primer parcial de matematica del cbc

CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 1995 - Pág. 1
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Primer Parcial de Matemática 1995
Cátedra de Gutiérrez
(1) Matemática – Primer Parcial: 1995
1. Representar en el plano }01;0
1
1
/R),{( 2
≥+<
+
−
∈= y
x
x
yxA
2. Hallar los ceros de la función polinómica f y determinar los intervalos de positividad y de
negatividad. f(x) = (x4
– 1)(− x2
+ 2 x – 3)
3. Dada la función f: R – {– 1}→ R / f(x) =
1
32
+
+
x
x
, calcular f –1
, dar el dominio de f –1
.
4. En un jardín cuadrado de 10 metros de lado, (ver figura) se quiere diseñar un
cantero cuadrado como muestra la zona rayada del dibujo. Determinar los valores
de x para que la superficie del cantero sea de 82 cm 2
.
Respuestas. :
1) Ver Gráfico 2) C º = {– 1, 1} C –
= (– 1, 1) C +
= (– ∞, – 1)∪(1, + ∞)
3)
x
x
f x
−
−
=−
2
31
)( Dom f -1 = R – {2} 4) x = 1 ó x = 9.
1) Hallar todos los x ∈ R que verifican simultáneamente: x > 0 y
2 9
3
1
x
x
−
−
>
Escribir la solución como intervalo o como unión de intervalos.
2) La función cuadrática f tiene un cero en x = 5, alcanza mínimo en x = 2 y su gráfico corta al eje
de las ordenadas en – 4. Encontrar la fórmula de f(x) y determinar su imagen.
3) Sean f(x) = 6 x – 1, g(x) =
45
2
+x
y h(x) = f o g(x). Hallar la fórmula de la inversa h–1
(x) y graficarla.
4) Hallar los ceros de f(x) = 2 sen2
x + sen x pertenecientes a los intervalos [0, 3 π].
Respuesta.:
1) Sol. : (0,3)∪(6, + ∞) 2) f(x) = – 2/5 (x – 5)(x – 2) Img. [6, + ∞)
3)
5
4
)1(5
121
)(
−
+
=−
x
h x
4) C º = {0, π, 7/6 π, 11/6 π, 2π, 3π}
} x
x {
}
}
x
x
- 1 1
- 1
Zona Oeste: Moreno, Lujan.

Primer parcial, Matemática, Cátedra Gutierrez. Pág. 1
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Primer parcial de Matemática
Cátedra Gutiérrez
Paternal 2000:
1) Hallar un polinomio de grado tres tal que sus únicas raíces sean –1 y 3, además cumpla
con P(2) = 4.
2) La ganancia de un comerciante (en pesos) en función de los artículos vendidos, viene
dada por g(x) = x2
– 15x . Determinar a partir de cuántos artículos vendidos gana más de
$1000.
3) Sea f: R – {– 4} → R / 3
4
1
)( +
+
=
x
f x Calcular f – 1
y hallar las ecuaciones de sus
asíntotas.
4) Hallar todos los ceros de f(x) = 4 sen (3x − π) para x ∈ [0, π] .
1) P(x) = a (x – xo) (x – x1) … (x – xn)
Grado 3: P(x) = a (x – xo) (x – x1) (x – x2) ,
Hay dos opciones : (1) : P(x) = a (x – 3)2
(x + 1)
: (2) : P(x) = a (x – 3) (x + 1) 2
Como sabemos que P(2) = 4 (quiere decir que cuando x = 2, el resultado del polinomio es 4).
Reemplacemos en (1) : P(2) = a (2 – 3)2
(2 + 1) → 4 = a (– 1)2
. 3 → 4 = a 3 → a = 4
/3.
De allí que el polinomio (1) sea P(x) = 4
/3 (x – 3)2
(x + 1)
Reemplacemos en (2) : P(2) = a (2 – 3) (2 + 1)2
→ 4 = a (– 1) . 9 → 4 = a (− 9) → a = − 4
/9.
De allí que el polinomio (1) sea P(x) = − 4
/9 (x – 3)2
(x + 1)
2) Dada la ecuación g(x) = x2
– 15x tenemos que : x2
– 15x > 1000 (trabajemos como si fuera
una ecuación, el modo operativo es el mismo).
x2
– 15x – 1000 > 0 (aplicamos cuadrática) (x – 40) (x + 25) > 0 (resolvamos sin tomar en cuenta
al 25 que al despejarse quedará – 25, valor que no tiene aplicación para el problema.)
x – 40 > 0 → x > 40
Necesita vender más de 40 artículos.
Zona Oeste: Moreno, Lujan

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3) Primero hallemos dominio e imagen de: 3
4
1
)( +
+
=
x
f x
3
4
1
)( +
+
=
x
f x AH: 3 Img.: R – {AH} → Img.: R – {3}
AV: − 4 Dom. : R – {AV} → Dom. : R – {− 4}
Así que tenemos: f(x) : Dom. : R – {− 4}→ Img.: R – {3}/ 3
4
1
)( +
+
=
x
f x
Para hallar la inversa el Dominio (Dom.) se intercambia con la imagen (Img.), de esa manera
tenemos que: f(x)
– 1
: Dom. : R –{3}→ Img.: R –{− 4}/ f(x)
– 1
Ahora hallemos f(x)
– 1
. Para ello cambiemos x por f(x)
– 1
y a f(x) por x.
3
4
1
3
4
1
1
)(
)( +
+
= →+
+
=
−
x
doreemplazanx
f
x
x
f
Despejen la ecuación en hoja aparte y les quedará: 4
3
11
)( −
−
=−
x
f x
Entonces quedará f(x)
– 1
: Dom. : R –{3}→ Img.: R –{− 4}/ 4
3
11
)( −
−
=−
x
f x
4) 4 sen (3x − π) = 0 → sen (3x − π) = 0
Se debe tener en cuenta que para sen α = 0 hay dos valores
para el ángulo α, α = 0 (1) y α´= π. (2)
(1) (3x − π) = 0 + kπ (2) (3x − π) = π + kπ (descartado por quedar fuera de [0, π] )
kπ permite hallar todos los valores de x en el intervalo [0, π] dándole valores enteros a “k”.
3x − π = 0 + kπ (despejemos x) π+
π
= kx
3
1
3









π=π+
π
=⇒=
π=π+
π
=⇒=
π
=⇒=
3
2
3
2ksi
3
2
3
1
3
1ksi
3
0ksi
x
x
x
Solución:






ππ
π
;
3
2
;
3

CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 1996 – Pág. 1
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1. Representar en el plano: {(x, y) ∈ R2
/ 1 < y – 3 x < 2, 5>y }
2. Hallar dominio, imagen y asíntotas de la función h = f o g si
1
1
)(
+
=
x
f x y g(x) = − 2 x + 3
3. Hallar a ∈ R de modo que la función f(x) = sen 2
x – ½ tenga 6 ceros en el intervalo [0, a]
4. La función cuadrática f tiene ceros en x = – 1, x = 1 y verifica f(3) = 2. Determinar los ceros y
los intervalos de positividad y de negatividad de ( ) ( ) ( )xx fxh .
3
1−=
Respuestas:
1) (ver gráfico)
2) Dom: R – {2}, Img. : R – {0}, A.V. = {2}, A. H. = {0}
3) )11;9[ 44
ππ
∈a
4) { }1,,1C 3
1o
−= ( ) ( )+∞∪−=+
,1,1C 3
1 ( ) ( )1,1,C 3
1∪∞−=−
(2) Matemáticas – Primer Parcial :1996
1. Los puntos A = (1; 1) , B = (1; 6) , C = (4; 6) y D = (4; 1) son los vértices de un rectángulo. Dar
las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales AC y BD y determinar, analíticamente,
las coordenadas del punto en que se cortan.
2. Hallar los intervalos de positividad y negatividad de: f(x)= − 3 (x 2
– 4 x + 4) (x 2
– 4 x – 5)
3. Dadas f(x)= x – 2 y g(x)=
24
5
+x
x
, siendo h = g o f , hallar h –1
. Trazar el gráfico de la función.
4. Determinar el conjunto de ceros de f : [− π, π]→ R definida por: f(x)= cos 2
x – ½ cos x
Respuestas. :
1) )
3
42
;
2
5
(,
3
23
3
5
,
3
2
3
5
+−=−= xyxy
2) C+
= (–1, 2) ∪(2, 5); C −
= (– ∞, −1)∪(5, + ∞)
3) 3
1
1
5
2
1
)( +
−
=−
x
h x 4) },,,{ 2332
ππππ −−
Zona oeste: Moreno, Lujan

CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutierrez. – 1997 – Pág. 1
Si necesitas clases para rendir tus parciales, finales o libre puedes llamar al 011-15-67625436 (Lujan)
(1) Matemática – Primer Parcial: 1997: (Recuperatorio)
1) Determinar analíticamente la ecuación de la recta que corta al gráfico
3
4
)(
−
=
x
f x en los
puntos de abscisas x1 = 2 y x2 = 5.
2) Hallar el conjunto de positividad de f(x) = (x – 3)(5x2
+ 8x – 4).
3) Hallar los ceros de f(x) = 4 sen (x +
π
/6) para x ∈ [0, 3π]
4) Según un estudio de mercado, a partir de enero de 1996 una fábrica de lácteos tuvo un
ingreso mensual (en miles de pesos) dado por f(x) = x2
– 10x + 36 (x en meses).
¿Cuál fue el ingreso mínimo?.
Respuestas. :
1) y = ½ x – ½ 2) Intervalo de positividad: (– 2; 0,4) ∪(3, + ∞) 3)






πππ
6
17
,
6
11
,
6
5
4) Mínimo: (5, 11). El ingreso mínimo fue en el quinto mes, $11.000
1) Hallar el polinomio de grado 3, cuyos ceros son –1, 2 y 3, para que verifique que f(0) = 12
2) Dada f (x) = 9 – (x + 2)2
y g (x) = x – 3, hallar intervalos de positividad y negatividad de
h(x) = g o f(x)
3) Determinar los x ∈ [0, 2π] / sen x. Cos x – ½ cos x = 0
4) Sea la función indicada en el gráfico: Hallar analíticamente {x ∈ R / f (x) > 2}
Respuestas. :
1) P(x) = – 2 (x + 1) (x – 2) (x – 3)
2) Intervalo de positividad: (–2, 4); intervalo de negatividad: (– ∞, – 2) (4, + ∞)
3)






ππ
ππ
;;
2
;
6 6
5
4) ( )∞+− ,
3
1 (Recomendación: primero hallar la recta usando los puntos del gráfico y luego
resolver la inecuación).
3
1

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1) Sean f(x) = 3 x2
+ 2 x + 6 y g(x) = − 5 x + 4
Sea A = {x ∈ R / f(x) > g (x)}. Determinar analíticamente el conjunto A.
2) Sea f (x) – 2 x3
– x2
+ k x una función polinómica. Hallar k para que x = 2 sea un cero de f.
Para el valor de k hallado, encontrar todos los ceros y los conjuntos de positividad y de
negatividad de f.
3) Sea f : [–π, π] → R definida por f(x) = – ½ cos(x – ½ π). ¿En que puntos alcanza f su valor
máximo? ¿Cuáles son estos valores máximos?
4) Un bioquímico observa un cultivo de bacterias. Ve que la población (en miles de bacterias)
t horas después de las 7 AM se puede aproximar mediante la fórmula P(t) = 15.e0,4 t
. ¿Cuándo
la población será el doble de lo que era a las 10 AM.?
Respuestas. :
1) A = (− ∞ , – 2] ∪ [–1/3, + ∞) 2) a) k = 10 b) Ceros en: x = 0, x = 2, y en x = –5/2
3) máx.: (-π/2 , ½ ) , mín.: (π/2 , - ½ )
4) 10 AM → t = 10 – 7 = 3 → P(3) = 15 e0,4..3
. El doble: 30 e1,2
= 15 e0,4 t
→ t = 4,733 = 4 hs. 44’
(después de las 7 A. M) O sea a las 11 hs 43 minutos.
1) Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto }3
1
5
/{ −≥
−
∈=
x
RxA
2) Sea f(x) = – x2
+ 6x – 7 y los puntos del plano P y Q tales que : P = vértice de la parábola
que define f ; Q = el punto donde dicha parábola corta al eje y. Escribir la ecuación de la recta
que pasa por P y Q.
3) Si f(x) = x – 1
, g(x) = x – 4, hallar todos los x ∈ R que verifican (f o g)(x) = 25
4) Si f : [0, 2π]→ R, f(x) = 1 – e sen (2x)
; hallar el conjunto de ceros de f.
Respuestas. : 1) (− ∞, − 2
/3] ∪ (1, + ∞) 2) y =
3
9 x – 7 Donde: P = (3, 2) y Q = (0, – 7)
3)
25
101
4) {0, π/2 , π, 3π/2 , 2π}

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1) Hallar la distancia entre el vértice de la parábola y el punto que corta al eje y para la parábola :
y = 2x2
+ 6x – 1.
2) Sean
4
2
,103 )()(
−
=+=
x
x
gxf xx hallar: g o f (x) y determinar las ecuaciones de sus asíntotas.
3) Hallar los ceros y los intervalos de positividad y de negatividad: f(x) = (2x +1) (x2
– 2x)
4) Sea L la recta que pasa por (2, –1) y (–1, 3); hallar la ecuación de la recta L’ que pasa por (– 2, 0)
y tiene la misma pendiente que L.
Respuestas. :
1) (raíz de 10) Vertice: (– 3, –1) C = (0, – 1) 2) x = –2 y = 2 4) y = – 4/3x + 8/3
3) Co
= {–½ ; 0, 2} C−
= (−∞, −½ ) ∪ (0, 2) C +
= (−½ , 0) ∪ (2, + ∞)
(2) Matemática – Primer Parcial: (Agronomía) 1999
(agronomía)
1) Dados los puntos P = (3, a) y Q = (–1, – 4), determinar todos las a ∈ R de modo que 5)PQ( =d
2) Dadas las funciones lineales: f(x) = 3x + 1 y g(x) = 2x + b; hallar b ∈ R de modo que el conjunto
A = {x ∈ R/ f(x) > g(x)} para valores entre (3, + ∞).
3) Hallar el dominio, la imagen y los ceros de la función para 4
2
1
)( −
−
=
x
f x
4) Hallar los intervalos de positividad de f(x) = (x2
+ 1)(x2
– 5 x + 6)
Respuestas. :
1) a = – 1 ó a = – 7 2) b = 4 3) Dominio: R – { 2}, imagen: R – {– 4} C º = {9/4}
4) Intervalos de positividad: (– ∞, 2) (3, + ∞)

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(1) Matemática – Primer Parcial:1er
Cuat. 2000
1) Dados los puntos A = (–1, 7) y B = 



 −2,
4
5
, de las coordenadas de un punto P del primer
cuadrante que pertenezca a la recta que pasa por los puntos A y B
2) Dada
2
13
)(
+
+−
=
x
x
f x calcular f – 1
(x) y el dominio de f – 1
3) Dada
4
3
1
2
2)( +
−
=
x
x
f x calcular los siguientes límites:
11 −→→−∞→ xxx
límlímlím
4) Si f(x) = sen (x – π) y g(x) = 2x + 4 determinar {x ∈ [0, 2π] / g o f(x) = 5}
Respuestas. :
1) (Está pidiendo las coordenadas posibles de un punto P que pertenece a la recta AB y se
encuentra en el primer cuadrante.)
Recta AB: y = – ¼ x – 27/16 , así que P = (x; – ¼ x – 27/16) para valores de “x” comprendidos
en el intervalo: – 27/4 < x < 0
2) Cambiamos “x” por “y” e “y” por “x” así despejamos a “y”.
⇒
+
+
= →
+
+−
=→
+
+−
=
3
12
2
13
2
13
)(
x
x
y
y
y
x
x
x
f
despejando
x
3
12
)(
1
+
+
=−
x
x
f x
Dominio de f – 1
: R – {– 3}.
3)
4
3
4
3
1
2
4
3
1
2
0
22
=+
−
=+
− −∞→−∞→−∞→ xxx
lím
x
x
lím
x
x
lím
4434421
∞=+∞=+=+
−
=+
− →→→ 4
3
4
3
0
2
4
3
1
2
4
3
1
2
12121 xxx
lím
x
x
lím
x
x
lím
∞=+∞=+=+
−
=+
− −→−→−→ 4
3
4
3
0
2
4
3
1
2
4
3
1
2
12121 xxx
lím
x
x
lím
x
x
lím
4) g o f(x) = 2 sen (x – π) + 4 = 5 → x – π = π/6 + 2kπ ó x – π = 5π/6 + 2kπ
Los resultados serán: 7π/6 y 11π/6. (tomar k = 0)

CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutierrez. – 2001 - Pág. 1
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(Zona oeste: Moreno, Lujan).
Primeros Parciales de Matemática
(1) Paternal: 2do
Cuat. 01
1) Escribir como intervalo o unión de intervalo el conjunto






<
+−
∈= 7
1
2
/
x
RxA
2) dada f(x) = 2x – 6 y g(x) = 81 – x2
, hallar todos los ceros de la función g o f(x)
3) Hallar a, b y c para que c
bx
a
f x +
+
=)( cumplan simultáneamente :
i) 5 ∉ Domf
ii) Imgf = R – {4}
iii) f(0) = 10
Justificar.
4) Hallar el conjunto de negatividad de f: [0, 8π] → R dada por
2
3
3
sen)( −





=
x
f x
Respuestas:
1) C –
= (1, 5
/7) 2) C o
= {– 3
/2, 15
/2} 3) b = – 5 (asíntota vertical),
c = 4 (asíntota horizontal), a = – 30 (con la ecuación utilizando b, c y el punto dado).
4) {π, 2π, 7π, 8π}
(2) Ciudad Universitaria: 1er
Cuat. 01 Tema 3
Ejercicio 1: Escribir como intervalo o como unión de intervalos el conjunto:
}0
5
43
:{ >
+−
−
ℜ∈=
x
x
xA
Ejercicio 2: Sean 2
2
1
)( +−= xf x y g(x) = – 4 x2
+ 5 Indicar el intervalo de crecimiento y decre-
cimiento de g o f
Ejercicio 3: Hallar el valor de a para el cual:
2
7
154
62
lím
2
2
−=
−+
−+
+∞→ xx
xax
x
Ejercicio 4: Hallar los ceros de: )2cos(
6)(
π
+−= xf x en el intervalo [0, 2π]
Respuestas:
1) (4
/3 , 5) 2) Intervalo de Crecimiento: (4, + ∞) Intervalo de Decrecimiento: (- ∞, 4)
3) a = – 14 4) Sol.: {π
/6 , 7π
/6}.

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(Zona Oeste: Moreno, Lujan).
(3) Cuidad Universitaria: 1º Cuat. de 2001
Ejercicio1: Dada f(x) = ½ x2
– 4x; g(x) = x – 8 escribir como intervalo o unión de intervalos:
A = {x ∈ R /f(x) > g(x)}
Ejercicio 2: Hallar una función polinómica f de grado 4 cuyo gráfico corte al eje de las abscisas
solamente en los puntos (-2, 0) y (4, 0) y además que verifique f(0) = 8
Ejercicio 3: Sea
x
g
x
f xx
1
3
1
1
)()( =−
−
= . Calcular h(x) = f o g. Analizar la existencia de asíntotas
verticales y horizontales en la función h y dar las ecuaciones de las mismas.
Ejercicio 4: Hallar todos los ceros de la función f(x)= sen(x − π) – ½ en el intervalo [ −π; 2π].
Respuestas: 1) (- ∞, 2) ∪ (8, + ∞) 2) f(x) = 1
/8 (x + 2)2
(x – 4)2
3) y = – 4, x = 1 4) };{
6
7
6
5
ππ−
(4) Ciudad 1º Cuat. 2001 (Se nota que es casi igual al tema anterior)
Ejercicio 1: Dada f(x) = ½ x2
– 4x; g(x) = x – 12 escribir como intervalo o unión de intervalos:
A = {x ∈ R /f(x) > g(x)}
Ejercicio 2: Hallar una función polinómica f de grado 4 cuyo gráfico corte al eje de las abscisas
solamente en los puntos (– 3, 0) y (5, 0) y además que verifique f(0) = 15
Ejercicio 3: Sea
x
g
x
f xx
1
2
1
1
)()( =−
−
= – 3. Calcular h(x) = f o g. Analizar la existencia de asín-
totas verticales y horizontales en la función h y dar las ecuaciones de las mismas.
Ejercicio 4: Hallar todos los ceros de la función f(x)= sen(x − π) –
2
2
en el intervalo [π; 2π]
Respuesta: 1) (- ∞, 4) ∪ (6, + ∞) 2) f(x) = 1
/15 (x + 3)2
(x – 5)2
3) y = – 9/4, x = ¼ 4) }{
4
5
π
(5) Ciudad Universitaria 1º Cuat. de 2001
Ejercicio 1: Dada la f(x) = 9x(x – 2), escribir como intervalo o unión de intervalos al conjunto
C ={x ∈ R / f(x) > − 8}
Ejercicio 2: Si la f es la función lineal que satisface f(½) = 5 y
)(
2
5−
f = 4, determinar analíticamente
el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de f.
Ejercicio 3: Sean f(x) = 3x + α,
45
)(
+
=
x
x
g x y h(x) = f o g(x). Determinar el valor de α para que
10
1
)( =
∞→
x
x
hlim .
Ejercicio 4: Sea f(x) = 3ex – 2
+ 1. Calcular 1−
f (x). y determinar su dominio.
Respuesta: 1) (− ∞, 2
/3) ∪ (4
/3, + ∞) 2) y = 1
/3 x + 29
/6 C +
= (- 29
/2 , + ∞) C –
= ( − ∞, 29
/2)
3) α = – ½ 4) f – 1
= ln(x – 1) + ln3 + 2 Dom.: (1, +∞)

Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436 (Lujan, Moreno)
Ciudad Universitaria: Primer trimestre 2002
Ejercicio 1: La recta de ecuación y = x + 3 corta al eje x en el punto A, y corta al eje y en el punto
B. Calcular la distancia entre A y B.
Ejercicio 2: Hallar la expresión de la función cuadrática que verifica f(2) = 0, Img. f = [– 2, + ∞); el
intervalo de decrecimiento de f es (– ∞, – 1).
Ejercicio 3: Dado 2
3
4
)( −
−
=
x
f x , calcular f – 1
y el dominio de f – 1
.
Ejercicio 4: Para f(x) = – 2 + e 3/x
, calcular )(
0
lím x
x
f
+
→
y )(lím x
x
f
−∞→
. Hallar todas las asíntotas de f.
Solución de los Ejercicios:
Ejercicio 1: Cuando un punto de una función corta al eje x quiere decir que la coordenada “y” del
punto es cero (y = 0). Para hallar la coordenada x, igualemos la ecuación a cero y despejemos “x”.
y = x + 3 → 0 = x + 3 → – 3 = x
A = (– 3, 0)
El punto donde la recta corta al eje y, tiene coordenada x igual a cero (x = 0). Para hallar el valor de
la coordenada y reemplazamos a x por cero y realizamos la cuenta.
y = x + 3 → y = 0 + 3 → y = 3
B = (0, 3)
Para hallar la distancia entre los dos puntos aplicamos Pitágoras: D2
= (y2 – y1)2
+ (x2 – x1)2
Se reemplaza las coordenadas por sus respectivos valores y se calcula la raíz cuadrada del resultado.
24,418)30()03( 22
=→=→−+−−= DDD
Ejercicio 2: Como la función cuadrática es un polinomio de grado dos, lo que te están pidiendo es
que “armes” un polinomio de segundo grado. Hay que utilizar la
información que te dan: uno de los ceros es (2, 0), el otro lo tenés
que “sacar” a partir del eje que se ubica donde termina el “intervalo
de decrecimiento”: x = – 1. El eje siempre deja a los ceros de la fun-
ción a la misma distancia (uno de cada lado), así que el otro cero lo
encontramos en el punto de abscisa – 4. Así que x1 = 2 y x2 = – 4. La
imagen de la función empieza en – 2, lo que implica que es la ima-
gen del vértice de la parábola, cuyas coordenadas quedarán como (–1, –2). Con estos datos pode-
mos armar el polinomio.
(2,0)
– 1
(– 4, 0)

Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436 (Moreno, Lujan)
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) = a (x – 2) (x – (–4)) para hallar a reemplazamos “x” e “y” por el vértice de la parábola.
– 2 = a (– 1 – 2) (– 1 + 4) despejamos a y nos queda: a =
9
2
De esa manera tenemos la ecuación factorial de la parábola
)4)(2(
9
2
)( +−= xxf x
Podemos transformarla en un polinomio, simplemente aplicando distributiva.
9
16
9
42
9
2
)( −+= xxf x
Ejercicio 3: Para hallar la inversa de una función nos conviene cambiar f(x) por x, mientras que x la
cambiaremos por f(x)
– 1
; la que despejaremos.
2
3
4
1
)(
)( −
−
=
↓
−
↓
876
xf
x
x
x
f
3
2
4
2
4
343)2(
3
4
22
3
4 111
11 )()()(
)()(
+
+
=⇒
+
=−⇒=





−+⇒
−
=+⇒−
−
= −−−
−− x
f
x
ffx
f
x
f
x
xxx
xx
En el denominador de la fracción, el número que lo anula (lo hace cero) es “– 2”, ese valor no puede
estar en el dominio.
Dom. f = R – {– 2}
El problema termina acá pero también se les puede pedir las asíntotas de la función inversa:
Asíntota Vertical: es el valor correspondiente al dominio que tiene como límite el infinito ya que
no posee imagen en la función.
∞=+∞=+
+−
=+
+−→
33
22
4
3
2
4
lím
2 xx
A. V. = {– 2}.
Ecuación de la asíntota: x = – 2
Asíntota Horizontal: es el valor del límite de la función cuando el elemento del dominio (x) tiende
a infinito (es cada vez más grande). Este valor no posee preimagen, o sea que no pertenece a la ima-
gen de la función.

3303
4
3
2
4
3
2
4
lím =+=+
∞
=+
+∞
=+
+∞→ xx
0lím 1
=
∞→ xx
A. H. = {3} Ecuación de la asíntota horizontal: y = 3.
Ejercicio 4: calculemos los límites.
El signo + que aparece a la derecha del cero indica que el límite se calcula sólo desde los valores
mayores a cero (los número positivos).
∞=∞+−=+−=+−=+−=+− ∞
→→→
+→
+++
222lím2lím2lím
3
lím
000
0
33
eeee
x
xxx
xxx
11222lím2lím2lím
0
lím 333
−=+−=+−=+−=+−=+− −∞→
−∞→−∞→−∞→
eeee
xxxx
xxx
Nos piden calcular las asíntotas.
Asíntota vertical: valor correspondiente al dominio que tiene como límite el infinito ya que no po-
see imagen en la función. En este caso el límite de x tendiendo a cero por izquierda (valores negati-
vos) no da como límite infinito, sino – 2. Pero la función tiene asíntota vertical contando el límite de
x tendiendo a cero por derecha que sí da infinito.
∞=∞+−=+−=+−=+−=+− ∞
→→→
→ 222lím2lím2lím
3
lím
000
0
33
eeee x
xxx
xxx
A. V. = {0} ó x = 0 (que es la ecuación de la asíntota vertical)
Asíntota Horizontal: valor del límite de la función cuando el elemento del dominio (x) tiende a infi-
nito (es cada vez más grande). En este caso, existe la asíntota horizontal, el valor de ella es – 1.
11222lím2lím2lím
0
lím 333
−=+−=+−=+−=+−=+− ∞→
∞→∞→∞→
eeee
xxxx
xxx
A. H. = {– 1} ó y = – 1 (que es la ecuación de la asíntota horizontal)

Primer Parcial: Drago – 1er
Cuat. de 2002
1. Hallar analíticamente las coordenadas de todos los puntos de la recta y = 2x –1 que están a dis-
tancia “1” del punto (0,0)
2. Hallar los intervalos de positividad del polinomio P(x) = x3
+ 7x² + 8x – 16, sabiendo que x = 1 es
una raíz de P.
3. Si
2
1
)(
+
=
x
f x y g(x) = 4x – 1, hallar h = f o g y calcular la inversa de h para x = 5
4. Sea f(x) = 5.cos(2x – π). Hallar todos los x en el intervalo [– π;2π] donde f alcanza su máximo
valor.
1) Para hallar las coordenadas de los puntos pertenecientes a la recta y = 2 x – 1 debemos aplicar la
ecuación de la distancia entre dos puntos (Pitágoras).
P = (0, 0)
Q = (x, y) = (x, 2x – 1)
(x – 0)2
+ (2x – 1 – 0)2
= 12
x2
+ (2x – 1)2
= 1
x2
+ 4x2
– 4x + 1 = 1
3x2
– 4x = 0 (nos conviene factorizar x) (también podés aplicar la ecuación cuadrática, da el mismo resultado)
x (3x – 4) = 0 (al ser una multiplicación tenemos dos resultados posibles)
x = 0 ó 3x – 4 = 0 (se despeja x) x = 4/3.
De esa manera las coordenadas del punto puede ser:
Para x = 0, y = 2.0 – 1 = – 1. Solución: (0, – 1)
Para x = 4/3, y = 2. 4/3 – 1 = 8/3 – 1 = 5/3 Solución: (4/3, 5/3)
2) Para hallar los intervalos de positividad necesitamos los ceros de la función. Uno de ellos es “1”,
con él dividiremos al polinomio (aplicando Ruffini) para calcular después las otras raíces mediante
la ecuación cuadrática.
P(x) = x3
+ 7x² + 8x – 16

1
1 7
1
8
8
– 16
16
1 8 16 0
Cuando se divide por Ruffini, se baja un grado al polinomio solución, quedando como resultado:
P(x) = x3
+ 7x² + 8x – 16 = (x2
+ 8x + 16) (x – 1) (el polinomio de grado dos es un trinomio cuadrado perfecto
por lo que queda)
P(x) = (x + 4)2
(x – 1)
Los ceros de la función son, entonces, – 4 y 1. Armemos un cuadro para analizar el signo de la fun-
ción entre ellos (Bolzano). No olvidemos que todo número elevado al cuadrado es positivo, de allí
que para P(x) cualquier valor menor de 1, excepto – 4, dará signo negativo. Para cualquier número
mayor que 1, la imagen tendrá signo positivo.
(– ∞, – 4) – 4 (– 4, 1) 1 (1, + ∞)
– 0 – 0 +
Por lo tanto, la solución de este problema es: (1, + ∞)
3)
2
1
)(
+
=
x
f x y g(x) = 4x – 1 Hallemos h = f o g
14
1
214
1
)14()()( )( +
=
+−
=== −
xx
ffgf xgx x
o
Para hallar la inversa reemplazamos x por y (y viceversa) para despejar “y”.
14
1
14
1
)(
+
=→
+
=
y
x
x
h x (despejemos y)
4
1
4
1
4
1
4
1
1
1
4
1
14
14
1
)(
1
−=⇒−=→−=→=+→
+
= −
x
h
x
y
x
y
x
y
y
x x
4
1
3
1
12
1
4
1
3.4
1
)3(
1
−=−=−=−
h
4) La función coseno alcanza sus máximos en “1”; en este caso, el valor será “5”.
5.cos(2x – π) = 5 → cos(2x – π) = 1 → 2x – π = 0 + 2kπ (“k” nos permite hallar todos los valores de x)
2x = 2kπ + π (despejamos x)
x = k π + ½ π (al darle los valores a “k” se puede hallar los distintos resultados)
Si k = – 1 → x = – π + ½ π = – ½ π Si k = 0 → x = ½ π
Si k = 1 → x = π + ½ π = G π Solución: {– ½ π, ½ π, G π}

Matemática: (Parcial tomado en Ciudad Universitaria el Jueves 17/10/02) Tema 4
1) Dadas las parábolas de ecuaciones y = x2
+ 4x + 1, y = x2
+ 1. Calcular la distancia entre sus
vértices.
2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A = (2, 6) y corta al gráfico de f(x) = 2x3
– 3x + 1 en el
punto de abscisa – ½.
3) Dada
bx
x
f x
+
+
=
37
)( , determinar b para que f(4) = – 1. Para el valor de b hallado, dar las
ecuaciones de las asíntotas de la función inversa f – 1
.
4) Hallar el dominio, ceros y conjunto de negatividad y de positividad de f(x) = (x – 4) ln (x + 8).
1) En la parábola y = x2
+ 4x + 1 podemos hallar el vértice aplicando 2
2
4
2
−=−=⇒−= xx v
a
b
v
Reemplazamos en la ecuación original para hallar vy = (– 2)2
+ 4 (– 2) + 1 = – 3
V1 = (– 2; – 3) (coordenadas del vértice de la primera parábola)
Ahora trabajemos en la segunda parábola.
y = x2
+ 1 vx = 0 vy = 02
+ 1 = 1
V2 = (0, 1) (coordenadas del vértice de la segunda parábola)
Para calcular la distancia entre V1 y V2 aplicamos Pitágoras: D2
= (– 2 – 0)2
+ (– 3 – 1)2
= 13
D = 13
2) Calculemos primeramente el punto dentro de la función f(x) = 2x3
– 3x + 1
f(– ½ ) = 2(– ½)3
– 3(– ½) + 1 = 9
/4
El punto es: P = (– ½, 9
/4)
Tenemos los dos puntos: A = (2, 6) y P = (– ½, 9
/4)
Hallemos la pendiente:
2
3
2
6
2
1
4
9
=
−−
−
=m .
Suplantamos el valor de la pendiente y el punto A = (2, 6) en la ecuación de la recta y = mx + b.

Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436 (Lujan)
6 =
2
3
2 + b → b = 3
La ecuación de la recta que nos piden es: y =
2
3
x + 3
3) Para determinar b resolvamos f(4) = – 1
→
+
+
=−→
+
+
=
bbx
x
f x
4
328
1
37
)( b = – 35.
35
37
)(
−
+
=
x
x
f x Para hallar la inversa es conveniente intercambiar “x” por “y” y viceversa.
35
37
35
37
)(
−
+
= →
−
+
=
y
y
x
x
x
f
osreemplazam
x (despejamos y).
7
3351
)(
−
+
=−
x
x
f x
Las ecuaciones de las asíntotas:
Asíntota vertical: x = 7
Asíntota horizontal: y = 35
4) f(x) = (x – 4) ln (x + 8).
Dominio: x + 8 > 0 → x > – 8
Dom. = (– 8, + ∞)
Cero de la función: (x – 4) ln (x + 8) = 0 (Es un producto, entonces, hay dos posibilidades)
a) x – 4 = 0 → x = 4
b) ln (x + 8) = 0 → x + 8 = 1 → x = – 7.
Para hallar los intervalos de positividad y negatividad nos conviene tomar valores intermedios (a los
ceros encontrados) y ver el signo de la imagen.
– 8 – 7 4+ +
+ ∞
C º = {– 7, 4}
C –
= (– 8, – 7) ∪ (4, + ∞)
C +
= (– 7, 4)

Matemática:R Matemática – Primer Parcial: 1° Cuat. de 2003 Tema 4
1. Hallar todos los puntos de la rectay = – 2x que distan 30 del punto (2, 1)
2. Determinar k ∈ R para que la función
3
82
)(
+
−
=
kx
x
f x verifique 5lim )( =
+∞→
x
x
f . Para el valor de k
encontrado, calcular las ecuaciones de todas las asíntotas de f.
3. Hallar la fórmula de la función cuadrática f cuya imagen es el intervalo (– ∞, 2] y cuyo gráfico
pasa por los puntos (– 3, 0) y (5, 0).
4. Sea f(x) = 6 + ln (x + 4), hallar el conjunto dominio de f y calcular {x ∈ R: f(x) = 1}.
1) La ecuación de distancia es: D2
= (x2 – x1)2
+ (y2 – y1)2
Uno de los puntos es (2, 1); el otro pertenece a la recta y = – 2x que se expresa como (x, – 2x). Así
que aplicamos a la ecuación y tenemos:
( 30 )2
= (2 – x)2
+ [1 – (–2x)]2
30 = (2 – x)2
+ (1 + 2x)2
30 = 4 – 4x + x2
+ 1 + 4x + 4x2
30 = 5x2
+ 5
(30 – 5) / 5 = x2
5= x2
5 = |x| → 5 = x1 ó – 5 = x2
Reemplazamos cada punto por su coordenada
Operamos aritméticamente.
Recordar que (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Sumamos las x2
, las x y los números.
Despejamos x
No olvidar el módulo
Si x = 5 entonces y = – 2 5 ; siendo el punto ( 5 , – 2 5 )
Si x = – 5 entonces y = 2 5 ; siendo el punto ( 5 , – 2 5 )
2) Tenemos
3
82
)(
+
−
=
kx
x
f x así que reemplazamos en 5
3
82
lim =
+
−
+∞→ kx
x
x
. Resolvemos el límite, igua-
lamos los resultados y despejamosk.
k
kkkkx
x
x
xx
kx
xx
x
xx
=→=→=
+
−
=
+
−
=
+
−
+∞→+∞→+∞→ 5
2
5
22
0
02
limlim
3
82
lim
3
82
0
8
lim
3
lim ==
∞→∞→ xx xx

3) En toda función cuadrática entre los ceros, justo en la mitad se encuentra el eje de simetría por
donde se ubica el vértice: 1
2
2
2
53
==
+−
=xv . La imagen del vértice es el máximo de la función
(puede ser un mínimo, según la función), en este caso 2. El vértice (1, 2).
Nos conviene utilizar la ecuación factorial: f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) = a (x + 3) (x – 5)
Necesitamos saber el valor de a, para ello utilizaremos las coordenadas del vértice y la despejare-
mos.
2 = a (1 + 3) (1 – 5) → 2 = a . 4 (– 4) → a =
8
1
−
De esa manera la ecuación de la función cuadrática queda: f(x) =
8
1
− (x + 3) (x – 5)
4) Para hallar el dominio de f(x) = 6 + ln (x + 4) necesitamos establecer una inecuación:
x + 4 > 0 → x > – 4.
El dominio de esta función corresponde al conjunto que contiene a todos los números reales mayo-
res que – 4: Dom f : (– 4,+ ∞)
Para hallar f(x) = 1, necesitamos hallar el valor de x que nos de cómo resultado 1.
1 = 6 + ln (x + 4)
– 5 = ln (x + 4)
e – 5
= x + 4
e – 5
– 4= x
Reemplazamos f(x) por 1 para despejar x.
Pasamos al 6 restando y el resultado es– 5.
Recordando la definición de logaritmo lo expresamos como exponencial
Despejamos x
e – 5
– 4 (– 3,9933 aproximadamente) es el valor de x que da como imagen 1.

Primer parcial – Matemática – CBC – Gutiérrez
Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436 (Lujan)
Rta: 12/25 (x + 4) (x – 1)
Rta: (3, 2) y (–2, – 3)
Rta: C = (–∞, –2) (–2, 2/3) (0, 5/2) C = (2/3,0)
+ –
Rta: π/2, 2π/3, 5π/2, 8π/3, 9π/2, 14π/3, 17π/2, 20π/3, 19π/2, 26π/3, etc...
Rta: x = 3/2 y = 3/2
Rta: a = 3 se cortan en x= – 2 y en X = 1.
Rta: C :(–∞, -1) (–1/3, +∞) C : (–1, – 1/3)
+ –

Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436 (ZonaOeste: Lujan)
Primer Parcial matemática

Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436 (Zona oeste: Lujan)
Rta: x > 3/2 o sea, de 3/2 a más infinito.
Rta: h = 11 – 2x/6 – x
–1
Rta: Dom de –7 a más infinito, Ceros = {e – 7}
4
Rta; X > 2 o sea de 2 a más infinito.
Rta: B = – 4 y su imagen es de – 6 a más infinito
Rta: B = – 4 y siu imagen es de – 9 a más infinito
h = 34–35x/7–x
–1
Rta:
Rta: Dom: – 8 a más infinito, cero = {e – 8}
–5
Más parciales en: http://soko.com.ar/

Matemática – CBC – Primer Parcial (Silvia: 4585 – 1548) Pág. 1
Si necesitas clases para preparar tu parcial, final o libre llamá al 011-15-67625436 (Zona Oeste: Moreno, Lujan)
Matemática
Primer Parcial – Cátedra Gutiérrez
Primer Parcial: Ciudad Universitaria– 1er
Cuat. 2004
1) Hallar la distancia entre los puntos donde se cortan la recta y = – 3x + 5 y la parábola
y = 3x2
– 9x + 5
Respuesta: 40
2) Si
19
5
2
2
)(
−
−
=
x
ax
f x calcular a ∈ R tal que la recta de ecuación y = 2 sea asíntota del gráfico de f.
Para el valor de a encontrado, determinar las ecuaciones de todas las asíntotas de f.
Respuesta: a = 18 Asíntota vertical: x = – 1/3; x = 1/3 Asíntota horizontal: y = 2.
3) Calcular el conjunto de positividad de
3
23
)(
−
+
=
x
x
f x
Respuesta: (– ∞,– 2/3) ∪(3, + ∞)
4) Sean f(x) = 2x – 3; g(x) = 4 + ex
y h(x) = g o f(x). Calcular h– 1
(30).
Respuesta: h– 1
(x) = ½ ln (x – 4) + 3/2.
h– 1
(30) = ½ ln 26 + 3/2 = 3,129 (aproximadamente)

CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2004 Pág. 1
Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al (011) 4585 – 1548.
Matemática: R Matemática – Primer Parcial: tomado el 19 – 05 – 04 Tema 4
1) Escribir como intervalo o como unión de intervalos el conjunto A = {x ∈ R / 7
5
<
x
}
2) Sea f (x) = ax2
+ x + 4, hallar el valor de a ∈ R de manera que la imagen de f sea el interva-
lo (– ∞ ; 9/2). Para el valor de a encontrado, hallar los ceros de la función.
3) Sean f (x) = x2
+ 1; g (x) =
2
14
+−
−
x
x
y h = g o f
Hallar las ecuaciones de todas las asíntotas de h, mediante los limites correspondientes.
4) Sea f (x) = 4 + ln (3 – x) Calcular f – 1
(x), dominio e imagen de f – 1
(x)
Solución:
1) (– ∞, 0) ∪ (5/7, + ∞)
2) a = – ½ , para un valor de x = 1. Ceros: {– 2, 4}
3) h (x) = 2
2
1
34
x
x
−
+
Asíntota vertical: {–1, 1}; Asíntota horizontal: {– 4}.
4) f – 1
(x) = 3 – e x – 4
.
Dominio: R
Imagen: (– ∞, 3)

Si necesitas clases particulares para rendir parciales, finales, libre puedes llamar a 011-15-67625436
1) Sea f(x) = 6 (x – 1) (x – k). Hallar el valor de k pertenece a R de manera que el gráfico de la fun-
ción corte al eje Y en el punto de ordenada 12. Para el valor de k hallado determinar el conjunto de
crecimiento y decrecimiento.
2) Sean f(x) = x2
+ 4x + 1 y g(x) = 4x + 10. Escribir como intervalo o unión de intervalos al conjun-
to A= {x pertenece R/ la función f(x) > g(x)}
3) Sea f(x) =
xx
x
3
24
2
2
−
+
Hallar el límite de x tiende al infinito y dar las ecuaciones de todas las asíntotas
4) Sean f(x) = x + 2 y g(x) = 3 ex
– 4 y h(x) = g o f, hallar h–1
y su dominio.
Respuestas:
1) Debemos usar el punto que nos han dado (0, 12) para hallar k = 2.
De esta manera el eje pasará por: (1 + 2) / 2 = 3/2. Teniendo la coordenada x del vértice se puede,
por lo tanto, ubicar lo que se está pidiendo.
Entonces tenemos: intervalo de decrecimiento: (– ∝ , 3/2) e intervalo de crecimiento: (3/2, + ∞).
2) Solución: (– ∞ , 3] ∪ [3, + ∞ ).
3) Limite = 4. Ecuaciones de las asíntotas Verticales: x = 0, x = 3 Asíntota horizontal: y = 4.
4) h(x) = g o f(x) = 3 e x+ 2
– 4 entonces h– 1
= ln [(x – 4)/3] – 2. Dom (h– 1
) = (4, + ∞).

1) Si P = (4, 2) y Q = (– 20, a), hallar todos los valores de a que pertenece a los reales para que la dis-
tancia entre P y Q sea igual a 25.
2) Sabiendo que el gráfico de f es un parábola que tiene vértice (3, 5) y pasa por (2, 8), hallar f y dar
el intervalo de decrecimiento.
3) Para f (x) =
6
7
−x
+ 1, calcular f – 1
y dar el dominio e imagen de f – 1
.
4) Dadas f(x) = x2
– 32, g(x) = ln(x + 7) y h = g o f(x), hallar los ceros y los intervalos de positividad de
h.
Resultados:
1) a = 5 ó a = – 9 por lo que el punto será: (– 20, 5) ó (– 20, – 9)
2) f(x) = 3(x – 3)2
+ 5 Decrece desde: (– ∞ , 3/5)
3) f –1
(x) =
1
7
−x
+ 6 Para f – 1
:
Dominio: R – {1}
Imagen: R – {6}
4) h(x) = ln (x2
– 25) Cº = {– 5, 5} C+
= ,26 + ∞)()26,(– ∞ ∪−
Zona oeste: Moreno, Lujan

CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2006- Pág. 1
1) Si f es la función lineal cuyo grafico pasa por los puntos (0, 4) y (1, – 2) escribir como intervalo
al conjunto A = {x ∈ R/ f(x) < 28}
Solución: f(x) = – 6x + 4 A= [–4,+ ∞ )
2) Hallar la función cuadrática g que verifique g(3) = g (6) = 0 y g(0) = 2.
Solución: f(x) = 1/9 (x-3)(x-6)
3) Si f(x) =
32
4
−x
x
+ 1, hallar f– 1
y calcular el conjunto imagen de f – 1
.
Solución: f(x)
– 1
=
62
33
−
−
x
x
Img f(x)
– 1
: R – {3/2}
4) Si f(x) = ln (x² – 25) hallar dominio, ceros y conjunto de positividad y negatividad de f .
Solución:
Dom f = (– ∞ , – 5) ∪ (5, + ∞ )
C º = {– 26 ; 26 }
C +
= (– ∞ , – 26 ) ∪ ( 26 , + ∞ )
C –
= (– 26 ; – 5) ∪ ( 5 ; 26 )
zona oeste: Moreno, Lujan.

1) Escribir como intervalo o unión de intervalos A = {x ∈ R /
3
13
+x
– 4 < 0}
Rta.: (– ∞ , – 3) ∪ (1/4, + ∞ )
2) Sabiendo que (1, 0) es un punto del gráfico de f (x)= x4
– 3x3
– x2
+ 3x determinar el conjunto de
positividad de f.
Rta. : (– ∞, – 1) ∪ (0, 1) ∪ (3, + ∞ )
3) Dada f (x)=
3
25
+
−
x
x
y g (x) = x + a para h = f o g, hallar a ∈R de modo que h(4) = 3.
Rta. : a = 3/2
4) Hallar los ceros pertenecientes al intervalo [ – π, π] de la función f (x)= 6 cos (2x – π/4) – 6
Rta. : {π/8}

CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2006- Pág. 1
1) Escribir como intervalo o unión de intervalos A = {x ∈ R /
4
3
−x
– 5 < 0}
Rta.: (– ∞ , 4) u (23/5, + ∞ )
2) Sea f(x) = x (x – 3). Hallar el vértice de la función y calcular la distancia entre ese vértice y el punto
(0, f (0) ).
Rta.: Vértice (3/2, – 9/4); distancia: √117 / 4 ---> aprox (2,7)
3) Hallar a ∈ R de modo que y = 5 sea asíntota de h = f o g, siendo f (x)=
2
5
−
+
x
ax
y g (x) = 3x.
Para el valor de a hallado escribir ecuación de las asíntotas.
Rta. : a = 5;
Asíntota horizontal y = 5;
Asíntota vertical x = – 2/3.
4) sea f (x)= – ex–2
. Calcular f –1
y dar domino de f –1
.
Rta. : f –1
= ln (– x) + 2 Dom. : (– ∞ , 0)

Cátedra Gutiérrez – 2007
Matemática – Primer parcial – Primer Cuatrimestre 2007 – Tema 3
1) Sea f una función lineal cuyo gráfico es la recta de pendiente ¼, que pasa por el punto (– 2, – 1),
hallar B que pertenece a la recta si B = (6, f(6))
Rta.: f(x) = ¼ x – ½ y B = (6, 1)
2) Sea
3
4
)(
−
−
=
bx
ax
f x Determinar los valores de a y b que perteneces a los reales de manera que 2/3
sea cero de la función y la recta de ecuación y = – 3 sea asíntota horizontal de f. Para los valores
hallados, determinar dominio de f.
Rta.: a = 6, b = – 2 Dominio: R – {– 3/2}
3) Sean f (x) = x – 16 ; g(x) = (x + 2)2
y h(x) = f o g(x) , hallar el conjunto de negatividad de h.
Rta.: h(x) = f o g(x) = f ( g(x) ) = f ((x + 2)2
) = (x + 2)2
– 16
C –
= (– 6, 2)
4) Hallar los ceros de f (x) = 2 cos (2x) – 1 que pertenece al intervalo [0, 2π]
Rta.: {π/6; 5π/6, 7π/6}
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Matemática – Primer parcial – Segundo Cuatrimestre 2007 – Tema 2
1) Escribir el conjunto A = {x∈ R / 4
3
12
−>
−
+
x
x
} como intervalo o unión de intervalos.
Solución: (– ∞, 11/6) ∪ (3, + ∞)
2) Sean P y Q los puntos en donde se interfecta la recta de ecuación y = – 5x – 7, y la
parábola de ecuación y = x2
– 2x – 5. Hallar la distancia entre P y Q.
Solución: P = (– 1, – 2), Q = (– 2, 3) Dist PQ = 26
3) Sea 2
45
5
)( +
−
=
x
f x , hallar f(x)
– 1
y dar las ecuaciones de sus asíntotas.
Solución:
5
4
105
5
)(
1
+
−
=−
x
f x
Asíntota vertical: x = 2, Asíntota horizontal: y = 4/5.
4) Hallar el conjunto B = {x∈ [– 2π, 2π] / cos (2x – π/2) + 1 = 0}
Solución: {– 5π/4, 3π/4}
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Matemática – Primer parcial – segundo Cuatrimestre 2007
1) Expresar como intervalo o unión de intervalos al conjunto }1
2
3
/{ <
+
∈=
x
RxA
Rta. (– ∞, – 2) ∪ (1, + ∞)
2) Hallar la función cuadrática f(x) que pasa por los puntos (4, 0); (–1, 0) y (5, 2)
Rta. f(x) = 1/3 (x – 4) (x + 1)
3) Calcular el valor de a ∈ R para la cual x = – 2 es raíz de la función polinómica
f(x) = x3
+ ax2
. Para el valor de a hallado, determinar el conjunto de positividad y
negatividad de f.
Rta. a = 2 C–
= (– ∞, – 2) C+
= (–2, 0) ∪ (0, + ∞)
4) Sean f(x) = x + 4; g(x) = e3x – 2
y h (x) = f o g(x). Calcular h(5)
– 1
.
Rta. h(x)
– 1
= 1/3 ln (x – 4) + 2/3 h(5)
– 1
= 2/3.

Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436 (Zona Oeste: Lujan)
Solución:
1) La ecuación de la recta es: y = m x + b
Para hallar la pendiente (m) usemos 1
4
5
)( +−= xf x de allí que m =
4
5
−
Como el punto es entonces x = 4 e y = 4 Reemplacemos en la ecuación y despejemos b.4)4( =g
4 =
4
5
− . 4 + b entonces b = 9 La ecuación lineal es: 9
4
5
)( +−= xg x
2) Como f(– 1) = g(– 1) entonces: – 6. (– 1) + 5 = – 4 (– 1)2
+ (– 1) k + 17
Resolviendo tenemos que k = 2
Así que g(x) = – 4x2
+ 2x + 17
Para hallar los puntos donde se cortan ambas funciones las igualamos, igualamos a cero y resolvemos
la cuadrática. Cuyas x son: – 1 y 3.
3)
xx
fh xgx
54
4
)51(–5
4
)()( )( +
=
++
== La asíntota vertical es x =
5
4
− , la horizontal es y = 0
4) Primero cambiemos las variables: )5ln()5ln(
2
1
2
7
2
1
2
7
−=
−
−
→−−= y
x
yx resolvemos para
hacerlo más pequeño: lo pasamos como exponencial y despejamos)5ln(27 −=− yx 527
−=−
ye x
ye x
=+−
527
Allí obtenemos la inversa: 5271
)(
+= −− x
x
eg
Dom = R – {–4/5}
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Primer parcial – Matemática – CBC – Cátedra Gutiérrez – soko.com.ar
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Solución:
1) (– ∝, 1/3] U [3, + ∝)
2) Intersección entre g y h = (1/3, – 3)
Vértice de la parábola: (1/3, – 3)
De allí que la ecuación es: 3
3
1
63
2
)( −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= xf x
3) )2)()(5(
2
5
5
1
)( ++−−= xxxP x
C +
= ),5(),2(
5
1 +∞∪−− C –
= )5,()2,(
5
1−∪−−∞
4) ;12 2
)( −= +x
x eh 2
2
1
ln1
)( −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=− x
h x ; Dom h – 1
: ),1( +∞−

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Para modelos de exámenes: http://www.soko.com.ar
Solución:
1) P = (0, – 7) Q = (0, 9)
2) La ecuación de )5)(4(
4
1
)( −+= xxf x y )5)(4)(2(
4
1
)( −+−= xxxh x
),5()2,4( +∞∪−=+
C
3)
x
x
x
x
fg x
−
+
=+
−
=
6
36
6
6
7
)(o
AV x = 6, AH y = – 1.
4) 314
)( −= −x
x ef ; ( )
4
1
3ln
4
11
)( ++=−
xf x ; Dom f – 1
: ),3( +∞−

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Para modelos de exámenes: http://www.soko.com.ar
Solución:
1) f(x) = x + 5 g(x) = – x + 9 A = (2, )∞+
2) Queda factoriado f(x) = x (x – 2) (x + 3) 2
Aplicando Bolzano: )2,0(=−
C ),2()0,3()3,( +∞∪−∪−−∞=+
C
3)
3
42
)(
1
x
x
f x
−
+
=−
La imagen de la función original es el dominio de la función inversa.
Ambas son: R – {3}
4)
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−= πππ
3
2
;
3
1
;
3
4o
C

CBC – Primer Parcial – Matemática – Cátedra Gutiérrez – soko.com.ar
Solución:
1) A = (– ∞, – 4) U ( 5, + ∞)
2) Intersección entre las rectas: (1, 5). Se aplica Pitágoras y podemos calcular a
cuyo valor es: a = – 7 ó a = 9
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