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PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
1.-Hallar los elementos principales y determinar el tipo de cónica de la ecuación siguiente:
Solución:
Datos del problema:
Identificación: Es una ecuación de 2do grado en las variables x e y, con B=0, por lo que pasa a
ser una ecuación de la forma: , comparando con la ecuación
dada, es decir:
, donde los coeficientes
son los siguientes:
Dónde: el determinante es
( ) ( )( ) , por tanto es una elipse.
Agrupando términos y desarrollando tenemos que:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(*)
La ecuación resultante (*) es de la forma
( ) ( )
, con centro en ( ) ( )
; ; y representa una elipse vertical, con las siguientes
características:
Dónde, el lado mayor es ( )
El lado menor ( )
La distancia focal se obtiene aplicando la relación pitagórica de las elipses, es decir:
√
Datos obtenidos: ( ); ; ;
√
Las coordenadas de los vértices del lado mayor y distancia focal son:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
√
) (
√
)
Las coordenadas de los vértices del lado menor:
( ) ( ) ( ) ( )
Las directrices son:
{
√
√
Lado recto son:
PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
Lado recto superior: | |
( )
Lado recto inferior: | |
( )
Coordenadas de los extremos de los lados rectos
( ) y ( )
( ) (
( ) √
)
(
√
)
( ) (
( ) √
)
(
√
)
( ) y ( )
( ) (
√
)
(
√
)
( ) (
√
)
(
√
)
PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
Gráfica de la situación planteada en (1):
PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
1.-Hallar los elementos principales y determinar el tipo de cónica de la ecuación siguiente:
Solución:
Datos del problema:
Agrupando términos en X e Y a primer miembro y el o los términos independientes o constantes
al segundo miembro, desarrollando y operando tenemos:
( ) ( )
Sacamos factor común los coeficientes de los términos cuadráticos, es decir:
( ) ( ) ( ) ( )
Completamos trinomios cuadrados perfectos en X e Y, es decir:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Dividimos ambos miembros entre 400, es decir:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
El denominador de ( ) es 25 y el denominador de ( ) es 16, como 25 > 16, entonces,
se tiene que la ecuación obtenida es una ecuación de la elipse horizontal con eje focal paralelo
al eje X, luego: ; y ; el valor de “c” lo obtenemos aplicando la
relación Pitagórica para las elipse, es decir:
El centro de la elipse es ( ) ( ) { ,
Luego tenemos los siguientes datos:
( ); ; ;
Las coordenadas de los vértices mayor y menor son respectivamente:
( ) y ( ) ( ) y ( )
( ) y ( )
( ) y ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Las coordenadas del foco son:
( ) y ( ) ( ) y ( )
( ) y ( )
PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
Las directrices de la elipse horizontal tienen las ecuaciones siguientes:
{
El lado recto viene dado por:
( )
La gráfica es la siguiente:
PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
3.- Calcular las longitudes de los semiejes mayor y menor, las coordenadas de los vértices,
focos, extremos del eje menor, la longitud del lado recto y la excentricidad de la siguiente
elipse:
Solución:
Datos del Problema: ; ̅̅̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅̅̅ ; las coordenadas
de los vértices mayor: ; de los vértices menor: , las coordenadas de los focos: ,
la longitud del lado recto: LR, y la excentricidad.
Dividiendo entre 144 a ambos miembros obtenemos:
Está ecuación representa una elipse horizontal con centro en el origen y que tiene la forma
canónica siguiente: , donde ; ; el valor de “c” se
obtiene mediante la aplicación de la relación Pitagórica para las elipses: , donde
se tiene: √
La excentricidad es:
√
El lado recto es:
( )
Longitud del Lado mayor: ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅
Longitud del Lado mayor: ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅
Longitud de la distancia Focal: ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ (√ ) ̅̅̅̅̅̅ √
Las coordenadas de los vértices mayores y menores y las coordenadas de los focos son
respectivamente:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( √ ) (√ )
Las ecuaciones de las directrices son: { √ √
√ √
PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
Los extremos de los lados rectos son:
(√ ) (√ )
( √ ) ( √ )
La gráfica es la siguiente:

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Problemas y ejercicios resueltos de cónicas

  • 1. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
  • 2. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA 1.-Hallar los elementos principales y determinar el tipo de cónica de la ecuación siguiente: Solución: Datos del problema: Identificación: Es una ecuación de 2do grado en las variables x e y, con B=0, por lo que pasa a ser una ecuación de la forma: , comparando con la ecuación dada, es decir: , donde los coeficientes son los siguientes: Dónde: el determinante es ( ) ( )( ) , por tanto es una elipse. Agrupando términos y desarrollando tenemos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (*) La ecuación resultante (*) es de la forma ( ) ( ) , con centro en ( ) ( ) ; ; y representa una elipse vertical, con las siguientes características: Dónde, el lado mayor es ( ) El lado menor ( ) La distancia focal se obtiene aplicando la relación pitagórica de las elipses, es decir: √ Datos obtenidos: ( ); ; ; √ Las coordenadas de los vértices del lado mayor y distancia focal son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ ) ( √ ) Las coordenadas de los vértices del lado menor: ( ) ( ) ( ) ( ) Las directrices son: { √ √ Lado recto son:
  • 3. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA Lado recto superior: | | ( ) Lado recto inferior: | | ( ) Coordenadas de los extremos de los lados rectos ( ) y ( ) ( ) ( ( ) √ ) ( √ ) ( ) ( ( ) √ ) ( √ ) ( ) y ( ) ( ) ( √ ) ( √ ) ( ) ( √ ) ( √ )
  • 4. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA Gráfica de la situación planteada en (1):
  • 5. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA 1.-Hallar los elementos principales y determinar el tipo de cónica de la ecuación siguiente: Solución: Datos del problema: Agrupando términos en X e Y a primer miembro y el o los términos independientes o constantes al segundo miembro, desarrollando y operando tenemos: ( ) ( ) Sacamos factor común los coeficientes de los términos cuadráticos, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) Completamos trinomios cuadrados perfectos en X e Y, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dividimos ambos miembros entre 400, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El denominador de ( ) es 25 y el denominador de ( ) es 16, como 25 > 16, entonces, se tiene que la ecuación obtenida es una ecuación de la elipse horizontal con eje focal paralelo al eje X, luego: ; y ; el valor de “c” lo obtenemos aplicando la relación Pitagórica para las elipse, es decir: El centro de la elipse es ( ) ( ) { , Luego tenemos los siguientes datos: ( ); ; ; Las coordenadas de los vértices mayor y menor son respectivamente: ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Las coordenadas del foco son: ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( )
  • 6. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA Las directrices de la elipse horizontal tienen las ecuaciones siguientes: { El lado recto viene dado por: ( ) La gráfica es la siguiente:
  • 7. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA 3.- Calcular las longitudes de los semiejes mayor y menor, las coordenadas de los vértices, focos, extremos del eje menor, la longitud del lado recto y la excentricidad de la siguiente elipse: Solución: Datos del Problema: ; ̅̅̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅̅̅̅ ; ̅̅̅̅̅̅ ; las coordenadas de los vértices mayor: ; de los vértices menor: , las coordenadas de los focos: , la longitud del lado recto: LR, y la excentricidad. Dividiendo entre 144 a ambos miembros obtenemos: Está ecuación representa una elipse horizontal con centro en el origen y que tiene la forma canónica siguiente: , donde ; ; el valor de “c” se obtiene mediante la aplicación de la relación Pitagórica para las elipses: , donde se tiene: √ La excentricidad es: √ El lado recto es: ( ) Longitud del Lado mayor: ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅ Longitud del Lado mayor: ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ Longitud de la distancia Focal: ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ (√ ) ̅̅̅̅̅̅ √ Las coordenadas de los vértices mayores y menores y las coordenadas de los focos son respectivamente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ ) (√ ) Las ecuaciones de las directrices son: { √ √ √ √
  • 8. PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA Los extremos de los lados rectos son: (√ ) (√ ) ( √ ) ( √ ) La gráfica es la siguiente: