1. '
P,La Ecuación de Poisson-Boltzmann
en Dos Dimensiones para
Geometría Cilíndrica.
Tesis que presenta
/Jesus Enrique Díaz Herrera
Para la obtención del grado de
/Maestro en Física
Mayo 1 9 8 6 ~
I
. Universidad Autónoma M e t r o p o l i t a n a - I z t a p a l a p a
ADivisidn de Ciencias e Ingenieria

2. A Cractela fuente de vita/ estimulo
A mimadre y hermanos

3. Agradecimientos:
Deseoagradeceral M. en F. J. SanchezSanches y al Dr. M LazadaCassou
por su valiosadirección en la elaboración de estetrabajo.
A laUniversidadAutónoma Metropolitana-Isbapalapa el apoyo en la realisación
de este trabajo.
Agradeacotambien al Fis. E. GonsilesTovar sus comentarios y laimportante
ayudaparallevar a cabolaswmparciones realidas, al Dr. F. Uribe por ms valiosos
comentariosquepermitieronaclararalgunos puntos y al Dr. MAntonio Duran por
BU apoyopara la soluciónde los sistemae de ecuaciones

4. INDICE
Introducción .".i
CAPITULO I
A).- La EcuacióndePoisson-Boltamann
B)- Distribución de Iones Alrededor de un Polielectrolito
C).- Diatribución de CargaAlrededorde un CilindroCargado
CAPITULO I1
A)- El MétododeElemento Finito
B)- El CilculoVariacionaf
C).- El Métodode Rayleigh-Rib
DI- El MétododeGalerkin
E)- Funcionesde hterpolación y ElementosFinitos
il- ElementosTriangulares
F).- Solucidn alaEcuacidndePoisson-BoltxmannLineal
G).-SoluciónalaEcuacióndePoisson-Boltzrnann
CAPITULO III
Resultados
Discusiónde Resultados y Conclusiones
Referencias
Bibliografía
."4
....7
""10
.I13
,.59
""21
"-23
.."
"-27
....31
""34
.,.52
"59
....61

5. INTRODUCCION
Existenvariosmétodosde la Mminica Estadietica paraestudiar I a n propiedades
desiatemasenestadoliquido,unodeellos es elmétododefuncionesde distri-
bucidn, que consiste en construir un sistema deecuacionesintegrales en términos
dedichasfuncionesdedistribucionradia1,yquedanresubadosaproximados.
Asaber:HypernettedChainAproximation (HNC), Percus-Yevick (PY), MeanSpherical
Model [MSM),Born-Creen-Yvon (BGY), Kirkwood-Poirier (KP),etc.
Aplicar estas teorías paraevaluar las propiedadestermodinimicasdesoluciones
electroliticas y polielectroliticas, quesondegran interés en variasramascomo:
Bioquirnica,Electroquirnica, Biofisica y Química deColoides, ha sido una trabajo
recientequesólofueposible hasta que se desarrollaronmétodosnuméricosque
permitieronresolverdichasecuacionesintegrales.
Sin embargolaprimera teoria quepermitióestudiar las propiedadestermodinámicas
deunasolución electrolitica es labienconocida Teoría deDebye-Hückel(DH)
(1920), que consiste enresolver la ecuaciónlinealizadade Poisson-Boltmann (PBL).
Es bienconocidoque, la ecuacióndePoisson-Boltzmann nolinealiaada (PB) es
inconsistentecon las bases de la M&nica Estadistica, pero se hamostrado
ampliamente su validezcomparandoconresultadosde otras teorias como HNC tanto
comodatosdeexperimentosen DNA y cilculos deMonteCarlo, que para bajm
concentracionesdeelectrchitoresulta ser una muy buena aproximación
La ecuación de PB es unaecuacióndiferencialnolinealconcondiciones a la frontera,
la nolinealidadde esta ecuacidn en generalno permite solucidn analhica.
Sin embargo,paraproblemascongeometríasimple(unadimensión y problemascon
simetríaesférica o cilíndrica) dichaecuación es posiblereoolverlaaproxi-
1

6. madamenteutilisandométodosnuméricoscomo:elmétododeiteracióndePicard(en
dondelaecuacióndiferencial se resuelve en su formaintegral) y elmétodo clásico
deRunge-Kutta.
Sin embargoparageometríasmascomplicadas,porejemplo:cilindroscurvos ó bicilindros
quesonbidimensionales, los métodosnuméricosmencionadosnoparecenser los más
adecuados.Hastadondesabemosla ec. de PB nohasidoresuelta para este tipo de
geometriasdebido a la dificultad deobtener su solución.
Nuestraintenciónen esta tesis es explorar la posibilidadderesolver este tipo
de sistemas bidimensionales,tratando un problemaintrinsecamenteunidimensional
[un cilindro)con las ecs. de PB y PBL y resolviendolasconelmétodo de elemento
finito(méhdo deRayleigh-Rits-Galerkin) en dosdimensiones.
En elcapítulo I, presentaremoslaecuacióndePoisson-Boltamann y su aplicación
al problemadepolielectrolitoscilíndricosampliamenteestudiados por varios
autores.
En elcapítulo I1 se explicarálatécnica de Elemento Finito pararesolverecuaciones
diferencialesconcondiciones a la frontera endo6dimensionesutilizando los métodos
de Rayleigh-Rits-Galerkincon una aproximación lineal
En elcapitulo 111 damos los resultadosde aplicar ElementoFinitoenla
solución a la ecuaciónde PB y PBL para determinar la distribución deiones
alrrededorde un cilindroinfinito.uniformementecargado y compararemosconlos
resultadosde E.Gondea, M.Loda y DHenderson.

7. En lacomparaciónmostraremos,que la solución en dos dimensioneaparalafunción
dedistribucidnradial, es tanprecisacomolaobtenidaconelmQtododeiteracidon
dePicarden una dimensión, pero que,debido a la bidimensionalidaddelproblemael
númerodeecuaoionesalgebráicasque es necesarioresolver para obtener esa precisión,
es grande.
Esto representa la principaldificultadencontrada y parasuperarla,eonecesario
queenaplicacionesfuturas se incluyanaigunasmodificacionesque d i vuf'tremos
en esa sección.
3

8. CAPITULO I

9. A) LaEcuación de Poisson-Boltxmann.
Para estudiarlaestructuramicroscópica de unasolución electrolitica,
Debye y Huckel'desarrollaronunateoriaque consiste en calcular E
en 1923
!i potencia
eectrost$t,icopromedioalrededor de un i6n fijo. En esta teoríahay 3 ingredientes
principales:
1). El Modelo de laSoluciónElectrolitica.
En este modelo el ión central es consideradocomouna esfera duraconcarga eléctrica
en su centro y conunaconstante dielktrica igual a la del solvente, delasolución
que es considerada como un medio dieléctricouniforme, y elresto de los ioneacomo
cargas puntuales. Eete modelopuede serextendido aelectrodos metilicos o a membranas
biológicasperoconsiderandoalelecrodo o a la membranacomoparedrigida con carga
eléctrica en susuperficie y los iones en lasolución(donde el sistema esti inmerso)
comocargaspuntuales. En el caso deunaproteina esta puede pensarsecomouna
partículagrandecargada y rodeadacargaspuntuales.
2). La ecuación de Poisson-Boltsmann*
LaecuacióndePoisson-Boltmnann, como su nombreloindica, es unaecuación que
resulta deconsideraciones electrostáticas y mecánico-estadísticas y permite describir
la distribución de carga(cargaspuntuales)de un electrolito en presencia de un campo
externo, cuyafuente es la cargadeunapartícula fija o lacargadepositada en la
superficiedeunaparticulagrande de referencia.
En lateoríadeDebye-Hücltelprimero se consideraelpotencialen un punto r como:
""(1)
1
dondelasuma es sobre todos los iones en elsistema.
Este potencial es promediadocanónicamenteconservando a unapartícula fija enel
origen y puedemostrarsequedichopotencialpromedio satisface larelación:
v'( <+Ir)>) = -(4~/c)<p(r)>
4

10. donde <p(r)> es la densidaddecargapromedio,quepuedeemxibirse como:
""( 2)
Donde P k es la densidadnuméricade los ionesdeltipo k y gk es la función
dedistribuciónradialde los ionesdeltipo k alrrededordelión fijo enelorigen.
Lafunciónde distribución radialen (2)puedeahoraexpresarseenkérminosdelpotencial
de la fuena promedioparaobtener:
n
V*(<*(r)>) = (-4n/&) pk q k EXP(-pwk(r) 1 ....(3)
k=l
La primeraaproximaciónen la teroria deDebye-Huckel es considerarelpotencial
delafueraapromedio ~2 igual al potencial electrostático promedio
w(r)= cpk(r) qk con pk E <*k(r)> para r>a ....(4)
y sustituir (4) en (3) paraobtenerlaecuacióndePoisson-Boltsmann:
Vz$dr)= 4 4 ~ / & 12/Jk q k EXP(-hkdrl 1 para r)a
k:l
si: q k = &e donde & es laValenciade los ionesdeltipo k y e la
cargaelemental,tenemosfinalmente:
n
V2q(r)= (-4~/c) EXP(-Zke/? (PCr) 1 para r>a ....(5)
k=I
Que es unaecuacióndiferencial no lineal para el potencialpromedio,concondiciones
alafrontera en cp o en su derivada.
b t a ecuaciónfueestudiada por Fowler3, Onager' y Kirkwood6 quienesmostraron
quedichaecuación es inconsidente con lasbases delaMecánica Estadistica
3). Linealisaciónde la ecuqcióndePoisson-Boltsmann.
La segundaaproximaciónparacompletarla teoría deDebye-Hückelconsisbeen,linealirar
el lado derechode (5) desarrollandolaexponencialde la siguientemanera:
k=t k * l kr
dondeelprimersumandoen la segundaigualdad se anulaporelectroneutralidad
y se despreciantérminosdeordensuperior. Por lo tanto obtenemos:
Vzcpfr) = K;'cplr) ....(6)
5

11. donde:
Esta ecuaciónfuepropuestaporKirkwood-Poirier', y por muchotiempoFue así,
unaleyvBlida y límitede teoríascorrectas quedescribieran las propiedades
termodinimicasdeunasolución electrolítica, cuandolaconcentracióntendiera
a cero. Sin embargorecientemente' se hamostradoquepara el modeloprimitivo
de electrolito,la ecuacióndePoismn-Boltsmann nolineal e ~ lmejorquelaec. 6 )
para bajasconcentraciones,alcompararse estas ecuacionescon teorías como HNC y
simulacionesdeMonteCarlo.
B) DistribucidndeIonesAlrrededorde un Polielectrolito
En Bioquímica, Biofisica o Quimica deColoides un buennúmerode sistemas pueden
pensarsecompuestosdeunapartículagrande(partículacoloidal,molécula,eleckrodos,
etc,.) conalgunageometría (cilíndrica,esférica,etc.) inmermenunasolucióndeionerr
pequeños. Estos sistemas puedenmodelarsede una Formasimplesuponiendoque los iones
soncargaspuntuales,elsolventecomo un medio dieléctricouniforme y a laparticula
grandecomouna fase sólida y rígidahechade un materialconlamisma constante
dieléctricaqueladelmlvente.
Aunque otros modelospueden ser usados,como por ejemplo: bmar en cuentaeltamaño
deloaiones'l,introducir efectos debidoalsolvente',tomarcontribucionesde,
potencialde cortoalcance que describanfuersastipoVander Waals, fuerzasde
hidratación', etc., el mis utiliaado es elmodelodescritoarriba al que FR leagrega
un aspecto adicional, consistenk enconsiderarunadistanciademáximoacercamiento
de los ionea a la pared cargadadelpolielectrolito. &to a equivalente a considerar
que 10s ionesinteraccionancon el polielectrolitocomo esferas durascargadas
y entreelloscomoionespuntuales. Este modelo es conocidocomoelmodelode Stern.
Este modelo se hautilizsdoparaestudiar estos sistemas empleando la ecuación de

12. Poisson-Boltzrnann no lineal que result3ser una muy buenaaproximación para
concentracionesbajas de electrolito.Sinembargo e8 debido a la no linealidaddela
ecuacidn de Poisson-Boltmann lo que hacedificilencontrarsoluciones analitim y sólo
solucionesnuméricasparageometríassencillashanpermitido su e~aluación.'~~''
C) DistribucióndeCargaAlrrededor de un CilindroCargado.
Aplicaciones de laecuación de Poineon-Boltsmannl'puedenencontrarse en un buen
número de sistemas,tales como:proteinas fibrosas, microelectrodos,moléculas
polielectroliticascomo el DNA" y recientes modelos de contraccionesmusculares.
Estos siskmas usualmente mn modelados como un cilindro infinitocargadoinmerso
enunasolucióniónica Fig( I ) y han sido eehdiados por varios autores,entre
ellos Brenner y M~Quarrie'~quienes en 1972 dan lasoluciónanallticasiguiente a
laecuacióndePoisson-Boltsrnannlineal.
cP(r) = - ( 4 7 ~ R / c )LN(r/R) R I r 5 (R+a/2)
cp(r) = A KO(m) rZ R+a/2
Fig (1) Representación
esquemática del modelo.
7

13. donde:
yq, = potencialsobreelcilindro
= densidaddecarga en lasuperficiedelcilindro
R = radio del cilindro
a/2 = radiodelosiones o distancia de máximoacercamiento
KO = funciónde Bessel modificadadeorden cero
Lasconstantes A y U pueden sercalculadasigualando ( 8 ) J ( 9 1paraobtener:
Q = cp*/47ml{(Ko(a)/ aKt(a)- LN(1+a/2Rll
donde:
a = ~;(R+a/2)
K,= funciónde Bessel modificada de ordenuno.
En cuantoalasoluciónalaecuaciónde PB para eske sistema es por primera
vez evaluadaen 1975 por Stigter",mostrando en 19781b medianbecomparacionescon
datosexperimentales en DNA que,abajasconcentracioneslaecuación de
Poisson-Boltzmannlineallleva a substanciales errores y que la ec.de PB es mejor.
En 1983 M.Losada'6empleandolaaproximación HNC a este sistema, muestra queen
ellimitedelradiode IOEI ionestendiendo a cero la aproximación HNC recuperala
ecuaciónde PB y posteriormente EGonsiles et alJ7 demuestranque PB en ellímite
de bajas concentracionesresultatanaproximada como los ciilculos hechoa con HNC
y que sólo en el caso de 'concentraciones y densidadesdecargasobreelcilindro
muy bajas PI3 y PBL sonaproximadamenteiguales.
ComparacionesposterioresutilisandosimulacionesdeMonteCarlo"hanmostrando
nuevamente la validesdelaecuación de Poisson-Boltzmnnn para bajas concentraciones.
8

14. El problema¿epolielectrolitos esférico^'^-^' y ladoble caps plana,aligualque loa
polielectrolitoscilíndricos y las solucioneselectrolíticas hansidotambien
ampliamenteestudiados y Poisson-Boltzmann no Lineal, el modelomassimpleque los
describeconciertaprecisión, enellímite de las bajas concentraciones.
Todosestossistemas engranmedida han podidoeetudiarse gracias a la simplicidad
de su geometría y al desarrollo de las técnicas nurnéricaa,pero es claroquepara
modelosmas realistas, ver porejemplo Fig(2), lageometría y las ecuacionesresultantes
sonmascomplicadas. En general, a menudo se requierede la soluciónde ecusciones
endos y tres dimensiones y en este caso métodosnuméricos mas eficientes que los
tradicionalmenteusadospara este tipodeproblemas, se hacennecesarios. El m6bodo
de ElementoFinito haprobadoserdegranutilidad en otras areas comohidrodinámice
y electrodinámica.Mostrar la posibilidad de utilixardichométodoen dos dimensiones
paracalcular la distribucióndecargaalrededorde un cilindro es elobjetivo
de la^ siguientessecciones.
22-26
26-28
Fig ( 2 ) El modelo del DNA
9

15. CAPITULO I1

16. A) El MétododeElemento Finito
El métododeelementofinito es un métodoaproximadoderesolvermuaciones
diferencialesconcondiciones a lafrontera y/o iniciales.
En este método un continuo es divididoen elemenbs muy pequenosdeformas
convenientes (trihgulos, cuadrilsteros,etc ...).Escogiendopuntosllamados"nodos",
dentro de los elementos,lavariable enlaecuacióndiferencial seescribe como
unacombinación lineal defuncionesdeinterpoiaciónconstruidascon el valoren
los nodosde las variables o el de sus distintasderivadas.Usandoprincipios
variacionales o métodos deresiduospesados,lasecuacionesdiferencialesgobernantes
mn transformadas en "ecuacionesdeelementofinito"quegobiernan todos los elementos
aislados. Estos elementoslocales son finalmenterecopilados para Formar un sistema
global de ecuacionesdiferenciales o algebriicaa concondiciones a lafrontera y/o
inicialesimpuestasapropiadamente.Finalmente los ralores nodalesde las variables
son determinados al resolveresesistema de ecuaciones.
El método deelementofinito fue originalmentedesarrollado por ingenierosalrrededor
de los añoscincuentas,yaque los problemaseningenierlafrecuentementepresentan
dificultadesque no se deben a su complejidadmatemática,sinosimplemente acausa
delnúmerodecomponentesindividualesque esth presentes(Fig I).
10

17. Elementos-,
Algunos Problemas Discretosen Ingenieríay sus elementos.
Fig( 1 1
Para elingeniero Fue muy natural pensar en un "continuo"en términot3 de un
eneamblediscretodepequeñascomponentes. En 1956 Tomer,Clough,Marbin y Topp,
presentaronelprimerarticulodondeelmétodo de elementofinitoeautiliaado
paraanalisargrandessistemas deelementosestructuralesenaeronaves.
Aplicaciones deelementofinito a problemasno estructurales, tales como,elflujo
enfluidos y electromagnetismo,empezaronconZienkiewks y Chungen 1956, asi
como aplicacionesa unaamplia clase deproblemasdeinterésenmecánica no lineal
fueronhechas por Wen en1972.
El método variacionalde Rayleigh-Ritdl877-1909) y el rnétdo deCalerkin(l915)
establecieron,principalmente, el métododeelementofinitocomounaimportanterama
deaproximaciónpararesolverecuacionesdiferenciales con condiciones a lafrontera
y/o iniciales.
11

18. Cabeaquímencionarque es &lorecientemente (iW@-i972), que se reconsideran
las ventajas delusodelprocedimientoderesiduospesados y enparticularelmétodo
deGalerkin en la formulacióndeproblemasmasgenerales, asi comoeldesarrollode
su teoríamatemtitica
En este capítulorecordaremos el m W o variacional de Rayleigh-Rits y el método de
Galerkin y los utililisaremos para resolver las ecuacionesdePoisson-Boltsmannlineal
y Poisson-Boltzmann no linealrespectivamente.
12

19. B) El CálculoVariacional.
El métodode Rayleigh-Ritz está basadoenelcálculovariacionalque,en su formamás
simple,consiete endeterminarunafuncióndesconocida y=y(x) para la cual laintegral
entre los puntos Po(xo, yo) y Pl(xl , y*) es un mlnimo. Fyx, y, y ) es una
funciónquetienederivadasparcialesdeBegundo orden continurrs y suponemosque
hayunafuncibn y=y(x) conderivadacontinuaqueminimiga a I, ver pig( 2 ).
1
PI_""""
P O
- I 1
Fig( 2 1
Escogemos unafamiliadecurvasparacomparar, de lasiguientemanera:
q='p7(x) cualquierfunción tal que tenga derivadasegundacontinua y además
~(xo)=(rl(xl)=O. Si a es un parámetropequeñoentonces:
13

20. representa unafamiliadecurvasquepasan por Po y PI ver Fig( 3 )
I
I I
I
I I
Sustituyendo ( 2 ) en ( I ) obbenemosunaintegralqueahora es funciónde a
Si a=O de ( 2 ) entoncesy(x)=y,(x) y para quey(x)minimice la integral ( 1 )
para a = O, laintegral I(a) debetener un minimo.Lacondición
necesaria paraque I(a) tenga un extremoen a = O, como sabe,
BE laanulaciónde 8u derivadapara a4. Entonces bI(a)=(aI/aa)da=O
y desarrollandotenemosque:
Y .
14

21. como 61(0)=0
Medianteintegraciónporpartesobtenemosque:
x0 *o
Para llegaralresultadoanterior se usóelhechodeque q(xo)=rl(xl)=O,
entoncea
o finalmente:
x1
entonces,paracualquier a x ) ,
(aF/ay) - (d/dx)(aF/ay)) = O,
que es labienconocidaecuac@n de Euler-Lagrange.
.”( 3 )

22. El principal interés lo encontramosalgeneralisar lo anterior, y aplicarlo
al problemademinimizarladobleintegral;verPig( 4 )
""( 4 )
n
// -u=uC X , Y ,
r l
/@
I l l
/ I -;cr t
Y
r
Pig( 4 )
La ecuacióndeEuler-Lagrangecorrespondientepuede ser derivada por un pro-
cedimienbosimilaral caso anterior-
En este caso lafunción se consideraderivable tresveces, lasuperficieU=U(x,y)
en la cual se realizaelextremo, se supondráderivabledosveces.
Consideremosnuevamentelafamiliamonoparamétricadesuperficies:
U = U(x,y,a) = U(x,y) + a8U, siendo 6U = U,[x,y) - U(x,y) que
contiene,cuando a=O, a lasuperficieU=U(x,y), en la cual se realisaelextremo
y, para a=i,cierkasuperficieadmisibleU=U,(x,y).
En términosde las funcionesdelafamilia U[x,y,a), lafuncional I se trasforma
enunafunciónde a , la .cualdebetener un extremo cuando a=O, por lo tanto
=lJ{(&,F)(acrU)+ (a,F#aaP) + (aQF)(aaQ)}dx dy
n
16

23. donde: P=(& U) y Q=(a,U)
como;
Sustituyendo en ( 5 ) de ( 6 ) y ( 7 ) (&F)bP, (a,F)¿%Qentonces:
61 = { (duFNU + a,(&F)bU + d,(d~P)8U }dx dy
n
n
.""( 5 )
"-( 6 1
.....I7 )
La integralsegundade ( 8 ) utilisando el teoremade Green se puede trasformar
en una integraldecontorno,que resulk ser cero,puedo que, en el contorno
lavariación 6 U 4 ya que las superficiert admisibles pasan por el mismo mntorno.
Por lo tanto :
61= SS( (&F) + dl(apF)+ a,(a,F) }8U dx dy
De lacondicióndeextremolaintegral anterior es cero y como &Ies
arbitrariaentonces :
(auF) + a,(apF) + d,(aqF) = O ."( 9 )
~8 s. ( 9 ) la extensión en dos dimensionesdelaecuacióndeEuler-Lagrange,
ec. ( 3 ) paraunadimensión.
17

24. Si suponemos por ejemplo en [ 4 )
donde f[x,y) es unafuncióndesconocida,lasustituciónde esta funciónen ( 9 )
nosdará.:
O
-V2U= ~(xJ),
que es laecuacióndePoisson.
Si f[x,y) es ladistribuciónde carga canónica,i.e.
i=l
donde Hx,y) es elpotencialelectrostáticopromedio,entonceslaecuaciónde
Poisson se convierte en laecuacióndePoisson-Boltamann:
y
V2p= -(~T/E) pie& EXp(-IpeZ,sp)
En lasiguientesecciónpresentamos el método de Rayleigh-Rib queposteriormenb
utilixaremospararesolverlaecuacióndePoisson-Bolbmannlineal, y en Is seccion
D presentamoselmétodo de Galerkincon el queresolveremosla correspondiente ecuación
noIineaL
i=I
18

25. C) El Métodode Rayleigh-Rits.
Cualquiermediocontinuo consiste teóricamentede un númeroinfinitodepuntos
en loscualestodaslasvariablespertinentesestandefinidas.
El m6tododeRayleigh-Ribs es un procedírníenhaproximado por medio del cual tales
sistemascontinuossonreducidos a sistemascon un nGmero finito de variables y
es unaaplicacióndirectade los principiosvariacionalesdiscutidosanteriormente-
Consideremoselproblemageneraldeencontrarelmínimode la dobleintegral
.""( 10 ]
con las condicionesdefrontera:
u= ca(s) sobreelcontorno r ""( 11 )
donde I' es el contornoqueencierra al dominio 0
Consideremosahoraunafamiliadefuncionesquedependende varios par6metros
u = M X , Y, at, ."-an1 "( 12 )
tal quelacondición de fronteradada enlaecuación [ 11 ] se satisfaga para
todos los valoresde los pargmetros.
Sustituyendo [ 12 ) en ( 10 ) convertimos la integral I(U) enunafunción de n
variables al,+,-"-,8,.
4U)= 1~~1,a*v".,anl
Ya quebuscamoselmínimode estas funciones, los números ak deben satisfacer
elsistema de ecuacionessiguiente:
(&,I) = O para(k=l,"..--n)
19

26. Resolviendoparaestosparámetrosdesconocidos y sustituyendoen ( 12 ) obtenemos
lasoluciónaproximadarequerida.
&,Y) = cp(x, Y, at,.----,an) "-( 13 )
Siconsideramosquelasolución ( 13 ) es solamenteunaaproximaciónalaverdadera
solución U(x,y), psra la cualI(U)=M,donde M es el valor delmínimo,entoncespuede
asegurarsequelasecuenciadeintegrales I(*),I(%),... tiendealverdadero
minimo, estoes.
limn- ( I ( 4 ) = I[U) = M
20

27. D) EMétodo deGalerkin.
El m6tododeGalerkin es parte de los metodosconocidoscomo mdtodos deresiduos
pesados.Donde la idea es obtenerunasoluciónaproximada aecuacionesdiferenciales
delaforma:
-Au-f = O en Q -I 14 I
con A un operadordiferencial, f unafuncióncualquiera y sujeta a condicionen
a lafrontera:
u[x,yj=u0sobre el contorno I'
La soluciónaproximada a [ 14 ] es construidaintroduciendo un conjunto de
funcionesdelaforma.
.....(15 )
donde Ci son constantes y qi(x,y) sonfuncioneslinealmenteindependientesque
mtisfacen las condiciones a la frontera del problema.
Ya que ( 15 ) es unasolucidnaproximada,alsustituirlaen ( 14 ) tenemos que no
satisface la ecuacióndiferencial y entonces.
- b f = e
donde e es un errorresidual
Ahoraintroducimos un conjuntodefunciones de peso Wi (i=l,".m) y construimos
elproductointerno (e,Wi).Además,pedimosquedichoproducto seacero,estoes.
(e,Wi) = O
Lo cual ei equivalente a forzarque el errorenpromedio de la ecuacióndiferencial
aproximada sea cero.
Existenvariasformas de escoger las funcionesde peso Wi; llevando esto a
distintos métodos: 1) Método de Calerkin, 2) MétododeMínimosCuadrados
3) Método de Momentos, 4) Método deColocación.

28. En el m M o deGalerkin las Funcionesde peso Wi son elconjuntodeFunciones
con las que se construyelasoluciónaproximada u.
Entonces:
letpi) = 0
Quepodemosentendercomounaproyeccidnortogonalde los residuosalconjunto
defuncioneslinealmenteindependientes pi-
Hacerelproductointernoigual a cero es hacercerolasiguienteintegral
16 )
La expresidn ( 16 ) servir5 paradeterminar lasconstantes Ci y al sustituirlas
en laexpresiónpara u(x,y) obtendremoslasoluciónaproximadaquerequerimos.
Antes de proceder a aplicar los dosmétodos antesdescritos a nuestroproblema,
en la siguiente sección describiremos la función de interpelación y l o s elementos
finitos queFueronutilizados.
22

29. E) FuncionesdeInterpolación y ElementosFinitos.
El siguientepaso en latécnica deElementoFinito es escogeradecuadamente las
funcionesdeinterpolacióndelproblemaplanteado.
Dichasinterpolacionesdeelementofinitoestáncaracterizadas por laFormadel
dominiolocalpara el elementofinito(dichodominiolocaltambien es llamado
elementoFinito) y elordendeaproximación. En general la eleccióndelelemento
finitodependedelageometríadeldominioglobal, el gradodeprecisióndeseado,
lafacilidaddeintegraciónsobreeldominio,etc. En la Fig( 5 ) mostrarnos un dominio
endosdimensionesque es discretkdo por elementostriangulares,dondecomoya
mencionamos el dominioglobal est6 construido por muchossubdominiosllamados
elementosfinitos. Los dominiospueden ser uni, bi, ó tri-dimensionales y las
correspondientesgeometrías de elementosfinitos son mosbradasenla Fig ( 6 1
Cadaesquinadelelementorecibeelnombredenodoslocales. En general, l a s funciones
deinterpolaciónsonpolinomiosdediferentes grados, sin excluir,enalgunos casos
productosdepolinomiosconfuncionestriionométricas o exponenciales.
En seguidadescribiremos la Funcióndeinbrpolación, consistente en un polinomio
degradounoen x y y, definidossobreelementostriangulares ya quefueron los
utiliaadosen es& trabajo.

30. i)ElementosTriangulares.
Las propiedadesdelelementosondeterminadas en tkrminosde lascoordenadas
oarteoianaia looslea oon BU centro en el origen delcentroidedeltrisngufo Fig ( 7 ).
Y '
o
x
Fig( 7 I
Considerandocomofunción de interpolación
s a + bx + cy .....( 17 )
Querepresentaunavariaciónlinealde w tanto en la dirección x como en y dentro
delelementotriangular.
Para evaluar a, b, c construimos 3 ecuaciones en términos de valoresconocidos
de (I en cada uno de los tres nodoslocales.
Sean estos valores q,ccp, (18 entonces:
= a + bxl + cy1
% = a + bx2 + cy2
u3= a + bxS + cy3
24

31. Resolviendopara 18s 3 constantes tenemos:
cl = (l/det)(x3 - x*)
c2 = (l/det)(x, - xg)
cs = (ljdetj(x2 - x,)
donde:
1 x1 Y1
det = 1 x2 ya
1 x3Y3
=2 A ; A= &readeltriangulo
EB importantenotarque la numeración (1,2,3) de los nodoseneltriSngulo son
asignadas enelsentidocpntrario a las manecillasdelrelojcomo se muestra
enla Fig( 7 ). Si esta numeración es asignadaenel sentido de las manecillas
del reloj eldeterminateresultaigual a - !?(áreadeltriángulo).
Uno de los requisitosFundamentalesdelafuncióndeinterpolaciónes:
25

32. Equivalente a que los parámetm oWescan las restricciones;
al + a2 + a3 = 1
bl + b2 + b3 = O
c1 + c2 + c3 = o
El siguientepasoenla técnica de elementoFinito consiste enconstruireldominio
delproblemacon estos elementos finitos y numerarglobalmente los vértices de
todos los elementosFinitos,verporejemplo Fig( 8 ), esta numeracióncorresponderá
a la numeración de los nodosglobalesdonde se encontrar&lasolución y de la forma
que se haga dicha numeracióndependerá la estructuradel sistema deecuaciones
algebriiicas que será necesarioresolver,
Fig( 8 1
Con esto concluimoslapresentsción de latécnicadeelementofinitoqueahora
aplicaremosen las siguientesseccionesparanuestroproblema.
26

33. F) Solución a laEcuacióndePoisson-BoltsmannLineal
Esta ecuaciónparageometríacilíndricade lacual m conoce su soluciónanalítica
aeri resueltanuméricamenteutilitandoelmétododeRayleigh-Rits en el plano
cartesiano. Esta ecuación se escribe dela siguiente manerrr:
V'$ = K2*
donde k es elnúmerode especies enel electrolib.
Si consideramos un electrolitosimétrico (electrolib 1:i)
p=pi=p*, &=-z* = 1
entonces. K;'= [4ne'P/&) (plZ: + p&', = [8.1re2plp/&)
p = densidadnumérica
e = cargaelemental
= constante Boltxmann
c = constantedieléctrica
Antes decontinuarconstruimoslaecuacion dimensional llamando:
1L* = eS1L
X* = x/[a/2)
Y* = ~/(a/2)
donde [a/2) = radiode los iones.
De esta maneraobtenemoslaeouacionadimensional :
(9)7k = & I 1cI2 * * 2 * *
donde [K?* = (dXa/Z)"
Para simplificar la notacih omitiremosel símbolo * quedandoestablecido
que el problema 6sin dimesiones.
37

34. Para resolver V'I) - n2q= o .....( 18 )
con el fin decomparar lasoluciónnuméricacon la analitica, ya que esta puede conocerse
y ademásusarla como solucióndeentradaparsresolverlaecuaciónnolineal
utilizaremoselmétodovariacionalde Rayleigh-Rits dondelafuncional ser6 ;
1 = JJ (m{(ax$)' + (a,W' + K 2 V 1dxdr ..-I19a )
n.
que satisface ( 18 ) y las siguienk condicionesala fronbra sobreelcontorno I' que
donde KO y Kt sonfuncionesde Bessel deorden O y 1 respectivamente.
Ahoraproponemoscomosoluciónaproximada la iguiente:
Con c p i (x,y) polinomioslinealescomolosdiscutidosenlasecciónanterior
20

35. Sustituyendo( 20 ) en I y en virtud del métodovariacional aI/an= O tenemos:
."..I21)
De todas las y, S610 sondesconocidasdesde i=l,...m, y de i=n+i,..m
sondadaecomocondicionesdefrontera. La relación ( 21 ) es un sistema de n ecuaciones
lineales con n in&nit,as queescribimosdelaforma.
& Y = / ? .....( 22 )
donde los elementosdelamatris .d como los del recbr son:
Como eldominio Q fue discretido en elementos f i n i b triangulares, las
integralesanterioresdeben realimse sobre los triángulosquecamparkan los
nodos i, j, con i=l,-.-n j=l,"n que es dondequeremosresolver,paralos
elementos . a,k dichas integrales deberh realizarse sobre aquellm
triángulosquecompartan los nodos i, k con i=l,,n k=n+¶,.,,m donde los
nodos k estin sobreel contornor queencierraaldominio Q y en ellos se
está imponiendo las condicionesde fronfera
29

36. Por otrolado cp,, lp,, v k corresponderánaunade l a s
tres funcionesdeinterpolacióndefinidaseneltriingulo, sobre elque se está
realizandolaintegración y quecoincideconelnodo global i-esimo.
Por lo tanto en el entendido de que, al construir a,, O Qt,k debemosSumar
sobretodas las contribucionesdeaquellostriángulosquecompartan los nodos i,j
o i,k
Sustituyendo en formaexplícitalafuncióndeinterpolaciónen IOSelemenbs
dematris atii, para eltriánguloI-ésimo,tenemoaque:
O(ii = JJ bib, dxdy + Sf cici dxdy + SSK'vivj dxdy
7,. 9 7;,
= bib, A + C ~ C ,A + K'JJVivi dxdx
7 9
donde A= área del triángulo 1-ésimo.
Encontrando todos los elementosdel tistema de ecuaciones [ 22 ), resolvemos este
paracalcularelvector 7 que es directamente la soluciónen l o s nodos.
30

37. G) Solución a la EcuacióndePoisson-Boltsmann
Resolveremosnumericamente esta ecuacidnutilizandoelmetododeGalerkin.
Sea:
"".( 28 )
donde j es elnúmero de especiesiónicas en el electrolib.
De igualmaneraal caso lineal el electrolib se considerarásimétrico y la ecuación
se adimensionalim,obteniendo:
z
Vzl(/ =-E CF,EXP(-Z#]
i: 1
donde:
E = (4ne2b/&)(a/2)*
Proponemoscomosoluciónaproximada:
VA
U = yi~p, con ~ p ,= a,+biX+ciy
t"1
dondei=númerode nodos globales, y de n+l hasta m corresponden a l a s condiciones
a la frontera.
Utilisandoelm6tudodeGalerkin tenemos que:
-{ 1 J { V 2 ~ } ~ idxdy + $$ EzP,EXP(-Zi UFpi dxdy = O }
2
n n j:t
".( 24 1
con i=l,"-,m.
Como lasfuncionesdeinkrpolaciónlinealesqueusaremos notienen segundas
derivadas,utilisamos el teorema .de Green-Gausssobreelprimerintegrandopara
pasar a primerasderivadas,entonces:
31

38. Ya quesobre los conbrnos no existe y,, puestoquesobreellosdamos
las condicionesdefrontera, la integralde conbrno es cero.
Entonces:
Y sustituyendo w tenemos;
El segundointegrando ai realizarse sobre cadaelemento triangulsr, de la sumasobreel
indice k sólo contribuyenaquelloscorrespondientes a los 3 vértices deltriángulo
sobre el que ge está llevando a cabo la inhgración.
Entoncesescribimos para el triángulo 1-ésirno:
La relación ankrior corresponde a un conjunto de ecuaciones algeb6icas no
lineales quepodemosescribirde la siguientemanera:
32

39. 7 que es directamente la soluciónen los nodos.
33

40. CAPITULO 111

41. RESULTADOS
En esta secciónpresentamosloaresultadoeobtenido8alresolverlasecuaciones
dePoisson-Boltamann nolineal y Poisson-Boltxmannlinealutilizandoelmétodo
deElementoFinitodescrito en el capituloanteriorpara un cilindroinmerso en
unasolución electrolitica 1:l.
Los parámetros del sistema son IOS siguientes:
Radio del cilindro 5 w
Temperatura 298 K O
Constantedieléctrica 78.5
Diámetro de los iones 425 A
En la TABLA 1 mostramos los parhetros de laa corridw de l a s cualespreaentamos
los resultados.
TABLA 1
CORRIDA DENSIDADMOLARPOTENCIALDELCELINDRO(mr)
A 1
B 1
C 1
D - .o1
40
80
120
m
La malladeelementoFinitofueconstruidacon 704 nodos y 1344 triángulos como
mostramos en la PIC( 1 1
34

42. .
.-
FIG( 1 1
Los 704 nodos fuerondistribuidosen 21 círculos(equipotenciales)concéntricos
numeradosdel O al 21 y sobre cadacírculo se colocaron 32 nodosuniformemente
espaciados. En elcírculo O se da la condicióndefronteraparaelpotencial H,
queparael caso dePoisson-Boltrsmannlineal puede calcularse utilizandolarelación
(19b) delcapitulo I1 y para el caso de Poisson-Boltmann fuetomadode lw resultados
obtenidos con el métododeiteracióndePicard(E.GonsSles y MLoxada)
De elcírculo 1 al 20 hay 640 nodos dondeBe encontrarálaeoluoi6neproximada
deelementofinito. En elcírculo 21 se da la condición de fronterapara el potencial
cp(r -+ m)= O.
En la Fig( 2 ) se muestra un quema delo anterior;
." "
-
35

43. El criterioutilisadopara
DENSIDADMOLAR
1
.o1
hacer el potencial cero eamosrtrado en la TABLA 2
TABLA 2
RADIO DE CORTE ( A ) 1pp~1* (PPB*
42.5 O(E-06) O@-07)
212.5 qE-03) qE-03)
La distribución de los 20 circulos nofueuniformedependiendodel radio de corte
y la8tablas 3 y 4 muestran esfa distribuciónde los radiosreducidos en el radio
del ión para l a s densidades 1M y .OlM respectivamenbe.
TABLA 3
r* 1.5 2.0 25 3.1 3.7 43 5.0 5.7 6.5 7.3
8.2 9.1 10.1 111 12.2 13.3 145 15.8 17.1 18.5
TABLA 4
r* 15 2.1 2.8 3.7 4.7 6.07.6 9.4 116 14.3
17.4 21.0 25.4 30.5 36.4 43.4 51.5 61.1 72.1 85.0
En lasgráficas, 1 a 4, presentamoselerrorrelativoporcentualdela solucih
a laecuacióndePoissonBoltsmannlinealconelementofinito,respecto a la
soluciónanalitica.
En lasgráficas, 5 a 8, presentamoslasoluciónconelementofinitoparala
ecuación de Poisson-Boltamann nolinealcomparandolaconlaobtenida con Picard,
y su errorrelativoporcentual en lasgrhficas 9 a 12
36

44. Finalmente en la TABLA 7 presentamoselcálculode la densidaddecargaen la
superficiedelcilindrocalculadacon las Funcionesdedistribuciónradialobtenida
conelpotencialcalculadoconelementofinito para la ecuacióndePoisson-Boltzmann
nolineal y comparadacon los resultadosobtenidosusandoelmétododePicard.
Este cálculodeladensidadpuedeobtenersedelasiguientemanera:
Como sabemos, la cargasobre la superficiedelcilindrodebeserigual ala carga
enelvolumenque lo rodea
Entonces:
J ads = - J Pelectrolib dv
demaneraque:
entonces:
f-¿
Q = (-Zpe/R) (g+- g-) rdr
9 W Z
utilizando las unidade;reducidas r* = [2r/a)obtenemos finalrnenk
cr = (-Zpe/R)(a/2)* (g+ - g-) r*dr*
b
Q
donde :
a = R * + 1 y b=R*+%
donde: .%es el radiode corte dadoen la TABLA 2
La integral (1) fuéevaluadautilizandointegracióndeSimpson.
37

45. TABLA 7
CORRIDA v ELEMENTO FINITO(scoul/cm2) Q PICARD(scoul/cm2)
A .2380411305-2367674305
B -4893716305 .4861100305
C "1633972E05
D -6181699305
-7564360305
-6156324305

46. -.I
Ir,
Error relativo‘% para la ecuaciónde PBL en g ( r ) obtenida
con elemento finito respecto ag ( r ) analítica. Para un
. cilindro de radio 5 A y potencial sobre su superficie de
$3 mv, electrolito 1:l y densidad 1M.

47. Lo mismo que en la gráfica 1 .Para 80 mv
40

48. Lo mismo que eh l a gráfica 1. Para 120 mv
4 1

49. CWlPIcA 4 COMIM D
. .
Lo mismo que en la gráfica 1. Para 200 mv y densidad .01M
42

50. P
A
i -PICRRD I
!
!
43

51. 4.
3.
t.
I_ PiCARD
-0 FINITO
1.
O
O 1 il t d lb ir S lb 1
”
Lo mismo que en la gráfica 5. Para 80 mv,densidad 1M
i
4 4

52. ELECLENTO FINITO
4r b 8 da lh 14 16 18 ;
w
Lo mismo que e; la gráfica 5. Pero 120 mv, densidad 1M
4 5

53. 1
i
Fw
Lo mismo que en la gráfica 5. Para g+ ( r ) , 200 mv y densidad
.01M
4 6

54. 4 7

55. *
Error relativo-% para la ecuación de PB en g(r) obtenida
con elemento finito respecto a g(r) obtenida con Picard.
Para los parámetros de la gráfica 1.
48

56. M
Lo mismo que en la gráfica 9. Para 80 mv densidad 1M
49

57. r
iI
s.,.
b
.
Lo mismo que en la gráfica 9 . Para 120 mv densidad 1M
5 0

58. .
.
I
i I I I I I I I I
19
Pf
Lo mismo que.en la gráfica 9. Para 200mv densidad .01M
51

59. DISCUSION DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES
Para obtenerlaprecisiónquemostramosen los resultadosanteriores en la Función
dedistribuciónradial,fuenecesarioconstruirunamallacon 704 nodos. Esto
significóresolver un sistema deecuacionesalgebriiicas(nolineales enel caso
de Poisson-Boltsmann y lineales enel caso dePoisson-BoltsmannLineal)de
640 x 640. Dicho sistema deecuacionesfue resuelto utilizando las subrutinas
MA28A y MANA de la bibliobka WARWELL, quesonsubrutinas muy eficientes para
resolver sistemas deecuaciones ralas, a pesarde esto, el sistema de 640x640
fueelmasgrandeque se pudoresolverenuna CYBER-173 que es el sistema de
cómputodonde estos cilculos se realizaron.
Sabiendoeskalimitación, se procedió a encontrar la distribución mas adecuada
de esos 704 nodos. Para ello utilisamos la solución a laecuacióndePoisson-
Boltsmanncomocalibrador ya queconocemos su solución analitica.
La primeradistribuciónqueintentamosconsistióenmantener un3 distribución
deequipotencialesigualmenteespaciadas y variarelnúmerode estas así como
elnúmerodenodosencadaequipotencial Esta maneradedistribuir los nodos
sólo recuperaba, en todos los casos, laprimera cifra de la soiución analítica.
Fueclaroque la pocaprecisón es debidaalhechodeque estas mallasresultan
poco refinadaspara cubrir eldominiocon 8610 704 nodos.
Unade lasventajas delmétododeElemento Finitofrenteal deDiferencias Finitas,
es quepuedevariarseelgranodelamalla sin elcompromisodehacerloen todo
eldominiodeintegración,demaneraque esto permiterefinar la malladonde se
quieramejorarlaprecisón.
Lasiguientedistribucióntomóencuenta lo anterior y se decidió sacrificar la
52

60. precisión lejos delcilindro para mejorarla cerca. Vrtriandodenuevoelnilmcro
deequipotenciales y elnúmerodenodos sobreellas pero distribuyendolosradios
demaneraexponencial para llegarrapidamentealradiode corte.
Nuestrosresultadosfinalmentepudieronmejorarse hasta recuperarselatercera cifra,
separando los radiosde las equipotencialesdeacuerdo a como se muestraen las
gráficas 13 y 14 con 21 equipotenciales y 32 nodos en cadauna.
Con esta distribuciónde nodos, comomostramosen los resultados, pudimos resolver
e¡ problemaen 2 dimensionescon una muy buena precisibn comparada con Is solución
obtenidaen 1 dimensión.En este momento es necesariomencionarque, la solución
contra laqueestarnoscomparando, es unasoluciónobtenidadividiendoeldominio
unidimensionalen 131partes y si comparamw esto con las 21 equipotenciales
utilixadas,nueertrapartición es bastankemenor y m obtienen muy buenosresultados.
Otraventajaalutiligarelemento finita es quepodernosobtenerlasolución,no
sólo en los nodossinotambiénentodoelcontinuomediantelospolinomiosde
interpolación característicos del método deelementofinito. Y pudocomprobarse
enelcálculode la densidadde carga, (TABLA 7) quelainberpolaciónconpolinomioa
lineales,pars este problema,resultaunabuenaaproximación.
Ahorabien, si recordamos,lasolución a laecuacióndePoisson-Boltsmann m
obtieneresolviendo un sistema deecuaciones algebráicas no lineales. En este trabajo
utilimrnoa, para resolverdicho sistema, el método deNewton-Raphson y comofunción
deprueba se utilizó la respectivasoluciónobtenidaconelementoFinito a la ecuación
dePoisson-Boltsamannlinegl. kta solución resulb una muy buenaaproximación
a, la solución no lineal,yaqueen l a s cuatrocorridasquerealixamos enpromedio
bastaron 3 iteracionesparaqueladiferenciaentrelasolucióndeentrada y lade
salidafueramenor a IE-O4 , criterio queutilissmoepara la convergencia a la
solución.
1
Hastaeste momentohemoshabladoexclusivamente de la precisih de l o s resultados
53

61. obbnidosconelemento finito en 2 dimenaionea, pero ea deseabíe detodatécnica
numéricaqueeltiempode CPU que requiera sea elmenorposible. Decimos esto
porquemientras una corridautilizandoelmétododeiteraciónde Picard en 1
dimensióneltiempode CPU es delordende10 minutos(CYBER-l73), utilizando
elementofinitoen dos dimensionescon 704 nodosunacorridaocupaaproximadamente
2 horas,queenel caso dePoisson-Boltmnann ese tiempodebemultiplicarsepor
elnúmerode iteraciones. En estos momentos,tal y comotenemos los programas,de
esa8 2 horasel 80% eaocupadoen wndruir el sistema deecuacionesdgebriiccrs.
Es .entonces la dimensionalidaddelsistemadeecuaciones la principaldificultad
encontradaen la tknica de elemenb finitoen 2 dimensiones. Es claroentonces
que la conotruccióndelamallaenelementofinitodebehacerseutilizando al miximo
lasimetriadelproblema. Esto reduceelniímerodenodos y por lo tantoeltiempo
de CPU.
El errornuméricosobrelaequipotencial está determinadoporelnúmerodenodos
sobre ella. Por otraparte, en nuestro m a debido a las limitacionesdememoria
elerrornuméricointroducia una asimetríaficticia en l o s cálculos.Porestemotivo,
parahacermaseficiente la convergenciadelprograma se tomó sobre los nodos de
la equipotencial el valorpromediode cp-
Otramanerade disminuir elnúmerodenodos es utilizar la simetríadelproblema.
Y resolver s610 un cuadranb delplano cartesiano Fig( 3 1 Sinembargo esto será
objetodetrabajoposterior- Para esto es claroque hay quemodificar las condiciones
a la fronteradelproblema,yaque es: necesarioagregarcondiciones a lafrontera
sobre los nuevoscontornosqueforman :los ejes Y y X,estas condicionespuedenser
sobreladerivadanormal ya que p o r lasimetríasabemosqueladerivadanormalen
e m 8 fronteras debe ser cero.
54

62. Y
Fig (33
Si utilizamosloanterior es necesariocambiar las Funcionesdeinterpolación
ya que las funciones lineales queaquíutilizamosno satisfacen dichascondiciones
de frontera.
Resumiendo, es factible aplicarelmétododeelementofinitoutilizandopolinómios
deinterpolaciónlineales y elementostriangularespararesolver las ecuaciones de
Poisson-Boltzamann y Poisson-BoltamannLinealendosdimensionesconuna muy buena
precisión.Debido a lagrandimensionalidaldde los sistemas algebráicosque es necesario
resolver, se requieredeimportantes recursos decómputo.
En futurasaplicacionesdelmétodo, es imporbante bomar en cuentaque para h e r
buenaprecisión, es necexáriograduarlamallademaneraadecuada al problemaque
se quieraresolver.Hemosairendidotambién,que para la precisión es muy importante
queladensidaddenodosenladirecciónangular sea delmismoordenqueenla
direcciónradiaL
Para hacer más eficiente laaplicación de elementofinito ser& necesario buscar
en elproblema a resolveralgunplanode simetría, quehaga disminuir eldominio
deintegración,recordando que entonces es necesarioutilizar otros polinomiosde
interpolación diferentes a lo que aquí empleamos.
55

63. Finalmente es importanteremarcarqueutilislamoselm6tododeElementoFinito
en su forma m& eencilla y creerno0necesarioexplorarGcnicaa mas refinad= para
hacereficiente su aplicacidn a estos proble!mas.

64. .
.
.
.
5 7

65. iae
!
.
58

66. REFERENCIAS.
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