Método de Intersección de dos planos cualesquiera. Caso 1: Intersección de planos dado por dos rectas cualesquiera. Geometría Descriptiva y Pesrpectiva I - III Periodo 2010 UNAH

1. Por Francis Vanessa Valladares1

2. Pasos a seguir:
1. Datos: planos
cualesquiera ABC
y DEF por sus
proyecciones.
Figura 98
a
a´
b
b´
c
c´
e´
e
d
f´
f
d´
Por Francis Vanessa Valladares
2

3. 2. Cortamos los planos
dados por el auxiliar Q´,
éste produce como
intersecciones: 1´2´ en a
´b´c´ que proyectamos
1,2 en abc y 3,4 en def.
a
a´
b
b´
c
c´
e´
e
d
f´
f
d´
Figura 99
Las rectas 1,2 y 3,4 se
cortan en i en
proyección horizontal,
punto cuya
proyección vertical i´
se encontrará sobre el
mismo plano Q´ al
cual lo proyectamos.
Q´
1
1´
4´
4
2´
2
3´
3
ii
i´i´
Por Francis Vanessa Valladares
3

4. 3.Repetimos el
proceso con otro
auxiliar L´
encontrando las
rectas 5,6 y 7,8 que
se cortan en el
punto j, con
proyección vertical j
´ en el plano L´.
Figura 100
a
a´
b
b´
c
c´
e´
e
d
f´
f
d´ Q´
1
1´
4´
4
2´
2
3´
3
ii
i´i´
Los puntos i´i j´j
determinan la recta i
´j´, i j que es la
intersección
buscada.
L´
5´
5
6´
6
7´
7
8´
8
j´j´
jj
Por Francis Vanessa Valladares
4

5. La solución general puede abreviarse si
usamos para los cortes, planos auxiliares
cuyas proyecciones íntegras se
encuentran en algunas de las rectas que
determinan los planos del problema, así
usando el mismo procedimiento,
eliminando las trazas podemos encontrar
una solución más rápida.
Por Francis Vanessa Valladares
5

6.  Aplicaremos este
procedimiento a la
intersección de dos
figuras planas
limitadas y para
comparación
usaremos el mismo
problema del caso
general, asumiendo
que están limitados
dentro de los
triángulos
determinados por los
puntos ABC y DEF.
a
a´
b
b´
c
c´
e´
e
d
f´
f
d´
Figura 101
Por Francis Vanessa Valladares
6

7. a
a´
b
b´
c
c´
e´
e
d
f´
f
d´
1.Por una de las
proyecciones de rectas
conocidas, en este caso
a´b´ hagamos pasar un
auxiliar Q´1 y
determinemos sus
intersecciones con los
dos planos del
problema.
Q´1
1
1´
2
2´
La intersección de Q
´1 con ABC, será la
misma recta a´b´ ,
ab mientras que al
DEF lo corta en d´e´
d´f´ en puntos 1´ y
2´ con proyecciones
horizontales 1 2 en
de, df
respectivamente.
Figura 102
Por Francis Vanessa Valladares
7

8. a
a´
b
b´
c
c´
e´
e
d
f´
f
d´
Q´1
1
1´
2
2´
 Las rectas ab y 1 2,
se cortan en m,
cuya proyección
vertical m´ se
encuentra
necesariamente
sobre la íntegra Q´1
del auxiliar.
m
m´
Figura 102,1
Por Francis Vanessa Valladares
8

9. a
a´
b
b´
c
c´
e´
e
d
f´
f
d´
Q´1
1
1´
2
2´
m
m´
2. Repetimos el
procedimiento,
cortando por otro
auxiliar Q´2
apoyado en la
proyección
vertical e´f´, éste
nos determina dos
rectas en
proyección
horizontal, ef y 3
4 que se cortan en
n con proyección
vertical n´ en Q´2.
4
4´
3
3´
Q´2
n
n´
Figura 102,2
Por Francis Vanessa Valladares
9

10. a
a´
b
b´
c
c´
e´
e
d
f´
f
d´
Q´1
1
1´
2
2´
m
m´
4
4´
3
3´
Q´2
n
n´
 Los puntos m´m y n
´n determinan la
recta m´n´ mn que
es la intersección
entre los dos planos.
Figura 102,3
Por Francis Vanessa Valladares
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11. Intersección MaterialIntersección Material
Cuando los planos dados estén limitados a
una figura cualquiera, en este caso los
triángulos ABC DEF, la línea de intersección
quedará limitada dentro del espacio
común a las dos figuras planas.
Esta porción se llama intersección material
y en montea se define come el segmento
de la recta de intersección, que en las
proyecciones se sobrepone a las de los dos
planos.
Por Francis Vanessa Valladares
11

12.  En la figura es el
segmento m´n´ mn, pues
hacia la derecha de n´´n
la recta sale primero de
la figura DEF y después
de la ABC, en tanto a la
izquierda del punto m´m
la recta sale de ABC y
después de DEF.
 Es evidente que al salir de
una de las figuras, deja
de haber intersección
entre ellas.
Figura 102,4
Por Francis Vanessa Valladares
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13. VisibilidadVisibilidad
Limitada la figura podemos determinar la
visibilidad de la montea, para lo cual
aplicamos el procedimiento anteriormente,
a pares de rectas del problema, que se
cruzan.
Por Francis Vanessa Valladares
13

14. Visibilidad de la
proyección vertical
 Tomando el punto v´, si
referimos el punto a la
proyección horizontal,
encontramos mayor
alejamiento para la recta ab,
por lo que la proyección a´b´
es la visible en ese punto y lo
sería de no encontrar la
intersección material en el
punto m´.
 Así la recta a´b´ al llegar a m´
deja de verse pues pasa
detrás del otro plano, pero es
visible desde el punto 2´
hasta el b.´
Figura 103,1
a
a´
b
b´
c
c´
e´
e
d
f´
f
d´
Q´1
2
2´
m
m´
4´
3´
Q´2
n
n´
v´
Por Francis Vanessa Valladares
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15.  Repitiendo el proceso,
tomemos el punto t que
cruza las rectas bc y ef
que referido a la
proyección vertical, nos
señala la mayor altura
para la recta cb, ésta es
visible en sus dos
extremos b y c ya que no
toca en ningún punto la
intersección material:
toda ella está sobre el
plano def.
Visibilidad de la
proyección horizontal
a
a´
b
b´
c
c´
e´
e
d
f´
f
d´
Q´1
2
2´
m
m´
4´
3´
Q´2
n
n´
v´
t
Figura 103,2
Por Francis Vanessa Valladares
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16.  Una proyección
isométrica nos
presenta en el
espacio, el
aspecto de la
intersección de
los dos planos.
Por Francis Vanessa Valladares
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17. Conclusiones
 Existen diversos procedimientos que podemos utilizar
para conocer el aspecto de intersecciones de planos en
el espacio guiándonos por sus proyecciones vertical y
horizontal en montea.
 Utilizando rectas auxiliares cualesquiera podemos
determinar los puntos de intersección entre dos planos
de manera relativamente sencilla y precisa.
 En las proyecciones, al encontrar los puntos de
intersección y proyectando rectas que toquen a ambos
planos, podemos determinar la altura y el alejamiento
máximos que existen entre los dos planos en sus
proyecciones vertical y horizontal.
Por Francis Vanessa Valladares
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