CASTRO PEREZ

1. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE SAN CRISTOBAL DE
HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIER´IA DE
MINAS, GEOLOG´IA Y CIVIL
ESCUELA PROFESIONAL DE
INGENIER´IA CIVIL
DIN´AMICA (IC 244)
DOCENTE:
Ing. Cristian Castro P´erez
INTEGRANTES
PALACIOS QUISPE, Joshep
PALOMINO TORRES,Richard Jhonatan
RUIZ CUAREZ,Rosmery
VELARDE FERNANDEZ,Iv´an H´anover
VILCHEZ ALVITES,Emiliano
AYACUCHO - PER ´U
2015

2. CAP´ITULO I:
FUNDAMENTOS B´ASICOS
preguntas de repaso
1.1 Responda brevemente lo siguiente:
1 Respuesta:
Efectos malos:
* Vibraciones si´ısmicas con un grado de resonancia con la edificaci´on.
* Vibraciones eleectromagn´eticas que desequilibran la naturalza, tal es el
caso de las abejas.
Efectos buenos:
* Hicieron posible la comunicaci´on a larga distancia.
* Facilitan la diferenciaci´on de sistemas o cuerpos.
2 Respuesta:
Son los siguientes: Rigidez, la masa (inercia) y amortiguamiento.
3 Respuesta:
Los grados de libertad ent´an en relaci´on al n´umero de variables en movimiento
del sistema.
4 Respuesta:
En un sistema discreto, se puiede diferenciar la cantidad de elemento R´ıgidos
y Variables en movimiento. en un sistema continuo, no se puede establecer el
n´umero de variables en movimiento, se toma como una cantidad muy grande.
S´ı se pueden resolver problemas de sistemas cont´ınuos como sistemas discretos,
al hacer ciertas equivalencias.
5 Respuesta:
No se puede dehecharse para todos los casos, pues el amortiguamiento es pro-
pio de la naturaleza y como tal, est´a presente en todo.
6 Respuesta:
S´ı de acuerdo a su forma de presentaci´on, pues ya est´a establecida una ecua-
ci´on diferencial para este tipo de movimiento.
7 Respuesta:
La diferencia est´a en que la vibraci´on determin´ıstica es peri´odica mientras que
las vibraciones aleatorias, no obedece a un patr´on peri´odico.

3. 8 Respuesta:
Representando todos los detalles que involucran el fen´omeno en un sistema
matem´atico o anal´ıtico, con el objeto de derivar las ecuaciones matem´aticas.
9 Respuesta:
Conect´andolas en paralelo, pues el equivalente se obtiene por suma directa.
10 Respuesta:
La constante de rigidez de un resorte indica la cantidad de fuerza necesaria
para estirar o comprimir en una unidad de longitud al resorte.
11 Respuesta:
Est´an: (1) la pel´ıcula de fluido entre superficies deslizantes; (2) el flujo de
fluido al rededor de un pist´on en un cilindro; (3) el flujo de fluido a trav´es de
un orificio, y (4) la pel´ıcula de fluido al rededor de un mu˜n´on en una chumacera.
12 Respuesta:
Por funciones trigonom´etricas arm´onicas como seno y coseno.
Por representaci´on por n´umeros complejos del movimiento arm´onico.
Por el ´algebra compleja.
13 Respuesta:
Ciclo: al movimiento de un cuerpo vibratorio desde su posici´on no perturba-
da o de equilibrio hasta su posici´on en una direcci´on, y luego de vuelta a la
posici´on de equilibrio, y luego a su posici´on extrema en la otra direcci´on, y de
vuelta a la posici´on de equilibrio.
Amplitud: es el desplazamiento m´aximo con respecto a su posici´on de equi-
librio.
´Angulo de fase: implica las condiciones iniciales de un movimiento vibrato-
rio arm´onico.
Frecuencia lineal: la cantidad de ciclos por unidad de tiempo.
Periodo: es el tiempo requerido para completar un ciclo de movimiento.
Frecuencia Natural: si se deja que un sistema vibre de forma naturtal des-
pu´es de una perturbaci´on, a esa nueva frecuencia se le denomina frecuencia
natural.
14 Respuesta:
ω =
2π
T
; ω = 2πf; f =
1
T
; f =
ω
2π
; T =
2π
ω
; T =
1
f
.
15 Respuesta:
Sea el vector rotatorio:x = Acos (ωt + α); con A en m., t en segundos;ω en
rad/s entonces:
El ´angulo de fase: haciendo x = x0 para t = 0
→ α = arc.cos
x0
A

4. La amplitud:
xmax = A .
16 Respuesta:
Se suma representando los movimientos arm´onicos en forma de vectores y ha-
llando su resultante.
17 Respuesta:
Cuando se suman dos movimientos artm´onicos con freecuencias pr´oximas entre
s´ı, el movimiento resultante muestra un fen´omeno conocido como pulsaciones.
18 Respuesta:
Octava: cuando el Valor m´aximo de un rango de frecuencia es dos veces su
frecuencia m´ınima.
Desibel: se define originalmente como la relaci´on entre las potencias el´ectricas.
19 Respuesta:
Cuando una funci´on peri´odica se representa con una serie de Fourier, se obser-
va un comportamiento an´omalo.
20 Respuesta:
Cuando se tiene una funci´on definida de 0 a T, se hace una expansi´on de −T
a 0 para que se observe la periodicidad.
1.2 Indique si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso:
1. Verdadero.
2. Verdadero.
3. Verdadero.
4. Verdadero.
5. Verdadero.
6. Verdadero.
7. Verdadero.
8. Verdadero.
9. Falso.
Desarrollando:
Acos(ωt + α) = x1(t) + x2(t)

5. → A(cosωt.sinα − sinωt.cosα) = 15cosωt + 20sin (ωt + 1)
→ cosωt (Asinα) − sinωt (Acosα) =
15cosωt + 20cosωt.sin1 − 20sinωt.cos1
→ cosωt (Asinα)−sinωt (Acosα) = cosωt(15+20sin1)−sinωt(20cos1)
Asinα = 15 + 20sin1...(1)
Acosα = 20cos1...(2)
Dividiendo (1) entre (2):
tanα =
15 + 20sin1
20cos1
→ α = tan−1 15 + 20sin1
20cos1
∴ α = 1,2435rad
Reemplazando el valor de α en la ecuaci´on (2), tenemos:
Acos (1,2435) = 20cos1 → A =
20cos1
cos (1,2435)
∴ A = 33,613m.
Se observa claramente que el resultado obtenido es diferente al de la
premisa, por ello la respuesta es Falso.
10. Falso.
Pues como vimos en la pregunta anterior, α = 1,2435rad
.
1.3 Llene el espacio en blanco con la palabra correcta:
1. Resonancia.
2. Ener´ıa.
3. Masa.
4. Oscilatorio.
5. Simple.
6. Periodo.
7. Frecuencia.
8. Sincr´onicos.
9. Fase.
10. Infinito.
11. Discretos.

6. 12. Coordenadas.
13. Libre.
14. Forzado.
15. Natural.
16. f (t) = f (−t)
17. Media.
18. N´umero.
19. 104,72
20. 0,01s
1.4 Seleccione la respuesta m´as apropiada de entre las opciones m´ultiples
dadas a continuaci´on:
1. El primer sism´ografo del mundo se invent´o en
Respuesta: (b) China
2. Los primeros experimentos con p´endulos simples fueron realizados por
Respuesta: (a) Galileo
3. La obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica fue publicada por
Respuesta: (c) Newton
4. Las formas de modo de placas, colocando arena sobre placas vibratorias,
fueron observados por primera vez por
Respuesta: (a) Chladni
5. La teor´ıa de vigas gruesas fue presentada por primera vez por
Respuesta: (c) Timoshenko
6. La cantidad de grados de libertad de un p´endulo simple es:
Respuesta: (b) 1
7. La vibraci´on puede clasificarse de
Respuesta: (c) varias maneras
8. El fen´omeno de Gibbs indica un comportamiento an´omalo en la
representaci´on de la serie de Fourier de una
Respuesta: (b) funci´on peri´odica
9. La representaci´on gr´afica de las amplitudes y ´angulos de fase de varios
componentes de frecuencia de una funci´on peri´odica se conoce como
Respuesta: (a) diagrama espectral
10. Cuando un sistema vibra en un medio fluido, el amortiguamiento es
Respuesta: (a) viscoso
11. Cuando un sistema vibra en un medio fluido, el amortiguamiento es
Respuesta: (a) viscoso
12. Cuando la curva de esfuerzo-deformaci´on del material de un sistema
vibratorio presenta un bucle de hist´eresis, el amortiguamiento es

7. Respuesta: (a) viscoso
13. La constante equivalente de dos resortes en paralelo con rigideces k1 y k2
es
Respuesta: (a) k1 + k2
14. La constante de resorte equivalente de dos resortes en serie con rigideces
k1 y k2 es
Respuesta: (c)
1
k1
+ 1
k2
15. La constante de resorte de una viga en voladizo con una masa m en el
extremo es
Respuesta: (c) Wl3
3El
16. Si f(−t) = f(t), se dice que la funci´on es
Respuesta: (a) par
1.5 Correlacione lo siguiente:
1 Pit´agoras (582-507 a.C) a. public´o un libro sobre la teor´ıa
del sonido
2 Euclides (300 a.C.) b. primera persona que investig´o
los sonidos musicales con base
cient´ıfica
3 Zhang Heng (132) c. escribi´o un tratado llamado In-
troduction to Harmonics
4 Galileo (1564-1642) d. fundador de la ciencia experi-
mental moderna
5 Rayleigh (1877) e. invent´o el primer sism´ografo
del mundo
Respuesta:
1:b 2:c 3:e 4:d 5:a .
1.6 Correlacione lo siguiente:
1 El desequilibrio en motores die-
sel
a puede provocar la falla de tur-
binas y motores de avi´on
2 La vibraci´on en m´aquinas he-
rramienta
b provoca incomodidad en la ac-
tividad humana durante el corte
de metal
3 La vibraci´on de hojas y discos c puede hacer que las ruedas de
locomotoras se levanten de la v´ıa
4 La vibraci´on inducida por el
viento
d puede provocar la ca´ıda de
puentes
5 La transmisi´on de la vibraci´on e puede provocar traqueteo

8. Respuesta:
1:c 2:e 3:a 4:d 5:b .
1.7 Considere cuatro resortes con las constantes de resorte:
k1 = 20 Ib/pulg, k2 = 50 Ib/pulg, k3 = 100 Ib/pulg, k4 = 200 Ib/pulg
. Correlacione las constantes de resorte equivalentes:
1 k1, k2, k3 y k4 est´an en paralelo a. 18,9189 lb/pulg
2 k1, k2, k3 y k4 est´an en serie b. 370,0 lb/pulg
3 k1 y k2 est´an en paralela
(keq = k12)
c. 11,7647 lb/pulg
4 k3 y k4 est´an en paralela
(keq = k34)
d. 300,0 lb/pulg
5 k1 , k2 y k3 est´an en paralela
(keq = k123)
e. 70,0 lb/pulg
6 k123 est´a en serie con k4 f. 170,0 lb/pulg
7 k2 , k3 y k4 est´an en paralela
(keq = k234)
g. 350,0 lb/pulg
8 k1 y k234 est´an en serie h. 91,8919 lb/pulg
Respuesta:
1:b 2:c 3:e 4:d 5:f 6:h 7:g 8:a .
problemas
Secci´on 1.4 Conceptos b´asicos de la vibraci´on, y
Secci´on 1.6 Procedimiento de an´alisis de la vibraci´on
1.2 Ante un eventual choque se muestra el sistema de restricci´on (seguridad)
considerando la elasticidad, masa y amortiguamiento del asiento, y las restric-
ciones (cinturones de seguridad).
Tomando como sistema a todo el cuerpo del individuo y sometido al choque
horizontal por una fuerza de impacto, el cuerpo, por inercia, quiere seguir
movi´endose en sentido contrario a dicha fuerza. Es esta acci´on lo que hace
que los cinturones a la altura del pecho y caderas no dejen que se precipite al
parabrisas o al tablero de instrumentos gracias a la rigidez del cintur´on (como
constante de elasticidad). En ese instante el cuerpo del individuo regresa a
su posici´on inicial (antes del choque) efectuando fuerza en el asiento; y este,
en respuesta, merma el impacto, amortiguando el peso y logrando llegar a
equilibrio inicial (antes del choque). Los pies del individuo tambi´en merman el
choque horizontal. Nota: En principio, se tom´o como sistema el cuerpo total.
Para otro modelamiento, se podr´ıa tomar la rigidez y amortiguamiento de
las extremidades del individuo (brazos y piernas). Con estas consideraciones,
reci´en modelando, obtenemos el siguiente resultado:

9. Figura 1: Un cuerpo humano y un sistema de restricci´on
Figura 2: Representaci´on de las rigideces de los cinturones, asiento y piernas
apoyadas en la plataforma inclinada. Como tambi´en, el amortiguamiento del
asiento.

10. Para una funci´on par, donde se cumple que x(−t) = x(t)
Se tiene que:
x(t) = a0/2 + a1coswt + a2cos2wt + . . . + b1sinwt + b2sin2wt + . . .
x(−t) = a0/2 + a1coswt + a2cos2wt + . . . − b1sinwt − b2sin2wt − . . .
Nota: El cos(−nwt) = cos(nwt) , n = 1, 2, 3, . . .
Igualando x(−t)yx(t), nos resulta la siguiente igualdad:
0 = 2b1sinwt + (2b)2sin2wt + (2b)3sin3wt + (2b)4sin4wt + . . .
Para que se cumpla la igualdad, los coeficientes
b1, b2, b3, b4, . . .
Deben ser iguales a cero.Por eso concluimos, que una funci´on par x(−t) =
x(t), x(t)
es igual a: x(t) = a0/2 + b1coswt + b2cos2wt + b3cos3wt + b3cos4wt + . . .
El mismo an´alisis lo hacemos para comprobar las funciones impar, donde:
x(-t)=-x(t)
Igualando x(−t)y − x(t) nos resulta:
0 = 2a1coswt + (2a)2cos2wt + (2a)3cos3wt + (2a)4cos4wt . . .
Donde los coeficientes a1, a2, a3, a4, ...
Deben ser iguales a cero. Por tanto la funci´on impar est´a dado por:
x(t) = a0/2 + a1sinwt + a2sin2wt + a3sin3wt + a4sin4wt + . . .
Secci´on 1.7 Elementos de resorte
1.7 Determine la constante de resorte equivalente del sistema de la figura
1
SOLUCI´ON
Hallando la r´ıgidez equivalente en k1, k2 y k3:

11. keq(1) = 2k1
keq(3) = 2k3
keq(2) =⇒ 1
keq(2)
= 1
keq(1)
+ 1
k2
+ 1
keq(3)
keq(2) =
k2keq(1)keq(3)
k2k3+keq(1)keq(3)+keq(1)k2
Hallando la r´ıgidez equivalente en k4 y keq(2):
keq(4) = k2 + keq(2)
Hallando la rigidez equivalente en k5 y keq(4):
1
keq(T )
= 1
keq(4)
+ 1
k5
keq(T) =
keq(4)k(5)
keq(4)+k5
Hallando la r´ıgidez equivalente total:
keq(T) =
(keq(2)+k(4))k(5)
(keq(2)+k(4))+k5
keq(T) =
{
keq(1)k(4)keq(3)
(k(2)k
eq(3)
+k(1)keq(3)+k(1)k(2)
+k(4)}k(5)
keq(1)k(2)keq(3)
(k(2)k
eq(3)
+keq(1)keq(3)+k(1)k(2)
+k(4)+k(5)

12. ∴ keq(T) =
4k(1)k(2)k(3)+2k(4)k(2)k(3)k(5)+4k(1)k(4)k(3)k(5)+2k(4)k(2)k
4k(1)k(2)k(3)+2k(4)k(2)k(3)+4k(1)k(4)k(3)+2k(4)k(2)k(1)+2k(3)k(2)k(5)+4k(5
1.9 Encuentre la constante de resorte equivalente del sistema en la direccion
de θ:
SOLUCI´ON
Hallando la r´ıgidez de resorte equivalente por conservacion de energia:
1
2
Keq(θ)2
= 1
2
K1(l1senθ)2
+ 1
2
K2(l1senθ)2
+ 1
2
K3(l2senθ)2
+ 1
2
Kt1 (θ)2
+
1
2
Kt2 (θ)2
Si: senθ ≈ θ
∴ Keq = K1(l)2
+ K2(l1)2
+ K3(l2θ)2
+ Kt1 + Kt2
1.10 Encuentre la constante de resorte torsional equivalente del sistema
que se muestra en la figura. Suponga que K1, K2, K3 y K4 son torsio-
nales y que K5 y K6son constantes de resorte lineales.
SOLUCI´ON
Hallando la r´ıgidez de resorte equivalente:
Si:K1, K2, K3 est´an en serie:
keq(1) =⇒ 1
keq(1)
= 1
k3
+ 1
k2
+ 1
k1

13. keq(1) = k1k2k3
k2k3+k1k3+k1k2
1
2
Keq(θ)2
= 1
2
Keq1(θ)2
+ 1
2
K6(θR)2
+ 1
2
K5(θR)2
+ 1
2
K4(θ)2
Keq = Keq(1) + K6(R)2
+ K5(R)2
+ K4
∴ keq = k1k2k3
k2k3+k1k3+k1k2
+ K6(R)2
+ K5(R)2
+ K4
1.18 En la figura se muestra la posici´on de equilibrio est´atico de una
barra r´ıgida sin masa, acoplada a una bisagra en el punto O y conectada a
los resortes K1, K2. Suponiendo que el desplazamiento (x) producido por
la fuerza F aplicada en el punto A es peque˜no, encuentre la constante de
resorte aquivalente dei sistema,Ke, que relaciona la fuerza aplicada F con el
desplazamiento x com o F = Kex.
SOLUCI´ON
Hallando Ke:

14. Si: F = KeqX
1
2
Keq(X)2
= 1
2
K2
L
4
senθ
2
+ 1
2
K1
L
4
senθ
2
Si : K1 = K; K2 = K; senθ ≈ θ; X = L
2
senθ
Keq
L
2
θ
2
= K L
4
θ
2
+ 2K L
4
θ
2
∴ Keq = 3KL
4
1.20 La figura muestra una barra r´ıgida uniforme de masa m pivotada
en el punto O y conectada por resortes de rigideces K1, K2. Considerando
un peque˜no desplazamiento angular θ de la barra r´ıgida con respecto al punto
O, determine la constante de resorte equivalente asociada con el momento de
restauraci´on.
SOLUCI´ON
Sea: F : fuerza o momento de restauraci´on.
F = mg L
2
senθ − k1(L
4
θ) − k2(Lθ) ; senθ ≈ θ
= mgL
2
θ − k1
L
4
θ − k2(Lθ) ...(I)
Si : F = Keqθ ...(II)
Igualando : (I) y (II)
Keqθ = mgL
2
θ − k1
L
4
θ − k2Lθ
Keq = mgL
2
− k1
L
4
− k2L
∴ Keq = L
2
mg − k1
2
− 2k2

15. 1.24 Encuentre la longitud de la flecha hueca uniforme equivalente de
di´ametro interno d y espeso r cuya constante de resorte axial es igual a la
de la flecha c´onica s´olida que se muestra en la figura.
SOLUCI´ON
Si: E = σ
λ
, F = K∆L
K =
EA
L
En a : K1 = EA
L
Hallando el area :
A = π d
2
+ t
2
− π d
2
2
= πt (d + t)
Reemplazando :
K1 = Eπt(t+d)
L
En b : K2 = EA
L
=⇒ Si : K1 = K2
Eπt(t+d)
L
= EπDd
4l
∴ L = 4t(t+d)
Dd
1.28 F = 500,t + 2r-’ describe la caracter’istica de fuerza-deflexi´on de un
resorte, donde b fuerza (F) est´a en Newtons y la deflexi´on (x) est´a en mil´ıme-
tros. Encuentre (a) la constante de resorte linealizada en x = 10 mm y (b) las
fuerzas ejercidas por el resorte en x = 9 mm y x = 11 mm utilizando la cons-
tante de resorte linealizada. Encuentre tambi´en el error en las fuerzas ejercidas
por el resorte en (b).

16. SOLUCI´ON
F = 500X + 2X3
⇒ La constante de resorte linealizada : K = ∂F
∂X X∗
a) X∗
= 10 mm K = 500 + 6X2
> K = 500 + 6(10)2
= 5600 N
mm
b)F = (500 + 6X2
)X = 500X + 6X3
> X∗
= 9 mmF = 500(9) + 6(9)3
= 8874 N
> X∗
= 11 mmF = 500(11) + 6(11)3
= 13486 N
Secci´on 1.8 Elementos de masa o inercia
1.49 soluci´on:
Sea: x1, el movimiento de la masa m1; θ, la inclibaci´on de la barra r´ıgida; Jo,
el momento de inercia con respecto al punto de sujeci´on de la barra.
Representando el sistema por medio de energ´ıas cin´eticas paraciales e igualan-
do con la energ´ıa cin´etica equivalente con respecto a la coordenada “x”:
1
2
m1 ( ˙x1)2
+
1
2
Jo
˙θ
2
+
1
2
m2( ˙x)2
=
1
2
meq( ˙x)2
Haciendo las relaciones respectivas, para peque˜nas vibraciones, resulta:
θ =
x
b
; x1 =
a
b
x
Reemplazando:
1
2
m1
a
b
2
( ˙x)2
+
1
2
Jo
1
b
2
( ˙x)2
+
1
2
m2( ˙x)2
=
1
2
meq( ˙x)2
Simplificando:
m1
a
b
2
+ Jo
1
b
2
+ m2 = meq...rpta.
1.53 Soluci´on:
Sea: x1, la variable en movimiento de la masa ms; θ, la inclinaci´on del cuerpo
r´ıgido; Jo el momento de inercia con respecto al punto de sugeci´on del cuerpo
r´ıgido; θ1, la inclinaci´on de la masa ms.
Representando el sistema por medio de sus energ´ıas cin´eticas se cada elemento
en movimiento respecto de la coordenada en “x”:
1
2
ms ( ˙x1)2
+
1
2
Js
˙θ1
2
+
1
2
Jo
˙θ
2
+
1
2
m2( ˙x)2
=
1
2
meq( ˙x)2
Haciendo las relaciones respectivas, queda:

17. θ1 =
l2
rsl1
x; θ =
1
l1
x; x1 =
l2
l1
x
Reemplazando:
1
2
ms
l2
l1
2
( ˙x)2
+
1
2
Js
l2
rsl1
2
( ˙x)2
+
1
2
Jo
1
l1
2
( ˙x)2
+
1
2
m2( ˙x)2
=
1
2
meq( ˙x)2
Eliminando convenientemente, queda:
ms
l2
l1
2
+ Js
l2
rsl1
2
+ Jo
1
l1
2
+
1
2
m2 = meq... Rpta.
Secci´on 1.9 Elementos de amortiguamiento
1.66 Encuentre la constante de amortiguamiento torsional de una chumace-
ra con los siguientes datos: Viscosidad del lubricante (µ) = 0,35 Pa − s,
Di´ametro de la flecha (2R) = 0,05 m, longitud del cojinete (l) = 0,075 m,
holgura del cojinete (d) = 0,005 m. Si la flecha gira a una velocidad
(N) de 3000rpm , determine el par de torsi´on de amortiguamiento desa-
rrollado.
SOLUCI ´ON
Usando la ecuaci´on obtenida en la parte te´orica, la constante de amorti-
guamiento torsional de una chumacera, la cual es:
ct =
2πµR3
l
d
y reemplazando los valores se tiene:
ct =
2π (0,35) (0,025)3
(0,075)
0,005
ct = 0,021 N − s/m
Adem´as, la relacion entre el par de torsi´on de torsi´on y la constante de
amortiguamiento torsional de una chumacera, es:
T = ωct
T = (3000)
1
60
(0,021)
T = 1,05 N − m

18. 1.70 La constante de amortiguamiento (c)producida por la resistencia por fric-
ci´on de una placa rectangular que se mueve en un fluido de viscosidad m
esta dada por (vea la figura 1.107):
c = 100µl2
d
Dise˜ne un amortiguador tipo placa (mostrado en la figura 1.42) que pro-
duzca una constante de amortiguamiento id´entica por el mismo fluido.
SOLUCI ´ON
A partir de la figura 1.42, se tiene que la constante de amortiguamiento
es:
c =
µA
h
Igualando ecuaciones, se tiene que:
µA
h
= 100µl2
d
simplificando:
h =
A
100l2d
pero A = ld, con referencia a la figura 1.107, entonces:
h =
ld
100l2d
h =
1
100l
Por tanto h = 1
100l
, es la distancia necesaria que debe tener el dise˜no de
placas como la figura 1.42, para que produzca la constante de amorti-
guamiento c = 100µl2
d.
1.71 La constante de amortiguamiento (c)del amortiguador hidr´aulico que se
muestra en la figura 1.108 est´a dada por:
c =
6πµl
h3
a −
h
2
2
− r2 a2
− r2
a − h
2
− h
Detemine la constante de amortiguamiento (c)del amortiguador hidr´auli-
co por los siguientes datos:

19. µ = 0,3445 Pa − s, l = 10 cm, h = 0,1 cm, a = 2 cm, r = 0,50 cm
SOLUCI ´ON
Reemplazando valores en la ecuaci´on, se obtiene:
c =
6πµl
h3
a −
h
2
2
− r2 a2
− r2
a − h
2
− h
c =
6π (0,3445) (0,1)
(0,001)
3 (0,02) −
(0,001)
2
2
− (0,005)
2 (0,02)
2
− (0,005)
2
(0,02) − (0,001)
2
− (0,001)
c = 4205,614 N − s/m
1.72 En el problema1.71, tomando los datos dados como referencia, determine la variaci´on
de la constante de amortiguamientoc cuando:
a. r cambia de 0.5 cm a 1.0 cm
b. h cambia de 0.05 cm a 0.10 cm
c. a cambia de 2 cm a 4 cm
SOLUCI ´ON
i) Se hallar´a la constante, usando µ = 0,3445 Pa − s, l = 10 cm, h = 0,05 cm, a =
2 cm, r = 0,50 cm:
c1 =
6πµl
h3
a −
h
2
2
− r2 a2
− r2
a − h
2
− h
c1 =
6π (0,3445) (0,1)
(0,0005)
3 (0,02) −
(0,0005)
2
2
− (0,005)
2 (0,02)
2
− (0,005)
2
(0,02) − (0,0005)
2
− (0,0005)
c1 = 35060,817 N − s/m
ii) Ahora se hallar´a la constante, usando µ = 0,3445 Pa−s, l = 10 cm, h = 0,10 cm, a =
4 cm, r = 1,0 cm:
c2 =
6πµl
h3
a −
h
2
2
− r2 a2
− r2
a − h
2
− h
c2 =
6π (0,3445) (0,1)
(0,001)
3 (0,04) −
(0,001)
2
2
− (0,01)
2 (0,04)
2
− (0,01)
2
(0,04) − (0,001)
2
− (0,001)
c2 = 35060,817 N − s/m
Luego, la variaci´on esta dada por:
c = c2 − c1

20. c = 35060,817 − 35060,817
c = 0 N − s/m
Secci´on 1.10 Movimiento arm´onico
1.75 Expresar el numero complejo 5 + 2i en la forma exponencial Aiθ
.
sea el vector posici´on en el plano xy:
X = a + ib
con
A = (a2
+ b2
)
1
2
y
θ = tan−1 a
b
entonces
a + ib=5 + 2i
igualando se obtiene que a = 5 y b = 2
remplazando
A = (52
+ 22
)
1
2
=5,385
θ = tan−1 5
2
=21,8◦
por lo tanto en la forma exponencial
X = 5,38521,8i
lqqd.
1.76 Sume los dos numeros complejos 1+2i y 3−4i y exprese el resultado
en la forma Aiθ
.
sean los vectores representados en n´umeros complejos
X1 (t) = 1 + 2i
X2 (t) = 3 − 4i
y la suma de X1 (t) y X2 (t) se expresa como:

21. X (t) = Re Ai(ωt+α)
entonces
X1 (t) + X2 (t)=(1 + 2i) + (3 − 4i)
X (t) = 4 − 2i
con las formulas
A = (a2
+ b2
)
1
2
α = tan−1 a
b
remplazando
A = (42
+ 22
)
1
2
=4,472
α = tan−1 4
−2
=−63,4◦
el resultado en la forma Aiθ
X (t) = Re 4,472i(ωt− 63,4)
1.77 Reste el numero complejo 1 + 2i de 3 − 4i y exprese el resultado en la
forma Aiθ
.
sean los vectores representados en n´umeros complejos
X1 (t) = 1 + 2i
X2 (t) = 3 − 4i
y el resultado de restar X1 (t) de X2 (t) se expresa como:
X (t) = Re Ai(ωt+α)
entonces
X2 (t) − X1 (t)=(3 − 4i) − (1 + 2i)
X (t) = 2 − 6i
con las formulas
A = (a2
+ b2
)
1
2
α = tan−1 a
b
remplazando
A = (22
+ (−6)2
)
1
2
=6,32
θ = tan−1 2
−6
=−18,43◦
el resultado en la forma Aiθ
X (t) = Re 6,32i(ωt− 18,43)

22. 1.78 Encuentre el producto de los n´umeros complejos z1 = 1 + 2i y
z2 = 3 − 4i y exprese el resultado en la forma Aiθ
.
El producto de los n´umeros complejos se realiza aplicando la propiedad
distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que
i2
= −1.
z1 ∗ z2 = (1 + 2i) ∗ (3 − 4i) = 3 − 4i + 6i − 8i2
= 3 + 2i − 8 ∗ (−1) = 11 + 2i
entonces:
z = 11 + 2i
con las formulas
A = (a2
+ b2
)
1
2
α = tan−1 a
b
remplazando
A = 112
+ 22
1
2
=11,18
θ = tan−1 11
2
=79,7◦
el resultado en la forma Aiθ
X (t) = Re 11,18i(ωt+ 79,7)
1.100 El desplazamiento de una m´aquina se expresa como
X (t) = 0,05sen(6t + φ), donde x est´a en metros y t en segundos. Si se sabe
que el desplazamiento de la m´aquina en el instante t = 0 se sabe que es de
0,04m, determine el valor del ´angulo de fase φ.
si t = 0, entonces X(0) = 0,04m:
X (0) = 0,05sen(6(0) + φ)
X (0) = 0,05sen(φ)
0,04 = 0,05sen(φ)
0,04/0,05 = sen(φ)
φ = sin−1 0,04
0,05
φ = 53◦
1.101 El desplazamiento de una m´aquina se expresa como
X(t) = Asen(6t + φ), donde x est´a en metros y t en segundos.Si se sabe que
el desplazamiento y la velocidad de la m´aquina en el instante t = 0 son de
0,05m y 0,005m/s, determine el valor de A y φ.

23. si t = 0, entonces X(0) = 0,05m y ˙X(0) = 0,005 m/s
X(0) = Asen(6(0) + φ)
X(0) = Asen(φ)
0,05 = Asen(φ)...(1)
para la velocidad
˙X(t) = 6Acos(6t + φ)
˙X(0) = 6Acos(6(0) + φ)
0,005 = 6Acos(φ)...(2)
dividiendo (2) en (1)
0,05
0,005
= 1
6
tan φ
tan φ = 60
φ = tan−1
60
φ = 89◦
remplazando φ en (1)
A = 0,05m
Secci´on 1.11 An´alisis arm´onico
1.106 Para una funci´on par, donde se cumple que x(-t)=x(t)
Se tiene que:
x(t)=a0/2 + a1coswt + a2cos2wt + . . . + b1sinwt + b2sin2wt + . . .
x(-t)=a0/2 + a1coswt + a2cos2wt + . . . − b1sinwt − b2sin2wt − . . .
Nota: El cos(-nwt)=cos(nwt) , n=1,2,3,...
Igualando x(-t) y x(t), nos resulta la siguiente igualdad:
0= 2b1sinwt + (2b)2sin2wt + (2b)3sin3wt + (2b)4sin4wt + . . .
Para que se cumpla la igualdad, los coeficientes
b1, b2, b3, b4, . . .
Deben ser iguales a cero.Por eso concluimos, que una funci´on par x(-
t)=x(t),x(t)
es igual a: x(t)=a0/2 + b1coswt + b2cos2wt + b3cos3wt + b3cos4wt + . . .
El mismo an´alisis lo hacemos para comprobar las funciones impar, donde:
x(-t)=-x(t)

24. Figura 3: Gr´afica de una funci´on peri´odica
Igualando x(-t) y -x(t) nos resulta:
0=2a1coswt + (2a)2cos2wt + (2a)3cos3wt + (2a)4cos4wt . . .
Donde los coeficientes a1, a2, a3, a4, ...
Deben ser iguales a cero. Por tanto la funci´on impar est´a dado por:
x(t)=a0/2 + a1sinwt + a2sin2wt + a3sin3wt + a4sin4wt + . . .
1.109 Hallamos la expansi´on de la serie de Fourier de la funci´on peri´odica:
Hallamos la relaci´on de x(t),τ y t :
a. Para 0 < t1 ≤ τ/2 :
Por semejanza de tri´angulos: τ/2A = (τ − 2t)/(A − x) → x = 2tA/τ
Obtenemos los coeficientes a0, an y bn :
a0 = w/π
2π/w
0
2tA
τ
dt
an = w/π
2π/w
0
2tAcos(nwt)
τ
dt
bn = w/π
2π/w
0
2tAsin(nwt)
τ
dt
Integrando:
a0 = 2Aw/πτ t2
2
2pi/w
0
= 2A
an = 2Aw/πτ tsin(nwt)
nw
+ sin(nwt)
nw2
2pi/w
0
= 0

25. bn = 2Aw/πτ −tcos(nwt)
nw
− cos(nwt)
nw2
2pi/w
0
= −2A
nπ
Entonces:
x(t1) = A−2A/πsinwt1−2A/2πsin2wt1−2A/3πsin3wt1−2A/4πsin4wt1−. . .
b. Para τ/2 < t2 ≤ τ :
Por semejanza de tri´angulos: τ/A = (2t − τ)/τ → x = 2A(t − τ)/τ
Obtenemos los coeficientes a0, an y bn :
a0 = w/π
2π/w
0
2A(t−τ)
τ
dt
an = w/π
2π/w
0
2A(t−τ)Acos(nwt)
τ
dt
bn = w/π
2π/w
0
2A(t−τ)sin(nwt)
τ
dt
Integrando:
a0 = 2Aw/πτ t2
2
− τt
2pi/w
0
= −2A
an = 2Aw/πτ tsin(nwt)
nw
+ sin(nwt)
nw2 − τsin(nwt)
nw
2pi/w
0
= 0
bn = 2Aw/πτ −tcos(nwt)
nw
− cos(nwt)
nw2 − τcos(nwt)
nw
2pi/w
0
= 2A
nπ
Entonces:
x(t2) =
−A + 2A/πsinwt2 + 2A/2πsin2wt2 + 2A/3πsin3wt2 + 2A/4πsin4wt2 − . . .
Por tanto:
x(t1) = A−2A/πsinwt1−2A/2πsin2wt1−2A/3πsin3wt1−2A/4πsin4wt1−. . .
x(t2) =
−A + 2A/πsinwt2 + 2A/2πsin2wt2 + 2A/3πsin3wt2 + 2A/4πsin4wt2 − . . .

26. Secci´on 1.12 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
1.121 Usamos MATLAB para trazar la variaci´on de la rigidez de resorte k
con la deformaci´on x:
a. Para k = 1000x − 100x2
; 0 ≤ x ≤ 4 :
Usamos los siguientes comandos en MATLAB:
1 >> %ex121.m
2 %de trazo (de) la funci´on k(x)=1000x-100x2
3 x=0:0.1:4;
4 k=1000*x-100*x.2
;
5 plot(x,k,’+’);
6 grid on
7 ylabel(’k(x)’);
8 xlabel(’x’);
9 title(’Variaci´on de la rigidez’)
;
Result´andonos la gr´afica de la variaci´on de la rigidez:
Figura 6: Captura de gr´afico en Matlab
b. Para k = 50 + 500x2
; 0 ≤ x ≤ 4 :
Usamos los siguientes comandos en MATLAB:
1 >> %ex122.m
2 >> %de trazo (de) la funci´on k(x) = 50 + 500x2
3 >> x = 0 : 0,1 : 4;
4 >> k = 50 + 500 ∗ x.2
;
5 >> plot(x, k, + );
6 >> gridon
7 >> ylabel( k(x) );
8 >> xlabel( x );

27. 9 >> title( V ariaci´on de la rigidez )
;
Result´andonos la gr´afica de la variaci´on de la rigidez:
Figura 7: Captura de gr´afico en Matlab
1.122 Una masa se somete a dos movimientos arm´onicos dados por:
x1(t) = 3sin(w + ϕ)t = 3sin(30)t
x2(t) = 3sin(w)t = 3sin(29)t
Identificamos en las ecuaciones:
A1 = A2 = 3m
w = 29rad/s
ϕ = 1rad/s
El movimiento resultante de la masa, x(t) est´a dado por:
x(t) = x1(t) + x2(t) = 3sin(30t) + 3sin(29t)
Haciendo uso de las suma de senos: sin(a)+sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a−
b)/2)
Entonces:
x(t) = 3 2sin(59t
2
)cos((
t
2) = 6sin(59t
2
)cos((
t
2)
Trazando la ecuaci´on resultante en MATLAB:

28. 1 >> %ex123.m
2 >> %Trazar el fen´omeno de pulsaciones
3 >> A = 3;
4 >> w = 29;
5 >> delta = 1;
6 >> fori = 1 : 1001
7 >> t(i) = 15 ∗ (i − 1)/1000;
8 >> x(i) = 2 ∗ A ∗ sin((w + delta/2) ∗ t(i)) ∗ cos((delta/2) ∗ t(i));
9 >> end
10 >> plot(t, x);
11 >> xlabel( t );
12 >> ylabel( x(t) );
13 >> title( Fen´omeno de pulsaciones );
Obteniendo la siguiente gr´afica:
Figura 8: Captura de gr´afico en Matlab
LimeGreenHola
proyecto
Editado en LATEX.