Se describe un aparato que consiste en un eje, más una rueda que cuenta con seis masas cuya distancia puede ajustarse para variar el momento de inercia polar del aparato. Se analiza un experimento en el que dicho aparato se cuelga de un soporte, mediante cuerdas fijadas en los dos extremos del eje. Rotando el aparato de manera que cada cuerda se enrede alrededor del extremo al que está fijado, se sube el aparato. Acto seguido, se permite que el aparato descienda, girando libremente. Para un rango de distancias entre las masas y el eje, se mide cuanto tiempo el aparato tarda en descender una distancia predeterminada. Tras análisis basados en la dinámica y en la conservación de energía, identificamos que el experimento arriba descrito no es suficiente para identificar la masa total de las seis masas. En cambio, es necesario contrastar los resultados de ese experimento, con (por ejemplo) uno que emplee una masa auxiliar conocida.

1. Modelación matemática de
Una rueda y eje con J variable
para diseñar experimentos para identificar
las masas de sus componentes ajustables
James Smith
19 octubre 2016
Resumen
Se describe un aparato que consiste en un eje, más una rueda que cuenta con seis masas
cuya distancia puede ajustarse para variar el momento de inercia polar del aparato. Se
analiza un experimento en el que dicho aparato se cuelga de un soporte, mediante
cuerdas fijadas en los dos extremos del eje. Rotando el aparato de manera que cada
cuerda se enrede alrededor del extremo al que está fijado, se sube el aparato. Acto
seguido, se permite que el aparato descienda, girando libremente. Para un rango de
distancias entre las masas y el eje, se mide cuanto tiempo el aparato tarda en descender
una distancia predeterminada.
Tras análisis basados en la dinámica y en la conservación de energía, identificamos
que el experimento arriba descrito no es suficiente para identificar la masa total de las
seis masas. En cambio, es necesario contrastar los resultados de ese experimento, con
(por ejemplo) uno que emplee una masa auxiliar conocida.
1

2. 1 Introducción
Este documento se elaboró para que alumnos vieran cómo un fenómeno puede ser
modelado matemáticamente, para poder identificar y cuantificar los elementos que lo
afecta. El proceso de la modelación combina conocimientos matemáticos y de la física.
Para validar el modelo que resulta, se propone un experimento a través del cual se podrá
predecir la masa total de las seis masas ajustables que se usan para variar el momento
de inercia polar del aparato. Después de hacer su predicción, los alumnos podrán medir
dicha masa total y discutir con qué grado de precisión el modelo matemático describe
el fenómeno.
2 Descripción del aparato
El aparato (Figs. 1 y 2) es una rueda y eje, con seis masas que se pueden colocar a
distancias variables, desde el eje. Se enrolla un hilo alrededor de cada extremo del eje.
El aparato se descenderá, debido a su propio peso, si los usuarios no lo sostienen.
Figure 1: Diagrama esquemático del aparato “eje y rueda con masas" suspendido de
sus hilos. Las seis masas (círculos anaranjados) se colocan todas a la misma distancia
desde el eje, pero dicha distancia se variará en el curso del experimento.
3 Descripción (breve) del experimento
Se varia la distancia entre las seis masas y el eje para investigar cómo este parámetro
afecta cuánto tiempo el aparato tarda en recorrer una distancia predeterminada.
4 Modelación del comportamiento
4.1 Notación
Ver también las Figuras 2 y 3.
2

3. Figure 2: Identificación de las dimensiones claves, del aparato. Las líneas gruesas y
negras representan ranuras a lo largo de las cuales las seis masas pueden ser desliadas
para variar rm en el curso del experimento.
.
M Masa del eje + rueda, sin las seis masas.
m Masa total, de las seis masas.
J0 Momento de inercia polar del eje + rueda, sin las seis masas.
t Tiempo trascurrido desde que se dejó de sostener al aparato, para que comenzara
su descenso.
x Ubicación del centro del eje. En t = 0, x = 0.
En vez de usar ranuras para
ajustar la posición de las seis
masas, se puede usar
perforaciones a varias
distancias.
4.2 Modelación del comportamiento del aparato mismo
Para más información acerca de la dinámica de rotaciones, ver Referencias [1] y [2].
4.2.1 A partir de la conservación de energía
La suma de las energías cinética y potencial (gravitatoria) del aparato es constante:
Energ´ia potencial gravitatoria
Eg
+ Energ´ia cin´etica
Ec
= constante.
Por lo tanto, cuando el aparato desciende alguna distancia d,
−∆Eg = ∆Ec
∴ [(M + m) g] d =
1
2
(M + m) v2
+
1
2
Jω2
, (4.1)
donde ω es la velocidad angular del aparato en el instante cuando x = d, y v =
dx
dt
(x = d) = re [ω (x = d)].
3

4. Figure 3: El aparato en su posición inicial, suspendido de sus hilos, antes de soltarlo.
Nótese la definición de la dirección positiva de x, y del origen (o sea, donde x = 0).
Antes de que sigamos, hagamos una pausa para reconocer que no hemos supuesto
nada acerca de la distancia d, aparte de que d es un número positivo. Entonces, por La
Regla de la Generalización Universal, la Ec. (4.1) se verifica para todo valor positivo,
de x. Por lo tanto, reescribimos dicha ecuación de la forma más convencional, usando
el símbolo x en vez de d, con el entendido de que los valores de
dx
dt
y ω son aquellos
que resultan cuando el aparato desciende la distancia x:
[(M + m) g] x =
1
2
(M + m) v2
+
1
2
Jω2
. (4.2)
La Regla de la
Generalización Universal
Para nuestros fines, ésta dice
que si se puede demostrar que
una fórmula es cierta para un
objeto elegido en forma
arbitraria de una clase,
entonces la fórmula es cierta
para todo objeto que le
pertenece a la clase. La
referencia [3] demuestra su
uso en un contexto como el
presente.
En cuanto al momento de inercia, J, éste depende de la posición de las seis masas
con respecto al eje:
J = J0 + mr2
m. (4.3)
Sustituyendo J por esta expresión en la Ec. (4.2),
[(M + m) g] x =
1
2
(M + m) v2
+
1
2
J0 + mr2
m ω2
=
1
2
(M + m) v2
+
1
2
J0 + mr2
m
v
re
2
=
1
2
M + m +
J0 + mr2
m
r2
e
Llammosla “B”: Es un constante.
v2
=
1
2
B
dx
dt
2
.
“B" es un constante en cuanto
es independiente de t. Pero sí,
varía con rm.
4

5. Para obtener una ecuación diferencial que se pueda resolver, despejamos al
dx
dt
:
dx
dt
=
2 (M + m) x
B
x1/2
; (4.4)
∴
dx
x1/2
=
2 (M + m) x
B
dt. (4.5)
Por fin, integramos ambos lados de la Ec. (4.4) para encontrar la distancia x (τ)
que el aparato cae durante el intervalo 0 ≤ t ≤ τ, siendo τ un número arbitrario. Se
toma en cuenta que x = 0 en t = 0:
x(τ)
x=0
dx
x1/2
=
2 (M + m) x
B
τ
t=0
dt
2 x (τ) =
2 (M + m) x
B
τ
τ2
= 2
B
(M + m) g
x (τ)
= 2
(M + m) r2
e + J0 + mr2
m
(M + m) gr2
e
x (τ) . (4.6)
Esta maniobra—la de integrar
el lado derecho de la Ec. (4.4)
entre t = 0 y t = τ, y el lado
izquierdo entre x (t = 0) y
x (t = τ)—se apoya en los
mismos teoremas que “el
cambio de variable" en la
integración ([4], [5]). Dicha
maniobra es útil en muchos
problemas de este índole.
Ya que el tiempo τ fue un número arbitrario, este resultado se verifica para todos
los valores de t (ver la página 4). Así que lo escribimos de la forma más convencional,
con t en lugar de τ:
t2
= 2
(M + m) r2
e + J0 + mr2
m
(M + m) gr2
e
x (t) . (4.7)
4.2.2 A partir de un análisis dinámico
En este análisis, identificamos primero cuánto rota el aparato al descender por un in-
tervalo t. Después, convertimos dicha rotación en la distancia caída durante el mismo
intervalo.
La “aceleración" que figura en
este análisis, es aquella al
respecto del soporte (Fig. 3).
A partir de un análisis de la Figura 4, escribimos ecuaciones para el movimiento
en la dirección x, y para la rotación:
(M + m) × aceleraci´on en la direcci´on x = Fuerzas en la direcci´on x
(M + m) a = (M + m) g − Thilo.
(aceleraci´on angular) × J = Momentos
αJ = (Thilo) re
∴ Thilo =
αJ
re
.
También, a = reα. Entonces,
(M + m) reα = (M + m) g −
αJ
re
, y
α =
(M + m) gre
(M + m) gr2
e + J
. (4.8)
5

6. Figure 4: Diagrama del cuerpo libre, para el aparato ya soltado. Note la definición del
sentido positivo, de la rotación.
Examinando la Ec. (4.8), vemos que α es una constante: es independiente de
t. Tomando este hecho en cuenta, y reconociendo que α =
dω
dt
; dω = αdt ; y
ω (t = 0) = 0, escribimos
τ
0
αdt =
ω(τ)
0
dω
∴ ω (τ) =
(M + m) gre
(M + m) gr2
e + J
τ.
Queremos encontrar θ: la rotación total del aparato durante el intervalo de tiempo
0 ≤ t ≤ τ. Ya que ω =
dθ
dt
,
θ (τ) =
τ
t=0
ω (t) dt
=
τ
t=0
(M + m) gre
(M + m) gr2
e + J
tdt
=
1
2
(M + m) gre
(M + m) gr2
e + J
τ2
. (4.9)
Pero x (τ) = reθ (τ), y J = J0 + mr2
m (Ec. (4.3)). Entonces,
t2
= 2
(M + m) r2
e + J0 + mr2
m
(M + m) gr2
e
x (t) , (4.10)
la cual coincide con la Ec. (4.7).
4.3 Modelación del comportamiento del aparato con una masa aux-
iliar
El uso de la masa auxiliar se demuestra en las Figuras 5 y 6 .
6

7. Figure 5: La masa auxiliar (pelota roja) y la cuerda que la conecta al eje. Al dejarse
descender el aparato, la masa auxiliar contribuye a su rotación.
Figure 6: El aparato más la masa presentados en la Fig. 6, desde otra perspectiva.
4.3.1 A partir de la conservación de energía
Un aspecto clave de este análisis, es que cuando el eje caiga la distancia d, el eje rota
tras el ángulo θ =
d
re
. Esta rotación ocasiona que la masa auxiliar cae la distancia
reθ con respecto al eje. Por lo tanto, al caerse el eje una distancia x, la masa auxiliar
cae 2d. Razonando de una forma parecida, vemos que la velocidad vertical de la masa
auxiliar es, en todo momento, el doble de la velocidad vertical del eje. Hilando estas
ideas, la energía gravitatoria perdida por la combinación de aparato y masa auxiliar es
de (M + m) gd + 2µgd.
7

8. Reconociendo que la velocidad vertical del eje es de v = reω,
Energ´a cin´etica =
1
2
(M + m) v2
+
1
2
µ (2v)
2
+
1
2
Jω2
=
1
2
M + m + 4µ +
J
r2
e
v2
. (4.11)
Igualando la energía gravitatoria perdida y la energía cinética, y usando v =
dx
dt
,
(M + m + 2µ) gd =
1
2
M + m + 4µ +
J
r2
e
dx
dt
2
. (4.12)
Apoyándonos en La Regla de la Generalización Universal (página 4), sustituimos d
por la variable x, y seguimos adelante:
(M + m + 2µ) gx =
1
2
M + m + 4µ +
J
r2
e
dx
dt
2
,
dx
x1/2
=




2 (M + m + 2µ) g
M + m + 4µ +
J
r2
e



 dt,
x(τ)
x=0
dx
x1/2
=
τ
t=0




2 (M + m + 2µ) g
M + m + 4µ +
J
r2
e



 dt,
2 [x (τ)]
2
=
τ
t=0




2 (M + m + 2µ) g
M + m + 4µ +
J
r2
e



 τ,
∴ τ2
= 2
(M + m + 4µ) r2
e + J
(M + m + 2µ) gr2
e
x (τ) .
Sustituyendo τ por t, y usando J = J0 + mr2
m,
t2
= 2
(M + m + 4µ) r2
e + J0 + +mr2
m
(M + m + 2µ) gr2
e
x (t) . (4.13)
4.3.2 A partir de un análisis dinámico
Este análisis requiere de dos diagramas de cuerpo libre: uno para el aparato mismo, y
uno para la masa auxiliar (Figura 7).
Análisis dinámico del movimiento de la masa auxiliar La aceleración de la masa
auxiliar con respecto al soporte, es la suma de a (la aceleración del eje con respecto al
soporte) y la aceleración de la masa con respecto al eje. Esta última es de reα, donde
α es la aceleración angular del eje:
Aceleraci´on de la masa auxiliar con respecto al soporte = a + reα.
Igualando la suma vectorial de fuerzas, al producto de la masa µ y su aceleración,
µg − Tµ = (a + reα) µ;
∴ Tµ = (g − reα − a) µ (4.14)
8

9. Figure 7: Diagramas de cuerpo libre, para el aparato y para la masa auxiliar .
Análisis dinámico del movimiento del eje y de la rueda A modo de un contraste
con la ruta que seguimos en el Apartado 4.2.2, desarrollemos la ecuación para este
movimiento en función de la aceleración a, en vez de α. Examinando las fuerzas que
actúan el la dirección x en el diagrama de cuerpo libre para el eje y rueda, escribimos
(M + m) a = Tµ + (M + m) g − Thilo. (4.15)
Examinando las torsiones,
Tµre + Thilore = Jα.
Para seguir adelante, notamos que α = a/re, de manera que
Thilo =
J
r2
e
a − Tµ. (4.16)
y (trasformando la Ec. (4.14) )
Tµ = (g − 2a) µ. (4.17)
Ya tenemos los elementos para desarrollar una ecuación para a. Partimos de la Ec.(4.8):
(M + m) a = Tµ + (M + m) g − Thilo
= Tµ + (M + m) g −
J
r2
e
a − Tµ (Ec.(4.16))
= 2Tµ + (M + m) g −
J
r2
e
a
= 2 [(g − 2a) µ] + (M + m) g −
J
r2
e
a (Ec.(4.17))
a =
(M + m + 4µ) r2
e + J0 + +mr2
m
(M + m + 2µ) gr2
e
∴ t2
= 2
(M + m + 4µ) r2
e + J0 + +mr2
m
(M + m + 2µ) gr2
e
[x (t)] . (4.18)
Éste es el mismo resultado que obtuvimos partiendo de la conservación de energía (Ec.
(4.13) ).
9

10. 5 Diseño de experimentos y análisis de los datos
5.1 Resumen del propósito de este análisis, y cómo pensamos lo-
grarlo
Para validar nuestros análisis y las ecuaciones de de ellos resultaron, queremos iden-
tificar la masa m sin usar una balanza, a través de experimentos en los que se analice
cómo varía t en función de rm, para x dado. Por ejemplo, experimentos en los que se
mide cuánto tiempo el aparato tarda en descender una distancia D, fija. Se nos permite
medir re, pero ninguna otra característica del aparato.
5.2 Resumen, examinación, y linearización de las ecuaciones que
resultaron de nuestros análisis
Bajo estas restricciones, las Ecs. (4.7) y (4.10) tienen tres incógnitas: M, m, y J0:
t2
= 2
(M + m) r2
e + J0 + mr2
m
(M + m) gr2
e
x (t) (5.1)
Si linearizamos dichas ecuaciones, haciendo de r2
m la variable independiente, se
obtiene, para x = D, fijo,
t2
2D
=
m
(M + m) gr2
e
P endiente
r2
m +
(M + m) r2
e + J0
(M + m) gr2
e
Intercepto
. (5.2)
Encontrando el valor de la pendiente y del intercepto a través de experimentos, ten-
dremos dos ecuaciones, con las tres incógnitas arriba mencionadas:
Pendiente sin la masa auxiliar =
m
(M + m) gr2
e
Intercepto sin la masa auxiliar =
(M + m) r2
e + J0
(M + m) gr2
e
.
(5.3)
Lo mismo es cierto en cuanto a la ecuación para el aparato con la masa auxiliar. En
este caso, la ecuación (Ecs. (4.7) y (4.10)) es
t2
= 2
(M + m + 4µ) r2
e + J0 + +mr2
m
(M + m + 2µ) gr2
e
[x (t)] . (5.4)
Linearizándola, al estilo de la Ec. (5.2),
t2
2D
=
m
(M + m + 2µ) gr2
e
P endiente
r2
m +
(M + m + 4µ) r2
e + J0
(M + m + +2µ) gr2
e
Intercepto
. (5.5)
Entonces,
Pendiente CON la masa auxiliar =
m
(M + m + 2µ) gr2
e
Intercepto CON la masa auxiliar =
(M + m + 4µ) r2
e + J0
(M + m + 2µ) gr2
e
.
(5.6)
Un tema lejanamente
vinculado: ¿Cómo se pesan
los planetas? (Ver Referencia
[6].)
Bueno, ni el uno ni el otro de los experimentos, en sí, puede determinar la masa m.
Pero juntos, sí, lo pueden, como veremos a continuación.
10

11. 5.3 Calculando m a partir de los resultados de experimentos
Sería interesante idear otros
combinaciones de
experimentos que puedan, en
combinación con el
experimento sin la masa
auxiliar, determinar m.
Entre las Ecs. (5.4) y (5.5), tenemos cuatro ecuaciones en tres incógnitas. En-
tonces, bastan para determinarlas.
5.3.1 Determinar m
Examinando las Ecuaciones (5.3) y (5.6), notamos que
1
Pendiente CON la masa auxiliar
=
(M + m + 2µ) gre
2
m
, y
1
Pendiente sin la masa auxiliar
=
(M + m) gre
2
m
.
Por lo tanto,
m =
2µgre
2
1
Pendiente CON
-
1
Pendiente sin
. (5.7)
Una ruta más complicada es la siguiente. Primero, formamos los cocientes
βcon =
Intercepto con masa auxiliar
Pendiente con masa auxiliar
=
(M + m + 4µ) r2
e + J0
m
βsin =
Intercepto sin masa auxiliar
Pendiente sin masa auxiliar
=
(M + m+) r2
e + J0
m
.
(5.8)
Ahora, reconocemos que
βcon − βsin =
4µr2
e
m
;
∴ m =
4µr2
e
βcon − βsin
.
(5.9)
5.4 Comprobar el resultado
Una vez calculada la masa m, los alumnos pueden quitar las seis masas del aparato,
para medir su peso total y compararla con el valor calculado de m. También, se puede
usar el valor calculado de m y el valor experimental de βsin para calcular J0, para
luego calcular (y verificar por medio de un experimento) cuánto tiempo el eje y rueda,
sin las seis masas, tardará en descender una distancia determinada.
6 Conclusiones
Para determinar la masa m, no es suficiente hacer el uno o el otro de los dos experimen-
tos. O sea, solamente el experimento con la masa auxiliar, o solamente el experimento
sin la masa auxiliar. Pero los dos, juntos, sí son suficientes. Sería interesante idear
otros combinaciones de experimentos que puedan, en combinación con el experimento
sin la masa auxiliar, determinar m.
11

12. Deberíamos notar, también, que las cuatro ecuaciones en Ecs. (5.4) y (5.5) bastan y
sobran para encontrar las tres incógnitas M, m, y J0. Entonces, aunque no lo hicimos
en este documento, podríamos calcular los valores de éstas de otras maneras, para que
comparáramos, el uno contra el otro, los valores obtenidos.
References
[1] Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa, sin fecha, “Dinámica de rotación y balance
energético", http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/dinamica/dinamica.htm
[2] Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa, sin fecha, “Ecuación de la dinámica de
rotación", http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/teoria/teoria.htm
[3] J. Smith, sin fecha, “Unas cuantas características de los triángulos equi-
láteros(Con una introducción breve a las técnicas para hacer demostra-
ciones matemáticas)", http://www.slideshare.net/JamesSmith245/tcnicas-para-
demostraciones-usando-tringulos-equilateros
[4] https://sites.google.com/site/calculointegralupaep/cambio-de-variable
[5] http://www.mat.ucm.es/ dazagrar/docencia/cap7.pdf.
[6] NASA, sin fecha, “¿Cómo se pesan los planetas?",
http://spaceplace.nasa.gov/review/dr-marc-solar-system/planet-
weights.sp.html .
12