1. Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Química e Ingeniería Química
Escuela Profesional de Ingeniería Química
Departamento Académico de Análisis y Diseño de Procesos
Control de Procesos
Análisis de sistemas
Ing. CIP Jorge Luis Cárdenas Ruiz
2. Objetivos
Aprender a deducir el
comportamiento dinámico de un
sistema en lazo cerrado estudiando
su modelo dinámico (función de
transferencia en lazo cerrado).
Ver las limitaciones en la dinámica
en lazo cerrado impuestas por el
proceso y el controlador.
6. Lugar de las raíces
𝑌(𝑠) =
𝐺(𝑠)𝐾𝑝
1 + 𝐺(𝑠)𝐾𝑝
𝑊(𝑠) +
𝐷(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝐾𝑝
𝑉(𝑠)
Ecuación característica: 1 + Kp𝐺(𝑠) = 0
Plano s
Lugar geométrico de las raíces en
lazo cerrado para distintos valores
de la ganancia del regulador Kp
Debe ser simétrico
respecto al eje real
Permite conocer los tipos de respuesta y la estabilidad
en lazo cerrado en función de la ganancia
7. Sistemas de primer orden
Ecuación característica: 1 + 𝐾𝑝𝐺(𝑠) = 0
1 + 𝐾𝑝
𝐾
𝜏𝑠 + 1
= 0 𝜏𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾 = 0
𝑠 = −
1 + 𝐾𝑝𝐾
𝜏
Kp
U(s)
+
-
Y(s)
W(s) E(s) 𝐾
𝜏𝑠 + 1
Plano s
-1/
Kp
Respuesta sobreamortiguada de tiempo de
asentamiento decreciente con Kp.
Mas rápida en lazo cerrado que en lazo
abierto
Empieza en el polo en
lazo abierto
10. 𝑠 = −𝛿𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝛿2 − 1 − 𝐾𝑝𝐾
Sistemas de segundo orden
Si el sistema en lazo
abierto es
sobreamortiguado, al
aumentar Kp,
inicialmente respuesta
sobreamortiguada cada
vez mas rápida, después
se obtiene una
respuesta
subamortiguada con
tiempo de asentamiento
cte. y sobrepico y
frecuencia de oscilación
creciente
Plano s
polos en lazo
abierto
Kp
Empieza en los polos en
lazo abierto
11. 𝑠 = −𝛿𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝛿2 − 1 − 𝐾𝑝𝐾
Sistemas de segundo orden
Si el sistema en lazo
abierto es
subamortiguado, al
aumentar Kp se
obtiene una
respuesta
subamortiguada con
tiempo de
asentamiento cte. y
sobrepico y
frecuencia de
oscilación creciente
Plano s
polos en lazo
abierto
Kp
Empieza en los polos en lazo
abierto
12. Lugar de las raíces
1 + 𝐾𝑝𝐺(𝑠) = 1 + 𝐾𝑝
𝑁𝑢𝑚(𝑠)
𝐷𝑒𝑛(𝑠)
= 0
𝐷𝑒𝑛(𝑠) + 𝐾𝑝𝑁𝑢𝑚(𝑠) = 0
para K𝑝 = 0 ⇒ 𝐷𝑒𝑛(𝑠) = 0
el lugar de las raices empieza en los polos en lazo abierto
para K𝑝 = ∞ ⇒ 𝑁𝑢𝑚(𝑠) = 0
el lugar de las raices termina en los ceros en lazo abierto
Se pueden considerar ceros
extra (hasta igualar el número
de polos) en el infinito
𝐾(𝜏3𝑠 + 1)
(𝜏1𝑠 + 1)(𝜏1𝑠 + 1)
(
1
∞
𝑠 + 1)𝐾(𝜏3𝑠 + 1)
(𝜏1𝑠 + 1)(𝜏1𝑠 + 1)
13. Lugar de las raíces
1 + 𝐾𝑝𝐺(𝑠) = 0
𝐺(𝑠) =
−1
𝐾𝑝
Para cualquier punto s del lugar de
las raíces, G(s) tiene argumento -
Plano s
polos en lazo
abierto
Kp
14. Sistemas de tercer orden
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Real Axis
Imag
Axis
Al aumentar
la ganancia
Kp, el sistema
se hace mas
oscilatorio y
puede hacerse
inestable.
1
s3 + 4 s2 + 4 s + 1
15. Sistemas reales
Kp
U(s)
+
-
Y(s)
W(s)
Proceso
Actuador
Transmisor
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Real Axis
Imag
Axis
Como mínimo, un sistema
real es de tercer orden
debido a las dinámicas del
actuador y del transmisor.
Un valor muy alto de la
ganancia Kp hará inestable
al sistema en lazo cerrado
16. Lugares de las raíces
Plano s
-1/
Kp
𝐾
𝜏𝑠 + 1
Plano s
Kp
𝐾𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝛿𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Real Axis
Imag
Axis
𝐾
(𝜏1𝑠 + 1)(𝜏2𝑠 + 1)(𝜏3𝑠 + 1)
17. Ceros inestables
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Root Locus
Real Axis
Imaginary
Axis
Como el
diagrama del
lugar de las
raíces siempre
acaba en los
ceros en lazo
abierto, para un
valor alto de la
ganancia el
sistema en lazo
cerrado se hará
inestable.
𝑠 − 1
𝑠3 + 4𝑠2 + 4𝑠 + 1
18. PI+G(s)
Para un Ti prefijado, puede dibujarse el lugar de las
raíces del sistema ampliado (Tis+1)G(s)/s
U(s)
+
-
Y(s)
W(s) E(s)
𝐾𝑝(1 +
1
𝑇𝑖𝑠
) G(s)
Ecuación característica: 1 + 𝑅 𝑠 𝐺 𝑠 = 0
1 + 𝐾𝑝
𝑇𝑖𝑠 + 1
𝑇𝑖𝑠
𝐺(𝑠) = 0
19. PI + Primer Orden
Ecuación característica: 1 + 𝑅(𝑠)𝐺(𝑠) = 0
1 + 𝐾𝑝
𝑇𝑖𝑠 + 1
𝑇𝑖𝑠
𝐾
𝜏𝑠 + 1
= 0
𝑇𝑖𝑠 𝜏𝑠 + 1 + 𝐾𝑝𝐾 𝑇𝑖𝑠 + 1 = 0
𝑇𝑖𝜏𝑠2
+ 𝑇𝑖 1 + 𝐾𝑝𝐾 𝑠 + 𝐾𝑝𝐾 = 0
𝑠 =
−𝑇𝑖(1 + 𝐾𝑝𝐾) ± 𝑇𝑖
2
(1 + 𝐾𝑝𝐾)2 − 4𝑇𝑖𝜏𝐾𝑝𝐾
2𝑇𝑖𝜏
𝑠 =
−(1 + 𝐾𝑝𝐾) ± (1 + 𝐾𝑝𝐾)2 − 4𝜏𝐾𝑝𝐾 𝑇𝑖
2𝜏
U(s)
+
-
Y(s)
W(s) E(s) 𝐾
𝜏𝑠 + 1
𝐾𝑝(1 +
1
𝑇𝑖𝑠
)
Para un Ti prefijado, puede dibujarse el lugar de las raíces
34. Error estacionario W rampa
G(s)
R(s)
U(s)
+
-
Y(s)
W(s) E(s)
D(s)
V(s)
𝑒𝑠𝑠 =
𝑤
𝑠𝐺(0)𝑅(0)
Si G(s) o R(s) no tienen un integrador:
error infinito. Si tienen uno error finito.
𝐺𝑅(𝑠)
𝑠
𝑒𝑠𝑠 =
𝑤
𝐺𝑅(0)
Se necesitan dos integradores en G(s)R(s)
para hacer nulo el error.
36. Reguladores de un grado de libertad
𝑌(𝑠) =
𝐺(𝑠)𝑅(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝑅(𝑠)
𝑊(𝑠) +
𝐷(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝑅(𝑠)
𝑉(𝑠)
G(s)
R
U(s)
+
-
Y(s)
W(s) E(s)
D(s)
V(s)
Si se escoge R(s) para tener una buena respuesta ante
cambios en la referencia, el tipo de respuesta ante
perturbaciones queda prefijado, y viceversa.
37. Reguladores de dos grados de libertad
+
u
v
y
w
Regulador
+
-
T 1/R
S
Proceso
B / A
𝑈(𝑠) =
1
𝑅(𝑠)
𝑇(𝑠)𝑊(𝑠) − 𝑆(𝑠)𝑌(𝑠) 𝑌(𝑠) =
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
𝑈(𝑠) + 𝑉(𝑠)
𝑌(𝑠) =
𝐵(𝑠)𝑇(𝑠)
𝑅(𝑠)𝐴(𝑠) + 𝐵(𝑠)𝑆(𝑠)
𝑊(𝑠) +
𝐵(𝑠)
𝑅(𝑠)𝐴(𝑠) + 𝐵(𝑠)𝑆(𝑠)
𝑉(𝑠)
Se puede escoger R y S para obtener una respuesta frente a
perturbaciones y T para modificar la respuesta frente a
cambios de referencia.
