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Tema I: Interpolación y aproximación polinomial
1. Aproximar el valor de 𝑐𝑜𝑠4
(
𝜋
4
+ 0.01) y estime el error relativo.
2. Aproximar el valor de 𝑠𝑖𝑛⁡(600
⁡1′) y estime el error porcentual.
Sugerencia:⁡600
⁡1′
=
𝜋
3
+
1
60
(
𝜋
180
)
3. Se tiene un tubo de hierro de 8⁡𝑚𝑡𝑠 de largo, 6⁡𝑐𝑚 de radio y 0.4⁡𝑐𝑚 de
espesor, usando la diferencial aproximar el volumen de hierro del tubo.
Sugerencia: volumen de un cilindro circular recto 𝑣 = 𝜋𝑟2
ℎ
4. Se quiere calcular el área de una esfera a partir del radio 𝑟 mediante la
formula 𝑟 = 4𝜋𝑟2
y en tal forma que el margen de error sea del 5⁡%.
Estimar el margen de error porcentual con que debe medirse el radio.
5. Justamente antes del mediodía el cuerpo de una víctima aparente de un
homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura
constante e igual a 70º⁡𝐹.⁡A mediodía, la temperatura del cuerpo es de
80º⁡𝐹 y una hora más tarde es de 75º⁡𝐹. Considere que la temperatura
del cuerpo en el momento de la muerte era de 98.6º⁡𝐹. ¿Cuál fue la hora
de la muerte?
6. Use el polinomio interpolante de Lagrange para determinar un polinomio
de grado 𝑛 = 2 que aproxime a 𝑓⁡(1.09) usando aritmética de redondeo a
cinco cifras decimales. La función que va a ser aproximada es
𝑓( 𝑥) = tan(𝑙𝑜𝑔10( 𝑥)) Conociendo lo anterior, calcule una cota del error
porcentual.
Sugerencia: use la siguiente información para agilizar los cálculos.
Apuntes de Cálculo Numérico
Licdo. Deybis Boyer
deyboyazacol@yahoo.es
UNEFM
JUNIO-2015
7. Use el polinomio interpolante de Lagrange para determinar un polinomio
de grado 𝑛 = 3 que aproxime a 𝑓⁡(0.9) usando aritmética de redondeo a
cinco cifras decimales. La función que va a ser aproximada es
𝑓( 𝑥) = (𝑒 𝑥
− 2) Conociendo lo anterior, estime el error porcentual.
8. Determine los polinomios interpolante de Lagrange a partir del siguiente
conjunto de datos. Utilice dicha función para resolver el siguiente
problema:
La corriente en un alambre se mide en función del tiempo según los datos:
t(s) 0 0.125 0.25 0.375 0.45
i(A) 0 6.2402 7.788 4.8599 2.7832
Determine la corriente en 0.20 s, 0.30 s y 0.40 s.
9. Determine los polinomios interpolante de Neville de a partir del
siguiente conjunto de datos. Utilice dicha función para el siguiente
problema:
Un auto que viaja en una ruta es cronometrado en algunos puntos. Los datos de
las observaciones se dan en la siguiente tabla:
t(s) 0 3 5 8 13
d (m) 0 70 120 190 300
v (m/s) 22.8 23.4 24.4 22.5 21.9
a. ¿Cuál es la posición del auto a los 2 seg.? ¿y a los 10 seg.?
b. ¿Cuál será la velocidad en esos puntos?
10. Determine los polinomios interpolante de Diferencias dividas de
Newton de grado (n=1, n=2 y n=3) a partir del siguiente conjunto de
datos. Utilice dicha función para el siguiente problema:
Haciendo pruebas de velocidad para una avioneta, se registraron las siguientes
distancias (obtenidas en un
cuenta-kilómetros) para distintos tiempos.
t (s) d (m)
5.5 31,954748
6.0 37,791759
6.5 44,121803
7.0 50,945911
7.5 58,264904
8.0 66,079445
8.5 74,390068
9.0 83,197227
9.5 92,501289
10 102,302582
10.5 112,601372
11 123,397896
a. Calcule las distancias que corresponden a los tiempos 7,75s y 9,95s
b. ¿Cuál sería el polinomio de menor grado que permite obtener una precisión
de 10-3 para el punto 7,75s?
c. Calcule el error de esa interpolación (utilice como información adicional el
punto t = 11,5s y d =135,500000m).
11. De una función f(x) se conoce el siguiente conjunto de puntos: (x0,
f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)),..... (xn, f (xn)). Si se quiere determinar el
polinomio interpolante en su forma de Lagrange debe aplicarse la
siguiente fórmula.


n
k
kk xfxIx
0
n )()()(P
Con 





n
ki
i ik
i
k
xx
xx
xI
0
)(
El siguiente seudocódigo calcula el valor aproximado de una función en un punto
usando el polinomio interpolante en su forma de Lagrange:
// Datos del problema
n= ( ) ; // ingrese el número de puntos
for i = 1:n
printf ('x%d = ',i-1)
x(i)= input (' '); // Ingreso por pantalla de los valores x(i)
printf ('f(x(%d)) = ',i-1)
f(i)= input(' '); // ingreso por pantalla de los valores de y(i)
end
a= ( ) ; // valor de x donde se quiere evaluar el polinomio interpolante
// Ciclo generador del polinomio interpolante de Lagrange
for k=1:n
for i=1:n
if k==i
I(i)=1;
else
I(i)=(a-x(i))/(x(k)-x(i));
end
end
fI(k)=f(k)*prod(I);
end
fa=sum(fI)
a) utilicé este código para generar los polinomios interpolante de los
problemas 1, 2 y 3.
b) Compara los resultados obtenidos y estime el error cometido en cada
uno de los métodos.
12. Determine una relación funcional de una construcción civil que
existe entre el coeficiente de espesor y la cantidad de concreto por
columna (o pilote) y ajuste el conjunto de datos por medio de un
polinomio cuadrático usando el algoritmo del problema 4.
a) ¿cuál es el espesor de una columna cuando la cantidad de concreto es
0.069?
b) ¿cuál es el espesor de una columna cuando la cantidad de concreto es
0.0478?
c) ¿cuál es el espesor de una columna cuando la cantidad de concreto es
0.0975?
La siguiente tabla muestra los datos recabados.
Cantidad
de
Concreto
0.040 0.041 0.055 0.056 0.062 0.071 0.072 0.078 0.082 0.090
Coeficiente
de
Espesor
26.5 28.1 25.2 26.0 24.0 25.0 26.4 27.2 25.6 25.0

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Practica interpolacion modificada

  • 1. Tema I: Interpolación y aproximación polinomial 1. Aproximar el valor de 𝑐𝑜𝑠4 ( 𝜋 4 + 0.01) y estime el error relativo. 2. Aproximar el valor de 𝑠𝑖𝑛⁡(600 ⁡1′) y estime el error porcentual. Sugerencia:⁡600 ⁡1′ = 𝜋 3 + 1 60 ( 𝜋 180 ) 3. Se tiene un tubo de hierro de 8⁡𝑚𝑡𝑠 de largo, 6⁡𝑐𝑚 de radio y 0.4⁡𝑐𝑚 de espesor, usando la diferencial aproximar el volumen de hierro del tubo. Sugerencia: volumen de un cilindro circular recto 𝑣 = 𝜋𝑟2 ℎ 4. Se quiere calcular el área de una esfera a partir del radio 𝑟 mediante la formula 𝑟 = 4𝜋𝑟2 y en tal forma que el margen de error sea del 5⁡%. Estimar el margen de error porcentual con que debe medirse el radio. 5. Justamente antes del mediodía el cuerpo de una víctima aparente de un homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante e igual a 70º⁡𝐹.⁡A mediodía, la temperatura del cuerpo es de 80º⁡𝐹 y una hora más tarde es de 75º⁡𝐹. Considere que la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte era de 98.6º⁡𝐹. ¿Cuál fue la hora de la muerte? 6. Use el polinomio interpolante de Lagrange para determinar un polinomio de grado 𝑛 = 2 que aproxime a 𝑓⁡(1.09) usando aritmética de redondeo a cinco cifras decimales. La función que va a ser aproximada es 𝑓( 𝑥) = tan(𝑙𝑜𝑔10( 𝑥)) Conociendo lo anterior, calcule una cota del error porcentual. Sugerencia: use la siguiente información para agilizar los cálculos. Apuntes de Cálculo Numérico Licdo. Deybis Boyer deyboyazacol@yahoo.es UNEFM JUNIO-2015
  • 2. 7. Use el polinomio interpolante de Lagrange para determinar un polinomio de grado 𝑛 = 3 que aproxime a 𝑓⁡(0.9) usando aritmética de redondeo a cinco cifras decimales. La función que va a ser aproximada es 𝑓( 𝑥) = (𝑒 𝑥 − 2) Conociendo lo anterior, estime el error porcentual. 8. Determine los polinomios interpolante de Lagrange a partir del siguiente conjunto de datos. Utilice dicha función para resolver el siguiente problema: La corriente en un alambre se mide en función del tiempo según los datos: t(s) 0 0.125 0.25 0.375 0.45 i(A) 0 6.2402 7.788 4.8599 2.7832 Determine la corriente en 0.20 s, 0.30 s y 0.40 s. 9. Determine los polinomios interpolante de Neville de a partir del siguiente conjunto de datos. Utilice dicha función para el siguiente problema: Un auto que viaja en una ruta es cronometrado en algunos puntos. Los datos de las observaciones se dan en la siguiente tabla: t(s) 0 3 5 8 13 d (m) 0 70 120 190 300 v (m/s) 22.8 23.4 24.4 22.5 21.9 a. ¿Cuál es la posición del auto a los 2 seg.? ¿y a los 10 seg.? b. ¿Cuál será la velocidad en esos puntos? 10. Determine los polinomios interpolante de Diferencias dividas de Newton de grado (n=1, n=2 y n=3) a partir del siguiente conjunto de datos. Utilice dicha función para el siguiente problema: Haciendo pruebas de velocidad para una avioneta, se registraron las siguientes distancias (obtenidas en un cuenta-kilómetros) para distintos tiempos.
  • 3. t (s) d (m) 5.5 31,954748 6.0 37,791759 6.5 44,121803 7.0 50,945911 7.5 58,264904 8.0 66,079445 8.5 74,390068 9.0 83,197227 9.5 92,501289 10 102,302582 10.5 112,601372 11 123,397896 a. Calcule las distancias que corresponden a los tiempos 7,75s y 9,95s b. ¿Cuál sería el polinomio de menor grado que permite obtener una precisión de 10-3 para el punto 7,75s? c. Calcule el error de esa interpolación (utilice como información adicional el punto t = 11,5s y d =135,500000m). 11. De una función f(x) se conoce el siguiente conjunto de puntos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)),..... (xn, f (xn)). Si se quiere determinar el polinomio interpolante en su forma de Lagrange debe aplicarse la siguiente fórmula.   n k kk xfxIx 0 n )()()(P Con       n ki i ik i k xx xx xI 0 )( El siguiente seudocódigo calcula el valor aproximado de una función en un punto usando el polinomio interpolante en su forma de Lagrange:
  • 4. // Datos del problema n= ( ) ; // ingrese el número de puntos for i = 1:n printf ('x%d = ',i-1) x(i)= input (' '); // Ingreso por pantalla de los valores x(i) printf ('f(x(%d)) = ',i-1) f(i)= input(' '); // ingreso por pantalla de los valores de y(i) end a= ( ) ; // valor de x donde se quiere evaluar el polinomio interpolante // Ciclo generador del polinomio interpolante de Lagrange for k=1:n for i=1:n if k==i I(i)=1; else I(i)=(a-x(i))/(x(k)-x(i)); end end fI(k)=f(k)*prod(I); end fa=sum(fI) a) utilicé este código para generar los polinomios interpolante de los problemas 1, 2 y 3. b) Compara los resultados obtenidos y estime el error cometido en cada uno de los métodos. 12. Determine una relación funcional de una construcción civil que existe entre el coeficiente de espesor y la cantidad de concreto por
  • 5. columna (o pilote) y ajuste el conjunto de datos por medio de un polinomio cuadrático usando el algoritmo del problema 4. a) ¿cuál es el espesor de una columna cuando la cantidad de concreto es 0.069? b) ¿cuál es el espesor de una columna cuando la cantidad de concreto es 0.0478? c) ¿cuál es el espesor de una columna cuando la cantidad de concreto es 0.0975? La siguiente tabla muestra los datos recabados. Cantidad de Concreto 0.040 0.041 0.055 0.056 0.062 0.071 0.072 0.078 0.082 0.090 Coeficiente de Espesor 26.5 28.1 25.2 26.0 24.0 25.0 26.4 27.2 25.6 25.0