Diapositiva semana 6

2. L´IMITES
Cristian Camilo Penagos Torres
Mag´ıster en Docencia
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. L´IMITES CONTINUIDAD
CONTINUIDAD
CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Una funci´on es continua en un n´umero a si
l´ım
x→a
f(x) = f(a)
De la definici´on anterior se desprenden las siguientes afirmaciones:
1. f(a) este definida (esto es que a ∈ Dom(f)).
2. l´ım
x→a
f(x) exista
3. l´ım
x→a
f(x) = f(a)

4. L´IMITES CONTINUIDAD
EJERCICIO
¿Cu´ales de las siguientes funciones son discontinuas?
1. f(x) =
x2 − x − 2
x − 2
2.
f(x) =
1
x2
, si x = 0
1, si x = 0,
3.
f(x) =



x2 − x − 2
x − 2
, si x = 2
1, si x = 2,

5. L´IMITES CONTINUIDAD
CONTINUIDAD LATERAL
Una funci´on f es continua a derecha en un n´umero a si
l´ım
x→a+
f(x) = f(a)
y f es continua a izquierda en un n´umero a si
l´ım
x→a−
f(x) = f(a).
EJERCICIO
Si f(x) = x , analice la continuidad lateral de f.
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
Una funci´on f es continua sobre un intervalo si es continua sobre todo
punto del intervalo.

6. L´IMITES CONTINUIDAD
TEOREMA
Si f y g son funciones continuas en a y c ∈ R entonces las siguientes
funciones tambi´en son continuas en a:
1. f + g
2. f − g
3. cf
4. fg
5.
f
g
si g(a) = 0
TEOREMA
Las siguientes funciones son continuas en cada elemento de su dominio:
Polinomios, funciones racionales, funciones radicales, funciones
trigonom´etricas, fuciones exponenciales, funciones inversas de las
funciones trigonom´etricas y fuciones exponenciales

7. L´IMITES CONTINUIDAD
TEOREMA
Si f es una funci´on continua en b y l´ım
x→a
g(x) = b, entonces
l´ım
x→a
f(g(x)) = f(b). Es decir
l´ım
x→a
f(g(x)) = f l´ım
x→a
g(x)
TEOREMA
Si g es una funci´on continua en a y f es una funci´on continua en g(a)
entonces f ◦ g es continua.

8. L´IMITES CONTINUIDAD
LIMITES AL INFINITO Y AS´INTOTAS HORIZONTALES
L´IMITE AL INFINITO
Sea f una funci´on definida en alg´un
intervalo de la forma (a, ∞).
Entonces
l´ım
x→∞
f(x) = L
significa que los valores de f(x)
pueden hacerse arbitrariamente
cercanos a L cuando x es
suficientemente grande.
Figura 1. L´ımite al infinito
Tomada de Stewart (2012)
Analogamente, se puede definir
l´ım
x→−∞
f(x) = L

9. L´IMITES CONTINUIDAD
AS´INTOTA HORIZONTAL
La recta y = L es llamada una as´ıntota horizontal de la curva y = f(x) si se
tiene algunas de las dos condiciones
l´ım
x→∞
f(x) = L o l´ım
x→−∞
f(x) = L
EJERCICIO
1. Calcular l´ım
x→∞
tan x y l´ım
x→−∞
tan x
2. Hallar l´ım
x→∞
1
x
y l´ım
x→−∞
1
x

10. L´IMITES CONTINUIDAD
L´IMITE AL INFINITO DE UNA FUNCI ´ON RACIONAL
Si p y q son los polinomios:
p(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0, an = 0
q(x) = bmxm + am−1xm−1 + ... + b1x + b0, bm = 0.
Considere el l´ımite
l´ım
x→±∞
p(x)
q(x)
Entonces:
1. Si n = m se tiene l´ım
x→±∞
p(x)
q(x)
=
an
bm
2. Si n < m se tiene l´ım
x→±∞
p(x)
q(x)
= 0
3. Si n > m se tiene l´ım
x→±∞
p(x)
q(x)
= l´ım
x→±∞
anxn
bmxm

11. L´IMITES CONTINUIDAD
EJEMPLO
Calcule:
1. l´ım
x→∞
5x2 + x + 1
7x2 + 1
Como el grado del polinomio del
numerador es igual al grado del
denominador, por el teorema
anterior, se tiene:
l´ım
x→∞
5x2 + x + 1
7x2 + 1
=
5
7
2. l´ım
x→∞
7x2 + 1
5x3 + x + 1
Como el grado del polinomio del
numerador es menor al grado del
denominador, por el teorema
anterior, se tiene:
l´ım
x→∞
7x2 + 1
5x3 + x + 1
= 0
3. l´ım
x→∞
5x3 + x + 1
7x2 + 1
Como el grado del numerador es
mayor que el denominador, por el
teorema anterior, se tiene:
l´ım
x→∞
5x3 + x + 1
7x2 + 1
= l´ım
x→∞
5x3
7x2
= l´ım
x→∞
5x
7
= ∞

12. L´IMITES CONTINUIDAD
L´IMITES INFINITOS EN EL INFINITO
Utilizaremos la expresi´on
l´ım
x→∞
f(x) = ∞
para indicar que f(x) se hace muy grande cuando x toma valores
arbitrariamente grandes. De manera an´aloga utilizaremos los siguentes
simbolos:
l´ım
x→−∞
f(x) = ∞ l´ım
x→∞
f(x) = −∞ l´ım
x→−∞
f(x) = −∞
EJERCICIO
1. Hallar l´ım
x→∞
x3
y l´ım
x→−∞
x3
.
2. Calcular l´ım
x→∞
(x3
− x2
).

13. L´IMITES CONTINUIDAD
REFERENCIAS
Stewart, J. (2012). C´alculo de una variable, trascendentes tempranas.
M´exico: Cengage Learning.
Thomas, G. (2010). C´alculo de una variable. M´exico: Pearson.
Zill, D. (2011). Matem´aticas 1, C´alculo Diferencial. M´exico:
McGraw-Hill.