1. Métodos numéricos en ingeniería
TEMA: Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo del método de Cholesky
Problema:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cholesky
A =










97922555
2255515
55156
y C=










100
150
100
Solución:
En el método de Cholesky el primer paso es encontrar la matriz L usando las fórmulas
ii
i
j
kjijki
ki
l
lla
l
∑
−
=
−
=
1
1 y ∑
−
=
−=
1
1
2
k
j
kjkkkk lal
La primera ecuación se usa para elementos fuera de la diagonal y la segunda para elementos en la
diagonal principal.
Entonces.
61111 == al = 2.4495
4495.2
15
11
21
21 ==
l
a
l = 6.1237
4495.2
55
11
31
31 ==
l
a
l = 22.454 Ya sabemos que l12 = 0
22
212222 1237.655 −=−= lal = 4.1833
1833.4
)454.22)(1237.6(55
22
312132
32
−
=
−
=
l
lla
l = 20.916
De igual forma l13 = l23 = 0 y
)916.20454.22(979)( 222
32
2
313333 +−=+−= llal = 6.1106
La matriz L es igual a

2. 









=
1106.6916.20454.22
01833.41237.6
004495.2
L
El siguiente paso es encontrar el vector D de la misma manera que en el método de
descomposición de LU
ii
i
j
jiji
i
l
dlc
d
∑
−
=
−
=
1
1
4495.2
100
11
1
1 ==
l
c
d =40.8246
1833.4
)8246.40)(1237.6(150
22
1212
2
−
=
−
=
l
dlc
d =-23.9045
1106.6
)9045.23)(916.20()8246.40)(454.22((100)(
33
2321313
3
−+−
=
+−
=
l
dldlc
d =-51.826
Finalmente se calcula el vector de incógnitas comenzando por la última x.
En el método de Cholesky U = LT










=
1106.600
916.201833.40
454.221237.64495.2
U DDDDDDD
ii
n
ij
jiji
i
u
xud
x
∑+=
−
=
1
33
3
3
u
d
x = =-8.481
22
3232
2
u
xud
x
−
= = [-23.9045-(20.916)(-8.481)]/4.1833 = 36.690
11
3132121
1
)(
u
xuxud
x
+−
= = [40.8246 – ((6.1237)(36.69)+(22.454)(-8.481))]/2.4495 = 2.685
El resultado se puede comprobar multiplicando A por X y el resultado debe ser igual a C.