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  1. 1. Ejercicios Resueltos de ´ Matematicas I Cristian Wilckens Abril 2000
  2. 2. 2
  3. 3. Indice1 Pruebas Primer Semestre 1999 7 1.1 Matematicas I - Prueba No 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 1 a . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 2 a . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Matem´ticas I - Prueba Global . . . a . . . . . . . . . . . . . . 112 Gu´ de ıas Ejercicios a˜ o 1999 n 13 2.1 Gu´ ıa n´mero 1 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Gu´ ıa n´mero 2 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Gu´ ıa n´mero 3 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Gu´ ıa n´mero 4 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Gu´ ıa n´mero 5 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Gu´ ıa n´mero 6 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 23 2.7 Gu´ ıa n´mero 7 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 25 2.8 Gu´ ıa n´mero 8 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 26 2.9 Gu´ ıa n´mero 9 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 29 2.10 Gu´ıa n´mero 10 (Ejercicios Propuestos) . u . . . . . . . . . . . . 313 Soluciones de las Pruebas 35 3.1 Soluci´n Prueba 1 MatI . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 36 3.2 Soluci´n Prueba 2 forma 1, Matem´ticas I o a . . . . . . 40 3.3 Soluci´n Prueba 2 forma 2, Matem´ticas I o a . . . . . . 45 3.4 Soluci´n Prueba Global -MatI . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 494 Soluciones de las Gu´ıas 53 4.1 Soluci´n Gu´ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 o ıa 4.2 Soluci´n Gu´ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 o ıa 4.3 Soluci´n Gu´ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 o ıa 3
  4. 4. 4 INDICE 4.4 Soluci´n o Gu´ ıa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 Soluci´n o Gu´ ıa 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.6 Soluci´n o Gu´ ıa 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.7 Soluci´n o Gu´ ıa 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.8 Soluci´n o Gu´ ıa 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.9 Soluci´n o Gu´ ıa 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
  5. 5. Figuras 3.1 Gr´fico de f (x) = x2 + 2x − 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 a 3.2 Gr´fico de f (x) = x2 − 6x + 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 a 5 3 3.3 Gr´fico de f (x) = x − 7x + 12x . . . . . . . . . . . . . . . . 51 a 5 3 4.1 Gr´fico a de f (x) = x2 . . . . . . . . . . √ . . . . . . . . . . . . . 106 4.2 Gr´fico a de f (x) = √x x ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3 Gr´fico a de f (x) = √x2 − 4 x ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4 Gr´fico a de f (x) = x2 + 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.5 Gr´fico a de f (x) = x3 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.6 Gr´fico a de f (x) = sin(2x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.7 Gr´fico a de f (x) = cos(x) + 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.8 Gr´fico a de f (x) = 2 cos(x) − π ≤ x ≤ 2 π 2 . . . . . . . . . . . 115 4.9 Gr´fico a def (x) = 4 sin(x) 0 ≤ x ≤ π . . . . . . . . . . . . . . 116 4.10 Gr´fico a de f (x) = | sin(x)| 0 ≤ x ≤ 2π . . . . . . . . . . . . . 116 5
  6. 6. 6 FIGURAS
  7. 7. Cap´ ıtulo 1Pruebas Primer Semestre 1999 7
  8. 8. 8 CAP´ ITULO 1. PRUEBAS PRIMER SEMESTRE 19991.1 Matematicas I - Prueba No1 1. Resuelva las siguientes inecuaciones (a) | 3x + 4 | + | x − 4 |≥ 20 (b) (x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10 2. (a) Calcule n (7 + 5k) k=1 (b) Demuestre por inducci´n: o n (3 + 4k) = 2n2 + 5n i=1 3. (a) Encuentre el valor de 1999 1 1 − i=1 i+3 i+4 (b) En el desarrollo de (1 + 3x2 )19 , calcule el coeficiente de x6 .
  9. 9. ´1.2. MATEMATICAS I - PRUEBA NO 2 FORMA 1 91.2 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 1 a 1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 + 2x − 3 o a (a) Determine el conjunto de im´genes de f (Ind: Un gr´fico le ser´ a a a de gran utilidad). (b) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta (c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que a u f es inyectiva (d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I) 2. Un observador ve un globo aerost´tico, que se eleva verticalmente, bajo a o un ´ngulo de elevaci´n de 30 despu´s de 2 minutos, el ´ngulo de ele- a o e a vaci´n es de 60o . En un principio la distancia entre el observador y el o globo era de 200 metros. (a) ¿A que distancia est´ el observador del punto de lanzamiento del a globo? (b) Si los ojos del observador est´n a 1,7 metros del suelo, ¿a que a altura se encuentra el globo al cabo de los dos minutos? 3. Resuelva la ecuaci´n trigonom´trica o e 1 − sin x cos x = 0 2 en el intervalo [−π, 5π] √ √ √ 2 2 3 i 4. Dados los n´meros complejos z1 = u 2 +i 2 y z2 = 2 + 2 (a) Escriba z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica e z1 (b) Encuentre z2 (c) Calcule ( z1 )8 z2
  10. 10. 10 CAP´ ITULO 1. PRUEBAS PRIMER SEMESTRE 19991.3 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 2 a 1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 − 6x + 8 o a (a) Determine el conjunto de im´genes de f (Ind: Un gr´fico le ser´ a a a de gran utilidad). (b) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta (c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que a u f es inyectiva (d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I) 2. Resuelva la ecuaci´n trigonom´trica o e 1 − cos x sin x = 0 2 en el intervalo [−π, 5π] √ √ √ 1 3 2 2 3. Dados los n´meros complejos z1 = u 2 +i 2 y z2 = 2 +i 2 (a) Escriba z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica e z1 (b) Encuentre z2 z1 (c) Calcule ( z2 )8 4. Un observador ve un globo aerost´tico, que se eleva verticalmente, bajo a o un ´ngulo de elevaci´n de 30 despu´s de 2 minutos, el ´ngulo de ele- a o e a o vaci´n es de 60 . En un principio la distancia entre el observador y el o globo era de 300 metros. (a) ¿A que distancia est´ el observador del punto de lanzamiento del a globo? (b) Si los ojos del observador est´n a 1,6 metros del suelo, ¿a que a altura se encuentra el globo al cabo de los dos minutos?
  11. 11. ´1.4. MATEMATICAS I - PRUEBA GLOBAL 111.4 Matem´ticas I - Prueba Global a 1. Calcule los siguientes l´ ımites: 1 − cos x 1 −1 (a) lim (b) lim x+5 6 x→0 x2 x→1 x−1 2. (a) Encuentre la derivada de la funci´n o f (x) = tan(5x2 cos x) (b) Encuentre la ecuaci´n de la recta tangente, en el punto de abscisa o x = 1, al gr´fico de a f (x) = 3x5 − 35x3 + 180x 3. (a) Dada la funci´n definida por la f´rmula o o x5 7x3 f (x) = − + 12x 5 3 encuentre los puntos cr´ıticos de f , los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . Grafique la funci´n f . o (b) ¿Para que valores de x, es f (x) = 0? √ Nota: 3 ≈ 1, 73. 4. Una caja cerrada de secci´n cuadrada, de lado x, tiene un ´rea de 100 o a 2 cm . (a) Exprese el volumen V como funci´n de la variable x o (b) Encuentre las dimensiones de la caja de volumen m´ximo a
  12. 12. 12 CAP´ ITULO 1. PRUEBAS PRIMER SEMESTRE 1999
  13. 13. Cap´ ıtulo 2Gu´ de Ejercicios a˜ o 1999 ıas n 13
  14. 14. 14 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜2.1 Gu´ n´ mero 1 ıa u 1. Por inducci´n demuestre que para todo n´mero natural n se cumple: o u (a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 n(3n−1) (b) 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) = 2 3n −1 (c) 2 + 5 + 13 + · · · + (2n−1 + 3n−1 ) = 2n − 1 + 2 n4 (d) 13 + 23 + · · · + (n − 1)3 < 4 < 13 + 23 + · · · + n3 (e) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · n(n + 1) = n (n + 1)(n + 2) 3 1−q n+1 (f) 1 + q + q 2 + · · · + q n = 1−q ∀ q=1 (g) 1 − 4 + 9 − 16 + · · · + (−1)n+1 n2 = (−1)n+1 (1 + 2 + · · · + n) 1 1 1 1 n (h) 1·2 + 2·3 + ··· + n(n+1) =1− n+1 = n+1 4 1 (i) (1 − 1 )(1 − 9 ) · · · (1 − 1 n2 ) = n+1 2n (j) n2 + n es divisible por 2 (k) Si a y b son enteros, entonces: (a + b)n = a + bn ˙ a multiplo de a ˙ (l) n3 + 2n divisible por 3 (m) n5 − n es divisible por 5 (n) 32n+2 − 2n+1 divisible por 7 (o) xn − 1 es divisible por x − 1 ∀x (p) x2n − 1 es divisible por x + 1 ∀x 2. Considerese la proposici´n: o n2 + n − 6 Sn : 1 + 2 + · · · + n = 2 (a) Demuestre que Sk ⇒ Sk+1 (b) Sn no es v´lida ∀n ∈ N a
  15. 15. 2.1. GU´ NUMERO 1 IA ´ 15 3. Observe que 1 1 1− = 2 2 1 1 1 1− 1− = 2 3 3 1 1 1 1 1− 1− 1− = 2 3 4 4 Deduzca una ley general y demu´strela por inducci´n. e o 4. Usando propiedades de las sumatorias demuestre las f´rmulas: o n n(n + 1) (a) i= i=1 2 n 2 Sugerencia, considere la sumatoria i=1 [i − (i + 1)2 ] n n(n + 1)(2n + 1) (b) i2 = i=1 6 n 3 Sugerencia, considere la sumatoria i=1 [i − (i + 1)3 ] Calcule adem´s n i3 ; a i=1 n 4 i=1 i ; n i=1 i 5 5. Calcule y pruebe su respuesta usando inducci´n o n 1 1 (a) − i=1 i+1 i n 1 1 (b) − i=1 i + 2 i Para esta ultima parte considere la siguiente igualdad: ´ 1 1 1 1 1 1 − = − + − i+2 i i+2 i+1 i+1 i
  16. 16. 16 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜2.2 Gu´ n´ mero 2 ıa u 1. Pruebe que (n + 2)! = n2 + 3n + 2 n! 2. Evalue 4! + 7! ; (4 + 7)! 3. Calcule 9 9 50 49 (a) + (b) − 4 3 10 9 4. Probar que para todo n natural se tiene n n n n − + + · · · + (−1)n =0 0 1 2 n 5. Usando el binomio de Newton, encuentre el desarrollo de (1 + x)n para todo real x tal que x ≥ −1 6. Calcule y simplifique 1 3 (a) (2x3 + x2 ) (c) (2a + 5b)8 1 2 1 (b) (y 4 − y5 ) (d) (3a − a )5 7. Sea x > −1. Pruebe que (1 + x)n ≥ 1 + nx ∀n ∈ N (Desigualdad de Bernouilli). Sugerencia: Inducci´n sobre n. o 8. Sean p, q n´meros racionales q > 0 y n n´mero natural. Pruebe u u √ √ (a) (p + q)n = a + b q con a y b n´meros racionales u √ n √ (b) (p − q) = a − b q
  17. 17. 2.2. GU´ NUMERO 2 IA ´ 17 9. Calcular i=n i=n n n (a) = 2n (b) i = n2n−1 i=0 i i=0 i 10. Calcular l=n k=l n=m i=n (a) 2k (c) i l=0 k=0 n=1 i=1 n=p l=n k=l (b) 2k n=0 l=0 k=0 11. Escribir usando s´ ımbolo(s) y n sumandos (a) 1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + · · · (b) 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + · · · (el 1 aparece n veces) 12. Calcular (x1 + x2 + x3 )3 Identifique la expresi´n usando coeficientes binomiales. o Idem para (x1 + x2 + x3 )4
  18. 18. 18 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜2.3 Gu´ n´ mero 3 ıa u 1. (a) a > 0 ⇒ a−1 > 0 (b) a < 0 ⇒ a−1 < 0 2. ab > 0 ⇔ (a > 0 y b > 0) ´ (a < 0 y b < 0) o 3. a ∈ R, a = 0 ⇒ a2 > 0 a+b 4. a, b ∈ R, a < b ⇒ a< 2 <b 5. (a) 0 ≤ a ≤ b , 0 ≤ x ≤ y ⇒ ax ≤ by (b) 0 < a < b ⇒ b−1 < a−1 1 (c) x > 0 ⇒x+ x ≥2 6. Sean a, b reales positivos. Pruebe: a b (a) b + a ≥2 1 1 (b) a + b (a + b) ≥ 4 1 (c) a + b = 1 ⇒ a 2 + b2 ≥ 2 7. Resuelva las siguientes desigualdades: 2 (a) x2 + x > 2 (h) 7−3x ≤ −5 2x+1 (b) x+2 <1 (i) 1 >3 2x+1 (c) (x + 1)(x − 2) > 0 2 (j) x − 2x − 8 > 0 (d) (3x − 8)(3x + 8) < 0 (k) (x + 2)(x − 3)(x + 5) > 0 (e) 4x + 1 < 2x (x−1)(x+2) (f) x2 + 2x ≤ 3 (l) (x−2) >0 x+2 (g) −3 < 2x + 5 < 7 (m) 1 − x−3 >6
  19. 19. 2.3. GU´ NUMERO 3 IA ´ 19 8. Resuelva las siguientes desigualdades (a) |2x + 3| ≤ 6 (e) |x + 2| + |x − 3| > 12 (b) |3 − 2x| < 5 (f) |2x − 1| + |x − 3| > 9 (c) |x2 − 1| ≤ 3 (d) |x + 7| > 4 (g) |3x − 2| − |x − 7| < 6
  20. 20. 20 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜2.4 Gu´ n´ mero 4 ıa u 1. Demuestre que para todo x ∈ R, existe n ∈ N tal que n > x 2. Encuentre el dominio de las siguientes funciones reales 1 |x| (a) f (x) = x−1 (g) f (x) = x √ √ (b) f (x) = x+8 (h) f (x) = 3 x  1 √  x  x>0 (i) f (x) = x−1 2−x (c) y = 5 x=0 √   x+3 2x x < 0 (j) f (x) = √ 1 + 3x−5 5 (d) f (x) = πx2 2x + 8 x > 3 5x+6 (k) f (x) = (e) f (x) = (x+2)(x+3) −3x x≤3 x √ x (f) f (x) = x2 +5x+11 (l) f (x) = x2 −x−20 √ 1 3. Dadas las funciones f1 (x) = x , f2 (x) = 2x2 + 3x + 5 y f3 (x) = x , evalue (a) fi (5) i = 1, 2, 3 (b) fi (x + h) − fi (x) h > 0 fi (x+h)−fi (x) (c) h 2 (d) fi (b ) con b ∈R 4. Dada la funci´n f (x) = x2 . Note que f : R → R no es inyectiva. o Encuentre 3 subconjuntos de R, Di i = 1, 2, 3 tal que f : Di → R es inyectiva. ¿Existe un dominio D formado por n´meros positivos y u negativos tal que f : D → R es inyectiva? √ 5. Pruebe que la funci´n f (x) = x es inyectiva en su dominio natural. o
  21. 21. 2.5. GU´ NUMERO 5 IA ´ 212.5 Gu´ n´ mero 5 ıa u 1. Un rect´ngulo tiene 200 [cm] de per´ a ımetro. Expresar su ´rea como a funci´n de x. o 2. Vamos a construir una caja abierta con una pieza cuadrada de metal de 16 [cm] de lado, cortando cuadrados iguales de sus esquinas y doblando por las l´ ıneas de puntos (ver figura). Exprese el volumen V en funci´n o de x. √ 3. Un rect´ngulo est´ acotado por el eje X y el semicirculo y = 16 − x2 a a (ver figura). Escriba el ´rea A del rect´ngulo como funci´n de x. a a o 4. Una caja cerrada de secci´n cuadrada de lado x tiene un ´rea de o a 2 200[cm ] (ver figura). Exprese el volumen V como funci´n de x. o √ 5. Dadas las funciones f (x) = 2x − 3 y g(x) = x + 1. Encuentre (a) Dom(f ), Dom(g) (b) f + g (c) f · g (d) f ◦ g (e) g ◦ f y los respectivos dominios. 6. Determine si las siguientes funciones son inversas una de la otra: x+3 (a) f (x) = 2x + 3 g(x) = 2 √ 2 (b) f (x) = x − 4 g(x) = x + 4 x ≥ 0 √ (c) f (x) = 1 − x3 g(x) = 3 1 − x 1 (d) f (x) = x−2 ,x > 0 g(x) = x− 2 ,x > 0 1 1−x 1 (e) f (x) = x2 +1 g(x) = x en ] 2 , 1[ 7. Encuentre la funci´n inversa (si existe). Represente aproximadamente o un gr´fico de f y de f −1 a (a) f (x) = x2 x≥0
  22. 22. 22 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ √ (b) f (x) = x2 − 4 x ≥ 2 √ (c) f (x) = 3 x − 1 1 8. Dadas f (x) = 8 x − 3 y g(x) = x3 . Encuentre (a) (f −1 ◦ g −1 )(x) (b) (f −1 ◦ f −1 )(t) (c) (g −1 ◦ f −1 )(a) 9. Encuentre las raices de (a) p(x) = x4 + x (b) h(x) = x(4 − x2 ) (c) f (x) = x3 − 6x2 + 3x + 10 sabiendo que 2 es ra´ ¿Cu´les son ız a reales? 10. Divida los polinomios h(x) y p(x) encontrando q(x) y r(x) (a) h(x) = x4 + 3x3 + 2 y p(x) = x2 + 3x − 2 (b) h(x) = x5 + 5x − 1 y p(x) = x3 + 2x − 3 (c) h(x) = x4 + 1 y p(x) = x − 2 4 (d) h(x) = x + 1 y p(x) = x2 + 2x + 2
  23. 23. 2.6. GU´ NUMERO 6 IA ´ 232.6 Gu´ n´ mero 6 ıa u 3 1. Se sabe que el polinomio x3 − ax − b, con la condici´n ∆ = b2 − 4 a ≥ 0 o 27 √ √ tiene 3 b+2 ∆ + 3 b−2 ∆ como una ra´ Usando este hecho calcule las ız. raices de x3 − 6x − 9 2. Haga un gr´fico aproximado de a (a) f (x) = sin 2x (b) f (x) = cos x + 7 (c) f (x) = 2 cos x −π ≤x≤ 2 π 2 (d) f (x) = 4 sin x 0≤x≤π (e) f (x) = | sin x| 0 ≤ x ≤ 2π 3. Calcule: (a) cos( 2π ) 3 (c) cos( 14π ) 3 (b) sin( 2π ) 3 (d) sin( 14π ) 3 Datos: π 2π π− 3 = 3 14π 2π 3 = 3 + 4π 4. Encuentre el dominio de las siguientes funciones 1 (c) f (x) = 5 tan x (a) f (x) = 2 + cos x x sin x 2 − sin x (b) f (x) = (d) f (x) = 1 + x2 2 + sin x sin x 1−cos x cos x−1 5. Ud. sabe que si x → 0 entonces x →1 y x →0 y x → 0. Pruebe que si h → 0 entonces sin(x + h) − sin(x) → cos(x) h y adem´s a cos(x + h) − cos(x) → − sin(x) h
  24. 24. 24 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ 6. Encuentre todos los valores reales x tales que (a) sin(x) = 0 (c) sin(x) = −1 (b) cos(x) = 0 (d) cos(x) = −1 7. Encuentre los valores x, 0 ≤ x ≤ 2π para los cuales √ 1 3 (a) sin(x) = 2 (c) sin(x) = 2 1 1 (b) cos(x) = √ 2 (d) cos(x) = 2
  25. 25. 2.7. GU´ NUMERO 7 IA ´ 252.7 Gu´ n´ mero 7 ıa u 1. Pruebe que √ π 5π 3−1 (a) sin = cos = √ 12 12 2 2 √ π 5π 3+1 (b) cos = sin = √ 12 12 2 2 π 1 + sin(β) 2. (a) 2α + β = ⇒ cos(α) = 2 2    a = b cos(γ) + c cos(β) (b) α+β+γ =π ⇒ b = c cos(α) + a cos(γ)  c = a cos(β) + b cos(α) (c) α+β+γ =π ⇒ 1 + 2 sin(β) sin(γ) cos(α) + cos2 (α) = cos2 (β) + cos2 (γ) 3. Pruebe las siguientes identidades trigonom´tricas e (a) cos2 (x) = 1 (1 + cos(2x)) ; 2 sin2 (x) = 1 (1 − cos(2x)) 2 1−tan2 ( x ) (b) cos(x) = 2 1+tan2 ( x ) 2 (c) cos(x + y) cos(x − y) = cos2 (x) − sin2 (y) x+y (d) arctan(x) + arctan(y) = arctan( 1−xy ) √ (e) arcsin(x) = arccos( 1 − x2 ) 4. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonom´tricas e (a) 3 sin2 (x) + 5 sin(x) = 2 √ (b) 3 cos(x) + sin(x) = 1 (c) cos(7x) = sin(3x) (d) cos(2x) = cos(x) + sin(x) (e) arcsin(x) = arccos(x) (f) arcsin(x) − arccos(x) = arcsin(3x − 2) (g) arctan( x−2 ) + arctan( x+2 ) = π x−1 x+1 4 √ (h) arccos(x) − arcsin(x) = arccos(x 3)
  26. 26. 26 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜2.8 Gu´ n´ mero 8 ıa u 1. Calcular los suiguientes l´ ımites (si existen) 3 (1 + h)3 − 1 (a) lim (g) lim x→−1 x + 2 h→0 h 1/(x + 1) − 1 √ (b) lim x−2 x→0 x (h) lim− x − 4 x→4 (c) lim |x − 2| x→2 √ x2 + x − 2 x+1−2 (i) lim (d) lim x→1 x2 − 1 x→3 x−3 √ 1/x + 4 − 1/4 (e) lim x2 + 5x + 3 (j) lim x→2 x→0 x √ √ 2+x− 2 1 (f) lim (k) lim a=0 x→0 x x→a x 2. Calcular los siguientes l´ ımites (si existen) (a) lim f (x) x→2 para 3 x≤2 f (x) = 0 x>2 (b) lim g(x) x→3 para x−2 x≤3 g(x) = −x2 + 8x − 14 x>3 3. Use la identidad √ √ |x − a| √ √ x− a= √ √ para demostrar que lim x= a x+ a x→a 4. Calcular el l´ ımite l y hallar δ > 0 tal que |f (x) − l| < 0.01 si 0 < |x − x0 | < δ
  27. 27. 2.8. GU´ NUMERO 8 IA ´ 27 (a) lim (3x + 2) (b) lim (x2 − 3) x→2 x→2 5. Calcule f (x + h) − f (x) lim h→0 h (a) f (x) = x2 + 5x + 3 √ (b) f (x) = x 6. Demuestre que lim cos(x) = cos(x0 ) x→x0 ∀x ∈ R Sugerencia: Sea x = x0 + h y demuestre que lim cos(x0 + h) = cos(x0 ) h→0 7. Ud. sabe que sin(x) lim =1 x→0 x Pruebe que 1 − cos(x) tan(3x) (a) lim =0 (b) lim =3 x→0 x x→0 x 8. Calcular los siguientes l´ ımites 2x2 + 1 sin2 (x) (a) lim (e) lim x→2 2x x→0 x2 √ 1 x (b) lim x2 − 9 (f) lim sin x→3 − x→0 x 3 5x + 1 1 − cos(x) (c) lim (g) lim x→3 x2 − 8 x→0 x2 x 1 (d) lim √ (h) lim x2 sin 2 x→0+ sin( x) x→0 x
  28. 28. 28 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ √ 1 2−x (i) lim x sin (k) lim √ x→0 + x x→2+ 4 − 4x + x2 sin(2x) sin(3x) (j) lim (l) lim x→0 x cos(3x) x→0 sin(2x) 9. Discuta la continuidad de la funci´n compuesta h(x) = f (g(x)) para o 1 (a) f (x) = √ x g(x) = x − 1 1 1 (b) f (x) = x g(x) = x−1 1 1 (c) f (x) = √ x g(x) =x 10. Encuentre las discontinuidades de las funciones dadas. Si son evitables, o ¯ ¯ ¯ encuentre una funci´n f tal que dom(f ) = dom(f ) y f sea continua en esos puntos. x−1 (a) f (x) = x2 +x−2 |x + 2| (b) f (x) = x+2 x (c) f (x) = 2 x +1 x +1 x≤2 (d) f (x) = 2 3−x x>2 11. Dar un ejemplo de una funci´n f que no sea continua en ning´n punto o u pero tal que |f | sea continua en todos los puntos.
  29. 29. 2.9. GU´ NUMERO 9 IA ´ 292.9 Gu´ n´ mero 9 ıa u 1. Pruebe que la funci´n f (x) = x1/3 es continua en x = 0 y no diferen- o ciable en x = 0 2 2. Calcular la derivada de la funci´n f (x) = 3x(x2 − x ) en x = 2 o 3. Encuentre la derivada de las siguientes funciones 1 1 (a) f (x) = sin(x) + − 2 2x 3x x2 (b) f (x) = x − sin(x) 1/x − 2/x2 (c) f (x) = 2/x3 − 3/x4 2x5 + 4x (d) f (x) = cos(x) 1 √ 1 (e) f (x) = √ + x + tan(x) + x tan(x) 4. Encuentre las dos intersecciones con el eje X de la gr´fica de f (x) = a 2 x − 3x + 2 y probar que f (x) = 0 en alg´n punto entre ellas. u 5. Encuentre la ecuaci´n de la tangente a la gr´fica de f en el punto o a especificado 1 (a) f (x) = x3 + √ en (5, f (5)) x √ (b) f (x) = x2 + 7 en (2, f (2)) 6. Encuentre la primera y segunda derivada de las siguientes funciones √ (a) f (x) = 3 3x3 + 4x (b) f (x) = cos(28x) √ (c) f (x) = x2 9 − x2 1 (d) f (x) = 2 sin(x) + √ x (e) f (x) = 2(x2 − 1)5 1 (f) f (x) = (x3 −3x)2
  30. 30. 30 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ 7. Dada f encuentre f para (a) f (x) = tan(10x) + sin3 (x) 1 √ 4 (b) f (x) = arcsin(x) + sec2 (x) + x3 + 5x cos5 (8x) (c) f (x) = arccos(5x) + tan2 (4x) + x2
  31. 31. 2.10. GU´ NUMERO 10 (EJERCICIOS PROPUESTOS) IA ´ 312.10 Gu´ n´ mero 10 (Ejercicios Propuestos) ıa u 1. Dada f (x) = 5 − encuentre los c ∈]1, 4[ tales que f (c) = f (4)−f (1) 4 x 4−1 √ 2. Considere la funci´n f (x) = x en el intervalo [1, 9]. Dibuje o (a) Encuentre la ecuaci´n de la secante que pasa por (1, f (1)) y o (9, f (9)) (b) Calcular el valor c ∈]1, 9[ para el cual f (c) = f (9)−f (1) . Encuentre 9−1 la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto o a (c, f (c)) 3. Sea f (x) = 1 − x2/3 . Pruebe que f (1) = f (−1) = 0, pero que f (x) nunca es cero en [−1, 1]. Explicar por qu´ este resultado no contradice e el teorema de Rolle. 4. Vea que las siguientes funciones satisfacen el Teorema de Rolle y en- cuentre los puntos c que satisfacen las conclusiones del teorema (a) f (x) = 9x2 − x4 en [−3, 3] 1−x2 (b) f (x) = 1+x2 en [−1, 1] 5. Pruebe que f (x) = (x − 1)2/3 satisface la hip´tesis del T.V.M. en [1, 2] o y encuentre c ∈]1, 2[ que satisfacen la conclusi´n del mismo. o 6. Si f (x) = x2 − 5x + 2. Encuentre las funciones F tales que F = f . Al graficarlas ¿que propiedades tienen estas funciones? ¿Habr´ alguna a π funci´n F tal que F (8) = √2 ? o 7. Sea F : C → C funci´n definida por F (z) = F (x + yi) = x2 + 2xy + y 2 . o Para cada y = a fijo hay fa funci´n real tal que fa (x) = x2 + 2ax + a2 . o df Calcule dx 8. Encuentre los puntos cr´ıticos de f si los hay. Encuentre los intervalos abiertos donde f es creciente o decreciente. (a) f (x) = (x − 1)2/3 (b) f (x) = x3 − 6x2 + 15 (c) f (x) = x4 − 2x3
  32. 32. 32 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ x (d) f (x) = x+1 9. La concentraci´n C de cierto producto qu´ o ımico en la sangre, t horas despu´s de ser inyectado en el tejido muscular viene dado por e 3t C(t) = 27 + t3 ¿Cu´ndo es m´xima la concentraci´n? a a o 10. Al nacer un beb´ perder´ peso normalmente durante unos pocos d´ e a ıas y despu´s comenzar´ a ganarlo. Un modelo para el peso medio W de e a los beb´s durante las 2 primeras semanas de vida es P (t) = 0.015t2 − e 0.18t + 3.3. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de P 11. Calcular las dimensiones del mayor rect´ngulo inscrito en un c´ a ırculo de radio r 12. Una p´gina rectangular ha de contener 96[cm2 ] de texto. Los m´rgenes a a superior e inferior tienen 3[cm] de ancho y los laterales 2[cm] ¿Qu´e dimensiones de la p´gina minimizar´n la cantidad de papel requerida? a a √ 13. Considere la funci´n f (x) = x en el intervalo [1, 9]. Dibuje. Calcular o el valor c ∈]1, 9[ para el cual se cumple f (c) = f (9)−f (1) y encuentre la 9−1 ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto (c, f (c)). o a 14. Dada f (x) = 2x5/3 − 5x4/3 . Calcule f (x) y f (x). Encuentre si los hay puntos cr´ ıticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, m´ximos y a m´ınimos. Intersecciones de f (x) con los ejes coordenados. Dibuje. 15. Solucione el problema anterior para x 2 (a) f (x) = √ f (x) = x2+2 (x2 + 2)3/2 −6x f (x) = (x2 + 2)5/2
  33. 33. 2.10. GU´ NUMERO 10 (EJERCICIOS PROPUESTOS) IA ´ 33 2(x2 + 9) 20x (b) f (x) = √ 2 f (x) = x −4 (x2− 4)2 −20(3x2 + 4) f (x) = (x2 − 4)3 16. Pruebe que el punto t tal que f (t) = 0 est´ en el punto medio de los a extremos locales de f para f (x) = x(x − 6)2 17. Haga una an´lisis de la gr´fica de a a (a) f (x) = x4 − 12x3 + 48x2 − 64x (b) f (x) = x4 − 4x3
  34. 34. 34 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜
  35. 35. Cap´ ıtulo 3Soluciones de las Pruebas 35
  36. 36. 36 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS3.1 Soluci´n Prueba 1 MatI o 1. (a) |3x + 4| + |x − 4| ≥ 20 (3.1) Primero, encontremos los puntos cr´ ıticos 3x1 + 4 = 0 3x1 = −4 4 x1 = − (3.2) 3 x2 − 4 = 0 x2 = 4 (3.3) 4 Debemos primero evaluar la expresi´n (3.1) para x ≤ − 3 o −(3x + 4) − (x − 4) ≥ 20 −3x − 4 − x + 4 ≥ 20 −4x − 4 + 4 ≥ 20 −4x ≥ 20 x ≤ −5 (3.4) 4 Ahora, debemos hacer lo mismo para los x ∈ (− 3 , 4) (3x + 4) − (x − 4) ≥ 20 3x + 4 − x + 4 ≥ 20 2x + 8 ≥ 20 2x ≥ 12 x ≥ 6 (3.5) Por ultimo debemos evaluar (3.1) para x ≥ 4 ´ (3x + 4) + (x − 4) ≥ 20 4x ≥ 20 x ≥ 5 (3.6) Por lo tanto, los intervalos en donde (3.1) tiene soluci´n son: o S1 = (−∞, −5] S2 = φ S3 = [5, ∞)
  37. 37. ´3.1. SOLUCION PRUEBA 1 MATI 37 Entonces la soluci´n ser´: o a S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = (−∞, −5] ∪ [5, ∞) (3.7) (b) Resolvamos (x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10 Para ello encontremos los ceros de la desigualdad (x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10 x2 + x − 12 ≤ 2x2 − 5x − 10 0 ≤ x2 − 6x + 2 (3.8) Ahora usando que la soluci´n de una ecuaci´n cuadr´tica es o o a √ −b ± b2 − 4ac x1/2 = (3.9) 2a Usando esto en la ecuaci´n (8) obtenemos o √ √ √ 6 ± 36 − 8 6 ± 28 6±2 7 √ x1/2 = = = = 3 ± 7(3.10) 2 2 2 Por lo tanto tenemos √ √ 0 ≤ (x − (3 + 7))(x − (3 − 7)) (3.11) Por lo tanto la soluci´n ser´ o ıa √ √ S = (−∞, 3 − 7] ∪ [3 + 7, ∞) (3.12) 2. (a) Calcular n n n (7 + 5k) = 7+ 5k k=1 k=1 k=1 n n = 7 +5 k k=1 k=1 n(n + 1) = 7n + 5 2 5n2 5n = 7n + + 2 2 2 5n + 5n + 14n = 2 5n2 + 19n = (3.13) 2
  38. 38. 38 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS (b) Demostrar por induccci´n o n (3 + 4k) = 2n2 + 5n (3.14) i=1 Para demostrar por inducci´n debemos ver si se cumple para n = 1 o y luego suponemos que es v´lido para n = k y demostramos que a es v´lido para n = k + 1 a Para n = 1 1 ? (3 + 4k) = 2+5 i=1 ? 3+4 = 7 √ 7 = 7 Ahora, suponemos que es v´lido para n = k y demostramos para a n=k+1 V´lido para n = k a k (3 + 4k) = 2k 2 + 5k i=1 Demostremos para n = k + 1 k+1 ? (3 + 4k) = 2(k + 1)2 + 5(k + 1) i=1 k ? (3 + 4k) +(3 + 4(k + 1)) = 2(k + 1)2 + 5(k + 1) i=1 ? 2k 2 + 5k + 3 + 4k + 4 = (k + 1)(2(k + 1) + 5) 2 ? 2k + 9k + 7 = (k + 1)(2k + 7) ? 2k 2 + 7k + 2k + 7 = √ 2k 2 + 9k + 7 = 2k 2 + 9k + 7 (3.15) Por lo tanto demostramos por inducci´n la f´rmula (3.14) o o 3. Para calcular esta suma debemos darnos cuenta que es una suma telesc´pica, por lo tanto tenemos que o 1999 1 1 1 1 1 1 − = − = − i=1 i+3 i+4 1 + 3 1999 + 4 4 2003
  39. 39. ´3.1. SOLUCION PRUEBA 1 MATI 39 2003 − 4 1999 = = (3.16) 8012 8012 4. Par encontrar el coeficiente que acompa˜a a x6 primero debemos cono- n cer cuales son los coeficientes del Binomio de Newton. n n−1 n (a + b)n = an + a b + ··· + abn−1 + bn (3.17) 1 n−1 Usando el coeficiente que necesitamos para obtener x6 , obtenemos 19 19 3 6 (3x2 )3 = 3x (3.18) 3 3 19! = 33 x6 3!(19 − 3)! 19! 3 6 = 3x 3!16! 19 · 18 · 17 · 16! 3 6 = 3x 3!16! 19 · 18 · 17 3 6 = 3x 3·2 = 19 · 17 · 34 x6 = 26163x6 (3.19) Por lo tanto el coeficiente que acompa˜a a x6 es 26163 n
  40. 40. 40 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS3.2 Soluci´n Prueba 2 forma 1, Matem´ticas I o a Gr´fico de f (x) = x2 + 2x − 3 a 100 80 60Eje y 40 20 0 −15 −10 −5 0 5 10 Eje x Figura 3.1: Gr´fico de f (x) = x2 + 2x − 3 a 1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 + 2x − 3 o a (a) Determine el conjunto de im´genes de f (un gr´fico le ser´ de gran a a a utilidad). De el gr´fico vemos que las ra´ son a ıces f (x) = (x + 3)(x − 1) (3.20) y por lo tanto es f´cil ver que Im(f ) = [−4, +∞). a (b) Es f inyectiva? Justifique su respuesta Es f´cil ver que f no es inyectiva pues f (−3) = f (1) = 0, es decir, a dos elementos del dominio de f tienen la misma im´gen.a Una soluci´n m´s general es ver lo siguiente. Suponemos que o a f (a) = f (b) ⇒ a = b Demostrar f (a) = f (b), significa que a2 + 2a − 3 = b2 + 2b − 3 resolviendo queda
  41. 41. ´ ´3.2. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 1, MATEMATICAS I 41 a2 − b2 + 2(a − b) = 0 (a + b)(a − b) + 2(a − b) = 0 (a − b)[(a + b) + 2] = 0 (3.21) Esto nos da dos soluciones, a = b, o bien, a = −2 − b, lo cual dice que f no es inyectiva, i.e. f (a) = f (b) no implica necesariamente que a = b. (c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que a u f es inyectiva. Para que una funci´n f sea inyectiva en un intervalo, la funci´n f o o debe ser creciente o bien decreciente, luego el intervalo son todos los Reales positivos pues ah´ la funci´n es creciente. ı o (d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I) J = f (I) = { de todos los reales mayores o iguales a − 3} Luego es f´cil ver que la preim´gen de este conjunto es el conjunto a a S = (−∞, −2] ∪ [0, +∞) 2. (a) Sea D la distancia que est´ el observador del punto de lanzamiento a del globo, entonces tenemos D sin(30) = ⇒ D = 200 sin(30) 200 √ 3 D = 200 2 √ D = 100 3 (3.22) (b) Es f´cil ver que la altura inicial (H) era de a H cos(30) = ⇒ H = 200 cos(30) 200 1 H = 200 2 H = 100 (3.23)
  42. 42. 42 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS ¯ Para encontrar la altura final (H) tenemos que D ¯ D tan(60) = ¯ ⇒H = H tan(60) ¯ D H = 1 √ 3 √ ¯ 100 3 H = 1 √ 3 ¯ H = 300[m] (3.24) Luego, la altura al suelo es 300 + 1, 7 = 301, 7[m] 3. Reolver 1 − sin x cos x = 0 (3.25) 2 El producto de dos n´meros natirales es igual a cero si cada uno de los u n´meros es igual a cero. Por lo tanto, tenemos que u 1 cos x = 0 o bien − sin x (3.26) 2 Pero cos(x) = 0 si x ∈ {− 3π , − π , π , 3π , 5π , 7π , 9π , etc.} 2 2 2 2 2 2 2 Luego, los valores que se encuentran en el intervalo pedido son π π 3π 5π 7π 9π x∈ − , , , , , (3.27) 2 2 2 2 2 2 Ahora hay que ver las soluciones de sin(x) = 1 , estos valores son 2 2π π 4π 7π 10π 13π x∈ − , , , , , (3.28) 3 3 3 3 3 3 √ √ √ 2 2 3 i 4. Sean z1 = 2 +i 2 y z2 = 2 + 2
  43. 43. ´ ´3.2. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 1, MATEMATICAS I 43 (a) Para escribir estos n´meros en forma polar o trigonom´trica es u e necesario conocer el ´ngulo y el m´dulo de estos complejos. a o √ √ 2 2 2 2 |z1 | = + 2 2 2 2 = + 4 4 1 1 = + 2 2 √ = 1 |z1 | = 1 (3.29) √ 3 2 1 2 |z2 | = + 2 2 3 1 = + 4 4 √ = 1 |z2 | = 1 (3.30) Para conocer los ´ngulos demeboms calcular: a Para z1 vemos que el ´ngulo θ1 es a 2 2 tan(θ1 ) = √ 3 =1 (3.31) 2 Luego el ´ngulo θ1 = π a 4 Para z2 vemos que el ´ngulo θ2 es a 1 2 1 tan(θ2 ) = √ 3 =√ (3.32) 2 3 π Luego el ´ngulo θ2 = a 6
  44. 44. 44 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS Entonces los complejos se pueden escribir como π π π z1 = cos + i sin = ei 4 (3.33) 4 4 π π π z2 = cos + i sin = ei 6 (3.34) 6 6 (b) Encontrar z1 z2 La forma polar es la mejor forma para ver la divisi´n, entonces o tenemos que π z1 ei 4 = iπ z2 e6 π π = ei( 4 − 6 ) 3π−2π = ei( 12 ) π = ei( 12 ) (3.35) (c) Calcular ( z1 )8 z2 Como ya calculamos z1 entonces obtenemos usando nuevamente z2 la forma polar lo siguiente 8 8 z1 π i 12 = e z2 π = ei8 12 2π = ei 3 (3.36)
  45. 45. ´ ´3.3. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 2, MATEMATICAS I 453.3 Soluci´n Prueba 2 forma 2, Matem´ticas I o a Gr´fico de f (x) = x2 − 6x + 8 a 80 70 60 50 40Eje y 30 20 10 0 −10 −10 −5 0 5 10 15 Eje x Figura 3.2: Gr´fico de f (x) = x2 − 6x + 8 a 1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 − 6x + 8 o a (a) Determine el conjunto de im´genes de f (un gr´fico le ser´ de gran a a a utilidad). De el gr´fico vemos que las ra´ son a ıces f (x) = (x − 4)(x − 2) (3.37) y por lo tanto es f´cil ver que Im(f ) = {x ∈ R|x ∈ [−1, +∞)}. a (b) Es f inyectiva? Justifique su respuesta Es f´cil ver que f no es inyectiva pues f (2) = f (4) = 0, es decir, a dos elementos del dominio de f tienen la misma im´gen, lo cual a implica que no es inyectiva. (c) Encontrar el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que a u f es inyectiva. Igual que la respuesta anterior, una funci´n f es inyectiva en un o intervalo si f es creciente o decreciente en ese intervalo. Luego, el conjunto de n´meros positivos m´s grande es [3, ∞). u a
  46. 46. 46 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS (d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I) La preim´gen de este conjunto son claramente todos los reales. a 2. Reolver 1 − cos(x) sin(x) = 0 (3.38) 2 El producto de dos n´meros natirales es igual a cero si cada uno de los u n´meros es igual a cero. Por lo tanto, tenemos que u 1 sin(x) = 0 o bien − cos(x) (3.39) 2 Para sin(x) = 0 el conjunto de soluciones en [−π, 5π] ser´ a x∈ − π, 0, π, 2π, 3π, 4π, 5π (3.40) 1 El conjunto de valores de cos(x) = 2 ser´ a 5π π 7π 13π 17π 23π 29π x∈ − , , , , , , (3.41) 6 6 6 6 6 6 6 √ √ √ 1 3 2 2 3. Dados los n´meros complejos z1 = u 2 +i 2 y z2 = 2 +i 2 (a) Escribir z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica. e Para esto debemos ver los ´ngulos y m´dulos de estos complejos. a o √ 1 2 2 2 |z1 | = + 2 2 1 3 = + 4 4 4 = 4 √ = 1 |z1 | = 1 (3.42)
  47. 47. ´ ´3.3. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 2, MATEMATICAS I 47 √ √ 2 2 2 2 |z2 | = + 2 2 1 3 = + 4 4 √ = 1 |z2 | = 1 (3.43) Luego, los ´ngulos para estos complejos son a √ 3 2 θ1 = arctan 1 2 √ = arctan( 3) π θ1 = (3.44) 6 √ 2 2 θ2 = arctan √ 2 2 = arctan(1) π θ2 = (3.45) 4 Luego, las formas polares y complejas son: π π π z1 = cos + i sin = ei 6 (3.46) 6 6 π π π z2 = cos + i sin = ei 4 (3.47) 4 4 z1 (b) Calcular z2 , para ello utilizamos la forma polar π z1 ei 6 = iπ z2 e4 π π = ei( 6 − 4 ) 2π−3π = ei( 12 ) π = e−i( 12 ) (3.48)
  48. 48. 48 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS (c) Calculemos ahora ( z1 )8 z2 8 8 z1 π = e−i 12 z2 π = e−i8 12 2π = e−i 3 (3.49) 4. (a) Sea D la distancia que est´ el observador del punto de lanzamiento a del globo, entonces tenemos D sin(30) = ⇒ D = 300 sin(30) 300 √ 3 D = 300 2 √ D = 150 3 (3.50) (b) Para ver la altura del globo a los 2 minutos tenemos que D tan(60) = ¯ (3.51) H ¯ donde H es la altura desconocida. Luego √ ¯ = D 150 3 H = 1 = 150 · 3 = 450 (3.52) tan(60) 3 Ahora a esta altura debemos agregarle la altura de los ojos del observador que es 1, 6[m], por lo tanto la altura ser 451, 6[m].
  49. 49. ´3.4. SOLUCION PRUEBA GLOBAL -MATI 493.4 Soluci´n Prueba Global -MatI o 1. Calcular (a) 1 − cos x 1 − cos x 1 + cos(x) lim 2 = lim · x→0 x x→0 x2 1 + cos(x) 2 sin (x) 1 = lim 2 · x→0 x 1 + cos(x) 2 sin (x) 1 = lim · lim x→0 x2 x→0 1 + cos(x) 1 − cos x 1 1 lim 2 = 1· = (3.53) x→0 x 1+1 2 (b) 1 6−(x+5) −1 x+5 6 6(x+5) lim = lim x→1 x − 1 x→1 x−1 6−x−5 6(x+5) = lim x−1 x→1 −x + 1 = lim x→1 6(x + 5)(x − 1) −(x − 1) = lim x→1 6(x + 5)(x − 1) −1 −1 1 = lim = =− (3.54) x→1 6(x + 5) 6(1 + 5) 36 2. (a) Para calcular la derivada de esta funci´n debemos usar la regla de o la cadena, por lo que obtenemos f (x) = tan(5x2 cos(x)) = sec2 (5x2 cos(x)) · 5x2 cos(x) = sec2 (5x2 cos(x)) · 10x cos(x) + 5x2 (− sin(x)) f (x) = sec2 (5x2 cos(x)) · 10x cos(x) − 5x2 sin(x) (3.55)
  50. 50. 50 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS (b) Para encontrar la recta tangente que pasa por el punto x = 1 debemos primero derivar f (x) f (x) = 15x4 − 105x2 + 180 (3.56) A continuaci´n debemos evaluar f (x) y f (x) en x0 = 1 o y0 = f (x0 ) = 15 − 105 + 180 = 148 (3.57) m = f (x0 ) = 15 − 105 + 180 = 90 (3.58) Por lo tanto la recta tangente que pasa por x = 1 ser´ a y = y0 + m(x − x0 ) = 148 + 90(x − 1) = 90x + 58 (3.59) 3. (a) Para este ejercicio, debemos primero encontrar los puntos cr´ ıticos de f (x). Para ello debemos derivar e igualar a cero. f (x) = x4 − 7x2 + 12 (3.60) f (x) = 0 ⇒ x4 − 7x2 + 12 = 0 (x2 − 3)(x2 − 4) = 0 (3.61) ⇒ x2 − 3 = 0 ∧ x2 − 4 = 0 x2 = 3 x2 = 4 √ x=± 3 x = ±2 (3.62) Ahora, debemos saber si la funci´n es creciente o decreciente. Para o ello usaremos los puntos cr´ ıticos, viendo si la primera derivada es positiva o negativa. En el intervalo (−∞, −2] ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente √ En el intervalo [−2, − 3] ⇒ f (x) < 0 ⇒ f (x) es decreciente √ √ En el intervalo [− 3, 3] ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente √ En el intervalo [ 3, 2] ⇒ f (x) < 0 ⇒ f (x) es decreciente En el intervalo [2, ∞) ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente
  51. 51. ´3.4. SOLUCION PRUEBA GLOBAL -MATI 51 Un gr´fico de la funci´n ser´ a o ıa: 5 3 Gr´fico de x − 7x + 12x a 5 3 150 100 50Eje y 0 -50 -100 -150 -6 -4 -2 0 2 4 6 Eje x x5 7x3 Figura 3.3: Gr´fico de f (x) = a 5 − 3 + 12x (b) El unico valor para que f (x) = 0 es x = 0, los dem´s puntos que ´ a aparecen como soluciones son n´meros complejos. u 4. (a) Para este ejercicio debemos usar dos ecuaciones que nos relacionen el volumen de la figura y el ´rea. a Sabemos que el volumen de una caja cerrada de secci´n cuadrada o ser´: a V = yx2 (3.63) Adem´s de la condici´n de que el ´rea de la caja es 100 cm2 a o a obtenemos 2x2 + 4xy = 100 (3.64) De la ecuaci´n (3.64) despejando y obtenemos o 50 − x2 y= (3.65) 2x
  52. 52. 52 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS Reemplazando (3.65) en (3.63) obtenemos la expresi´n del Volu- o men V como funci´n de x o − x2 2 50 50x − x3 x3 V =x = = 25x − (3.66) x2 2 2 (b) Para encontrar las dimensiones de la caja de volumen m´ximoa debemos derivar la ecuaci´n (3.66) e igualarla a cero para encon- o trar alg´n m´ximo o m´ u a ınimo: 3x2 V (x) = 25 − 2 3x2 V (x) = 0 ⇒ 25 − =0 (3.67) 2 3x2 ⇒ = 25 2 50 x2 = 3 50 x = (3.68) 3 Reemplazando (3.68) en (3.65) obtenemos para y 50 50 − 3 50 y= = (3.69) 2 50 3 3
  53. 53. Cap´ ıtulo 4Soluciones de las Gu´ ıas 53
  54. 54. 54 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS4.1 Soluci´n Gu´ 1 o ıa 1. (a) Demostrar por inducci´n que 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 . Para o ello debemos ver si es v´lido para n = 1 a ? 2 · 1 − 1 = 12 √ 1 = 1 (4.1) Suponemos que es v´lido para n = k y demostremos entonces que a es v´lido para n = k + 1. a ? 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + 2(k + 1) − 1 = (k + 1)2 ? 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) +(2k + 1) = (k + 1)2 ? k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 √ (k + 1)2 = (k + 1)2 Por lo tanto hemos demostrado que 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 (b) Por demostrar que n(3n − 1) 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) = (4.2) 2 Veamos si es v´lida para n = 1 a ? 1(3 · 1 − 1) 1 = 2 ? 1·2 1 = 2 ? √ 1 = 1 (4.3) Ahora, supones que (4.2) es v´lida para n = k y demostraremos a que es v´lida para n = k + 1 a ? (k + 1)(3(k + 1) − 1) 1 + · · · + (3k − 2) +3(k + 1) − 2 = 2 k(3k − 1) ? (k + 1)(3k + 2) + (3k + 1) = 2 2 3k 2 − k + 6k + 2 ? (k + 1)(3k + 2) = 2 2 3k 2 + 5k + 2 ? (k + 1)(3k + 2) = 2 2
  55. 55. 4.1. SOLUCION GU´ 1 ´ IA 55 (k + 1)(3k + 2) ? (k + 1)(3k + 2) √ = 2 2 Por lo tanto hemos demostrado (4.2). (c) Por demostrar que 3n − 1 2 + 5 + 13 + · · · + (2n−1 + 3n−1 ) = 2n − 1 + (4.4) 2 Veamos que es v´lido para n = 1 a 1−1 1−1 ? 31 − 1 1 2 +3 2 −1+ = (4.5) 2 0 0 ? 3−1 2 +3 = 2−1+ 2 ? 2 = 1+1 √ 2 = 2 Suponemos que (4.4) es v´lida para n = k, demostraremos que es a v´lida para n = k + 1 a ? 3k+1 − 1 2 + · · · + 2k−1 + 3k−1 +2k + 3k = 2k+1 − 1 + 2 3k − 1 ? 3k+1 − 1 2k − 1 + + 2k + 3k = 2k+1 − 1 + 2 2 k k+1 3 1 ? 3 −1 2 · 2k + 3 − 1 − = 2k+1 − 1 + 2 2 2 3k+1 − 1 3k+1 − 1 2k+1 − 1 + = 2k+1 − 1 + 2 2√ Por lo tanto hemos demostrado (4.4). (d) Demostrar por inducci´n o n4 13 + 23 + · · · + (n − 1)3 < < 13 + 23 + · · · + n3 (4.6) 4 Veamos si es v´lida para n = 2 a 24 13 < 4 < 1 3 + 23 16 1< 4 <1+8 √ 1< 4 <9 (4.7)
  56. 56. 56 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS Suponemos que (4.6) es v´lida para n = k, esto es a k4 13 + 23 + · · · + (k − 1)3 < < 1 3 + 23 + · · · + k 3 (4.8) 4 Demostremos ahora que las desigualdades son v´lidas para n = a k + 1 , o sea (k + 1)4 13 +· · ·+(k −1)3 +k 3 < < 13 +· · ·+k +(k +1)3 (4.9) 4 Resolvamos partiendo por una de las desigualdades (la de la izquierda), esto es, probemos ? (k + 1)4 13 + 23 + · · · + (k − 1)3 + k 3 (4.10) < 4 k4 k 4 + 4k 3 13 + 23 + · · · + (k − 1)3 + k 3 < + k3 = (4.11) 4 4 Ahora bien (k + 1)4 k 4 + 4k 3 + 6k 2 + 4k + 1 = (4.12) 4 4 Es obvio entonces que k 4 + 4k 3 k 4 + 4k 3 + 6k 2 + 4k + 1 < (4.13) 4 4 ya que 6k 2 + 4k + 1 > 0 Por lo tanto hemos demostrado que k 4 + 4k 3 (k + 1)4 13 + 23 + · · · + (k − 1)3 + k 3 < < (4.14) 4 4 Demostremos a continuaci´n la segunda parte de la desigualdad o para n = k + 1 , esto es (k + 1)4 < 13 + 23 + · · · + k 3 + (k + 1)3 (4.15) 4 Entonces k4 + (k + 1)3 < 13 + · · · + k 3 + (k + 1)3 4 k4 + k 3 + 3k 2 + 3k + 1 < 13 + · · · + k 3 + (k + 1)3 4

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