1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
U. E. Colegio "Pablo Neruda"
Barquisimeto- Edo Lara
Equipo: 2
Profesor:
Robert Olivera
5to "C"
Guía de Raíces de Polinomios

2. Guía de Estudio: Raíces de Polinomios
En matemáticas, un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables y constantes,
utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros
positivos.
Un numero "a" se dice que es una raíz del polinomio p(x), si el valor numérico de p(x) para x=a es cero (0), es decir, "a " es
una raíz de p(x) si y solo si p(a)=0
Caso 1: En este caso que las raíces enteras de un polinomio, si existen, estas son divisores del término independiente.
Caso 2: Se buscan los números divisibles del término independiente y del coeficiente del primer término. Si al calcular las
posibles raíces o ceros del polinomio a través de la regla de Ruffini, no da 0, se deberá utilizar raíces fraccionarias.
Ejercicios
1) Q(x)=
Q(x)=
x4-5x2+4
x4+0x3-5x2+0x+4
Se buscaran los números divisibles entre el numero independiente, en este caso es el numero 4.
x= 4; -4 ; 2; -2
Se utiliza la regla de Ruffini para calcular las posibles raíces o ceros del polinomio.
1 0 -5 0 4
x=2
2
1
2
2
4
-1
-2
-2
-4
0
(x-2)
Este será el nuevo polinomio, pero con un grado menos a la expresión original
Buscamos números divisibles del nuevo término independiente.
Q(x)=x3+2x2-1x-2
x= 2;-2;1;-1
1 2 -1 -2
x= -2 (x+2)
-2
1
-2
0
0
-1
-2
0

3. Q(x)= x2+0x-1
))/2
Se aplica ecuación de segundo grado:
=(− ±√( ^2−4
=(−0±√(0^2−4(1)(−1)))/(2(1)) x= (±√4)/2 a=1
b=0
c=-1
x2= (−2)/2 = -1
x= -1 (x+1)
1=2/2
x=1 (x-1)
Resultado: P(x) x4-5x2+4 (x-2) (x+2) (x-1) (x+1)
2) S(x)= 2x3-7x2+8x-3
x=3;-3;1;-1
x=2;-2;1;-1
2 -7
x = ±3/2 ; ±1/2
8 -3
X= 1 =(X - 1)
1
2
S(X)=
2
-5
-5
3
3
0
2x2-4x+2 +32-5x
=(5±√(25−24))/4
a=2
b=-5
c=3
=(−(−5)±√(〖(−5)〗^2−4(2)(3)))/(2.2)
=(− ±√( ^2−4
x1 :
))/2
5-1/4 = 4/4 = 1
(x-1)
(x-3/2)
3= (x-1).(x-1).(x-3/2)
x2 : 5+1/4= 6/4= 3/2
x=1=
x = 3/2 =
Resultado: 2x3-7x2+8x-3

4. 3) P(x)= 2x4 + x3 - 8x2 - x + 6
x = ±6; ±3; ±2; ±1
x = ±2;±1
2 1 -8
x= ±3/2; ±1/2
-1 6
x=-2 = (x+2)
-2
2
-4
-3
6
-2
4
3
-6
0
x= 1 = (x-1)
1
2
2
-1
-1
-3
-3
0
x= 3/2 = (x-3/2)
3
2
2
3
2
3
0
x= -1 = (x+1)
-1
2
Resultado:
-2
0
P(x)= 2x4 + x3 - 8x2 - x + 6 6 = (x+2).(x-1).(x-3/2).(x+1)
4) E(x) = x4 + x3 - 11x2 - 9x + 18
x= ±18; ±9; ±6; ±3; ±2; ±1
1 1 -11 -9 18
x= 3
3
1
3
4
12
1
3
-6
-18
0
x = -3
-3
1
E(x) = x2 + x - 2
-3
1
-3
-2
6
0
Aplicamos ecuación de segundo grado:
a=1
b=1
c=-2
= (x+3)
= (x-3)
=(− ±√( ^2−4 ))/2 =(−1)±√(〖(1)〗^2−4(1)(-2)))/(2.1)
=(-1±√(1+8))/2
x1= -1 + 3/2 = 2/2 = 1 x2= -1 - 3 / 2 = -4/2 = -2

5. Resultado: E(x) = x4 + x3 - 11x2 - 9x + 18 : (x-3). (x+3). (x-1). (x+2) x= 1
x=-2
=
=
(x-1)
(x+2)
5) A(x) = 2x4 - x3 - 15x2 + 23x + 15
x= ±15; ±5; ±1 ±1±3;
x= ±2; ±1
2 -1 -15
x= ±15/2; ±5/2; ±1/2
23 15
x = -1/2 = (x + 1/2)
-1
2
2
-1
-2
1
-14
7
30
-15
0
x = -3 = (x + 3)
-3
2
-6
-8
24
10
-30
0
A(x)= 2x2 - 8x + 10 Aplicaremos ecuación de segundo grado: a=2
b=-8
c=10
=(− ±√( ^2−4 ))/2 =(8)±√(〖(-8)〗^2−4(2)(10)))/(2.2)
=(8±√(-16)/4 Se coloca "i" debido a que la raíz no
puede ser negativa, e "i" es √-1.
x2= 8 - 4i / 4
x2= 8/4 - 4i/4 = 2 - i
x= 2 + i
x= 2 - i
=
=
[x- (2-i)]
[x - (2+i)]
x1= 8 + 4i / 4
x1= 8/4 + 4i / 4 = 2 + i
Resultado: A(x) = 2x4 - x3 - 15x2 + 23x + 15= (x + 1/2) . (x+3) . [x -(2-i)] . [x-(2+i)]

6. 6) E(x)= 15x3 - 31x2 + 0x +4
x= ±4; ±2; ±1
x= ±15; ±5; ±3; ±1
x= ±4/15; ±4/5; ±4/3; ±2/15; ±2/5; ±2/3; ±1/15; ±1/5; ±1/3
En este ejercicio se utiliza el caso 2.
15 -31 0 4
x=2 = (x - 2)
2
15
30
-1
-2
-2
-4
0
x = -1/3 = (x + 1/3)
-1
3
15
-5
-6
2
0
x = 2/5 = (x - 2/5)
2
5
15
6
0
Resultado: E(x)= 15x3 - 31x2 + 0x +4 = (x-2) . (x + 1/3) . (x - 2/5)