Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con operaciones con números complejos. Los ejercicios incluyen representar números complejos en forma binómica y polar, calcular opuestos, conjugados, módulos y argumentos, resolver ecuaciones complejas y hallar raíces. Las soluciones se proporcionan paso a paso con detalles algebraicos y gráficos.

1. Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 1
TEMA 6 – LOS NÚMEROS COMPLEJOS
OPERAR CON COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
EJERCICIO 1 : Calcula y representa gráficamente la solución que obtengas:
a)
 
i
ii


1
24 5
b)
 
i
ii
21
25 6


c)
 
i
ii


1
530
d)
 
i
ii


2
325 9
Solución:
a)
      
  
























11
4422
1
4422
11
142
1
42
1
24
1
24
1
24
1
24
2
225
ii
i
iii
ii
ii
i
i
i
i
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii


 3
2
2
2
6
2
26
b)
         
  
 














2
26
i41
i2ii425
i21i21
i21i25
i21
i25
i21
i215
i21
i2i5
    i34
5
i345
41
2ii425






c)
      
  
i
iiii
i
iii
ii
ii
i
i
ii
ii
23
2
4
2
6
2
46
11
155
1
55
11
15
1
5
1
151
1
5
2
230




















d)
      
  





















2
229
4
10201530
22
21015
2
1015
2
1510
2
1510
2
325
2
325
i
iii
ii
ii
i
i
i
i
i
ii
i
ii
i
ii
i
iiii
74
5
35
5
20
5
3520
14
10201530







2. Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 2
PASAR DE BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA. OPUESTO Y CONJUGADO
EJERCICIO 2 : :3complejonúmeroelDado iz 
a Represéntalo gráficamente y exprésalo en forma polar. b Obtén su opuesto y su conjugado.
Solución:
a Forma polar:
    241313 22
z
cuadrante)4.ºelenestá(pues330
3
3
3
1 


tg

330
2:tantoPor z
iz  3Opuestob) iz  3Conjugado
EJERCICIO 3
a) Expresa en forma binómica el número complejo z  4135 y represéntalo gráficamente.
b Obtén el opuesto y el conjugado de z.
Solución:
  iisenicosz 2222
2
2
2
2
413513544a) 135









 

iz 2222Opuestob)  iz 2222Conjugado 
EJERCICIO 4 : Halla el módulo y el argumento de
4
1
1








i
i
Solución:
Expresamos 1  i y 1  i en forma polar:
  211111
22
 i
cuadrante)4ºelenestá(pues3151
1
1 


tg
211111 22
 i
cuadrante)1elenestá(pues451
1
1 er
tg
Por tanto:   1111
2
2
1
1
01080
4
270
4
45
315
4




















i
i
Módulo  1 y Argumento  0.

3. Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 3
OPERACIONES EN FORMA POLAR
EJERCICIO 5 : Una de las raíces octavas de un número complejo, z, es 1  i. Halla el valor de z.
Solución:
Si 1  i es una raíz octava de z, entonces:  8
1 iz 
Expresamos 1  i en forma polar:
  211111 22
 i
cuadrante)2.ºelenestá(pues1351
1
1 


tg
Por tanto:     16161621 01080
8
135
8
 iz
EJERCICIO 6 : El producto de dos números complejos es 
75
22 .Sabiendo que uno de los
números es z  1  i, halla el otro número.
Solución:
Llamamos w al número buscado. Entonces, tenemos que:






iz
wz
1
22 75
Expresamos z en forma polar:
21111 22
z
cuadrante)primerelenestá(pues451
1
1 
tg
:tantopory,2Luego 45z
  iisenicosw 








 3
2
1
2
3
2303022
2
22
30
45
75 



 iw  32:decirEs 30
EJERCICIO 7 : Calcula e interpreta gráficamente las soluciones: 3
27i
Solución:
Expresamos 27i en forma polar: 
270
2727  i
Así: 210con272727
3
36027033
270
3
,,ki k   


9090
3 3270 k 
210
31 k 
330
32 k

33021090
3;3;3:sonraícestresLas
Los afijos de las tres raíces cúbicas ocupan los vértices de un triángulo equilátero.
EJERCICIO 8 : .solucioneslastegráficameninterpretae1Halla 5 
Solución:
4,3,2,1,0;1111 7236
5
360180
5
180
5
 
kkk   
32425218010836
1;1;1;1;1:sonraicescincoLas

4. Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato 4
Los afijos de las raíces quintas ocupan los vértices de un pentágono regular.
EJERCICIO 9 : Halla un número complejo, z, sabiendo que una de sus raíces quintas es 2  2i.
Solución:
z  2  2i
5
Expresamos 2  2i en forma polar:
  8442222
22
 i
cuadrante)4.ºelenestá(pues3151
2
2 


tg
Por tanto:
        
 135135212821282222822 135135
7
5751
15
5
315
35
315
5
isencosiz
ii 128128
2
2
2
2
2128 








  Es decir: iz 1281282128 135
 
EJERCICIO 10 : Calcula: 4
81
Solución:
3,2,1,0;338181 9045
4
360180
4
180
4
 
kkk   Las cuatro raíces son: 
31522513545
3;3;3;3
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN FORMA COMPLEJA
EJERCICIO 11 : Resuelve las ecuaciones:
a) z
2
 4z  5  0 b) z
3
 8  0 c) x
2
 4i x  5  0 d) z
3
 64  0
Solución:
a) z
2
 4z  5  0 i
i
z 





 2
2
24
2
44
2
20164
 iziz  2;2:solucionesdosHay 21
b) z3
 8  0  z3
8 2,1,0;2288 12060
3
360180
3
180
3  
kz kk


 
30018060 2;2;2
c) x2
 4i x  5  0














ii
ii
i
iiiii
x
2112
2112
12
2
24
2
44
2
20164
2
20164 2
iziz 21;21:solucionesdosHay 21 
d) 3
180
333
646464064  zzz  21044 12060
3
360180
,,k;z kk
  
Las tres raíces son: 
30018060
4;4;4