirmamos que si n > 1 entonces |Φn (q)| > q − 1 lo cual demostrar´ que (4.1) no tiene
ıa
soluciń para n > 1. Para demostrar la afirmaciń, note que si θ es una ra´ n-´sima de la unidad distinta
o
o
ız e
de 1 entonces Re (θ) = cos (2πk/n) < 1, pues 1 < k < n. Luego q − 1 < q − Re (θ) , as´
ı
2

2

2

(q − 1)2 < (q − Re (θ)) + (Im (θ)) = (|q − θ|) ,
luego q − 1 < |q − θ|, pues q − 1 > 0. De aqu´ que
ı
|Φn (q)| =

|q − θi | > q − 1
i

donde θi son las ra´
ıces. Se sigue que Φn (q) no puede dividir a q − 1, por lo cual la ecuaciń 1 no pude ocurrir
o
a menos que n = 1 : hemos completado la demostraciń del teorema.
o

Agradecimientos
Agradecemos a los ´rbitros por sus correcciones y sugerencias, espec´
a
ıficamente por indicar maneras de
abreviar los argumentos.


71

Referencias
[Du] D. S. Dummit, R.M. Foot. Abstract Algebra, Tercera Edici´n, John Wiley and Sons, Inc., USA 2004.
o
[He] I. N. Herstein. Topics in Algebra, Second Edition, John Wiley and Sons, Inc., USA, 1975
[Hu] T. W. Hungerford. Algebra, Springer-Verlag New York Inc., Cleveland, 1996.
[Ja] N. Jacobson. Finite-Dimensional Division Algebras over Fields, Springer, Germany, 1996.
[M] J. H. MacLagan-Wedderburn, A theorem on ﬁnite algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 6, no. 3, (1905),
349-352.
[MGP] The Mathematics Genealogy Project. http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu
[MH] The MacTutor History of Mathematics archive. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/
[O] O. Ore, On a special class of polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 35, no. 3, (1933), 559-584.
[Ro] L. H. Rowen, Ring Theory (Student Edition), Academic Press, Inc., USA, 1991.

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