fisica

1. ALUMNO: CCORIMANYA CALDERON,
JOEL
DOCENTE: Ing. Jorge Sánchez
Espinoza.
CURSO: FISICA
TEMA: Movimiento armónico simple (en que
consiste), el péndulo, centro de
oscilación.
TRABAJO DE INVESTIGACION

2. Movimiento armónico simple
.
6.1.- Cinemática del movimiento armónico simple (M.A.S.).6.1.- Cinemática del movimiento armónico simple (M.A.S.).
6.2.- Vectores de rotación o fasores.6.2.- Vectores de rotación o fasores.
6.3.- Dinámica de un oscilador libre. Energía del M.A.S.6.3.- Dinámica de un oscilador libre. Energía del M.A.S.
6.4.- Ecuación básica del M.A.S.6.4.- Ecuación básica del M.A.S.
6.5.- Péndulos.6.5.- Péndulos.
6.6.- Superposición de MM.AA.SS.6.6.- Superposición de MM.AA.SS.
6.7.- Dinámica de un oscilador amortiguado.6.7.- Dinámica de un oscilador amortiguado.
6.8.- Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias.6.8.- Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias.
Bibliografía:Bibliografía:
Título: Física. Aut.: M. Alonso, E. J. Finn Ed.: Addison-Wesley Año: 1995. Tema: 10.Título: Física. Aut.: M. Alonso, E. J. Finn Ed.: Addison-Wesley Año: 1995. Tema: 10.
2

3. 6.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).
• ¿Qué es un movimiento oscilatorio?¿Qué es un movimiento oscilatorio?
Una partícula tiene unUna partícula tiene un movimiento oscilatoriomovimiento oscilatorio cuando se mueve periódicamentecuando se mueve periódicamente
alrededor de una posición de equilibrio (movimiento de un péndulo, de un peso unidoalrededor de una posición de equilibrio (movimiento de un péndulo, de un peso unido
a un resorte, de los átomos en un sólido y en una molécula, de los electrones en unaa un resorte, de los átomos en un sólido y en una molécula, de los electrones en una
antena,...). Su estudio es esencial para entender el movimiento ondulatorio.antena,...). Su estudio es esencial para entender el movimiento ondulatorio.
• ¿Qué es un movimiento armónico simple (MAS)?¿Qué es un movimiento armónico simple (MAS)?
Es elEs el más importantemás importante de los movimientos oscilatorios (representa a muchasde los movimientos oscilatorios (representa a muchas
oscilaciones presentes en la naturaleza), pero también eloscilaciones presentes en la naturaleza), pero también el más sencillomás sencillo de describir yde describir y
analizar.analizar. No todos los movimientos oscilatorios son armónicosNo todos los movimientos oscilatorios son armónicos..
• Cinemática del movimiento armónico simple (MAS)Cinemática del movimiento armónico simple (MAS)
Una partícula tiene unUna partícula tiene un MASMAS si susi su desplazamientodesplazamiento xx respecto el origen es,respecto el origen es,
( )0cos ϕ+ω= tAx
0ϕ+ωt Ángulo de fase o faseÁngulo de fase o fase
0ϕ Fase inicial (fase cuandoFase inicial (fase cuando t =0t =0))
Como el coseno varía entreComo el coseno varía entre +1+1 yy –1–1,, xx toma valores entretoma valores entre AA yy -A-A
A Amplitud (máximo desplazamiento)Amplitud (máximo desplazamiento)
ωπ= 2P Periodo (intervalo de tiempo paraPeriodo (intervalo de tiempo para
el que el valor deel que el valor de xx se repite)se repite)
Equilibrio
P1=ν Frecuencia (se mide enFrecuencia (se mide en hertzhertz))
πν=π=ω 22 P Frecuencia angularFrecuencia angular
3

4. 6.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).
LaLa velocidadvelocidad vv de una partícula que tiene unde una partícula que tiene un MASMAS es,es,
( )0sen ϕ+ωω−== tA
dt
dx
v Varía periódicamente entre los valoresVaría periódicamente entre los valores ωωAA yy
--ωωAA
LaLa aceleraciónaceleración aa de una partícula que tiene unde una partícula que tiene un MASMAS es,es,
( ) xtA
dt
dv
a 2
0
2
cos ω−=ϕ+ωω−== Varía periódicamente entre los valoresVaría periódicamente entre los valores ωω22
AA yy --ωω22
AA..
En el MASEn el MAS aa es proporcional y opuesta aes proporcional y opuesta a xx..
Desplazamiento
Velocidad
Aceleración
Representación del desplazamiento en
función del tiempo
4

5. 6.2 – Vectores de rotación o fasores.
• Vectores de rotación o fasores.Vectores de rotación o fasores.
ElEl desplazamientodesplazamiento de una partícula que se mueve con unde una partícula que se mueve con un MASMAS se puede considerarse puede considerar
como la ccomo la componenteomponente XX de un vector de longitudde un vector de longitud OP’= AOP’= A; este vector rota en sentido; este vector rota en sentido
contrario a las agujas del reloj alrededor decontrario a las agujas del reloj alrededor de OO con velocidad angularcon velocidad angular ωω y en caday en cada
instante forma un ánguloinstante forma un ángulo ((ωωt+t+ αα)) con el ejecon el eje XX..
X
O
Para t > 0
Y
P’
A
ωt+ϕ0 P
( )0cos ϕ+ω= tAx
ωt
X
Y
O
P’
A
ϕ0 P
0cosϕ= Ax
Para t = 0
( )0cos ϕ+ω= tAx
X
Y
O
P’
A
ωt+ ϕ0
P
ωt
X
Y
P’
A
ωt+ ϕ0
x
ωA
ω2
A
V’
A’
va O
π/2
π
( )
( ) ( )
( ) ( )π+ϕ+ωω=α+ωω−=
π+ϕ+ωω=α+ωω−=
ϕ+ω==
0
22
0
0
coscos
2cossen
cos
tAtAa
tAtAv
tAOPx
5

6. 6.3 – Dinámica del oscilador libre. Energía del MAS.
• Aplicando laAplicando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton, se tiene que, se tiene que la fuerzala fuerza que tiene que actuar sobreque tiene que actuar sobre
una partícula de masa m que se mueve con ununa partícula de masa m que se mueve con un MASMAS es,es,
maF =
ComoComo xa 2
ω−=
xmF 2
ω−=
En un MASEn un MAS FF es proporcional y opuesta aes proporcional y opuesta a
xx
kxF −=
LlamandoLlamando
2
ω= mk Constante elásticaConstante elástica
• De este modo, se puede escribirDe este modo, se puede escribir
• Dinámica del MAS.Dinámica del MAS.
mk=ω2
ω= mk
k
m
P π= 2ωπ= 2P
m
k
π
=ν
2
1
P1=ν
6

7. 6.3 – Dinámica del oscilador libre. Energía del MAS.
• Se obtiene laSe obtiene la energía potencialenergía potencial a partir dea partir de
dx
dEp
Fx −=
ComoComo kxFx −=
kx
dx
dEp
= ∫∫ =
xEp
kxdxdEp
00
IntegrandoIntegrando
22
2
12
2
1
xmkxEp ω==
LaLa EpEp es cero en el centroes cero en el centro ((x=0x=0)) y máximay máxima
en los extremos de oscilaciónen los extremos de oscilación ((x=x=±±AA))
• LaLa energía totalenergía total del MAS esdel MAS es
( ) 22
2
1222
2
1
xmxAmEpEcE ω+−ω=+= 2
2
122
2
1
kAAmE =ω= EE es constantees constante
• LaLa energía cinéticaenergía cinética de una partícula que se mueve con un MAS esde una partícula que se mueve con un MAS es
( ) ( )[ ]0
222
2
1
0
222
2
12
2
1
cos1sen
2
ϕ+ω−ω=ϕ+ωω== tAmtAmmvEc
v
  
( )0cos ϕ+ω= tAxComoComo
[ ] [ ]22
2
1222
2
1
xAkxAmEc −=−ω=LaLa EcEc es máxima en el centroes máxima en el centro ((x=0x=0)) y ceroy cero
en los extremos de oscilaciónen los extremos de oscilación ((x=x=±±AA))
• Energía del MAS.Energía del MAS.
7

8. 6.3 – Dinámica del oscilador libre. Energía del MAS.
Ec
Ep
Epm
Ecm
Ep
Ep
Ep
Ec
Representación de la energía cinética y potencial
frente al tiempo
Representación de la energía potencial
frente al desplazamiento
8

9. 6.4 – Ecuación básica del MAS.
• Se obtiene combinando laSe obtiene combinando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton con la expresión de lacon la expresión de la fuerza quefuerza que
produce un MASproduce un MAS. Esto es,. Esto es,





−=
==
kxF
dt
xd
mmaF 2
2
Ecuación básicaEcuación básica
del MASdel MAS
kx
dt
xd
m −=2
2
02
2
=+ kx
dt
xd
m
ComoComo mk=ω2
02
2
2
=ω+ x
dt
xd
• EsEs soluciónsolución de esta ecuación (puede verificarse sustituyendo la solución en lade esta ecuación (puede verificarse sustituyendo la solución en la
ecuación)ecuación)
( )0cos ϕ+ω= tAx
• Y también sonY también son soluciónsolución de la mismade la misma
( ) tBtAxtAx ω+ω=ϕ+ω= cossen,sen 0
• EstaEsta ecuación básicaecuación básica aparece en muchasaparece en muchas situaciones físicassituaciones físicas. Siempre que aparezca. Siempre que aparezca
es una indicación de que eles una indicación de que el fenómeno es oscilatoriofenómeno es oscilatorio y corresponde ay corresponde a un MASun MAS..
9

10. 6.5 – Péndulos.
• Péndulo simple.Péndulo simple.
• Se define como una partícula de masaSe define como una partícula de masa mm suspendida de un puntosuspendida de un punto OO mediante una cuerda demediante una cuerda de
longitudlongitud ll y masa despreciable.y masa despreciable.
• CuandoCuando mm se separa de la posición de equilibrio y se sueltase separa de la posición de equilibrio y se suelta
describe undescribe un movimiento oscilatoriomovimiento oscilatorio, que se debe a la, que se debe a la
componente tangencial del pesocomponente tangencial del peso..
• Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencialAplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencial
se obtienese obtiene
α== mlmaF tt 2
2
sen
dt
d
mlmg
θ
=θ− 0sen2
2
=θ+
θ
l
g
dt
d
• Que difiere de laQue difiere de la ecuación básica de un MASecuación básica de un MAS por el términopor el término
sensenθθ. Sin embargo si el. Sin embargo si el ánguloángulo θθ eses muy pequeñomuy pequeño, entonces, entonces
sensenθθ ≅≅ θθ y se tieney se tiene
02
2
=θ+
θ
l
g
dt
d Ecuación básica de un MASEcuación básica de un MAS
de frecuenciade frecuencia lg=ω2
• Y su solución es unY su solución es un MASMAS cuya expresión escuya expresión es
( )00 cos ϕ+ωθ=θ t
siendo elsiendo el periodo de oscilaciónperiodo de oscilación
g
l
P π= 2
10

11. 6.5 – Péndulos.
• Péndulo compuesto.Péndulo compuesto.
• Se define como unSe define como un sólido rígidosólido rígido suspendida de un puntosuspendida de un punto OO que pasa por un pivote.que pasa por un pivote.
• Cuando el sólido se separa de la posición de equilibrio y seCuando el sólido se separa de la posición de equilibrio y se
suelta describe unsuelta describe un movimiento oscilatoriomovimiento oscilatorio, debido al momento, debido al momento
de la fuerza producido por el peso.de la fuerza producido por el peso.
• Aplicando la ecuación fundamental de la dinámicaAplicando la ecuación fundamental de la dinámica
α= IMO 2
2
sen
dt
d
ImgD
θ
=θ− 0sen2
2
=θ+
θ
I
mgD
dt
d
• Que difiere de laQue difiere de la ecuación básica de un MASecuación básica de un MAS por el términopor el término
sensenθθ. Sin embargo si el. Sin embargo si el ánguloángulo θθ eses muy pequeñomuy pequeño, entonces, entonces
sensenθθ ≅≅ θθ y se tieney se tiene
02
2
=θ+
θ
I
mgD
dt
d Ecuación básica de un MASEcuación básica de un MAS
de frecuenciade frecuencia ImgD=ω2
• Y su solución es unY su solución es un MASMAS cuya expresión escuya expresión es
( )00 cos ϕ+ωθ=θ t
siendo elsiendo el periodo de oscilaciónperiodo de oscilación
mgD
I
P π= 2
Pivote
O
11

12. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
• Superposición de dos MAS de la misma dirección y frecuencia.Superposición de dos MAS de la misma dirección y frecuencia.
Cuando una partícula está sometida a más de una fuerza armónica se dice que existeCuando una partícula está sometida a más de una fuerza armónica se dice que existe
unauna interferencia o superposicióninterferencia o superposición de movimientos armónicos simples. Se observande movimientos armónicos simples. Se observan
sobre la superficie del agua cuando se lanzan dos piedras, y son importantes ensobre la superficie del agua cuando se lanzan dos piedras, y son importantes en
óptica y en acústica.óptica y en acústica.
Sea una partícula sometida a dos MAS que actúan en laSea una partícula sometida a dos MAS que actúan en la misma direcciónmisma dirección y quey que
tienen latienen la misma frecuenciamisma frecuencia. El. El desplazamientodesplazamiento producido por cada MAS esproducido por cada MAS es
( )δ+ω=
ω=
tAx
tAx
cos
cos
22
11 La fase de xLa fase de x11 es ceroes cero
La fase de xLa fase de x22 eses δδ (diferencia de fase)(diferencia de fase)
ElEl desplazamiento resultantedesplazamiento resultante de la partícula viene dado porde la partícula viene dado por
( )δ+ω+ω=+= tAtAxxx coscos 2121
y como se verá es un MAS con periodoy como se verá es un MAS con periodo
ωπ= 2P
12

13. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
A
A1
A2
x
tO x
ωt
y P’
P1’
P2’
• Primer caso especial. SiPrimer caso especial. Si δδ = 0= 0 ⇒⇒ los dos movimientos estánlos dos movimientos están en faseen fase..
ElEl movimiento resultantemovimiento resultante eses
( ) tAAtAtAxxx ω+=ω+ω=+= coscoscos 212121
y se trata de uny se trata de un MASMAS de lade la misma frecuencia angularmisma frecuencia angular, que tiene, que tiene una amplituduna amplitud que esque es
igual aigual a
21 AAA +=
O
13

14. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
• Segundo caso especial. SiSegundo caso especial. Si δδ == ππ radrad ⇒⇒ los dos movimientos estánlos dos movimientos están en oposiciónen oposición..
En este caso el desplazamiento xEn este caso el desplazamiento x22 eses
( ) tAAtAtAxxx ω−=ω−ω=+= coscoscos 212121
y se trata de uny se trata de un MASMAS de lade la misma frecuencia angularmisma frecuencia angular, que tiene, que tiene una amplituduna amplitud que esque es
igual aigual a
21 AAA −=
( ) tAtAx ω−=π+ω= coscos 222
y ely el movimiento resultantemovimiento resultante eses
A
A1
A2
x
tO x
ωt
y
P’
P1’
P2’
π
O
14

15. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
• Caso general. SiCaso general. Si δδ toma un valor arbitrario.toma un valor arbitrario.
De la representación como vectores rotantes se observa que el movimientoDe la representación como vectores rotantes se observa que el movimiento
resultante es unresultante es un MASMAS de lade la misma frecuenciamisma frecuencia yy una amplituduna amplitud dada pordada por
( ) ( )02121 coscoscos ϕ+ω=δ+ω+ω=+= tAtAtAxxx
y cuyoy cuyo desplazamiento resultantedesplazamiento resultante eses
A
A1
A2
x
tO
δ++= cos2 21
2
2
2
1 AAAAA
x
ωt
y
P’
P1’
P2’
δ ϕ0
O
A1
A2
A
15

16. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
• Superposición de dos MAS de la misma dirección pero distinta frecuencia.Superposición de dos MAS de la misma dirección pero distinta frecuencia.
Es el tipo de interferencia que resulta cuando dos señales de radio son trasmitidasEs el tipo de interferencia que resulta cuando dos señales de radio son trasmitidas
con frecuencias cercanas pero no iguales.con frecuencias cercanas pero no iguales.
Consideremos que los MAS que se superponen vienen dados por las ecuacionesConsideremos que los MAS que se superponen vienen dados por las ecuaciones
tAxtAx 222111 cos,cos ω=ω= La fase inicial de ambos es cero por simplicidadLa fase inicial de ambos es cero por simplicidad
x
ω1t
y
P’
P1’
P2’
ω2t
(ω2- ω1)t
O
A
A1
A2
ElEl ánguloángulo entre los vectores de rotaciónentre los vectores de rotación OPOP11’’ yy OPOP22’’ eses
( )ttt 1212 ω−ω=ω−ω No es constanteNo es constante
Por lo que el vectorPor lo que el vector OP’OP’ no tiene longitud constante y lano tiene longitud constante y la amplitudamplitud
del movimiento resultantedel movimiento resultante eses
( )tAAAAA 1221
2
2
2
1 cos2 ω−ω++=
EstaEsta amplitud varía u oscilaamplitud varía u oscila entre los valoresentre los valores
21 AAA += sisi ( ) π=ω−ω nt 212
21 AAA −= sisi ( ) π+π=ω−ω nt 212
A
tO
A1+A2
A1−A2
Amplitud moduladaAmplitud modulada
Por tanto el movimiento resultante en este casoPor tanto el movimiento resultante en este caso
21 xxx += No es un MASNo es un MAS
16

17. 6.6 – Superposición de MM. AA. SS.
• Caso especialCaso especial ⇒⇒ cuandocuando AA11==AA22
Entonces la amplitud del movimiento resultante esEntonces la amplitud del movimiento resultante es
( ) ( )[ ]tAtAAA 12112
2
1
2
1 cos12cos22 ω−ω+=ω−ω+=
ComoComo θ=θ+ 2
12
cos2cos1
( )tAA 122
1
1cos2 ω−ω= Que oscila entreQue oscila entre 00 yy 22AA11
x
x1,x2
A
x1+x2
x1
x2
17

18. 6.7 – Dinámica de un oscilador amortiguado 18
• En unEn un MASMAS lala amplitudamplitud y lay la energíaenergía de la partícula que oscilade la partícula que oscila se mantienen constantese mantienen constante..
• Sin embargo en unSin embargo en un sistema realsistema real, como un péndulo o resorte, se observa, como un péndulo o resorte, se observa
queque la amplitud de la vibración disminuye con el tiempola amplitud de la vibración disminuye con el tiempo, ya que hay una, ya que hay una
pérdida de energíapérdida de energía. Se dice que la. Se dice que la oscilación está amortiguadaoscilación está amortiguada..
• Para el análisis dinámico del oscilador dinámico, se puede suponer quePara el análisis dinámico del oscilador dinámico, se puede suponer que
además de la fuerza elástica, también actúa unaademás de la fuerza elástica, también actúa una fuerza disipativa que sefuerza disipativa que se
opone a la velocidadopone a la velocidad, de la forma, de la forma
bvFd −= bb es una constante que indica la intensidad de laes una constante que indica la intensidad de la
fuerza disipativafuerza disipativa
• Aplicando laAplicando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton se tiene entonces quese tiene entonces que
  mabvkx
del FF
=−−
2
2
dt
xd
m
dt
dx
bkx =−− 02
2
=++ kx
dt
dx
b
dt
xd
m
dividiendo pordividiendo por mm
02 2
02
2
=ω+γ+ x
dt
dx
dt
xd dondedonde
mk
mb
=ω
=γ
0
2
FrecuenciaFrecuencia
naturalnatural
• LaLa frecuencia naturalfrecuencia natural es aquella que tendría el oscilador si la fuerza disipativa noes aquella que tendría el oscilador si la fuerza disipativa no
estuviera presente.estuviera presente.
Ecuación básica de unEcuación básica de un
oscilador amortiguadooscilador amortiguado

19. 6.7 – Dinámica de un oscilador amortiguado 19
1.-1.- Si laSi la fuerza disipativafuerza disipativa eses relativamente pequeñarelativamente pequeña ((bb pequeñopequeño yy γγ << ωω00).).
• ElEl desplazamientodesplazamiento está descrito porestá descrito por
m
b
m
k
2
2
22
0 −=γ−ω=ω
( )00 cos ϕ+ω= γ−
teAx t
observándose que laobservándose que la amplitud no es constanteamplitud no es constante (disminuye exponencialmente con(disminuye exponencialmente con tt))
• LaLa frecuenciafrecuencia viene dada porviene dada por
Se observa queSe observa que ωω << ωω00
A0
AmplitudAmplitud A=AA=A00ee--γγ tt
DesplazamientoDesplazamiento xx
PeriodoPeriodo PP

20. 6.7 – Dinámica de un oscilador amortiguado 20
• Al ser laAl ser la energía proporcional a la amplitud al cuadradoenergía proporcional a la amplitud al cuadrado, también, también disminuye condisminuye con tt
exponencialmenteexponencialmente
• Se define elSe define el tiempo de relajacióntiempo de relajación comocomo
( ) tt
eAmeAmAmE γ−γ−
ω=ω=ω= 22
0
2
2
1
2
0
2
2
122
2
1
LlamandoLlamando
2
0
2
2
1
0 AmE ω=
t
eEE γ−
= 2
0
b
m
==τ γ2
1 Es el tiempo necesario para que la energía se reduzcaEs el tiempo necesario para que la energía se reduzca
un número e de veces su valor originalun número e de veces su valor original
y lay la energíaenergía se puede expresar comose puede expresar como τ−
= t
eEE 0
• Se define elSe define el factor de calidadfactor de calidad comocomo
b
m
Q 0
0
ω
=τω=
Está relacionado con la pérdida relativa de energía porEstá relacionado con la pérdida relativa de energía por
ciclo.ciclo.
se puede demostrar que else puede demostrar que el factor de calidadfactor de calidad es igual aes igual a
( )ciclo
2
EE
Q
∆
π
= Es inversamente proporcional a la pérdida de energíaEs inversamente proporcional a la pérdida de energía
relativa por ciclo.relativa por ciclo.

21. 6.7 – Dinámica de un oscilador amortiguado 21
2.-2.- Si laSi la fuerza disipativafuerza disipativa alcanza unalcanza un valor críticovalor crítico (( γγ == ωω00 yy bb ==2m2m ωω00 ).).
• En este caso la frecuencia del movimiento seráEn este caso la frecuencia del movimiento será
El sistema al ser desplazado de su posición de equilibrio vuelve a éstaEl sistema al ser desplazado de su posición de equilibrio vuelve a ésta sin oscilarsin oscilar. Se. Se
dice que el sistema estádice que el sistema está amortiguado críticamenteamortiguado críticamente..
022
0 =γ−ω=ω No es un movimientoNo es un movimiento
oscilatorio.oscilatorio.
3.-3.- Si laSi la fuerza disipativafuerza disipativa supera estesupera este valor críticovalor crítico (( γγ >> ωω00 yy bb >>2m2m ωω00 ).).
• En este casoEn este caso tampoco hay oscilacióntampoco hay oscilación, y el sistema al desplazarse vuelve a la posición, y el sistema al desplazarse vuelve a la posición
de equilibrio, perode equilibrio, pero más lentamente que con amortiguación críticamás lentamente que con amortiguación crítica. Se dice que el. Se dice que el
sistema estásistema está sobremortiguado.sobremortiguado.
Amortiguado críticamenteAmortiguado críticamente
SobreamortiguadoSobreamortiguado

22. 6.8 – Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias 22
• Un oscilador forzado dejará de moverse transcurrido un tiempo. Podemos mantenerUn oscilador forzado dejará de moverse transcurrido un tiempo. Podemos mantener
una partícula oscilando con amplitud constante aplicando unauna partícula oscilando con amplitud constante aplicando una fuerza externafuerza externa que varíeque varíe
con el tiempo de forma periódica. En este caso el movimiento resultante se dice que escon el tiempo de forma periódica. En este caso el movimiento resultante se dice que es
unauna oscilación forzadaoscilación forzada..
• Para el análisis dinámico del oscilador forzadoo, se puedePara el análisis dinámico del oscilador forzadoo, se puede
suponer que además de la fuerza elástica y la fuerzasuponer que además de la fuerza elástica y la fuerza
disipativa, también actúa unadisipativa, también actúa una fuerza externafuerza externa, de la forma, de la forma
tFF fext ω= cos0
• Aplicando laAplicando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton se tiene entonces quese tiene entonces que
  mabvkxtF
del
ext
FF
F
f =−−ω

cos0 tFkx
dt
dx
b
dt
xd
m fω=++ cos02
2
0F
fω
Amplitud de la fuerza externaAmplitud de la fuerza externa
Frecuencia de la fuerza externaFrecuencia de la fuerza externa
dividiendo pordividiendo por mm
t
m
F
x
dt
dx
dt
xd
fω=ω+γ+ cos2 02
02
2
Ecuación básica de unEcuación básica de un
oscilador forzadooscilador forzado
dondedonde
mk
mb
=ω
=γ
0
2
FrecuenciaFrecuencia
naturalnatural

23. 6.8 – Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias. 23
• La solución de esta ecuación consta de dos partes, laLa solución de esta ecuación consta de dos partes, la solución transitoriasolución transitoria y lay la soluciónsolución
estacionariaestacionaria. La. La parte transitoriaparte transitoria es idéntica a la de un oscilador amortiguado yes idéntica a la de un oscilador amortiguado y
transcurrido cierto tiempo se hace despreciable (disminuye exponencialmente con eltranscurrido cierto tiempo se hace despreciable (disminuye exponencialmente con el
tiempo). Así solo queda latiempo). Así solo queda la parte estacionariaparte estacionaria que puede expresarse comoque puede expresarse como
( )δ−ω= tAx fsen La partícula oscila con laLa partícula oscila con la
frecuencia de la fuerza externafrecuencia de la fuerza externa
x
tO
SoluciónSolución
transitoriatransitoria
Solución estacionariaSolución estacionaria

24. 6.8 – Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias. 24
( ) ( ) 2222
0
2
0
22
0
ffff
f
bmm
F
bkm
F
A
ω+ω−ω
=
+ω−ω
ω
=
donde ladonde la amplitudamplitud yy la fase inicial de la oscilación forzadala fase inicial de la oscilación forzada vienen dadas porvienen dadas por
f
f
γω
ω−ω
=δ
2
tan
22
0
A
F0/k
ωf0 ω0
bb22
bb11
b = 0b = 0
• LaLa amplitud es máximaamplitud es máxima cuandocuando
22
0 2γ−ω=ωf
• LaLa velocidadvelocidad de un oscilador forzado esde un oscilador forzado es
Resonancia enResonancia en
amplitudamplitud
( )δ−ωω== tA
dt
dx
v ff cos
• LaLa amplitud de la velocidadamplitud de la velocidad eses
( ) 22
0
0
bkm
F
Av
ff
f
+ω−ω
=ω=
bb22 >> bb11 >> bb=0=0

25. 6.8 – Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias. 25
• Cuando hayCuando hay resonancia en energíaresonancia en energía se tiene quese tiene que
• EnEn resonanciaresonancia, la, la velocidad está en fase con lavelocidad está en fase con la
fuerza aplicadafuerza aplicada. Como la. Como la potencia transmitida alpotencia transmitida al
osciladoroscilador por la fuerza aplicada espor la fuerza aplicada es
FvP =
• LaLa amplitud de la velocidadamplitud de la velocidad es máxima, y por tanto la energía cinética del osciladores máxima, y por tanto la energía cinética del oscilador
también es máxima, cuandotambién es máxima, cuando
mkf =ω=ω 0 Resonancia en energíaResonancia en energía
v0
ωf0 ω0
bb22
bb11
b = 0b = 0
bb33
0
2
tan
22
0
=
γω
ω−ω
=δ
f
f
0=δ
esta cantidadesta cantidad siempre es positivasiempre es positiva cuandocuando lala
fuerza y la velocidad están en fasefuerza y la velocidad están en fase, y es por tanto, y es por tanto
la condición más favorable para la transferenciala condición más favorable para la transferencia
de energía al oscilador.de energía al oscilador.
bb33 > b> b22 >> bb11 >> bb=0=0