Se estudia el modelo de gravedad cuántica propuesto por Petr Horava en [1, 2]. Esta teoría cuántica de campos gravitacional, presenta escalamiento anisotrópico entre espacio y tiempo, con exponente dinámico crıtico z = 3. La teoría describe gravitones no relativistas interactuantes para distancias cortas y se caracteriza por ser renormalizable por conteo de potencias en 3 + 1 dimensiones (ADM).

1. MODELO DE GRAVEDAD CUA´ NTICA DE HORˇ AVA-LIFSHITZ SIN
INVARIANZA DE LORENTZ
Y. Bonilla
Grupo de Gravitaci ´on, Universidad del Valle, A.A. 25360, Cali, Colombia.
yohana.bonilla@correounivalle.edu.co
Resumen
Se estudia el modelo de gravedad cu´ antica propuesto por Petr Hoˇrava en [1, 2]. Esta teor´ıa
cu´ antica de campos gravitacional, presenta escalamiento anisotr ´opico entre espacio y tiem-po,
con exponente din ´amico cr´ıtico z = 3. La teor´ıa describe gravitones no relativistas in-teractuantes
para distancias cortas y se caracteriza por ser renormalizable por conteo de
potencias en 3 + 1 dimensiones (ADM), pero abandona la invarianza de Lorentz como una
simetr´ıa fundamental en altas energ´ıas [1]. Para grandes distancias (infrarrojo), la teor´ıa
fluye naturalmente al valor relativisita z = 1, recuperando la invarianza de Lorentz. Por lo
tanto, puede servir como una candidata posible para la completez UV de la Teor´ıa de la
Relatividad General (RG), en el sentido de renormalizaci ´on, o su modificaci´on infrarroja (IR).
Aqu´ı se exponen algunos de los aspectos b´asicos del modelo y sus resultados.
1. Introducci ´on
EN QFT, el obst´aculo principal en contra de la renormalizabilidad perturbativa de la teor´ıa
de la Relatividad General (RG) en 3 + 1 dimensiones [3, 4], radica en que la constante
de acoplamiento gravitacional GN es dimensional, con dimensi´on negativa [GN]= - 2 en
unidades de masa (para ~ = c = 1, GN t 6; 7 1039GeV2) [4]. Para obtener la teor´ıa
gravitacional renormalizable por conteo de potencias en el UV, se introduce el escalamiento
anisotr ´opico entre espacio y tiempo, medido por z [1].
El modelo se inspira en los m´etodos implementados en la teor´ıa de sistemas din ´amicos
cr´ıticos [6, 7] y criticalidad cu´ antica cuyo prototipo, es la teor´ıa escalar de Lifshitz en D + 1
dimensiones caracterizada por la acci ´on [8]:
S0 =
Z
dtdDxf(_ )2 (4)2g; (1)
que describe un “campo libre de punto fijo” con escalamiento anisotr ´opico, z = 2 y 4 es el
laplaciano espacial. Adicionando a la acci ´on la deformaci´on:
c2
Z
dtdDx@i@i (2)
la teor´ıa fluye en el infrarrojo a z = 1, surgiendo la invarianza de Lorentz como una simetr´ıa
accidental [1, 9]. El modelo gravitacional de Hoˇrava, a´un siendo fundamentalmente no rela-tivista
en el UV, describe polarizaciones propagantes de la m´ etrica [1]. Restaurando los
factores expl´ıcitos de la velocidad de la luz, el propagador para los gravitones toma la forma
[1],
1
!2 c2k2 G(k2)z ; (3)
En el escenario de altas energ´ıas el propagador del gravit ´on es dominado por el t ´ ermino
anisotr ´opico 1=(!2 G(k2)z), c2k2 es importante solo para las energ´ıas m´as bajas y surge
de una deformaci´on relevante del punto fijo UV, con c una constante de acoplamiento dimen-sional.
El propagador (3) es reproducido por la resumaci´on del propagador de altas energ´ıas
en la teor´ıa deformada [1],
1
!2 c2k2 G(k2)z =
1
!2 G(k2)z +
1
c2k2 1
!2 G(k2)z !2 G(k2)z + ::: (4)
2. Descripci ´on General
2.1 Gravedad con escalamiento anisotr ´ opico
Se define la teor´ıa en una variedad espacio temporalMfija, con coordenadas
(t; x) (t; xi); i = 1; :::D; (5)
Desde el formalismo de descomposici´on ADM se utilizan los campos cu´ anticos: gij (de sig-natura
(+,...,+)) en , N (lapse) y el vector Ni (shift), dando el elemento de l´ınea,
ds2 = N2c2dt2 + gij(dxi Nidt)(dxj Njdt); (6)
Las teor´ıas del tipo Lifshitz exhiben puntos fijos con escalamiento anisotr ´opico del tipo:
x ! bx; t ! bzt: (7)
El “exponente din´amico cr´ıtico” z, est ´a asociado con un punto fijo del grupo de renorma-lizaci
´on (GR) (“Renormalization Group”) [1]. El prototipo de una teor´ıa cu´ antica de campos
con exponente cr´ıtico no trivial z 1, es la teor´ıa de un escalar de Lifshitz (x; t) en D + 1
dimensiones [1, 7, 8]. En su representaci´on m´as sencilla, con z = 2, la teor´ıa est ´a descrita
por la acci ´on (1). Para que los dos t ´ erminos en la acci ´on (1) escalen de la misma manera
se asignan las dimensiones [xi]= 1, [t]= 2. Para S adimensional [] = (D 2)=2, y conse-cuentemente
la dimensi´on cr´ıtica (m´as baja) se desplaza, del valor relativista 1 + 1, a 2 + 1
cuando z = 2 [2, 10].
2.2 Simetr´ıas y versi ´on Proyectable de la teor´ıa
En (7) la dimensi´on temporal tiene un papel privilegiado, as´ı la variedad espacio temporal
M, posee la estructura adicional de una foliaci ´on F de codimensi´on uno [1], con hojas
(hipersuperficies) de tiempo constante. Las transformaciones de coordenadas adaptadas a
la foliaci ´on son:
~xi = ~xi(xj; t); ~t = ~t(t): (8)
as´ı las funciones de transici ´on son diff., preservando la foliaci ´on, con DiF(M) el grupo de
diff., espacio temporales que respetan la foliaci ´on preferencial Fc1 y sus generadores [1]:
t = f(t); xi = i(t; x): (9)
Asumiendo que N(t) es una funci ´on del tiempo, constante en 1 se obtiene la teor´ıa de
gravedad proyectable [10].
2.3 Din´amica de la teor´ıa proyectable
Se define la teor´ıa cu´ antica de campos para la gravedad, por medio de la integral de camino:
Z
Dgij DNiDN expfiSg: (10)
Donde S es la acci ´on m´as general compatible con los requerimientos de simetr´ıas gauge
y restringida por la unitariedad de la teor´ıa [1]. En los ´ordenes m´as bajos en las derivadas
temporales, la din ´amica de la teor´ıa proyectable, se describe por la acci ´on [1],
S =
2
2
Z
dt dDx
p
g N
KijKij K2 V
; (11)
donde
Kij
1
2N
g_ij riNj rjNi
(12)
es la curvatura extr´ınseca de , K = gijKij, y son constantes de acoplamiento adimen-sionales,
y el t ´ ermino potencial V es un funcional escalar invariante bajo DiF(M) construido
a partir de la m´ etrica gij, su tensor de Riemann Ri
jk` y las derivadas covariantes espaciales.
[] =
z D
2
: (13)
representa una constante de acoplamiento din ´amica sujeta a correcciones cu´anticas, con
= 1 para RG. T´ erminos potenciales, son independientes de las derivadas temporales [1].
2.4 Teor´ıa UV con Balance Detallado
Se impone la condici ´on de simetr´ıa de balance detallado que limita el n´umero de constantes
de acoplamiento independientes, al elegir los t ´ erminos potenciales que implica:
SV =
2
8
Z
dt dDx
p
gN EijGijk`Ek`; (14)
y que Eij provenga de un principio variacional v´ıa la relaci ´on:
p
gEij =
W[gk`]
gij
(15)
para alguna acci ´on D-dimensional W. En (14) Gijk`, denota la inversa de la m´ etrica de
De Witt
Gijk` =
1
2
gikgj` + gi`gjk
gijgk` (16)
Si z = 3 para 3 + 1 dimensiones, Eij debe ser de tercer orden en las derivadas espaciales.
Un candidato para este objeto es el tensor de Cotton [1];
Cij = ik`rk
Rj
`
1
4
Rj
`
: (17)
La acci ´on m´as general de la teor´ıa de gravedad en 3 + 1 dimensiones y z = 3, m´odulo la
posible adici ´on de t ´ erminos relevantes, est ´a descrita por:
S =
Z
dt d3x
p
g N
(
2
2
KijKij K2
2
2w4CijCij
)
(18)
3. Teor´ıa deformada y RG
S =
Z
dt d3x
p
g N
(
2
2
KijKij K2
2
2w4CijCij +
2
2w2ijkRi`rjR`k
22
8
RijRij +
22
8(1 3)
1 4
4
R2 + WR 32
W
)
: (19)
c =
2
4
r
W
1 3
; =
3
2
W; GN =
2
32c
(20)
Referencias
[1] P. Hoˇrava, “Quantum Gravity at a Lifshitz Point”, Phys. Rev. D 79, 084008 (2009)
[arXiv:0901.3775 [hep-th]].
[2] P. Hoˇrava, “Membranes at Quantum Criticality”, JHEP 0903, 020 (2009)
[arXiv:0812.4287 [hep-th]].
[3] C. Rovelli, “Notes for a brief history of quantum gravity”, arXiv:gr-qc/0006061v3.
[4] S. Weinberg, “Ultraviolet Divergences in Quantum Theories of Gravitation” en: General
Relativity. An Einstein Centenary Survey, editado por S.W Hawking and W. Israel (Cam-bridge
University Press, 1980).
[5] T. P. Sotiriou, M. Visser and S . Weinfurtner, “Quantum gravity without Lorentz invari-ance”,
arXiv:0905.2798v3 [hep-th].
[6] P. C. Hohenberg and B. I. Halperin, “Theory of Dynamic Critical Phenomena”, Rev. Mod.
Phys. 49, 435 (1977).
[7] S. K. Ma, Modern Theory of Critical Phenomena, Frontiers in Physics (Benjamin. Inc,
1976).
[8] E. M. Lifshitz, “On the Theory of Second-Order Phase Transitions I-II”, Zh. Eksp. Teor.
Fiz. 11, 255 (1941).
[9] S. Chadha and H. B. Nielsen, “Lorentz Invariance as a Low-Energy Phenomenon”, Nucl.
Phys. B 217, 125 (1983).
[10] P. Hoˇrava, “General Covariance in Gravity at a Lifshitz Point”, arXiv:1101.1081v1
[hep-th].
1Aquellas funciones que toman valores constantes en cada hoja de la foliaci ´on F, se denominar´an “funciones proyectables” [1].
Escuela de F´ısica de Part´ıculas, Mayo 23-27 de 2011, Bogot´ a, Colombia