teoria de funcion compuesta de funciones vectoriales

1. 1
1. Función Compuesta
1.1. Composición de funciones
Sean A, B, C y D conjuntos no vacíos tales que B  C ; sean F y G dos funciones
tales que F: A→B y G: C→ D. Entonces la composición entre F y G se denota GF y da
como resultado una función H tal que:
Para cada X  E A, H(X) = (GF)( X) = G(F( X)) D.
La notación GF se lee “G compuesta con F”. En la figura puede observarse que el
dominio de H es el conjunto E  A, donde para todo X  E, F(X)  B  C ; y el rango de
H es el conjunto K  D , donde para todo F(X)  B  C , G(F(X))  K
Para que sea posible hallar GF, se debe cumplir lo siguiente:
 la dimensión del rango de F debe ser igual a la dimensión del
dominio de G.
 la intersección entre el rango de F y el dominio de G no
debe ser el conjunto vacío; para que GF tenga imagen en el
conjunto de llegada (rango de G).
GF
D
G (F(X))
CB
F(X)
A
X
E
H
K

2. 2
1.2. Continuidad de una función compuesta
Sea F: A→B una función continua en X0  A , y sea G : C→D tal que B C  una
función continua en F(X0)  B C . Sea H = GF.
Como F es continua en X0 entonces )F(XF(X)lim 0
XX

 0
, lo que indica que dado un
 > 0 existe un  > 0 tal que:
 )X(F)X(F 0 Cuando  0XX .
La composición de funciones no cumple con la propiedad conmutativa.
No obstante, si cumple con la propiedad asociativa:
(H(GF)) (X) = H(GF(X)) = H(G(F(X))) y
((HG)F))(X) = (HG)( F(X)) = H(G(F(X))),
(H(GF)) (X) = ((HG)F))(X) = (HGF)(X).
F G
D
G(F(X0))

A
X0

E
B
C
F(X0)

H

3. 3
Así mismo, Como G es continua en F(X0) entonces:
))F(X(GG(F(X))lim 0
)X(F)X(F

 0
,
lo que indica que dado un  > 0 existe un  > 0 tal que :
 ))X(F(G))X(F(G 0 Cuando  )X(F)X(F 0 .
De donde  ))X(F(G))X(F(G 0 cuando  0XX , lo que es equivalente a
decir que
))F(X(GG(F(X))lim 0
XX

 0
Y permite afirmar que la función H = GF es continua en X0.
1.3. Teorema de la función compuesta
Sean F y G dos funciones tales que F: n
→ p
es diferenciable en el elemento X0 y
G: p
→ m
es diferenciable en el elemento F(X0). Entonces la función G ○ F: n
→ m
es diferenciable en el elemento X0 y se cumple que:
De la composición de dos funciones continuas en X0, resulta otra
función que también es continua en X0.

4. 4
En caso que se tenga la compuesta de tres o más funciones que cumplan las condiciones del
teorema de la función compuesta el mismo puede aplicarse en forma reiterada. Por ejemplo,
si F: n
→ p
es diferenciable en X0, G:p
→ q
es diferenciable en F(X0) y H: q
→ m
es diferenciable en G(F(X0)) entonces, sobre la base de la propiedad asociativa de la
composición de funciones y el teorema de la función compuesta, para HGF: n
→ m
se tiene que:
Siendo una matriz de “m” filas con “n” columnas.
1.4. Derivadas de orden superior de una función compuesta
Sea z = z(x,y) una función donde x = x(u,v) e y = y(u,v). Aplicando la regla de la cadena:
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z












Donde
x
z


y
y
z


son funciones que dependen de x e y. Dado que x e y dependen de u y v,
entonces
x
z


y
y
z


son dependientes de x e y. Luego:






















































u
y
y
z
uu
x
x
z
uu
y
y
z
u
x
x
z
uu
z
uu
z
2
2
Sobre la base de las propiedades de las derivadas parciales:
















































x
z
u
u
x
u
x
u
x
z
u
x
x
z
u
, 















































y
z
u
u
y
u
y
u
y
z
u
y
y
z
u
Como
x
z


y
y
z


dependen de u y v, entonces:
u
y
xy
z
u
x
x
z
u
y
y
x
z
u
x
x
x
z
u
x
z













































 2
2
2
u
y
y
z
u
x
yx
z
u
y
y
y
z
u
x
x
y
z
u
y
z














































2
22

5. 5
Y en virtud que 2
2
u
x
u
x
u 











, 2
2
u
y
u
y
u 











, entonces:



















































x
z
u
x
u
x
u
y
xy
z
u
x
x
z
u
x
x
z
u 2
22
2
2



















































y
z
u
y
u
y
u
y
y
z
u
x
yx
z
u
y
y
z
u 2
2
2
22
Al sustituir estas derivadas parciales en 2
2
u
z


queda:
y
z
u
y
u
y
u
y
y
z
u
x
yx
z
x
z
u
x
u
x
u
y
xy
z
u
x
x
z
u
z




























































2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
Desarrollando y simplificando, se obtiene que:
y
z
u
y
u
y
u
x
yx
z
u
y
y
z
x
z
u
x
u
x
u
y
xy
z
u
x
x
z
u
z




















































2
222
2
2
2
222
2
2
2
2
En forma similar se obtiene el resto de las derivadas de segundo orden de z = z(x, y). Y
determinadas las derivadas de segundo orden puede determinarse, mediante el
procedimiento descrito, las derivadas de tercer orden y así sucesivamente. Todo lo expuesto
aquí es valido para una función de n
en  .
Tomado de la guía “Diferenciación de Funciones Vectoriales”
Prof. Jesús Jiménez- Prof. E. Flores.