1. ONDAS
Onda es la propagación (sin disipación) de una
perturbación desde una región del espacio a otra
Las ondas transportan energía y cantidad de movimiento a
través del espacio sin transporte neto de materia
Se llaman ondas mecánicas cuando las ondas necesitan un
medio material para propagarse
v
Física. P.A. Tipler
Tipos de ondas
Onda transversal Física. P.A. Tipler
La perturbación
es perpendicular
a la dirección
de propagación
Polarización:
Si la dirección de la perturbación esta bien definida.
Si no cambia: polarización lineal, si gira regularmente: polarización cricular, ...
Onda longitudinal
La perturbación tiene
la misma dirección que
la de propagación Física. P.A. Tipler
1

2. Representación de una onda
Física. P.A. Tipler
Física. P.A. Tipler
perturbación
sin perturbar sin perturbar
x=f(x)
Física. P.A. Tipler
Onda unidimensional
La perturbación mantiene su forma mientras se propaga
-t 0 t
en t1= en t2= en t3=
t 0 -t
vt v vt
v x=f(x-OO’)
x=f(x+OO’)
x=f(x)
O O’ x
x(x,t) =f(x-vt) se propaga en el sentido positivo
x(x,t) =f(x+vt) se propaga en el sentido negativo
∂ 2 f (x ± vt) ∂ È df (u) ˘ d 2 f (u)
∂x 2
= Í
∂x Î du ˙ ˚
=
du 2 ∂ 2x 1 ∂ 2x Ecución
∂ 2 f (x ± vt) ∂ È df (u) ˘ 2 d 2 f (u) 2
= 2 2 diferencial de
= ±v Í =v ∂x v ∂t una Onda
∂t 2 ∂t Î du ˙ ˚ du 2
† 2

3. FUERZA TRANSVERSAL EN UNA CUERDA TENSA
T
T Física. P.A. Tipler
d[tg q ]
Fy = T(sen q 2 - sen q 1 )ª T [tg(q + dq ) - tgq ] = T dx
dx
La perturbación en el caso de la cuerda es la desviación
dy ∂x(x,t)
vertical de la posición de equilíbrio Dy= x(x,t) tg q = =
dx ∂x
d(∂x / ∂x) ∂ 2 x (x,t)
Fy ª T dx = T dx
dx ∂x 2
ONDAS TRANSVERSAL EN UNA CUERDA TENSA
T
T Física. P.A. Tipler
L = dM /dx = rA propiedad característica de la cuerda ∂ 2x (x,t)
a =
x ( x, t) = Dy : distancia vertical a la posición de equilibrio y ∂t 2
r r ∂ 2x (x,t) ∂ 2x (x,t)
†
†
F = Ma Fy = T
∂x 2
dx = dM ay = dM
†
∂t 2
Ecuación diferencial
Ecuació T
∂ 2x L ∂ 2x de las ondas v=
=
2 † transversales en una
L
∂x T ∂t 2 cuerda tensa.
velocidad de
propagación
propagació
†
†
3
†

4. ONDAS LONGITUDINALES EN UNA VARILLA
Física. Alonso-Finn
˜
x
x 0¨ x˜ - x˜ Æ
˜ 0
˜ ˜
x (x,t) = x - x 0 ∂ 2x r ∂ 2x
velocidad de
propagación de
propagació 2
=
las ondas v=
U ∂x U ∂t 2
longitudinales en U:modulo Young, r: densidad
Young,
una varilla
r x: deformación longitudinal
deformació
ECUACION DE ONDAS DE PRESION EN UN GAS
hiperphysics
x (x,t) = p - p0
x (x,t) = r - r0 ∂ 2 x r0 ∂ 2 x
velocidad de 2
=
k ∂x k ∂t 2
propagación de v
propagació =
r0 k:elasticidad (µp0), r0: densidad
(µ
las ondas de
x: cambio de presión o densidad
presió
presión en un gas
presió
4

5. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
ELECTROMAGNÉ
x
r Física. P.A. Tipler
x (x,t) = E ∂ 2x ∂ 2x e:permitividad
r = em 2 m: permeabilidad
x (x,t) = B ∂x 2
∂t x: cambio de los
campos eléctrico
elé
velocidad de propagación
propagació 1
v= y magnético
magné
de las ondas
electromagnéticas
electromagné
em
En el vacio e0=8.85 10-11 (S.I.), m0=12.57 10-7 (S.I.) => c=299 792 457 ms-1
Ondas armónicas en una dimensión
La perturbación viene definida por una función armónica
x (x,t) = Asen k(x ± vt) + j A: número dede la onda
[ k:
Amplitud
] onda
l=2pk-1: longitud de onda
t=t1
x (x,t1 ) = Asen[ k(x ± vt1 )]
-vDt- t=t2
x (x,t2 ) = Asen [k(x ± vt2 )]
l 1l T
vDt = fi Dt = =
Física. P.A. Tipler 4 4v 4
T: periodo
f =T-1: frecuencia
†
5

6. Expresiones usuales de las ondas armónicas
x (x,t) = Asen[ k(x ± vt)]
w
x (x,t) = Asen[ kx ± wt ] v=
k
È x t ˘
x (x,t) = Asen Í2p ( ± )˙ v = l
Î l T ˚ T
Ondas armónicas en una dimensión
x(x,t ) Física. P.A. Tipler
1 Física. P.A. Tipler
x(x,t2)
x(x,t3)
En cada punto se da un movimiento armónico simple
x (x 1 , t) = Asen[k(x 1 ± vt)] = A sen[± w t + j 1 ]
{ {
kv kx1
6

7. Ondas en dos y tres dimensiones
Física. P.A. Tipler
Ondas en dos y tres dimensiones
Física. P.A. Tipler Frentes
Fuente de ondas
Frentes
Rayos
de ondas
Frente de ondas: Es el lugar geométrico de los puntos con el
mismo valor de la perturbación y a un mismo
número de longitudes de onda l del origen de
la propagación (en 2 dimensiones son lineas y
en 3 dimensiones superficies)
Rayo: Lineas perpendiculares a los frentes de onda
7

8. Ecuaciónes de las ondas en tres dimensiones
r
r r
x (r ,t) = f (k r ± wt)
Z Física. P.A. Tipler
r
r r
O Y k
X
r r r
Ondas planas: k / k = cte x (r ,t) = f (k x x + k y y + k z z ± wt)
r
armónica: x (r ,t) = x 0 sen(k x x + ky y + k z z ± wt)
r r r
Ondas esféricas: x (r ,t) = f (kr ± wt)
k = k ur
origen en la fuente
r x
armónica: x (r ,t) = 0 sen(kr ± wt)
r
Intensidad de una Onda
La intesidad I de una onda se define como la energía que
fluye por unidad de tiempo a través de un área unidad
perpendicular a la dirección de propagación.
unidades de I en el S.I.: J s-1 m-2 o wat m-2
I
E= Energía por unidad de volumen (densidad de energía)
v
= I S Potencia media necesaria para mantener la perturbación en
dE
dt el medio de sección S
Densidad de energía para una onda mecánica armónica unidimensional:
† E 1 Â miw 2 A2 1
E= = = rw 2 A2
V 2 V 2
2 Onda armónica esférica: I µ E w2
Onda armónica plana: I µE µ w µ 2
r
8
†

9. Superposición de Ondas armónicas. Interferencias
Cualquier perturbación periódica se puede generar como superposición de
ondas armónicas (desarrollo de Fourier)
x (x,t) = Â Ai sen[k i (x ± vt) + j i ]
i =1
La interferencia puede aumentar la perturbación (constructiva)
o disminuir la perturbación (destructiva).
Interferencia destructiva
Cuando la interferencia se da entre ondas de la
misma frecuencia (y longitud de onda) es
destructiva cuando la diferencia de fase es p
x (x,t) = A1 sen[k(x ± vt)] + A2 sen[k( x ± vt) + p ] Interferencia constructiva
y constructiva cuando las ondas estan en fase
x (x,t) = A1 sen[k(x ± vt)] + A2 sen[k( x ± vt)]
Superposición de Ondas armónicas. Ondas estacionarias
Cuando se producen
interferencias de ondas en un
medio, dependiendo de las
caracteristicas del medio,
puede llegarse a una situación
en la que la interferencia es
constructiva para una única
longitud de onda. En este caso
existen puntos en los que la
perturbación es siempre nula
(nodos) y otros en que la
ampliud de la perturbación es
máxima (vientres). Estas ondas
se llaman estacionarias ya que
aparentemente la
perturbación no se desplaza.
9

10. Ejemplos de ondas estacionarias
Propagación de ondas en medios limitados
Cuando una onda incide sobre
una superficie de separación
entre dos medios en los que la
velocidad de la onda es
diferente parte de la onda se
refleja y parte se transmite
refracción: es el cambio en la dirección de
propagación de una onda que atraviesa la
superficie de separación entre dos medios en
donde se propaga con diferente velocidad.
reflexión: es el cambio en la dirección de
propagación de la onda que no es capaz de
atravesar la superficie de separación entre dos
medios.
10

11. Método de Huygens
Huygens ideó un método para construir la propagación de una onda a partir de los
frentes de onda. Consideró que cada punto del rayos
frente de onda emite una onda esférica de
forma que la superposición de todas las ondas
esféricas da como resultado un nuevo frente
frentes
de ondas (la envolvente de todos los frentes de
onda esféricos). Repitiendo este procedimiento se puede obtener el frente de
onda en cualquier instante una vez conocido el frente en un instante dado.
Ecuaciones de la reflexión y refracción.
generada en B
reflexión:
AA' =BB' = vt
B A' sen qrx = sen qi => qrx =qi
qi qrx
Ángulo del rayo incidente con la normal
A B' (ángulo de incidencia) igual a ángulo del
rayo reflejado con la normal (ángulo de
generada en A reflexión).
generada en B refracción:
Los rayos incidente y refractado se
encuentran en el mismo plano, AA' = v2t
B
qi
v1 y BB' = v1t por lo que:
B'
sen qr / sen qi = v2/v1
A v2 El ángulo de refracción es mayor
qr (menor) que el ángulo de incidencia si la
generada en A A' velocidad de propagación en el nuevo
medio es mayor (menor).
11

12. Reflexión total. Ángulo límite
v2
senq r = sen q i £ 1
v1
Si v2>v1 existe un valor límite de qi (ángulo límite qL) a partir del cual
no se da la refracción (ya que seria sen qr >1) y toda la onda se refleja.
v1 Cuando qi > qL se produce lo que se conoce
senq L =
v2 como reflexión total.
DIFRACCIÓN
Es el fenómeno que se presenta siempre que una onda se
encuentra con un obstáculo, o una abertura, de
dimensiones comparables a su longitud de onda.
La geometría de Figura de difracción de
las ondas cambia un disco opaco
12

13. Dispersión de la Luz blanca
La luz blanca se dispersa
durante la refracción
debido a que los distintos
colores (distintas
frecuencia) viajan en el
vidrio a distintas
velocidades lo que da
lugar a distintos angulos
de refracción.
Paquetes de Onda
Las perturbaciones se producen a menudo como un ‘pulso’ que se
propaga de un punto a otro. Este tipo de ondas se puede construir como
superposición de infinitas ondas armónicas (transformada de Fourier).
Una forma simple de generar un tren de pulsos es la superposición de
dos ondas armonicas de frecuencia y longitud de onda parecidas
x (x,t) = Asen[ k1 x - w1 t)] + Asen [k2 x - w 2 t)]
k1 + k 2 w1 + w2
k= , Dk = k 2 - k1 w= , Dw = w 2 - w1
2 2
È1 ˘
x (x,t) = 2 Acos Í (Dkx - Dwt)˙ sen[kx - wt ]
Î2 ˚
13

14. Paquetes de Onda en Medios Dispersivos
En muchos casos la velocidad de una onda en un medio es
independiente de su frecuencia (o longitud de onda). Sin embargo en
algunos medios, conocidos como dispersivos, esto no es así si no que la
velocidad de propagación de las ondas armónicas varía con la frecuencia
v=v(w). Un ejemplo es la propagación de ondas superficiales en un
líquido. Debido a la dispersión, una onda no armónica (como un pulso)
cambiará de forma según se propaga, ya que las distintas componentes
armónicas viajan a distinta valocidad.
vg(t 2 t 1
- )
t = t1 t = t2
x
Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
Si nos fijamos en un tren de pulsos como el de la figura, la envolvente
(linea roja discontinua) se desplazara a una velocidad (de grupo) diferente que
la velocidad de (fase) con que se mueven los máximos de la perturbación (cada
uno de los extremos de la linea roja continua)
t1
w
vf =
k
t2
Dw
vg =
Dk
È1 ˘
x (x,t) = 2 Acos Í (Dkx - Dwt)˙ sen[kx - wt ]
Î2 ˚
14

15. Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t0
sen[0.1x - 0.1(t-t0)]+sin[0.11x - 0.12 (t-t0)]
Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t1
15

16. Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t2
Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t3
16

17. Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t4
Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t5
4
17

18. Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t6
Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t7
18

19. Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t8
Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t9
19

20. Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t1 0
Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t1 1
20

21. Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t1 2
Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
t=t1 3
21

22. Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
B
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
w 0.12 0.1 t=t1 3 Dw 0.12 - 0.1
vf = ª ª =1 vg = = =2
k 0.11 0.1 Dk 0.11 - 0.1
sen[0.1x - 0.1(t-t0)]+sin[0.11x - 0.12 (t-t0)]
Medios Dispersivos. Velocidad de grupo y Velocidad de fase
Velocidad de fase Velocidad de grupo
w dw d[kv f (k)] dv
vf = vg = = = vf + k f
k dk dk dk
medio no-dispersivo vf=cte=vg
no dispersivo
w vg=vf
dispersivo
Curvas vg<vf
de
dispersión dispersivo
0 vg>vf
k
0
La energía de la onda se desplaza a la velocidad de grupo
22

23. Efecto Doppler
r v : velocidad de la onda r
vS respecto del medio
vR
vSTS vRt2
D0 vRt1 vRTR
TS L
Fuente
t
D0
D0+vRt1 =v t1 t1 =
TR v - vR
Receptor
0
0 t1 T S t2 t
D0 + (v - vS )TS
D0+vRt2 -vSTS =L=v(t2-TS) t2 =
v - vR
Efecto Doppler
v - vS v - vR
TR = t2 - t1 = T wR = wS
v - vR S v - vS
si vS=0 vR
w R = w S (1- ), lR = lS
v
vS
si vR=0 w R = w S (1+ ), lR ≠ lS
v - vS
†
si vS=v w R = •, v S ≥ v fi onda de choque
† expresión también válida para
v -v
si v>>vS,vR w R = w S (1- R s ) las ondas electromagnéticas
v cuando |vR-vS|<<c
23

24. r Cuando solo se mueve el receptor l=cte
v
Física. P.A. Tipler
r
vR Dt
T=
N
|vR|Dt v Dt
Si v es la velocidad de la onda. Número de ondas que pasan por
un receptor quieto en el tiempo Dt: N= v Dt / l => T=l/v
un receptor acercandose con velocidad vR: NR=(v-vR)Dt /l
TR= Dt /NR= l/(v-vR) = v/(v-vR)T
Cuando se mueve el emisor cambia l
l = TS (v ± vS )
Física. P.A. Tipler
Ondas en una cubeta producidas Frentes de ondas emitidos por una
por una fuente puntual que se fuente puntual en movimiento.
mueve hacia la derecha con Cada uno de los frentes fue
velocidad menor a la de la onda emitido cuando la fuente estaba en
la posición correspondiente al
número
24

25. ONDAS DE CHOQUE
Si una fuente se mueve con una velocidad mayor que
la de las ondas, no habrá ondas delante de la misma.
Detrás de la fuente, las ondas se apilan unas encima
de otras formando una onda de choque donde la
perturbación se hace muy grande
v
sen q =
vS
Física. P.A. Tipler
ONDAS DE MACH
Numero de Mach
vS
cono de Mach
v
v sonido = 340 m/s.
Física. P.A. Tipler
25

26. Radiación
Física. P.A. Tipler
Cerenkov
Se produce cuando una
partícula cargada se
mueve en un medio a una
velocidad mayor que la de
la luz en ese medio v > c/n
La radiación se emite en
un cono cuya apertura
viene dada por la ecuación
de las ondas de choque.
Efecto Doppler en ondas electromagnéticas
electromagné
Expansión
Átomo
del
hidrogenoide
Universo
1 - v RS / c
wR =wS
1 - v RS / c 2
2
26

27. EJEMPLO El radar de la policía para medir la velocidad
de los coches (coche acercandose al coche de policía)
a) La frecuencia de al onda que choca con el coche es mayor que la emitida
b) El coche actúa como fuente móvil que emite ondas de frecuencia mayor
que las que le llegan
Dw vS = velocidad de coche (180 km/h)
w0 =frecuencia del radar (109 s-1)
vS = c C = 3x108 m/s
2w 0 Dw = 500 s-1
27