Resumen: Secciones Cónicas

Resumen: Secciones Cónicas

I. Identificando Secciones Cónicas

Las secciones cónicas son formadas por la intersección de un doble cono recto y un plano.

Debido a que la mayoría de las secciones cónicas no son funciones, a menudo debes utilizar
dos funciones para graficar una sección cónica en tu calculadora.

Ejemplos:

a. Grafica x 2  49 y 2  64 en una calculadora gráfica. Identifica la sección cónica. Luego
describe el centro y los interceptos.

Paso 1. Resuelve por y, utiliza dos ecuaciones si es necesario.

x 2  49 y 2  64
49 y 2  64  x 2
64  x 2
y 
2

49
64  x 2
y
49
64  x 2
y1 
49
64  x 2
y2  
49

Paso 2. Grafica ambas funciones en tu calculadora gráfica.

*Asegurate que en la opción de ZOOM escoger la opción 5: ZSquare para que la
gráfica se vea correctamente.

Paso 3. Identificar la sección cónica, su centro e interceptos.

Esta sección cónica es un elipse con centro en (0, 0) y con interceptos (8, 0), (-8,
0), (0, 8/7) y (0, -8/7).

*Estos interceptos se pueden cotejar con la opción TRACE en su calculadora
gráfica.

AMCJ 2011 1


b. Grafica x 2  4 y 2  16 en una calculadora gráfica. Identifica la sección cónica. Luego
describe los vértices y la dirección en que la gráfica abre.

Paso 1. Resuelve por y, utiliza dos ecuaciones si es necesario.

x 2  4 y 2  16
x 2  16  4 y 2
x 2  16
 y2
4
x 2  16
 y
4
x 2  16
y1 
4
x 2  16
y2  
4

Paso 2. Grafica ambas funciones en tu calculadora gráfica.

Paso 3. Identificar la sección cónica, sus vértices y en que dirección la gráfica abre.

Esta sección cónica es una hipérbola con vértices en (-4, 0) y (4, 0) y abre
horizontalmente.

II. Encontrando el Centro y Radio de un Círculo

Toda sección cónica se puede definir en términos de distancias. En el caso del círculo se
puede utilizar la Fórmula de Punto Medio y la Fórmula de Distancia para encontrar su centro
y radio.
*El radio de un círculo es la distancia desde el centro a cualquier punto en el círculo.

Fórmula de Punto Medio
El punto medio  xM , y M  del segmento con extremos  x1 , y1  y  x2 , y2  es
x1  x2 y1  y2 
 xM , yM   
 , .
 2 2 

Fórmula de Distancia

La distancia d entre los puntos con coordenadas  x1 , y1  y  x2 , y2  es

d  x2  x1    y2  y1 
2 2

Ejemplo:

a. Encuentra el centro y el radio de un círculo que tiene un diámetro con extremos  8, 7 
y  2,1 .
Paso 1. Encuentra el centro del círculo.
Utilizando la Fórmula de Punto Medio y  8, 7  como  x1 , y1  y  2,1 como

 x2 , y2  , obtenemos

AMCJ 2011 2


x1  x2 y1  y2 
 xM , yM   
 , 
 2 2 
 8  2 7  1 
 , 
 2 2 
 10 6 
 , 
 2 2 
  5, 3
El centro del círculo es  5, 3 .

Paso 2. Encuentra el radio del círculo.

Aquí utilizamos la Fórmula de Distancia, el centro como uno de los puntos y
cualquiera de los puntos de los extremos como el segundo punto. Es decir
 5, 3 como  x1 , y1  y  2,1 como  x2 , y2  .

 x2  x1    y2  y1 
2 2
r

 2  5  1   3 
2

2

 3    4 
2 2

 9  16
 25
5

El radio del círculo es 5.

III. Círculos

Un círculo es el conjunto de puntos en un plano que están a una distancia fija, llamada el
radio, de un punto fijo, llamado el centro.

La ecuación de un círculo está dada por  x  h    y  k   r 2 donde  h, k  son las
2 2

coordenadas del centro del círculo y r es radio.

Ejemplos:
a. Escribe la ecuación del círculo con centro  0,5  y radio de 2 .
De la información que nos da el problema tenemos que  h, k    0,5 y r  2 , así que
sustituyendo en la ecuación del círculo obtenemos
 x  h   y  k   r 2
2 2

 x  0    y  5   22
2 2

x 2   y  5  4
2

b. Escribe la ecuación del círculo con centro  2, 1 y que contenga el punto  4, 4  .
De la información que nos da el problema tenemos que  h, k    2, 1 , pero nos falta
obtener el radio del círculo, el cual lo podemos hallar utilizando la Fórmula de Distancia.

AMCJ 2011 3


r  x2  x1    y2  y1 
2 2

 4  2    4   1 
2 2


  2    5
2 2

 4  25
 29

Ya teniendo que el centro es  2, 1 y el radio es 29 sustituimos estos valores en la
ecuación del círculo y obtenemos

 x  h   y  k 
2 2
 r2

 x  2    y   1   
2 2 2
 29

 x  2    y  1
2 2
 29

IV. Escribiendo la Ecuación de la Recta Tangente a un Círculo

Una tangente es una recta en el mismo plano que el círculo que interseca el círculo en
exactamente un punto.
La tangente a un círculo es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

En este diagrama la recta AC es
tangente al círculo en el punto B

Para encontrar la ecuación de la recta tangente a un círculo con centro  h, k  en el punto

 x , y  necesitamos utilizar la fórmula de pendiente y la forma punto-pendiente de una
p p

recta para llegar a la forma pendiente-intercepto de la recta.
La pendiente de la recta que contiene los puntos  x1 , y1  y  x2 , y2  está dada por la
y2  y1
fórmula m  .
x2  x1
La forma punto – pendiente de la recta con pendiente m y que contiene el punto  x1 , y1 
es y  y1  m  x  x1 
La forma pendiente – intercepto de la recta con pendiente m y con intercepto en y de b
es y  mx  b
*Se puede obtener la forma pendiente – intercepto al despejar por y la forma punto –
pendiente.
Ejemplo:
a. Escribe la ecuación de la recta que es tangente al círculo  x  2    y  1  25 en el
2 2

punto  6, 2  .

AMCJ 2011 4


Paso 1. Identificar el centro del círculo.

De la ecuación  x  2    y  1  25 obtenemos que el círculo tiene centro
2 2

 2,1 y radio 5 .
Paso 2. Encontrar la pendiente del radio en el punto de tangencia.

Esto es buscar la pendiente de la recta que contiene el centro del círculo y el
punto de tangencia.
Centro del círculo

Utilizando la fórmula de pendiente y los puntos  2,1 y  6, 2  obtenemos
y2  y1 Pto. de tangencia
m
x2  x1
2  1

62
3

4

Paso 3. Encontrar la pendiente de la recta tangente.

Como mencionamos anteriormente la tangente a un círculo es perpendicular al
radio en el punto de tangencia.
Es decir que la pendiente de la recta tangente siempre va a ser el recíproco
opuesto de la pendiente del radio en el punto de tangencia.
3 4
Así que como m  la pendiente de la recta tangente va a ser m 
4 3

Paso 4. Encontrar la forma pendiente – intercepto de la tangente

Utilizamos la forma punto –pendiente con el punto dado inicialmente  6, 2  y
4
la pendiente encontrada en el Paso 3, m 
3

y  y1  m  x  x1 
4
y   2    x  6
3
4 4
y2 x   6
3 3
4
y2 x 8
3
4
y x 8 2
3
4
y x  10
3

La ecuación de la recta tangente a  x  2    y  1  25 en el punto  6, 2  es
2 2

4
y x  10 .
3

AMCJ 2011 5


V. Elipses
Un elipse es el conjunto de puntos P  x, y  en un plano tal que la suma de las distancias
desde cualquier punto P en el elipse a dos puntos fijos, llamados los focos, es constante.

Partes de un elipse
 Eje mayor – es el eje mas largo del elipse y por el pasan ambos focos.
 Vértices del elipse – son los extremos del eje mayor.
 Eje menor – es el eje menor del elipse.
 Co-vértices – son los extremos del eje menor.
 Centro – punto de intersección de los ejes.

co-vértice

eje menor

eje mayor

vértice foco centro foco
vértice

co-vértice

Este diagrama muestra un elipse horizontal, los elipses también pueden ser verticales en ese
caso el eje mayor va a ser vertical y los focos y los vértices se encontrarán en este eje mayor
vertical, de igual manera el eje menor va a ser horizontal y en este se encontrarán los co-
vértices.

 x  h y k
2 2

La ecuación de un elipse es   1 , donde:
a2 b2

 h, k  es el centro del elipse
a = distancia desde el centro al vértice o covértice en el eje de x .

b = distancia desde el centro al vértice o covértice en el eje de y .

c = distancia desde el centro al foco.
2 2
 distancia del centro   distancia del centro 
c 
2
  
 al vertice   al co-vértice 

Ejemplos:

a. Escribe la ecuación del elipse con centro en  0, 0  , vértice  7, 0  y co-vértice

 0, 2  .
Paso 1. Se recomienda graficar la información dada para visualizar los datos.

AMCJ 2011 6


co-vértice

centro

vértice

Paso 2. Identificar el centro y los valores de a y b .
En este caso el centro es (0, 0), a = 7 y b = 2.

Paso 3. Sustituir los valores encontrados en el Paso 2 en la ecuación del elipse.
 x  h y k
2 2

 1
a2 b2
 x  0  y  0
2 2

 1
72 22
x2 y2
 1
49 4
b. Escribe la ecuación del elipse con centro en (0, 0), co-vértice (0, 6) y foco (-8, 0).

co-vértice

centro

foco

En este caso tenemos que el centro es (0, 0), el valor de a no lo
tenemos, b = 6 y nos dan el valor de c = 8.
Para poder escribir la ecuación del elipse necesitamos encontrar el valor
de a , para esto utilizamos la fórmula:
2 2
c 
2
  
Donde la distancia del centro al vértice sería a y la distancia del centro al
co-vértice es b.

AMCJ 2011 7


Sustituyendo obtenemos:
2 2
c 
2
  
c2  a 2  b2
82  a 2  6 2
64  a 2  36
64  36  a 2
100  a 2
100  a
10  a
Paso 3. Sustituir los valores encontrados en el Paso 2 en la ecuación del elipse.
 x  h y k
2 2

 1
a2 b2
 x  0  y  0
2 2

 1
102 62
x2 y2
 1
100 36
 x  3  y  2
2 2

c. Grafica el elipse con ecuación 
 1.
9
16
Para encontrar esta información comparamos la ecuación que se nos da
 x  h y k
2 2

con la ecuación de un elipse  1
a2 b2

Así que el centro es (-3, 2)

a2 = 9 o sea que a = 3

b2 = 16 o sea que b = 4

Paso 2. Graficar el centro, graficar puntos a unidades a la derecha e izquierda del
centro y graficar puntos b unidades hacia arriba y hacia abajo del centro; estos
puntos serán los vértices y co-vértices del elipse.

b=4

a=3

AMCJ 2011 8


Paso 3. Dibujar el elipse que pasa por los vértices y co-vértices encontrados.

VI. Hipérbolas
Una hipérbola es el conjunto de puntos P  x, y  en un plano tal que la diferencia de las
distancias desde P hasta dos puntos fijos llamados los focos es constante.

Partes de una hipérbola
 Eje transversal de simetría – segmento que contiene los vértices y si se extiende
contiene los focos de la hipérbola.
 Vértices de una hipérbola - son los extremos del eje transversal.
 Eje conjugado de simetría - separa las dos ramas de la hipérbola.
 Co-vértices de una hipérbola – son los extremos del eje conjugado.

co-vértices

eje conjugado
eje transversal

foco foco

vértices
asíntota
asíntota

Este diagrama muestra un hipérbola horizontal, las hipérbolas también pueden ser verticales en
ese caso el eje transversal va a ser vertical y los focos y los vértices se encontrarán en este eje
transversal vertical, de igual manera el eje conjugado va a ser horizontal y en este se
encontrarán los co-vértices.

 x  h y k
2 2

La ecuación de una hipérbola horizontal es  1
a2 b2

y k  x  h
2 2

La ecuación de una hipérbola vertictal es  1
b2 a2

donde:

 h, k  es el centro de la hipérbola

AMCJ 2011 9


a = distancia desde el centro al vértice o covértice en el eje de x .

b = distancia desde el centro al vértice o covértice en el eje de y .

c = distancia desde el centro al foco.

c 2  a 2  b2

Ejemplos:

a. Escribe la ecuación de la hipérbola con centro (0, 0), vértice (0, -5) y co-vértice (6, 0)


centro

vértice
co-vértice

Paso 2. Identificar el centro, los valores de a y b y si la hipérbola abre vertical u
horizontalmente.
El centro es (0, 0), el valor de a es 6, el valor de b es 5 y la hipérbola abre
verticalmente (esto se determina por la posición de los vértices).

Paso 3. Sustituir los valores encontrados en el Paso 2 en la ecuación apropiada de la
hipérbola.

Como la hipérbola abre verticalmente utilizamos la ecuación

y k  x  h
2 2

 1
b2 a2
 y  0  x  0
2 2

 1
52 62
y 2 x2
 1
25 36

b. Escribe la ecuación de la hipérbola con centro (0, 0), co-vértice (-3, 0) y foco (0, -5).

centro

co-vértice

foco

Paso 2. Identificar el centro, los valores de a y b y si la hipérbola abre vertical u
horizontalmente.

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El centro es (0, 0), el valor de a es 3, el valor de b no lo tenemos y la hipérbola abre
verticalmente (esto se determina por la posición de los vértices). Nos da el valor de c
(distancia del centro al foco) c = 5, el cual utilizaremos para encontrar el valor de b
utilizando la fórmula:

c2  a 2  b2
52  32  b 2
25  9  b 2
25  9  b 2
16  b 2
16  b
4b

Paso 3. Sustituir los valores encontrados en el Paso 2 en la ecuación apropiada de la
hipérbola.

Como la hipérbola abre verticalmente utilizamos la ecuación

y k  x  h
2 2

 1
b2 a2
 y  0  x  0
2 2

 1
42 32
y 2 x2
 1
16 9

 x  4
2
y2
c. Encuentra los vértices, co-vértices y centro de   1 , luego grafícala
36 81
junto con sus asíntotas.
Paso 1. Determinar si la hipérbola abre horizontal o verticalmente.
Esto se determina comparando la ecuación dada con las ecuaciones de
las hipérbolas. En este caso es una hipérbola que abre horizontalmente.
El centro es (4, 0), a = 6 y b = 9.
Paso 3. Graficar el centro, graficar puntos a unidades a la derecha e izquierda del
centro y graficar puntos b unidades hacia arriba y hacia abajo del centro; estos
puntos serán los vértices y co-vértices de la hipérbola.
10
y
(4,9)
9
8
7
6
5
b=9
4
3
2
(-2,0) 1 (4,0) (10,0) x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-2
a=6
-3
-4
-5
-6
-7
-8 (4,-9)
-9

Paso 4. Dibujar un rectángulo en el cual los vértices y co-vértices sean los puntos
medios de los lados del rectángulo.

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10
y
(4,9)
9
8
7
6
5
4
3
2
(-2,0) 1 (4,0) (10,0) x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8 (4,-9)
-9

Paso 5. Dibujar las diagonales del rectángulo, estas serán las asíntotas de la
hipérbola.
10
y
(4,9)
9
8
7
6
5
4
3
2
(-2,0) 1 (4,0) (10,0) x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8 (4,-9)
-9

Paso 6. Dibujar la hipérbola de manera tal que pase por los vértices y se acerque a
las asíntotas
En este caso los vértices se encuentran en (-2, 0) y (10, 0) porque la hipérbola es
horizontal.
20 y

10 (4,9)

(-2,0) (4,0) (10,0) x
-15 -10 -5 5 10 15 20

(4,-9)
-10

VII. Parábolas
Una parábola es el conjunto de todos los puntos P  x, y  en un plano que están a una
misma distancia de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz.
Una parábola tiene un eje de simetría que es perpendicular a la directriz y pasa por el
vértice y el foco.
El vértice de la parábola es el punto medio del segmento que conecta el foco y la
directriz.

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y

eje de
simetría foco

directriz

vértice

x

1
 y  k  si la parábola abre
2
La ecuación de una parábola es x  h 
4p
horizontalmente (izquierda o derecha).
1
 x  h  si la parábola abre verticalmente
2
La ecuación de una parábola es y  k 
4p
(abajo o arriba).
 h, k  es el vértice
p = la distancia al foco y a la directriz
Si p  0 la parábola abre hacia la derecha o hacia arriba.
Si p  0 la parábola abre hacia la izquierda o hacia abajo.

Ejemplos:

a. Escribe la ecuación de la parábola con vértice en (0, 4) y directriz x = 4
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3

Al ver la gráfica podemos concluir que la parábola abre hacia la
izquierda.
Paso 2. Escoger la ecuación apropiada para la parábola.
Como esta parábola es horizontal utilizaremos la ecuación
1
y k
2
xh 
4p
Paso 3. Encontrar las coordenadas del vértice.
En este caso el problema nos dá las coordenadas del vertice (0, 4), pero
si no nos lo diera, al menos nos debe dar el foco y la directriz y dado que
el vertice es el punto medio entre el foco y la directriz, entonces
podemos encontrar las coordenadas del vértice.
Paso 4. Encontrar el valor de p .
Sabiendo que p es la distancia desde el vértice al foco y a la directriz, al
mirar lo que graficamos en el Paso 1 nos podemos dar cuenta que la
distancia del vértice a la directriz en 4.
Sabemos que la gráfica abre hacia la izquierda, así que el valor de p
tiene que ser negativo.
Por lo tanto p = -4.
Paso 5. Escribir la ecuación de la parábola.
AMCJ 2011
13


Tomando la ecuación que escogimos en el Paso 2, las coordenadas del
vértice y el valor de p obtenemos,
1
xh  y k
2

4p
1
 y  4
2
x0 
4  4 
1
 y  4
2
x
16
b. Encuentra el vértice, el valor de p , eje de simetría, foco y directriz de la
1
 x  2  . Luego grafícala.
2
parábola y 
8
Paso 1. Identificar la forma de la ecuación.
Al comparar la ecuación dada con las dos opciones de ecuaciones que
tenemos determinamos que la ecuación tiene forma
1
 x  h  , o sea que la parábola abre verticalmente.
2
yk 
4p
Paso 2. Encontrar las coordenadas del vértice.
Si miramos la ecuación dada y la comparamos con la ecuación que
escogimos en el Paso 2 podemos ver que que k = 0 y h = -2, es decir
que el vértice de la parábola es el punto (-2, 0).
Paso 3. Encontrar el valor de p .
Al comparar la ecuación dada con la que escogimos en el Paso 1 nos
1 1
damos cuenta que  . Ahora para encontrar el valor de p
4p 8
resolvemos esta ecuación, lo que podemos hacer multiplicando
cruzado.
1 1

4p 8
1 8   1 4 p 
8  4p
8 4p

4 4
2 p
Dado que p es positivo podemos concluir que la parábola abre hacia
arriba.
Paso 4. Graficar la parábola.
Primero graficamos el vértice (-2, 0).
y
9
8
7
6
5
4
vértice (-2, 0)
3
2
1
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3

Luego como la parábola abre hacia arriba pues p unidades hacia arriba
se va a encontrar el foco y p unidades hacia abajo se va a encontrar la
directriz.

AMCJ 2011
14


y
9
8
7
6
5
foco (-2, 2)
4
3 directriz y = -2
2
1
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3

Por último dibujamos el eje de simetría y la parábola. Recordando que
el eje de simetría pasa por el vértice y el foco.
y
9

eje de simetría x = -2 8
7
6
5
4
3
2
1
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3

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