GRUPO I

1. FUNCIONES
Definición
 De manera intuitiva podemos decir que una función es una
relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada
valor de la primera le corresponde un único valor de la
segunda. Posteriormente veremos que los números que son
aceptados por la máquina compondrán el dominio de
definición de la función y el conjunto de elementos de
salida compondrán el recorrido de la función.
 Formalmente , definimos función de x en y como toda
aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un
número x (variable independiente), le hace corresponder un
número y (y solo uno llamado variable dependiente).

2. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Definición
El subconjunto S de números reales que tienen imagen se llama
Dominio de definición de la función f y se representa D(f).
Nota
El dominio de una función puede estar limitado por:
1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que
representa.
Ejemplo.
Si consideramos la función f(x)=x2 podemos observar que no hay
ningún problema en calcular la imagen de un número real
negativo; por ejemplo, f(-8)=(-8)2=64.

3. 2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.
A la hora de estudiar la expresión que representa una función
tendrás que tener en cuenta tres aspectos fundamentales:
 El radicando de una raíz de índice par debe ser positivo.
 Si se trata de una división, el divisor debe ser distinto de cero.
 La función logaritmo solo admite valores mayores estrictos que
cero.
Ejemplo.
a) Calculemos el dominio de definición de la siguiente función:
f(x)=1/2x2
En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos en
los que intervenga la variable x, podemos calcular la imagen a
cualquier número real. Por tanto D(f)=R
b) Como el radicando de una raíz de índice par debe ser
positivo, debemos exigir:

4. CLASES DE FUNCIONES

5. FUNCIÓN COMPUESTA
Definición
Dadas dos funciones y=f(x), z=g(y), se llama función compuesta
(gof) a la función (gof)(x)=g(f(x))
Observando este esquema observamos que para que exista la
función compuesta es necesario que el recorrido de la función f
quede totalmente incluido en el dominio de la función g.
Nota
Si no se verificara esta condición podríamos construir una función
compuesta realizando una restricción en los puntos donde no
existen problemas. En este caso, el dominio de definición de la
nueva función sería:
Dom(gof)=

6. FUNCIÓN INVERSA
Definición
Se llama función identidad a la función que le
hace corresponder a cada número real el propio
número. Se representa por I(x).
Definición
Una función f se dice inyectiva o función uno a
uno si verifica que dos puntos distintos no
pueden tener la misma imagen. De otra forma:

7. FUNCIONES PARES E IMPARES
Definición
Una función y=f(x) se dice función par si para todo x
del dominio se verifica f(-x)=f(x).
Una función y=f(x) se dice función impar si para todo
x del dominio se verifica f(-x)=-f(x).
Propiedades
1. Las funciones pares son funciones simétricas respecto del
eje de ordenadas.
2. Las funciones impares son funciones que gozan de una
simetría central respecto del origen de coordenadas.

8. EJEMPLOS
Funciones pares.
Funciones impares.

9. FUNCIONES PERIÓDICAS
Definición
Una función f(x) es periódica, de período T, si
para todo número entero z, se verifica:
f(x) = f(x + zT)
Si tenenos una función periódica f(x) de
periodo T, la función g(x) = f(kx) tiene de
periodo:

10. CRECIMIENTO Y ACOTAMIENTO DE
FUNCIONES
Definición
Una función y=f(x) se dice monótona creciente si
para cualesquiera dos puntos x1 y x2
pertenecientes al dominio de f tales que x1<x2 se
verifica que : f(x1)<f(x2).
Definición
Una función y=f(x) se dice monótona decreciente si
para cualesquiera dos puntos x1 y x2
pertenecientes al dominio de f tales que x1<x2 se
verifica que: f(x1)>f(x2).

11. Definición
f acotada superiormente .
A cualquier M que verifique esto lo llamamos cota superior de la
función.
Definición
f acotada inferiormente .
A cualquier m que verifique esto lo llamamos cota inferior de la
función.
Definición
Sea f una función acotada superiormente. Llamamos máximo de la
función a la menor de todas las cotas superiores de dicha función.
Definición
Sea f una función acotada inferiormente. Llamamos mínimo de la
función a la mayor de todas las cotas inferiores de dicha función.

12. EJEMPLO DE ACOTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN
Consideremos la función: f(x)=x2-4. Veamos en primer lugar su
representación gráfica:
En este caso vemos que la función no es monótona creciente ni
decreciente. Lo que si podemos afirmar es que es decreciente en
(-inf ,0) y creciente en (0,+inf)
Observa que esta función no está acotada superiormente pero si
lo está inferiormente siendo una cota inferior suya -5. Observa
también que su mínimo es -4.