Flexion variable

1. FLEXION VARIABLE

2. Comencemos analizando el comportamiento de una barra
alternativa 1 (sección maciza) alternativa 2 ( 3 tablas)
L
d
b
L
d/3
b
Aplicamos una carga P y observemos las deformaciones en c/u.
En la barra conformada por 3 tablas se aprecia un “escalonamiento”
Cada barra tiene 2 tensiones s+ y s- Una fibra se alarga y la contigua se acorta
P P
Desplazamiento relativo entre fibras Produce el “escalonamiento”

3. Determinemos el máximo valor de P en ambas casos
alternativa 1 (sección maciza)
L
+
Mmax = P.L / 4
M
-
+
d
x
-
+
sx
sadm ≥ smax = Mmax . ymax / Jy
smax =
P.L / 4 . d / 2
b d / 12
3
=
12 P.L
8.b d
2
PM = sadm
L
b d
2
alternativa 2 ( 3 tablas)
Planteamos un modelo matemático
Cada tabla recibe 1/3 de P
b
y
smax =
(P/3).L / 4 . (d/3)/.2
b (d/3) / 12
3
=
9 P.L
2.b d
2
L
P
+
Mmax = (P/3).L / 4
+
+
+
3
2
PT = sadm
L
b d
2
9
2

4. ¿Cuál barra se comporta mejor a flexión?
La barra maciza, porque para una misma acción soporta 3 veces más carga
¿Cómo logro una barra maciza cuando tengo 3 tablas separadas?
Pegando dichas tablas Vinculando dichas tablas
Al poner vínculos estamos en presencia de fuerzas (reacciones de vínculos)
Son vínculos continuos entre las tablas, aparecen tensiones tangenciales
Tensiones tangenciales de resbalamiento

5. Teoría de JOURAVSKI
Analicemos una viga simplemente apoyada
Qz
+
-
dx
L
q
+ My
z
x
y
Separemos una rebanada elemental para su análisis
Vista lateral de la rebanada
dx
Qz+dQz Qz
My
My +dMy
q
Planteemos las ecuaciones de equilibrio
∑Fy= Qz – (Qz + dQz) + qy dx = 0
qy= - dQz / dx
∑My = -(Qz + dQz).dx + qy dx/2 – My +(My +dMy) = 0
G 2
Despreciamos infinitésimos de 2do. orden
Qz= dMy / dx
z
x
y
dx
Qz+dQz
My +dMy
My
Qz
q
G

6. Analicemos las tensiones normales Cortamos una rebanada paralela a xy
dx
x
+
+
sx = sx + dsx =
(My + dMy) . z
Jy
My . z
Jy
z
F2
F1
dH
dH
dx
Qz+dQz Qz
My
My +dMy
q
x
z
- -
+
+
sx = sx + dsx =
(My + dMy) . z
Jy
My . z
Jy
z
x
y
G
F2
F1
dH
dH
F*
z
x
y
G
Determinamos F1 y F2 fuerzas dadas por el volumen de sx sobre el área F*
F1 = ∫ sx .dF F2 = ∫ ( sx + dsx ) .dF dH = F2 - F1
z
x
y
G
dx bz
F* F*

7. Destaquemos este concepto :
si no hay Flexión Variable no hay Corte
F1 ≠ F2
es decir,
dMx ≠ 0
dMx ≠ 0
genera dH (Reacción de Vínculo Interno entre las partes que hemos separado)
dsx ≠ 0
Qz =
dMx
dx
Desarrollemos matemáticamente Jouravsky
∑Fx = 0 dH = F2 - F1 ∫ ( sx + dsx ) .dF - ∫ sx .dF
F*
dH =
F*
dH = ∫ dsx .dF = ∫
F*
dMy
Jy
z. dF Flexión considerando a y como LN (línea neutra) y como
EPI (eje principal de inercia). De no cumplirse esta condición
deberá usarse la solución general propuesta por Timoshenko
dH =
dMy
Jy
F*
∫
F*
z. dF a lo largo de la rebanada dMy ≡ cte y Jy ≡ cte
SLN
F* Momento estático de la sección F* (sección que tiende a resbalar)
con respecto a la Línea Neutra
dH =
dMy
Jy
SLN
F*

8. Hipótesis Simplificativa de Jouravsky
dx
bz
x
y dH
F* Jouravsky, al ver que se desconoce las leyes de
variación de t en el área dx . bz (donde actúa dH)
supuso t uniforme
t uniforme = t media en el área dx .bz
dH = tzx . bz . dx =
dMy
Jy
SLN
F*
dMy
Jy
SLN
F*
tzx =
dx
1
bz
Qz
tzx = txz =
F*
Qz . SLN
Jy . bz
z
y
z
x
zx
txz
Por Cauchy tzx = tzx
Expresión clásica de Jouravsky
tzx = txz =
F*
Qz . SLN
Jy . bz

9. Barra de Sección Rectangular
txz =
Qz . SLN
Jy . bz
txz =
Qz . b. ( d/2 – z) . [ z + (d/2 – z )/2 ]
b . d
b
12
3
txz =
12.Qz . ( d/2 – z) ( z + d/4 – z/2 )
b . d 3
12.Qz . ( d/2 – z) . (d/4 + z/2 )
b . d 3
=
txz =
6.Qz ( d/2) – z
2
[ ]
b . d3
Ecuación Cuadrática de 2° Grado – Distribución parabólica
Para z = d/2 txz = 0 Verifica Cauchy
Para z = 0 txz = 6.Qz
4.b.d
=
3.Qz
2 .F
z
x
y
G
b
d
z
z
z
y = LN d
G
d/2 - Z
tmax 
  Q/F
t  
t  
50 % mayor que haber considerado una distribución uniforme t = Q / F
Jy . bz
txz =
Qz . SLN
txz =
Jy . bz
txz =
Qz . SLN
Jy . bz
txz =

10. Analicemos como establecemos el signo de la tensiones
Q
b
d
1. Sobre la sección actúa un corte
Q
dx
Q
dx
Q
dM
Q
dM
b
d
5. Separamos una rebanada
6. La integración de las tensiones normales generadas por el dM sobre el F* dan un dF
7. Las tensiones de resbalamiento equilibran el dF
8. Por Cauchy aparecen las tensiones sobre la cara sombreada
2. En la cara de posterior de la rebanada elemental actual un corte igual pero de signo contrario
3. Se genera una cupla entre ambos cortes
4. Se equilibra con el dM
F*
dx b
d
dF
txz
tzx

11. z
y G
  t
Limitaciones de la fórmula de Esfuerzo Cortante
En la línea 1-1 suponemos tensiones t uniformes
La distribución real de las tensiones se originan en una
solución de la Teoría Matemática de la Elasticidad
Para barras esbeltas h >> b podemos aceptar t uniforme.
Para h > 2.b tmáx es un 3% mayor t uniforme (Jouravsky)
P
h
b = 4.h
h
b = 4.h
P
t(LN)prom
t(LN)máx 
t(LN)prom
h
b = 0,5.h
t(LN)máx 
t(LN)prom
h
b = 0,5.h
t(LN)prom
Efecto de la forma transversal

12. Sección Simétrica de Contorno Curvilíneo
A B
t
Qz
t
Analizamos un cubo elemental en el punto A
tn = 0 porque es una superficie exterior libre de esfuerzos
tt
tn
tn = 0
t
t debe ser considerada una tensión componente
t resultante tiene que resultar tangente al contorno
Adoptamos una ley de variación lineal para txy,
lo que equivale a que las tensiones resultantes
concurren al punto M
Qz
t
A B
t
M
txy  +
Determinamos las tensiones en la línea AB
Qz . SLN
La tensión calculada t admite una componente
tangencial al contorno tt y una normal tn
Por Cauchy aparecen tensiones
en las restantes caras del cubo
Jy . bz
txz =

13. Sección circular
z
y
z
R
bz
A B
txz
t
txy
bz 2 R
2
z
2

z
y
z
bz 
d
b
dSy b 
 d
 Jy
 R
4

4
Sy
z
R

b 




d
z
R

2 R
2
z
2
 




d
Sy
2
3
R
2
z
2

 
3
2

t xz
Q
2
3
 R
2
z
2

 
3
2

2 R z

( )
1
2  R
4

4

t xz
Q Sy

bz Jy

t xz
4Q R
2
z
2

 

3 R
4

t max
4Q
3 R
2

4
3
Q
F

33,3 % mayor que haber considerado
una distribución uniforme t = Q / F
Las tensiones halladas son resultantes únicamente para z = 0
Para otro z ≠ 0 existe la componente txy que muestra la figura

14. Efecto de la longitud de la viga
Alabeo de la sección solicitada a flexión y corte

15. Perfil doble T
Determinamos las tensiones tangenciales t
Q Sn

b Jn

t en el alma
z
y = LN
G
b
Qz
d
e
t
z
dx
Q
dM
Q
dsx. dF
tzx. b. dx
tzx
Qz
e Jn

Sn
Sn b t

d
2
t
2








d
2
t
 z







e
 z
1
2
d
2
t
 z







+







+
txz es parabólica
para z = d/2 - t
para z = 0 tmax
Qz
e Jn

b t

2
d t

( )

d
2
t







2
e

+







txz
Qz
e Jn

b t

2
d t

( )








z
y G
Qz
tmax
txy
Sn b t

d
2
t
2








d
2
t







2
z
2







e

+
para z = d/2 - t
para z = 0
txz es parabólica
txz es parabólica
txz es parabólica
txz es parabólica

16. Si extendemos la validez de la expresión txz en las alas
El salto que se observa es proporcional a la relación
entre el ancho del ala b y el ancho del ala e
A lo largo de toda la fibra A-A, tendremos t → por Cauchy
en la cara inferior del ala aparecen t → Incompatible
Las tensiones txz en las alas varían en forma parabólica,
anulándose en el borde superior e inferior
Para el resto del ala podemos adoptar una
aproximación lineal
z
y G
Qz
tmax
txz
e
A A
+
z
y
Qz
tmax
txz

17. Determinamos las t en el ala
txy
Qz
t Jn

Sn

dx
Q
dM
Q
dsx.dF
tyx.b.dx
Sn t
b
2
y








d
2
t
2








para y = b/2
txy es lineal
txy 0
z
y = LN
G
b
Qz
d
t
y
b/2 - y
d/2 - t/2
Adoptamos una variación lineal
para y = e/2 tmax
El momento estático de ½ figura respecto de la LN es 0
z
y = LN
-
+
-
+
txy
z
y = LN
G

18. Flujo cortante
f = t  e
El flujo cortante de las dos mitades del ala superior
es igual al flujo entrante en el alma y viceversa
Aparece concentración de tensiones en el
cambio de dirección
Verificamos las ecuaciones de equivalencia
Qy = ∫ txy  dF = 0 Qz = ∫ txz  dF
Calculando integrales parciales en la
sección transversal del perfil, obtenemos:
Qz
∫
∫
Qy ≈ H1t – H1t + H2t – H2t = 0
Qz ≈ He= ∫ txz . dF
Aproximado por la superposición de áreas
Calculamos el Momento Torsor Baricentrico
Mx = ∫ (txy . z – txy . y) . dF = 0
xy
H H = t .dF
1t 1t
t
db
H2t H
Ft/2
G
xz
H = t .dF
e Fe
e
dh
Se cumple las ecuaciones de equivalencia

19. Ejercicio n°1
L = 4m
P = 5000 kg
2500 kg
2500 kg
x
z
y
+
- 2500 kg
2500 kg
Qy
+
5000 kg.m
Mx
Datos: sadm = 1400 kg/cm2
M = 5000 kg.m
W nec = 500000 kg.cm/1400 kg/cm2 = 357 cm 3
De la tabla Wx = 354 cm3
S11 = (10 . 2 . 11 + 10 .1 . 5) cm² = 270 cm²
PN N° 24
2°) Verifico al Corte
Qz . SLN
Jy . bz
txz =
t = 13,1 mm
e = 8,7 mm
b = 106 mm
G
n n
Jnn = 4250 cm²
1
1
Rectificamos el perfil
(simplificamos)
12 cm
10 cm
2 cm
1 cm
2
2
3
3
S33 = 4,5 . 2 . 11 cm² = 99 cm²
S22 = 10 . 2 . 11 cm² = 220 cm²
t = 2500 kg / 4250 cm4  SLN / bz
t = 0,6 kg/cm4 . SLN / bz
1°) Dimensiono a Flexión con un perfil

20. 12 cm
10 cm
2 cm
1 cm
1
1
2
2
3
3
S11 = 270 cm²
S33 = 99 cm²
S22 = 220 cm²
t = 0,6 kg/cm4 . SLN / bz
t11 = 0,6 kg/cm4 . 270 cm² / 1cm = 162 kg/cm²
t22 = 0,6 kg/cm4 . 220 cm² / 1cm = 132 kg/cm²
t33 = 0,6 kg/cm4 . 99 cm² / 2cm = 30 kg/cm²
txz = 132 kg/cm²
txz = 162 kg/cm²
sx = 1400 kg/cm²
Qz = 2500 kg
+
-
Mx = 5000 kg.m
txy = 30 kg/cm²
En barras esbeltas es preponderante
la Flexión frente al Corte
L = D
Barra NO esbelta
D
L = D
P

21. Ejercicio n°2 Cortante en vigas compuestas Una viga cajón armada
clavando 4 tablones
Datos:
sadm Mad = 80 kg/cm²
tadm Mad = 5 kg/cm²
tadm Clavo = 600 kg/cm²
1°) Verificamos a Flexión M = 375 kg.m
J = 7187,5 cm4 smax = 52,17 kg/cm²
2°) Verificamos al Corte Q = 250 kg 1 1
S11 = (10 . 2,5 . 8,75 + 2 . 10 . 2,5 . 5) cm3 = 468,75 cm3
tmax =
250 kg. 468,75cm3
7187,5 cm4 . 2.e
e
e
= 3,26 kg/cm²
1"x 4"
1"x 8"
15 cm
e = 2,5 cm
3 m
s
20 cm
P = 500kg
z
y
2 2
S22 = 10 . 2,5 . 8,75 =218,75 cm3 t22 = 1,52 kg/cm²
3
3

22. No obstante, podría considerarse que las tensiones de resbalamiento en el corte
superior e inferior son distintas de cero, pero con signos opuesto
z
y
t33 = 0
z
y
S33 = 0
Si planteamos Lím
Dy 0
SLN
F*
= 0 t33 = 0
Q = 250kg
3°) Calculamos la cantidad de clavos
2,5 cm
10 cm
150 cm
Determinamos la fuerza de corte en la mitad de la luz de la viga
Fc = t22 . 2,5 cm . 150 cm
Adoptamos un clavo: Longitud y Calibre: 2” x 14
Ø = 2,11 mm Ωclavo = 0,035 cm²
Fc = n°clavos . Ωclavo . tadm clavo
Despejamos el número de clavos: n°clavos Determinamos la separación entre los mismos: s
Aclaración: como el corte es constante en cada mitad de la viga
se puede emplear una separación constante entre los clavos,
caso contrario deberá ser variable la separación.

23. Ejercicio n°3 Tensiones principales en flexión y corte
Analicemos una barra de sección rectangular
s3 s1
P
P
3
s1
s3
s3
s1
sx
B
sx
sx s
t
txz
txz
sx
sx
txz
txz
x
z
P
P
P
1
txz
txz
txz
x
P
z
s1
s3
PP3
s1
s1
s3
s3
C
s
t
Estudiamos los puntos indicados
sx
sx
s3
s3
sx
A
sx
sx=s s1=s s
t
D
E
z
y
L
q
+
+
-
M
Q
z
y
b
h
Q
M
A
B
C
-
+
sx
txz

24. sx
D
sx
sx s
t
txz
txz
sx
sx
txz
txz
x
z P
s3
s1
s3 s1
PP3
P
P
1
s1
s3
s3
s1
s1
s3
D
s1
E s1
s3
s3
A
s1
s3
s3
s1
B
s1
s1
s3
s3
C
Agrupamos los resultados Representamos las direcciones de las
tensiones principales en la viga
Para la sección del medio las
tensiones principales son
horizontales porque el corte es 0
Las direcciones de la 3er. Sección
estudiada resultan espejadas de la
1era. sección
Uniendo las direcciones principales,
obtenemos la trayectoria de
tensiones denominadas isostáticas.
Isostática de compresión
Isostática de tracción
Si la barra es de hormigón debemos colocar
armadura para tomar la tracción

25. Deformación por Corte
Analizamos una faja elemental solicitada por Corte dw
txz
dx
dy
dz
tzx.dx.dy
txz.dy.dz
xz.dx
Q
Q
dx
dw
Le = Li
Aceptando Linealidad Mecánica
Planteamos el trabajo interno de un cubo elemental
t

G
Existe una variación entre el instante inicial con
la estructura descarga hasta la carga de servicio
d Li = ½ .∫ txz.dy.dz . xz.dx = ½. Qz. dw = d Le
½ .∫ .dy.dz .dx = ½. Qz. dw
G
txz²
F
F
Reemplazo txz por la expresión de Jouravsky
dw
dx = ∫F
Qz² . (Sn )²
F*
b² . Jn²
= ∫F
Qz
G
(Sn )². dF
F*
b² . in . F²
4
radio de giro in² = Jn /F
Finalmente dw
dx
=
Qz
G.F
ky
(Sn )². dF
F*
b² . in . F
4
ky = ∫
F
factor de forma de la
deformación por corte
G.Qz
dF

26. (Sn )². dF
F*
b² . in . F
4
ky = ∫F
Factor de forma de la
deformación por corte
ky =
L . L²
L² .L .L²
6
4 = adimensional

27. Centro de Corte
Determinamos las tensiones tangenciales según el planteo de Jouravsky