Tarea 2 de la materia Geometría, realizada por estudiantes de 1er año de profesorado de Matemática del CeRP del Este. Repartido obtenido de la página: http://www.depdematematica.org/ipa/sitio/login/index.php

1. Tarea 2
Grupo 3
Berni, Tamara
Creciente, Jhonny
Sosa, María
Vaz, Angi
1ero B
CeRP del Este
Julio-Agosto 2020

2. Halla la imagen de P, Q y r en la isometría directa que
transforma la semirrecta Ax en A’x’.
Desplazamiento 1: Ej ⑤

3. Teórico
utilizado:
Punto v del
axioma métrico.
Postulado i de
Euclides
Imagen:

4. Construcción:
Isometría directa
Se trasladó la distancia del punto A al
punto P hacia el punto A’ para hallar P’
Conserva formas
y distancias
Para hallar Q’ se consideraron 2 distancias,
AQ y PQ para ser trasladadas a A’x’

5. Se utiliza el punto v del axioma métrico, ya que dada una semirrecta, existe un solo
punto que se encuentra a una determinada distancia del punto de origen

6. Continuando la idea anterior, se halla la imagen de r
mediante hallar otro punto R que pertenezca además de P
Para que el punto R sea invariable con respecto a A y A’,
lo consideramos el punto de intersección entre AA’ y r

7. Se utiliza el postulado i de Euclides ya que dados dos puntos se puede
construir solo una recta que los contenga a ambos, por lo tanto con
tener dos puntos que pertenecen a r’ es suficiente.

8. Se dan dos rectas a, b y un punto P que no pertenece a ninguna de ellas.
Construye un triángulo (PMN) equilátero tal que M∈a y N∈b
Considera dos casos:
i) a ∥ b
ii) a y b secantes.
Desplazamiento 2: ⑤ p. 1

9. Algoritmos de construcción
Para a y b secantes:
1. Trazo a y b dos rectas no paralelas
2. Considero un punto {P} / {P} ∉ a ∧ {P} ∉ b
3. Trazo RP, 60°, antihorario de la recta a, llamese
a’
4. a’ ∩ b = {N}
5. Trazo C(N, NP) C1(P, NP)
6. C ∩ C1 ∩ a = {M}
7. Trazo ΔMNP
Para a ∥ b
1. Trazo a ∥ b
2. Considero un punto {P} / {P} ∉ a ∧ {P} ∉ b
3. Trazo RP, 60°, antihorario de la recta a, llamese
a’
4. a’ ∩ b = {N}
5. Trazo C(N, NP) C1(P, NP)
6. C ∩ C1 ∩ a = {M}
7. Trazo ΔMNP

10. Pasos 1 y 2: Pasos 3 y 4: Pasos 5 y 6:
Proceso de Construcción de ΔMNP
para a ∥ b

11. Proceso de Construcción de ΔMNP
para a y b secantes
Pasos 1 y 2: Pasos 3 y 4: Pasos 5 y 6:

12. a y b secantesa ∥ b

13. Justificación:
Ambos procedimientos cumplen con la consigna ya que:
● La distancia de la recta a y P, y de su imágen a’ y P, es la misma, por lo
tanto M y N deben pertenecer uno a cada recta.
● Si a’ ∩ b = {N}, entonces se puede confirmar que N∈a’ y por lo tanto le
corresponde un punto en a el cual tiene la misma distancia hacia P.
● El triángulo formado por PMN es equilátero dado que los lados se forman a
partir de los radios de dos circunferencias de igual radio entre sí
● El punto M
○ Es aquél que le corresponde a N en la recta a.
○ Se encuentra a la misma distancia de P y de N.

14. Desplazamiento 2: ⑩ p. 3
Se considera:
(ABC) equilátero
antihorario de
circuncentro O.
a) Halla la imagen de (ABC) en cada una de
las isometrías que siguen: e, f, g, h, h, k, m, n.
b) ¿Qué punto(s) del triángulo (ABC) está(n)
a menor distancia de su imagen? ¿Y a mayor
distancia?
c) Expresa cada una de las isometrías de la
parte a) en su forma canónica.

15. Imagen de ABC en la función e
Puntos de ABC
a mayor distancia de A’B’C’:
A Y C
Puntos de ABC
a menor distancia de A’B’C’:
B
Parte b):
Parte c):
Expresión canónica
de la isometría:
RB, 120º, Antihorario
e : π ⟶ π / e = SAB o SBCParte a):
i

16. Imagen de ABC en la función f
Expresión canónica
de la isometría:
RB, 120º, Horaria
Puntos de ABC
a mayor distancia de A’B’C’:
A y C
Puntos de ABC
a menor distancia de A’B’C’:
B
Parte b):
Parte c):
f : π ⟶ π / f = SBC o SAB
Parte a):
ii

17. Imagen de ABC en la función g
Puntos de ABC
a mayor distancia de A’B’C’:
B
Puntos de ABC
a menor distancia de A’B’C’:
A y C
Parte b):
Parte c):
Expresión canónica
de la isometría:
RA, 60º, Antihorario
g : π ⟶ π / g o SAO = SAC
g = SAC o SAO
Parte a):
iii

18. Expresión canónica
de la isometría:
SAB
Puntos de ABC
a mayor distancia de A’B’C’:
C
Puntos de ABC
a menor distancia de A’B’C’:
A y B
Parte b):
Imagen de ABC en la función h
Parte c):
h : π ⟶ π / h = SOB o R B, 60°, horario.
Parte a):
iv

19. Imagen de ABC en la función j
Expresión canónica
de la isometría:
RO, 120°, Horario.
A y B´, B y C´, C y A´,
están unidos
Parte b): Parte c):
j : π ⟶ π / j = RB, 60°, horario o RA, 60°, horario
Parte a):
v

20. Imagen de ABC en la función k
Expresión canónica
de la isometría:
RA, 120º, Horario
Puntos de ABC
a mayor distancia de A’B’C’:
B y C
Puntos de ABC
a menor distancia de A’B’C’:
A
Parte b):
Parte c):
k : π ⟶ π / RB, 120°, horario o k = RC, 120°, antihParte a):
k = RB, 120°, AH o RC, 120°, AH
vi

21. Imagen de ABC en la función m
Expresión canónica
de la isometría:
RO, 60°, Antihorario.
Todos se encuentran a
igual distancia de A’B’C’.
Parte b): Parte c):
m : π ⟶ π / RO, 60°, antih o RO, 240°, horario o m = RO, 120°, horario
Parte a):
m = RO, 60°, AH
vi
i

22. vi
ii
Imagen de ABC en la función n
Expresión canónica
de la isometría:
CD / D = AA’ ∩ CC’
Puntos de ABC
a mayor distancia de A’B’C’:
B
Puntos de ABC
a menor distancia de A’B’C’:
A y C
Parte b):
Parte c):
n : π ⟶ π / SAC o n o RC, 90°, horario = SAO o RC, 30°, antih
Parte a):
n = SAC o SAO o RC, 120°, AH

23. Desplazamiento 2: 5? p. 6
Considera que la figura se extiende indefinidamente en ambos
sentidos a lo largo de la misma formando una franja infinita.

24. 1)
a) Marca en la figura (recuerda que se extiende indefinidamente) los ejes de simetría que hacen
que la figura se transforme en sí misma.
b) Si compones (si aplicas una y a lo que obtienes le aplicas la otra) dos simetrías axiales
contiguas ¿qué efecto genera dicha composición sobre cada punto de la figura?
c) ¿Puedes establecer un vínculo entre la composición de dos simetrías axiales de ejes
paralelos y la función que definiste en 4? ?
d) La función que definiste en 4?, ¿podrías expresarla como composición de simetrías
axiales?. Explica.

25. Dos posibles ejes
de simetría que nos dan
dos posibles
imágenes
1) a) Marca en la figura (recuerda que se extiende
indefinidamente) los ejes de simetría que
hacen que la figura se transforme en sí misma.

26. b) Si compones (si aplicas una y a lo que obtienes le aplicas la otra) dos simetrías
axiales contiguas ¿qué efecto genera dicha composición sobre cada punto de la figura?
1)
La segunda simetría axial
tiene el mismo sentido que
la figura original
Esta propiedad no se ve en
la imágen del ejercicio, ya
que la propia imagen es
simétrica

27. 1) c) ¿Puedes establecer un vínculo entre la composición de dos
simetrías axiales de ejes paralelos y la función que definiste en 4? ?
Dos simetrías
axiales paralelas
Sa y Sb
Tv / v = 2 d(a,b)

28. La doble
simetría y la
traslación
coinciden
A’’ y A’1
B’’ y B’1
C’’ y C’1
D’’ y D’1
E’’ y E’1
Verificación en Geogebra: https://www.geogebra.org/geometry/ejz6hrtz

29. 1) d) La función que definiste en 4?,
¿podrías expresarla como
composición de simetrías
axiales?. Explica.
Traslación: Tu
u
u / u = ø
ø
Dados dos ejes de
simetrías axiales
paralelos:
Sa o Sb /
ø
ø
b a
b a
b ⊥ u ∧ b es
tangente a la figura
original según el sentido
y la dirección de u.
a ∥ b ∧ a divide
a la mitad la imágen que
da b

30. a) ¿Podrías ahora encontrar una definición alternativa para la
traslación? Enúnciala.
b) Según esta definición, ¿la traslación es una isometría? Justifica.
c) ¿Es equivalente con la definición elaborada en la actividad 4??
Justifica.
2)

31. a) ¿Podrías ahora encontrar una definición alternativa para la traslación? Enúnciala.2)
Se puede definir como una
doble simetría axial:
Dada una traslación:
Tv / v = AB
Se puede definir como:
Sa o Sb / 2 d(a,b) = AB
ab debe mantener igual
sentido que AB

32. b) Según esta definición, ¿la traslación es una isometría? Justifica.2)
Doble simetría axial: Sa o Sb
b a
Se conoce que la
simetría axial
mantiene las
medidas pero
invierte el sentido.
Al realizar una
segunda simetría,
se vuelve a invertir
el sentido.
La segunda simetría, tiene el mismo sentido que
la figura original.
Figura
Original
Traslación /
Doble
Simetría Axial

33. c) ¿Es equivalente con la definición elaborada en la actividad 4?? Justifica.2)
Definición de traslación de 4?:
Dado u con determinado sentido,
módulo y dirección en el plano:
f: π ⟶ π / f (P) = P’
donde la semirrecta PP’ ∥ u y
tiene igual sentido.
Definición de traslación en 2) a):
Sa o Sb / 2 d(a,b) = AB
a ∥ b ∧ b ⊥ AB

34. ø
ø
b a
b a
u
u / u = ø
ø
Recordando la situación
de la parte 1) d)
Se puede asumir
que la definición
planteada es
equivalente, ya que
verifica las
transformaciones
en el plano.
Tu
Sa o Sb

35. 1ero B
Julio-Agosto 2020
CeRP del Este