2. Método de Inducción
matemática
Este método depende de una variable n que toma
solamente valores enteros y positivos.
Para ilustrar la aplicación de este método
consideremos las siguientes suma de números
pares sucesivos:
2 + 4 = 6 = 2.3
2 + 4 + 6 = 12 = 3.4
2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4.5
2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 = 5.6
¿Será siempre válida está propiedad?
Es decir, para cualquier número natural n, ¿Es
cierto que : 2 + 4 + 6 +...+2n = n(n+1)?
La demostración está compuesta de dos partes:
1° Parte: Consiste en comprobar que la propiedad
se cumple para algunos valores de n ( al menos
para n=1, o para algún otro valor especial de n)
2° Parte: Se supone la propiedad válida para n=k y
se demuestra que la propiedad es válida para
n=k+1
3. Es cierta para n=1 puesto que:
2= 1.2
Suponiendo que n=k tendríamos:
[1] 2 + 4 + 6 +...+ 2k = k(k+1)
Para n=k+1 la propiedad se escribe
2 + 4 + 6 +...+ 2k +2(k+1) = (k+1)(k+2)
[2]
Probar la validez de [2] a partir de la supuesta
validez de [1]
Para ello sumamos 2(k+1) en ambos
miembros de [1] con el objetivo de
completar el primer miembro de [2?
1.
2 + 4 + 6 +...+ 2k = k(k+1)
2 + 4 + 6 +...+ 2k +2(k+1) = k(k+1)+2(k+1)
2. Descomponer en factores el segundo miembro
de la igual:
2 + 4 + 6 +...+ 2k +2(k+1) = (k+1)(k+2)
"Lo cual demuestra que la [2] es cierta"
Esto completa la demostración por inducción
matemática.
Observamos que los dos pasos son
necesarios ya que ninguno por si solo es
suficiente para probar la validez de un
teorema o fórmula.
4. El teorema binomial nos dice cómo desarrollar
expresiones de la forma (a+b)ⁿ
Teorema del binomio
Ejemplos:
1)
2)
5. Sucesiones
2, 4, 6, 8, 10, ...
a1= indica que el primer término es 2.
a2= indica que el segundo término es 4.
a3= indica que el tercer término es 6.
a4= indica que el cuarto término es 8.
a5= indica que el quinto término es 10.
Una sucesión es una secuencia ordenada de números dentro de un conjunto llamados
términos, a cada uno de los términos de la secuencia se representa con una letra minúscula y
unsubíndice.
Ejemplo
6. 3, 9, 27, 81, 243, ...
2, 4, 6, 8, 10
Se lo puede resolver sumando a cada
término más 2 o a su vez aplicando la
formula = 2 n porque la sucesión
está formada por números pares.
Se lo puede resolver multiplicando a
cada terminó anterior por 3 o usar la
formula = 3 n para hallar cualquier
otro término, por ejemplo: a8 = 3 8
= 6561
Sucesiones
Enunasucesióneltérminoqueocupaunaposicióncualquiera,n,sellamatérminogeneralyse
escribe
Sucesiónfinita Sucesióninfinita
7. Una progresión es una secuencia de números que sigue un patrón específico al
aumentar o disminuir en una cierta cantidad con cada término. Hay varios tipos
de progresiones comunes, como las progresiones aritméticas y las progresiones
geométricas.
PROGRESIONES
CRECIENTES DECRECIENTES
8. Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término menos el
primero se obtiene sumando una cantidad constante al término anterior. Esta
cantidad se llama diferencia de la progresión.
PROGRESIONES
ARITMÉTICAS
La diferenciadpuede ser un número negativo, positivo o nulo. Según la
diferencia sea positiva o negativa, la progresión será creciente o decreciente.
EJEMPLO
9. Término general de una progresión aritmética.
donde a1 es el primer término y d la diferencia.
EJEMPLO
PROGRESIONES
ARITMÉTICAS
FÓRMULAS
Suma de los n primeros términos
EJEMPLO
11. Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene
multiplicando al anterior por una cantidad fija r, llamada razón.
PROGRESIONES
GEOMÉTRICAS
FÓRMULAS
TÉRMINO GENERAL
El término general de una sucesión
geométrica se calcula a partir del
primer término a1 y de la razón r
EJEMPLO
12. Suma de los n primeros términos
EJEMPLO
PROGRESIONES
GEOMÉTICAS
FÓRMULAS Último término
EJEMPLO
