Ocho ejercicios de integracion por diferentes metodos

1. EJERCICIOS DE INTEGRALES
YANNIS RUEDA
DANIEL ITUYAN
DAVID CORAL
DAVID A. MADROÑERO

2. SOLUCION INTEGRALES
1)
 ∫ X√1 − X2
dx
 U= 1-X^2
 DU=-2X dx
 -DU/2 =x dx
 ∫ ((−
du
2
) ×
√u )dx
 (−1/2)∫ (u
1
2) dx
 (−1/
2)∫ (
u(
1
2
+1)
1
2
+1
)dx
 (−
1
2
) × (
u
3
2
3
2
) + c
MIRAMOS Y ANALIZAMOS LA INTEGRAL. EN ESTE CASO COMO PODEMOS
OBSERVAR PODEMOS RESOLVERLA A TRAVES DEL METODO DE SUSTITUCION
DEBIDOS A QUE UNA ES DERIVADA DE LA OTRA POR LO QUE PROCEDEMOS A
HACER EL CAMBIO DE VARIABLE.
GENERAMOS UNA VARIABLE
PARA HACEL EL CAMBIO Y
SUSTITUCION
PROCEDEMOS HA HACER LA DERIVADA IMPLICIDA DE LA VARIABLE QUE
GENERAMOS DEACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA DERIVACION DONDE
SE ESTABLECE QUE LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE ES CERO Y EN EL
EXPONENCIACION SE BAJA EL EXPONENTE Y SE RESTA UNO. PROCEDEMOS
A DESPEJAR X DX
REEMPLAZAMOS EN LA ECUACION LAS VARIABLES QUE GENERAMOS ES
DECIR REEEMPLAZOMOS DU/2 Y U EN LAS VARIABLES
CORRESPONDIENTES
DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA DERIVACION LA CONSTANTE
SALE DE LA INTEGRAL
DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA INTEGRACION PARA INTEGRAR
UN EXPONENCIAL SE SUMA UNO AL EXPONENTE Y SE DIVIDE POR EL
EXPONTENTE MAS UNO
OBTENEMOS LA INTEGRAL Y SUMAMOS UNA CONSTANTE CARACTERISTICA
DE LA INTEGRACION ESTA ES LA RESPUESTA DE LA INTEGRAL DADA EN EL
PRINCIPIO LO QUE RESTA ES SIMPLIFICAR

3.  (−
1
2
) × (
2u
3
2
3
) +
c
 (−
2
6
) u
3
2 + c
 ((−
1
3
) ((1 − x2)
3
2)) +
c
2)

∫ (sin ^3x)(cos ^2x)dx
 u= cosx
u^2=cos^2

 cos^2x+ sin^2x=1
 u^2= 1-sin^2x
 sin^2x=1-u^2
 du=-sinx dx
 -du=sinx
SIMPLIFICAMOS LA EXPRESION. LAS PROPIEDADES DE LAS FRACCION
ESTABLECEN ALGO DENOMINADO COMUNMENTE COMO ‘LEY DE LA
OREJA’ OBTENIENDO (
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
) = (
𝐴∗𝐷
𝐵∗𝐶
)
DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LAS PROPIEDADES DE LAS
FRACCIONES SE MULTIPLICA EN LINEA. POR LO QUE EN ESTE CASO SE
MULTIPLICARIA CON LA CON LA CONSTANTE
DESPUES DE SIMPLIFICAR PROCEDEMOS A SUSTITUIR LAS
VARIABLES ANTES GENERADAS POR LOS TERMINOS
INICIALES DE LA INTEGRAL
MIRAMOS Y ANALIZAMOS LA INTEGRAL. EN ESTE CASO COMO
PODEMOS OBSERVAR PODEMOS RESOLVERLA A TRAVES DEL
METODO DE SUSTITUCION DEBIDOS A QUE UNA ES DERIVADA DE LA
OTRA POR LO QUE PROCEDEMOS A HACER EL CAMBIO DE VARIABLE.
GENERAMOS UNA VARIABLE PARA HACEL EL CAMBIO Y SUSTITUCION DONDE
U=COSX. ESTE CASO ES ESPECIAL DEBIDO A QUE DEBEMOS DESCOMPONER
LOS FACTORES ES DECIR DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA
EXPONENCIACION (sin ^3𝑥) = (sin ^2𝑥)(𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑑𝑥, POR LO QUE LA
VARIABLE GENERADA DEBE IR EN TERMINO CUADRATICO. EN ESTE CASO
COMO TENEMOS SENO Y COSENO UNO ES DERIVADA DE LA OTRA
OBTENEMOS DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES TRIGONOMETRICAS QUE
cos^2x+ sin^2x=1 CON ESTO PODEMOS DESPEJAR SIN^2X PARA PODER
REEMPLAZAR EN LA INTEGRAL Y OBTENER TODOS LOS TERMINOS EN
RELACION A UNA VARIABLE QUE EN ESTE CASO ES U POR ULTIMO
PROCEDEMOS A DERIVAR IMPLICITAMENTE PARA OBTENER DU

4.  ∫ (cos ^2x)(sin ^2x)(sinx)dx
 ∫ (u2)(1 − u2)du
 ∫ (u2
− u4
)du
 ∫ (u^2 du − ∫ u^4 )du
 (
u3
3
) − (
u5
5
) + c
 (
cos3
3
) − (
cos5
5
) +
c
3. Tenemos la integral
∫
cosx + sinx
sinx
dx
Aplicamos la identidad: sin (2x)=2cos(x).sin(x)
= ∫
cosx + sinx
2cosx. sinx
dx
PROCEDEMOS A REEMPLAZAR LA VARIABLE QUE GENERAMOS Y LA
DEJAMOS EN TERMINOS DE UN
DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICASION REALIZAMOS LA
MULTIPLICASION DISTRIBUTIVA OBTENIENDO UNAS INTEGRAL MAS SIMPLE
ANALIZAMOS LA INTEGRAL DEBIDO QUE ESTA SEPARADA POR UN
MENOS DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA INTEGRACION
PODEMOS SEPARARLAS Y OBTENER DOS INTEGRALES MAS SENCILLAS
OPARA DESARROLLAR
DE ACUERDO A LAS PROPIEDADES DE LA INTEGRACION PARA INTEGRAR UN
EXPONENCIAL SE SUMA UNO AL EXPONENTE Y SE DIVIDE POR EL EXPONTENTE
MAS UNO, OBTENIENDO EL RESULTADO DE LA INTEGRAL Y SUMANDOLE UNA
CONSTANTE.
PROCEDEMOS A REEMPLZAR LAS VARIABLES Y DEJAR EN LOS TERMINOS
INICIALES.

5. Tomamos la constante: ∫a.f(x).dx= a.∫f(x).dx
1
2
∫
cosx + sinx
cosx. sinx
dx
Aplicamos regla de la suma:
∫ f(x) ± g(x)dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
=
1
2
∫
cosx
cosx. sinx
dx + ∫
sinx
cosx. sin
dx
Entonces se integra a cada una de las integrales:
Para la primera se aplica las fórmulas de sustitución universal:
U=tan (
x
2
); dx=
2
1+u2 du; sinx=
2u
1+u2; cosx=
1−u2
1+u2
= ∫
cosx
2cosx. sinx
dx = ∫
1 − u2
1 + u2
1 − u2
1 + u2 .
2u
1 + u2
.
2
1 + u2
du
Se aplica la integral común:
= ∫
1
u
du= ln (u)
Sustituimos: u=tan (
x
2
):
=ln (tan (
x
2
))
Entonces para la segunda primero se aplica la identidad trigonométrica:
1
cosx
= secx
= ∫ secx. dx
Se utiliza la integral: ∫ secx. dx=ln (tan(x))+sec(x))
= ln (tan(x))+sec(x))
Se simplifica:
= ln ((
1
cosx
)+ (tanx))
Finalmente se une las dos respuestas no olvidando la constante que Salió de la
integral:
1
2
Ln (tan (
x
2
))+ln ((
1
cosx
)+ (tanx))+c
Se simplifica y se encuentra el resultado:

6. =
ln (tan (
x
2
)) + ln( (
1
cosx
) + (tanx)
2
+ c
4. se Tiene la integral
∫
cosx
sinx2x + sinx
dx
Primeramente se utiliza las fórmulas de sustitución universal:
U=tan (
x
2
); dx=
2
1+u2 du; sinx=
2u
1+u2; cosx=
1−u2
1+u2
Se remplaza en la integral:
= ∫
1 − u2
1 + u2
(
2u
1 + u2)
2+
2u
1+u2
.
2
1 + u2
du
= ∫
1
u
−
2
u + 1
du
Se aplica la regla de la suma:
∫ f(x) ± g(x)dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
= ∫
1
u
du − ∫
2
u + 1
du
Se integra a cada una de las integrales:
Para la primera se aplica la integral común:
= ∫
1
u
du = ln(u)
Para la segunda se primeramente sale la constante fuera de la integral:
−2 ∫
1
u + 1
du
Se aplica el método de sustitución normal:

7. ∫ f(g(x)). g(x)dx = ∫ f(u)du : u=g(x)
Entonces: v=u+1; dv=dx; du=dv.
Se sustituye:
−2 ∫
1
v
dv
Se aplicamos la integral común:= ∫
1
v
dv = ln(v)
−2ln(v)
Se sustituye a v:
−2ln(u + 1)
Finalmente se une las respuestas de las integrales respectivamente:
ln(u) −2ln(u + 1)
Y sustituimos a u: u = tan(
x
2
)
Y se encuentra el resultado:
ln (tan(
x
2
)) −2ln (tan(
x
2
) + 1) + c
5. ∫
𝑒2𝑥
𝑒2𝑥 + 3𝑒 𝑥 + 2
𝑑𝑥
Primero el 𝑒2𝑥
por ley de exponentes es lo mismo que poner (e^x)² reemplazando
así en la integral
∫
(𝑒 𝑥
)2
(𝑒 𝑥)2 + 3(𝑒 𝑥) + 2
𝑑𝑥
Ahora se aplica el método de la sustitución
u= 𝑒 𝑥
du=𝑒 𝑥
Sustituyendo en la integral quedaría

8. ∫
𝑢2
𝑢2 + 3𝑢 + 2
𝑑𝑢
Aplicando la simplificación
∫
𝑢
𝑢2 + 3𝑢 + 2
𝑑𝑢
Ahora esto se resuelve por fracciones parciales o por sustitución sumando y
restando 3 pero mejor se lo puede realizar por fracciones parciales.
∫
𝑢
( 𝑢 + 1)( 𝑢 + 2)
𝑑𝑢
Se tiene en cuenta, para sacar factores lineales.
𝐴
𝑢 + 1
+
𝐵
𝑢 + 2
Se desarrolla en cruz multiplicando los extremos sumando los medios dividiéndolos
entre la multiplicación de sus denominadores
( 𝑢 + 1) 𝐴 + (𝑢 + 2)𝐵
( 𝑢 + 1)(𝑢 + 2)
Se entiende que el denominador es el mismo de la ecuación principal por lo tanto
esto se cancela. Por lo tanto
𝑢 = (𝑢 + 1)𝐴 + (𝑢 + 2)𝐵
Aplicamos la ley distributiva y agrupamos los términos comunes.
𝑢 = 𝐴𝑢 + 𝐴 + 𝐵𝑢 + 2𝐵
𝑢 = 𝐴𝑢 + 𝐵𝑢 + 𝐴 + 2𝐵
Debemos sacar el valor de B y el valor de A
𝑢 = 𝑢(𝐴 + 𝐵) + 𝐴 + 2𝐵

9. Se debe sacar el termino u a dividir y como resultado obtendríamos 1
1 = (𝐴 + 𝐵) + 𝐴 + 2𝐵
Entonces lo que se hace es juntar términos semejantes
Ecuación 1 = 1 = 2𝐴 + 3𝐵
El paso siguiente lo que se realiza es despejar una de las incógnitas y hallar el valor
de A y B.
1 − 2𝐴
3
= 𝐵
Reemplazo en la ecuación 1
1 = 2𝐴 + 3 (
1 − 2𝐴
3
)
Se debe cancelar lo que se pueda y se continúa con operaciones matemáticas
1 = 2𝐴(1 − 2𝐴)
Por tanto, se obtiene esta ecuación
2 ∫
𝑑𝑢
𝑢 + 2
− ∫
𝑑𝑢
𝑢 + 1
Esas integrales ya se las puede realizar directamente teniendo en cuenta tablas de
integración
2𝑙𝑛( 𝑢 + 2) + 𝑙𝑛( 𝑢 + 1)
Se sabe que
𝑢 = 𝑒 𝑥
2𝑙𝑛( 𝑒 𝑥) + 2 + 𝑙𝑛( 𝑒 𝑥) + 1 + 𝑐
6. ∫ √
𝑥 + 1
𝑥 − 1
𝑑𝑥

10. el primer paso es empezar multiplicando el numerador y el denominador de modo
que el numerador es un cuadrado perfecto.
∫ √(
𝑥 + 1
𝑥 − 1
) ∗ (
𝑥 + 1
𝑥 + 1
) 𝑑𝑥
Esto simplifica de la siguiente manera
∫ √
( 𝑥 + 1)2
𝑥 − 12
𝑑𝑥
Se usa la propiedad de los radicales
√
𝑝
𝑞
𝑎
= √ 𝑝𝑎
√ 𝑞𝑎
Podemos dividir esta raíz cuadrada de una fracción en una fracción de raíces
cuadradas
∫
√( 𝑥 + 1)2
√𝑥 − 12
𝑑𝑥
En este caso se puede simplificar el numerador
∫
𝑥 + 1
√𝑥 − 12
𝑑𝑥
A partir de la función original sabemos que 1 + x debe ser positivo
Ahora podemos dividir esto en fracciones separadas.
∫
1
√1 − 𝑥2
+
𝑥
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥
Ahora podemos usar una propiedad de integrales para dividir esto en dos:9
∫
1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
𝑥
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥
De esta manera obtenemos dos integrales en una forma que se debe resolver. El
primero es de la forma
∫
1
√𝑎2 − 𝑢2
𝑑𝑢
Con u = x y a = 1. Y el segundo es de la forma de
∫
𝑢
√𝑎2 − 𝑢2
𝑑𝑢

11. Con u = x y a = 1. se debe encontrar ambos en esta tabla para que pueda ver que
la solución.
𝑠𝑖𝑛−1
(
𝑥
1
) + 𝑐1 + (−√12 − 𝑥2) + 𝑐2
Simplificar y la combinación de las dos constantes de integración en una sola
obtenemos
𝑠𝑖𝑛−1( 𝑥) + (−√1 − 𝑥2) + 𝑐
7.
∫ tan5 (x)sec7(x). dx
Se aplica la siguiente propiedad algebraica para así poder descomponer la función
xa
= xa−1
. x
∫ tan4
x, tanx. sec7
x . dx
Se aplica la propiedad algebraica que dice xa
= (x2
)
a
2. a > 2, a si es par
tan4
x = (tan2
x)2
∫(tan2
x)2
. tanx, sec7
x . dx
Aplicamos la identidad pitagórica tan2
x = 1 − sec2
x
∫(1 − sec2
x)2
. tanx. sec7
. dx
Se aplica la integración por sustitución dándole una variable auxiliar a uno de los
términos
u = secx du = secx. tanx. dx
dx =
du
secx. tanx
∫(1 − u2
)2
. tanx. u7
du
tanx. u
Aquí Se realiza la simplificación donde se cancela la u del denominador
quedando así u6
y se cancela tan x
∫ u6
(u2
− 1)2
du

12. Se desarrolla la multiplicación de los términos
∫( u10
− 2u8
+ u6
)du
Se aplica la regla de suma o resta ∫ f (x) ± g(x)dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g (x) ± dx
=∫ u
10
du − ∫ 2 u8
du + ∫ u6
du
Se aplica la fórmula de integración ∫ xa
dx =
xa+1
a+1
, ≠ 1 y la que dice
∫ a. f(x). dx = a. ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
=
u11
11
−
2u9
9
+
u7
7
+ c
Se remplaza los términos
=
sec11
x
11
−
sec9
x
9
+
sec7
x
7
+ c
1
11
. sec11
x −
1
9
. sec9
x +
1
7
sec7
x + c
8)
∫ 𝑥3√1 + 𝑥2 . 𝑑𝑥
Se aplica el método de integración por sustitución ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)). 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 , 𝑢 =
𝑔(𝑥)
U=𝑥2 du= 2xdx
Se despeja dx
dx =
𝑑𝑢
2𝑥
=∫ 𝑥3
√1 + 𝑢
𝑑𝑢
2𝑥
=∫
𝑥2
√1+𝑢
2
. 𝑑𝑢
U=𝑥2
=∫
𝑢√1+𝑢
2
. 𝑑𝑢
Se saca la constante por la propiedad que dice ∫ a. f(x). dx = a. ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥

13. 1
2
∫ 𝑢√1 + 𝑢. 𝑑𝑢
Después de esto se vuelve aplicar el método de sustitución
m= u+1 dm=du du=dm
1
2
∫ 𝑢√ 𝑚. 𝑑𝑚
Se despeja u=m-1
1
2
∫(𝑚 − 1)√ 𝑚. 𝑑𝑚
Ampliamos la integral aplicando la ley distributiva
1
2
∫(𝑚
3
2 − √ 𝑚). 𝑑𝑚
Aplicamos la regla de la suma repartiendo los factores y las constantes para cada término
∫ f (x) ± g(x)dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g (x) ± dx
1
2
∫(𝑚
3
2. 𝑑𝑚 −
1
2
∫ √ 𝑚) . 𝑑𝑚
Aquí ya realizamos las integrales donde para el primer factor se aplica la propiedad que
dice ∫ xa
dx =
xa+1
a+1
, ≠ 1
1
2
∫ 𝑚
3
2. 𝑑𝑚 =
2𝑚
5
2⁄
5
Para la otra integral aplicamos la propiedad de las raíces √ 𝑎 𝑚𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛
1
2
∫ √ 𝑚) = ∫ 𝑚
1
2
Y aquí ya aplicamos la anterior propiedad
∫ 𝑚
1
2 =
2𝑚
3
2⁄
3
=
1
2
.
2𝑚
5
2⁄
5
−
1
2
.
2𝑚
3
2⁄
3
+ 𝑐
Aquí ya simplificamos lo que más se puede restando los
1
2
y el 2
𝑚
5
2⁄
5
−
𝑚
3
2⁄
3
+ 𝑐

14. Aquí ya remplazamos por quien era la variable m donde m= u+1
1
5
(𝑢 + 1)
5
2⁄
−
1
3
(𝑢 + 1)
3
2⁄
+ 𝑐
Aquí remplazamos a u que la utilizamos como una variable auxiliar donde u=𝑥2
𝑅 =
1
5
(𝑥2
+ 1)
5
2⁄
−
1
3
(𝑥2
+ 1)
3
2⁄
+ 𝑐